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高等数学三复习提纲

第一章

1、全排列及逆序数

2、行列式的定义

3、行列式的性质

4、行列式的展开

5、克拉默法则

总结：1、求行列式的值有两种方法：一是按定义求，一是按展开式求

2、根据行列式的定义，它是一些数的和，实质上是个数，既然是数就要分零、非零。当两行（列）元素完全相同或对应元素成比例时行列式为零。

3、数的运算还涉及加法、和乘法。对行列式来说只是对某一个行后列的加或乘

4、数的运算还有一个保持不变和变号的问题，在行列式里就是转置、k 乘加行不变，互换变号有了这些就可以将行列式化成对角或三角行列式，便于求值

1、计算n 阶行列式n

22223222

2222

221

2、计算()()()()()()()()()n n n n n a a a a n a a a a

n a a a a

+++++++++

2121211111

2222 3、2

111211

12n D =

4、行列式000

1002

0030

04000=__________．

5、计算行列式D=1

0020

1200

3403004的．

6、排列3 4 5 2 1的逆序数等于．

7、在429

()68537

f x x =中，x 的一次项系数是．

8、1

23456788

7654

321 9、1

11112481

3927141664

10、设γβα,,为三维列向量，已知三阶行列式40|2,2,4|=--αγβαγ，则行列式=|,,|γβα ．

11、计算行列式D=1

0020

1200

3403004的值．

12、行列式1694432

111

中（3，2）元素的代数余子式A 32=___________．

第二章、第三章

1、矩阵对应的是线性变换，常见的线性变换有平移、投影、旋转等

2、矩阵的性质：满足结合律、分配律，不满足交换律。

3、矩阵的运算：加法、数乘、矩阵相乘、转置、伴随矩阵，矩阵的行列式、逆矩阵等

4、矩阵的秩

5、线性方程组的解

6、分块矩阵

注意：1、求伴随矩阵可以分为三步：

一、求余子式；二、求代数余子式（即加上正负号）；三、转置排列

2、求逆矩阵的步骤：

一、判定矩阵行列式的值，即可逆的条件；二、求伴随矩阵；三代入公式求逆

3、求矩阵的秩：用初等变换化成阶梯型矩阵，看非零行有几个。

4、求线性方程组的解有两种方法，

一是如果系数矩阵行列式不为零，可用逆矩阵来求

二是将系数矩阵化成行最简或列最简形式。

1、已知???

? ??=4321A ，求=2A 2、设A 是三阶矩阵，且2=A ，则=A 3

3、设???

? ??-=4321A ，则=2A

4、矩阵????

? ??-----100110111的秩等于

5、设A 是n 阶方阵，且()02

=+E A ，证明A 可逆并求出逆矩阵 6、已知()T 111=α，()T

123=β，计算βαT 和T αβ 7、设i α()3,2,1=i 是3维列向量，若1,,321==

αααA ，令()121213,4,ααααα++=B ，则=B 8、已知???? ??--=131121A ，???

? ??-=113212B ，则=A B T 9、设????

? ??----=32321321k k k A ，若2)(=A R ，则=k

10、设A 、B 均为3阶矩阵，且3)(=A R ，2)(=B R ，则=)(T ABA R

11、*3 A A A =设是4阶矩阵，且，则＝．

12、设11131530A λ-??

??=??????

，且()2R A =，则λ= ． 13、1302A ??= ???，2430B ??= ???

，求２A －T T B A 14、已知矩阵A 满足220A A E --=，证明： A 可逆，并求其逆矩阵

15、设矩阵A=a b ?? ???

，则AA T =__________． 16、设A ，B 为同阶对称矩阵，证明AB+BA 也为对称矩阵．

17、求非其次线性方程组1231231

23231222322x x x x x x x x x +-=??+-=??-++=-?的通解．

18、A m n B n m m>n AB =??设为矩阵，为矩阵，且，则．

19、设A 是n 阶矩阵，且0m A =，证明11()m I A I A A ---=+++ ．

20、设向量组1(1,1,1,1)T α=，T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，4(4,5,6,8)T α=，则

),,,(4321ααααR = ．

21、设111222a b c A a b c ??= ???，则T A A ＝． 22、设122A=43311a -?? ? ? ?-??

，B 为３阶非零矩阵，且AB=0，则a = ．

23、设λμ?? ? ? ???

1-112A=3-12536，已知R （A ）=2，求λμ、的值． 24、,x y 是两个列向量，且0T x y =，证明T E xy +可逆．

25、设2阶矩阵A =???

? ??3202，则A *A =____________．

26、已知向量组????? ??+=????? ??=????

? ??=4212,0510,2001321t ααα的秩为2，则数t = __________． 27、设3阶矩阵A=??

??? ??002520

310，则（A T ）-1=_____________．

28、设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B=AC 的秩为__________．

29、设2阶矩阵A 可逆，且A -1=1212a a b b ?? ???，对于矩阵P 1=1201?? ???，P 2=0110?? ???

，令B=P 1AP 2，求B -1．

第四章

1、向量组及其线性组合

2、向量组的线性相关性

3、向量组的秩

4、线性方程组的解的结构

5、向量空间

1、求向量组()T 3,1,1,11=α，()T 1,5,3,12--=α，()T 4,1,2,33-=α，()T

2,10,6,24--=α 的秩和一个极大线性无关组

2、设1α，2α是非其次线性方程组b AX =的解，又已知2211ααk k +也是b AX =的解，则=+21k k

3、给定线性方程组?????-=++-=++-=++223321

321321ax x x x ax x a x x x

（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷个解时，求出通解

4、若????? ??=3211η，????

? ??=2102η是b AX =的两个解，A 是三阶方阵，求秩为2，求通解

5、设η为非齐次线性方程组b AX =的一个解，r ξξξ ,,21是其导出组0=AX 的一个基础解系。证明

r ξξξη ,,,21线性无关。

6、若５元齐次线性方程组0AX =的基础解系含2个解向量，则矩阵A 的秩等于_______

7、当λ取何值时，线性方程组123123123(1)0(1)3

(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=??+++=??+++=?有无数多解，并求出其通解．

8、设向量组α1=（1，-3，a ）T ，α2=（1，0，0）T ，α3=（1，3，-2）T 线性相关，则a=__________．

9、若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A 的秩等于__________．

10、求线性方程组123412341

234221245224x x x x x x x x x x x x +-+=??+++=??---+=-?的通 11、设A 是ｍ×ｎ矩阵，则非齐次线性方程组AX=b 有解的充要条件是．

12、设(1,1,1,1),(1,2,2,0),(0,1,2,3),(0,1,1,1)T T T T

αβγδ====--，则秩｛,,,αβγδ｝

＝．

13、设2是可逆阵A 的一个特征值，则A -2必有一个特征值是_________． 14、已知矩阵1112A 3512536λ-?? ?=- ? ???

，若齐次方程组0T A X =存在非零解，则λ= ．

15、如果非齐次线性方程组AX b =无解，且()R A r =，则(,)R A b = ．

16、齐次方程组1234240 0x x x x x x --+=??-=?

的解空间的维数等于． 17、解矩阵方程2AX X A =+，其中110011101A -?? ?=- ? ?-??

．

18、λ取何值时，非齐次线性方程组12312312

3(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=??+++=??+++=?

(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解，并在有无穷多解时求出其通解．

19、已知ｎ阶方阵A 满足2A E ＝，E 为n 阶单位矩阵证明：()()R A E R A E n ++-=．

20、若12101,132ηη???? ? ?== ? ? ? ?????是AX=b 的两个解，A 是三阶方阵，且秩为2，求其通解．

21、设矩阵A=500012037?? ? ? ???，B=10012021?? ? ? ???，求矩阵方程XA=B 的解X ．

22、求线性方程组123412341

234221245224x x x x x x x x x x x x +-+=??+++=??---+=-?的通． 23、若向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关．

24、已知

3元齐次线性方程组?????=++=++=-+0320

320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =_____________． 25、设向量组α1=（1，-3，a ），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________．

26、求向量组α1=（1，1，1，3）T ，α2=（-1，-3，5，1）T ，α3=（3，2，-1，4）T ，

α4=（-2，-6，10，2）T 的秩和一个极大线性无关组．

27、设向量组α1，α2线性无关，证明向量组β1=α1+α2，β2=α1-α2也线性无关.

第五章

1、向量的内积、长度及正交性

2、方阵的特征值与特征向量

3、相似矩阵

4、对称矩阵的对角化

5、二次型及其标准型

6、用配方法化二次型为标准型

7、正定二次型

1、已知????

? ??-=-1211AP P ，

其中????? ??-=210101111P ，则矩阵A 属于特征值1-=λ的特征向量是什么？ 2、已知()T 131-=α，()T 421-=β，则内积()=βα,

3、设五阶矩阵A 的秩为3，则矩阵A 的等价标准型为

4、已知向量()4,3,2,1-=α与()7,5,,3-=a β正交，则数a 为和值？

5、已知3阶矩阵A 的特征值为1,2,3，求*A

6、已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，求E A A 652+-的值

7、已知向量()3,2,1-=α，()λβ,4,2=，且α与β正交，则=λ

8、求3

R 中的向量(1,2,2)α=-T 在基1(1,0,0)ε=T ，2(0,1,1)ε= T ，3(0,1,1)ε=- T 下的坐标X

9、设A 为n 阶方阵，已知矩阵E-A 不可逆，那么矩阵A 必有一个特征值为__________． 10、设矩阵201A=31x 405?? ? ? ???

可相似对角化，求x ． 11、设A ，B 都是n 阶矩阵，A 可逆，证明AB 与BA 相似．

12、求向量β=（3，-1，2）T 在基α1=（1，1，2）T ，α2=（-1，3，1）T ，α3=（1，1，1）T 下的坐标，并将β用此基线性表示．

13、已知A 有一个特征值-2,则B=A 2+2E 必有一个特征值___________．

14、设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r (A )= _________．

15、已知矩阵A =????

? ??x 01010101的一个特征值为0，则x=___________．

16、已知向量组α1=（1，1，1）T ，α2=（1，2，0）T ，α3=（3，0，0）T 是R 3的一组基

则向量β=（8，7，3）T 在这组基下的坐标是___________

17、设向量α=（1，2，3，4），β=（1，1，1，0），求

（1）矩阵αT β；（2）向量α与β的内积（α，β）．

高等数学学习心得体会_高等数学学习总结

高等数学学习心得体会_高等数学学习总结 ----WORD文档，下载后可编辑修改---- 下面是小编收集整理的范本，欢迎您借鉴参考阅读和下载，侵删。您的努力学习是为了更美好的未来！高等数学学习心得体会篇 1 高等数学是大学工科课程里的一门重要基础课。它的重要性，我相信大家都了解。高等数学是许多课程的基础，特别是与以后的许多专业课都紧密相连。因此，学好高等数学对于一名工科学生来说，至关重要。然而，对于许多同学来说，高等数学是一门头疼的学科。如何学好高等数学呢?下面是我个人在学习过程中的一些心得体会。首先，我觉得高等数学与以前我们高中所学的数学有一点不同。高等数学注重的是一种数学的思想，比如说微积分思想，极限的思想。强调的数学的逻辑性与分析性。不像高中数学那样注重技巧性。因此，在学习的过程中，课本的知识至关重要。对于课本上面每一个概念、定理、公式、例题，都要理解清楚。特别是对于定理、公式的推导过程，不仅要弄懂每一步的推导过程如何来，而且还要学会自己推导。因为学会自己推导，更有助于我们的记忆和应用。我的经验是，在理解的基础上去记忆公式，而不是一味的死记硬背。第二，学习数学是不能缺少训练的。一定量的课后习题训练，不但可以让我们巩固我们学到的知识点，学会如何在实际中应用我们学到的公式定理，还有助于我们熟悉考试的各种题型。还有，题目并不是越多越好，题海战术不仅浪费大量的时间与精力，而且效果也不好。我的经验是，每做完一道题都要总结一下，特别是做错的题目，这道题的知识点是哪些?应用了哪些公式定理?错在哪里?为什么会做错?学会思考，学会总结，这样做题才能达到事半功倍的效果。最后，学好数学是一个坚持的过程。高等数学的内容环环相扣，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一节一节，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。这样，对于后面的学习会造成很大的影响。高等数学学习心得体会篇 2 随着科技日新月异的发展和电脑无孔不入

人教版小学数学知识点总结(完整版)

人教版小学数学知识点归纳第一章数和数的运算一概念（一）整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2 、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。例如15÷3=5，所以15能被3整除，3能整除15。如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

高等数学重点总结

高等数学主要内容有：二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分、无穷级数、常微分方程等。第十章重积分教学目标：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。会用重积分求解一些几何量(如体积、曲面面积等)。重点：二重积分、三重积分的概念和思想，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分的计算。难点：二重积分的计算方法，三重积分的计算方法， CH10重积分 10.1二重积分概念及性质 10.2二重积分计算方法 10.3三重积分的概念及计算 10.4重积分应用第十一章曲线积分与曲面积分理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。重点：两类曲线和曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。难点：格林公式，高斯公式。 CH11曲线积分与曲面积分 11.1对弧长的曲线积分

11.2对坐标的曲线积分 11.3格林公式及其应用 11.4对面积的曲面积分 11.5对坐标的曲面积分 11.6高斯公式 11.7斯托克斯公式（*）第十二章无穷级数教学目标：理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。掌握几何级数和p -级数的收敛性。了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。会利用,sin ,cos ,ln(1)x e x x x +和()1x μ+的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。了解幂级数在近似计算上的简单应用。了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(,)ππ-和(,)l l -上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0,)l 上的函数展开为正弦或余弦级数。重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和p -级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，莱布尼兹判别法，比较简单的幂级数的收敛域和和函数的求法，用间接法展开函数为幂级数。难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，求幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为

高等数学复习资料大全

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a

高等数学答案-第四册-四川大学编

第一章复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -=--=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102 i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-= -112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。解： 121cos sin ;(cos sin );4 4266z i z i π π ππ=+=+ 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1 231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1的正三角形的顶点。证明：1230;z z ++=z 123231;312;; z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z ===Q 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

(完整版)高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册）函数：绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a -b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法：（1）表格法（2）图示法（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性反函数：定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单值、单调的。基本初等函数：（1）幂函数（2）指数函数（3）对数函数（4）三角函数（5）反三角函数复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ）收敛数列的有界性：定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛函数的极限：定义及几何定义函数极限的性质：（1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)(

高等数学极限总结

【摘要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学极限技巧《高等数学》极限运算技巧《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。一，极限的概念从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。二，极限的运算技巧我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助! 我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。

1，连续函数的极限这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。 2，不定型我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。

大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习

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高等数学(本科少学时类型) 第一章函数与极限第一节函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言１．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ）１.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；）２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????）第五节极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--

大一高数学习心得

大一高数学习心得大一高等数学学习心得转眼之间大一已经过去了一半，高数的学习也有了一学期，仔细一想，高数也不是传说中的那么可怕，当然也没有那么容易，前提是的自己真的用心了。记得刚开学的时候，我对高数还是很害怕的，我虽然上课认真听讲，但我还是不大明白，当然那是由于刚开始的课程确实是很抽象的，很难以高中时的解题思维理解，但后来学的就不是那么的吃力了，再加上我的勤奋看书。对于高数的学习大多数人都认为应该课前预习、上课认真听讲、课后复习。但那只能是理想的状态下，事实是不允许我们那样做的。由于我的数学还算有点功底，一直以来，我只做到了其中的一点半，而且成绩还算过得去，因此，我认为对于高数的学习，我们应该上课认真听讲，时课后复习。我们主要应该在课堂上认真听讲，理解解题方法，我们现在所需要的是方法，是思维，而不仅仅是例题本身的答案，我们学习高数不是为了将来能计算算术，而是为了获得一种思想，为了提高我们的思维能力，为了能够用于解决现实问题。在课后复习时，再根据例题好好体会解体的方法，一定要琢磨透。至于您的方法我觉得还不错，容易的快速过，困难的花点时间耐心讲解。只是我们每学期都要放弃后边的一部分内容，是否可以考虑相对放弃一些前面简单的，而加快进度讲完后面的一些内容。回顾大一的高数学习历程，感慨颇多。高数在整个大学的学习课程中占据这着非常重要的地位。其一，高数的学分是所有科目中最高的。第一学期5学分，第二学期6学分。其二，高数在考研数学中将近80%的比例。而考研数学的成绩会很大程度上决定考研的最终成绩。其三，高数是学习其他的课程的基础。比如我们大二上学期学的大学物理，还有其他学院的线性代数等等。对于大一同学来说，高数就是一道必须迈过坎。作为一个过来人，今天我就说说关于高数的点滴想法。谨以此与大家分享。学习任何东西都需要工具，学习数学更是要多种工具并进。首先，你要有足够的课外参考书来供自己参考。没有参考书，只有课本是根本不行的。你可以去学校的图书馆借阅相应的书籍。网络是所谓的公开式大学，有电脑的同学可以从网上查阅相关的资料，不会就找“度娘”。既可以提高自己搜索信息的能力，又节省了时间。概念定理永远是数学的灵魂。我在学习高数过程中非常重视概念的理解，定理的推导，知识点间的联系。例如：极限的概念及其证明，导数与极限的关系，连续与可微的关系函数极限连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数、常微分方程。很多同学会说“我也知道概念很重要，可我就是理解不了啊!”类似这种情况的同学不在少数。我给的建议是：逐字逐句阅读。不会不懂就要借助以上所说的工具来学习。概念理解了，很多东西就迎刃而解了。当时我对概念理解很是郁闷，没得办法，只能一字一句的解析，一点一点的抠。慢工出细活嘛，时间长了就理解了。相信：功到自然成。

关于高等数学B上复习资料归纳

华南理工大学网络教育学院《高等数学（上）》辅导一、求函数值例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ．解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ．解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题： 1、320sin 3lim x x x →=？解：当0sin3~3x x x →，，原式=3 200(3)lim lim270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？解：原式=03lim 3x x x →=

3、201-cos lim x x x →=？解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2 x x x →= 4、0ln(13) lim x x x →+=？解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？解：当201~2x x e x →-，原式=.02lim 2x x x →=. 三、多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为：曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：例题： 1、曲线44x y x += -在点(2,3)M 的切线的斜率．

新人教版初中数学知识点总结(完整版)

人教新版初中数学知识点总结（全面最新）目录一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式

四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图七年级数学（上）知识点

第一章有理数一．知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数注意：0即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数，+a也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数；

0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ；正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小：两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

高数心得体会

高数心得体会篇一：高数心得学习高数的心得体会有人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。很多人害怕高数，高数学习起来确实是不太轻松。其实，只要有心，高数并不像想象中的那么难。经过将近一年的学习，我们对高数进行了系统性的学习，不仅在知识方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。在大学之前的学习时，都是老师在黑板上写满各种公式和结论，我便一边在书上勾画，一边在笔记本上记录。然后像背单词一样，把一堆公式与结论死记硬背下来。哪种类型的题目用哪个公式、哪条结论，老师都已一一总结出来，我只需要将其对号入座，便可将问题解答出来。而现在，我不再有那么多需要识记的结论。唯一需要记住的只是数目不多的一些定义、定理和推论。老师也不会给出固定的解题套路。因为高等数学与中学数学不同，它更要求理解。只要充分理解了各个知识点，遇到题目可以自己分析出正确的解题思路。所以，学习高等数学，记忆的负担轻了，但对思维的要求却提高了。

每一次高数课，都是一次大脑的思维训练，都是一一次提升理解力的好机会。首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。让我们知道高数难，虽然会让我们对它更加重视，但是这无疑也增加了大家对它的畏惧感，觉得自己很可能学不好它，从而失去了信心，有些人甚至把难学当做自己不去学好它的借口。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我觉得要学好高数，一定不能有畏难的情绪。当我们有信心去学好它时，就走好了第一步。坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。就我的体会而言，如果只是想考试考好，不想去深入研究它的话，做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题就能解决很多同类型的题了。同时，做题不能只是自己一个人冥思苦想，有时候自己的思维走进了死胡同是很难走出来的，当自己做不出来的时候，不妨问问老师或者同学，也许就能豁然开朗了。对于做完的题目，觉得很有价值的，最好是把它摘抄到笔记本上，然后记录一下解题的要点，分析一下题目所体现的思维方式等等，平时有时间就翻看一下，加深一下记忆。

高等数学3复习提纲

复习提纲注意：以下出现的Ex1表示的对应习题中的第一题，其余表示符号类推。 1、掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分直角坐标系下：把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序，再把其中的二重积分化为二次积分，由此把三重积分化为三次积分。先一后二：先把Ω向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy 面投影得到Dxy)，再以Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，把Ω的边界曲面分为上下部分，其方程分别记作()()21,,,z z x y z z x y ==，()()12,,z x y z x y ≤。则Ω表示为：()()()12,,,xy x y D z x y z z x y ∈≤≤，。再把Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。先二后一：先把Ω向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z 轴投影得到[Z1,Z2])，再从[Z1,Z2]上任取一点z ，过该点作一垂直于z 轴的平面，截Ω得到平面闭区域Dz ，则Ω表示为：()12,z z z z x y D ≤≤∈，。再把Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。柱面坐标系下：实为直角坐标系下使用先一后二的做法时，选择Dxy 为极坐标系，把Ω表示为如下形式：()()()12,,,xy D z z z ρθρθρθ∈≤≤，。Dxy 下,ρθ的取值范围可参照二重积分（有两种情形）。当Ω的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时，可考虑使用柱面坐标系。球面坐标系下：当Ω的是球体或半球体或球面与锥面围成时，可考虑使用球面坐标系，其积分变量,,r θ?的范围的确定请参照课堂例题。示例：159页例1，例2，例3；习题10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。 2、了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式，会套用公式计算。示例：167页例1，例4习题10-4，Ex1，Ex5 3、掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法，曲线质量、质心的求法 L 是平面曲线时，其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程，化弧长的曲线积分为定积分的关键点：曲线方程代入被积函数进行化简；弧微分ds 套公式化简；由曲线方程确定积分限。 L 是空间曲线时，只考虑其方程是参数方程的情形，做法同上。示例：习题11-1，Ex3 (1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。

(完整版)高等数学(下)知识点总结

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

高数学习心得体会

高数学习心得体会篇一：学习高等数学体会论文 Hefei University 大一高等数学论文院系：电子信息与电气自动化学生姓名：孙野学号： 31 专业：自动化班级：一班年级：一年级指导老师:刘国旗完成时期: 十二月十三号摘要：高等数学是大学工科里的一门基础学科。在我学的自动化专业中更显得格外重要。经历了快一个学期的高等数学学习对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。 Abstract:Higher mathematics is an important basic engineering inside the university. The more I learn in automation specialty in very important. Experienced higher mathematics almost a semester has certain

understanding at the same time on the course, in the learning process encountered problems and confusion, so to every kind of, in the study of the difficulties and strive in the future how to better, continuously improve the ability of learning this course are summarized, in the hope that time can make progress. 关键词：高等数学、总结方法、极限一：对高中数学的回顾高中学习数学我经历过两个数学老师。先说说第一个数学老师吧，这是一个年轻的小伙老师，他以前是教初中的后来通过考试，升就教了高中，我们是他教的第一届的高中学生。对于这个我第一个高中数学老师我认为他和第二个老师最大的区别就是他上课从来不用ppt，他喜欢写板书，所以每节课后我们都记下满满几页的笔记。这样的教学方式单单就我来说我是不能适应的，因为我喜欢上课跟着老师教学的思路去学习，但是他要我们上课记下他在黑板上学习的板书，这样就导致我们光顾着去做笔记，却没有跟着他上课的思路去思考问题，不能去理解他讲的是什么，课下对着笔记我们又不记得他上课是怎么讲的。所以高中前部分我的数学一直都不好。后来因为一些原因我们换了一个数学老师，这是一个我估计快要退休的了老师，这个老师因

高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习提纲同济大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学复习提纲一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题二、知识点 1．平面及其方程。例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程

解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。例题：求函数x y e z =的全微分解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??