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湖南省邵阳市新邵县九年级数学上学期公理与定理学案(无答案)湘教版

2.3 公理与定理

学习目标：1 了解公理与定理的概念，以及他们之间的内在联系；

2 了解公理与定理都是真命题，它们都是推理论证的依据；

3 掌握教材十条公理和已学过的定理。

4 通过介绍欧几里得的原本，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进

步的价值。

学习过程：

一、【我预习我会学】：

1、导入：我们以什么依据来判断一个命题是真命题呢？这在数学发展史上，数学家们也遇

到过类似的问题

2、阅读教材P41-43，思考并回答下列问题：

（1）在网上查一查欧几里得的简介，并谈谈你的感想。

（2）什么叫作公理？什么叫作定理？

（3）什么叫作互逆的定理？

（4）公理与定理之间有什么关系？

3、你能记下这十条公理吗？（提示；分类）

二、【我疑惑我解惑】

三、【我探究我敢试】

1、说说你所知道的公理，

2、说说平行线的性质定理和三角形全等的判定定理

3、下列定理有逆定理吗？如有，把它写出来。

（1）角平分线上任意一点到角两边的距离相等；

（2）平行四边形的对边相等。

四、[我归纳我明了]

五、【我自测我提高】

1、选择：

（1）下面命题中属于公理的有（）

旋转不改变图形的形状和大小；轴反射不改变图形的形状和大小

连接两点的所有线中，线段最短；三角形的内角和等于180°

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

（2）下面关于公理和定理的联系说法不正确的是（）

A 公理和定理都是真命题，B公理就是定理，定理也是公理，

C 公理和定理都可以作为推理论证的依据D公理的正确性不需证明，定理的正确

性需证明。

（3）下面定理中，没有逆定理的（）

A 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行

B 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

C 平行四边形的对角线互相平分D对顶角相等

2、填写每一步用到的公理或定理，如图：在平行四边形ABCD中，

CE⊥AB，E为垂足，如果∠A=125°，求∠BCE Array解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)

∴AD∥BC（）

∵∠A=125°（已知）∴∠B=180°-125°=55°（

）

∵△BEC是直角三角形（已知）∴∠BCE=90°-55°=35°

（）

3、下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来.

（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（2）菱形的对角线互相垂直平分；

（3）等腰梯形的两条对角线相等；

（4）在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

六、[我反思我颖悟]

九年级(上册)初中数学定理知识点汇总

九年级(上册)初中数学定理知识点汇总第一章证明(二) 一两个三角形有关公理与定理： 1。.公理：三边对应相等的两个三个形全等（SSS ） 2。.公理：两边及其夹角对应相等的两个三个形全等（SAS ） 3。.公理：两角及其夹边对应相等的两个三个形全等（ASA ） 4。公理：全等三个形的对应角相等及对应边相等 5。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三个形全等（AAS ）。二一个三角形有关公理与定理： 1。定理：等腰三角形的两个底角相等（简述：等边对等角） 2。推论：等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 3。等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 4。有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 5。等腰三角形的两个底角的平分线相等；等腰三角形的两腰上的中线相等；等腰三角形的两腰上的高相等。 6。如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） 7。垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> 8。线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 9。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 10。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO ，点o 叫外心） 11。角平分线上的点到角两边的距离相等。 12。角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 13。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点o 即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF ) A C B O 图1 图2 O A C B D E F

(完整版)北师大九年级数学知识点

北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册) 第一章证明(二) ※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，其中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。 ※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 ※如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有： ①勾股定理：2 22c b a =+（注意区分斜边与直角边） ②在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半 ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现） ※垂直平分线．．．．．是垂直于一条线段．．并且平分这条线段的直线．．。（注意着重号的意义） <直线与射线有垂线，但无垂直平分线> ※线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 ※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ※三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。（如图1所示， AO=BO=CO ） ※角平分线上的点到角两边的距离相等。 ※角平分线逆定理：在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 ※三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 (如图2所示，OD=OE=OF) 第二章一元二次方程 ※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。 ※把02 =++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。 ※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2 =+m x 的形式> ②公式法 a ac b b x 242-±-= （注意在找ab c 时须先把方程化为一般形式） ③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”） A C B O 图1 图2 O A C B D E F

九年级数学下册教学反思湘教版【教案】

九年级数学教学反思本学期快要结束了，作为教了两个毕业班的数学老师，我深感肩上的压力之大，责任之重。这种压力不是来自自身的知识水平，也不是来自学校的升学压力，而是来自自身对教学的一种责任和不甘平庸的心态。本人今自身的时间就是一个问题，但一切都不会影响我的对教学的热情，我要做的更好，考的更好。目前,对于九年级这个重要的学习阶段，如何进行有效的教学？才可以使学生的学习成绩有所进步，显得尤为重要。一、给学生一个空间，让其自己去发现。在教学中，多数情况下，我比较擅长提出启发性的问题来激发学生思考，但问题提出后没给学生留下足够的思维空间，甚至不留思维空间,往往习惯于追问学生,急于让其说出结果。显然,学生对题目只是片面的理解,不能引发学生的深思,当然也就不能给学生留下深刻的印象,因此造成很多学生对于做过的题一点印象也没有。对于学过的数学定理或公式不能深刻理解，当然更谈不上灵活运用了。因此在教学中我发现：给学生创设一个合适的情境，通过教师的引，让学生自己去发现，去总结，去归纳，效果更好。例如：在学习四边形时，我设置了这样一个情境：由一个特殊四边形怎样逐步过渡到另一个特殊四边形？看谁想得既全面又符合逻辑。于是大家都积极参与，认真看书总结。教师把一个一个的题目写成小纸条，以抽签的形式搞一次竞赛，教师列出题目分别是“已知四边形是平行四边形，怎样一步过渡到菱形？”“已知四边形是菱形，怎样过渡到正方形？”“已知四边形是平行四边形，怎样过渡到矩形？”于是同学们勇于抽签抢答。教师一条一条小结在黑板上，作为结论性的东西让同学记住：“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”、“对角线相等的菱形是正方形”、“有一个角是直角的菱形是正方形”、“对角线相等的平行四边形是矩形”。于是教师给同学们总结出了一个结论：在判定四边形性质时，应在已知图形的基础上，看是否符合“加边”这个已知条件。比如平行四边形开拓转化成矩形，就不符合。此时就应看其是否符合“加角”这个已知条件，例如“对角线相等的平行四边形是矩形”，这样学生学习特殊的四边形的性质就不难了。显然，这种上课方法的取得的教学效果远比机械的师讲生背效果好得多。二、给自己一个空间，让自己大胆的去实践。我在备课的时候对问题已备选了一个或几个解决方案，课堂上以“定势思维”组织教学，但教学中的不确定因素很多，当学生的思路与我的思路相左或学生的想法不切实际时，不愿打乱即定的教学程序，干脆采取回避、压制措施，使学生的求异思维、批判思维、创造性思维被束缚。后来我就灵活调节上课的方法，结合实际情况，变换教学方法，让学生始终乐于学习。经过一段时间的实践与比较，我发现灵活的教学方法更能调动学生的积极性，学生更能学好数学。

人教版九年级数学公式

人教版初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形

人教版数学九年级切线长定理—知识讲解(基础)

切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：

九年级数学定理汇总

(1) S长=ab (2)S正=aa (3)S三=ah÷2 (4)S平=ah (5)S梯=(a+b)h÷2 (6)S圆=3.14rr (7)C长=(a+b)×2 (8)C正=4a (9)C圆=3.14d或2×3.14×r (10)V长=abh (11)V立=aaa (12)V圆柱=Sh或3.14×r×r×h (13)V圆锥=Sh÷3 (14)S圆柱的侧面积=Ch (15)加法交换律：a+b=b+a (16)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) (17)乘法交换律：a×b=b×a (18)乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) (19)乘法分配律：ac＋bc=(a+b)×c (20)减法的性质：a-b-c=a-(b+c) (21)图上距离：实际距离=比例尺 (22)3.14×2=6.28 (23) 3.14×3=9.42 (24) 3.14×4=12.56 (25) 3.14×5=15.7 (26) 3.14×6=18.84 (27) 3.14×7=21.98 (28) 3.14×8=25.12 (29) 3.14×9=28.26 (30) 3.14×15=706.5 (31) 3.14×16=50.24 (32) 3.14×25=78.5 (33) 3.14×36=113.04

(2) 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

切线长定理专题

1 《切线长定理》专题班级姓名（一）温故知新： 1．直线和圆有哪几种位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？（二）探究新知：探究一：如图所示，已知⊙O 及圆外一点P ，过点P 作⊙O 的切线，可以作几条？ ☆ 从⊙O 外一点P 可以引⊙O 的条切线， ☆ 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与的线段的长，叫做这点到圆的。问题：如图，已知⊙O 及圆外一点P ，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，连接PO ，图中有哪些相等线段，相等的角？为什么？总结归纳： ☆ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的，圆心和这一点的连线两条切线的夹角. 用符号语言表示定理：（三）学以致用： 1.填空：如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB=12，PO=13，则AO=＿＿＿. （2）若PO=10，AO=6，则PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，则PO=＿＿＿；例 1 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，PO PA=4cm,PD=2cm. 求半径OA 的长.⑵如果∠APB=50°，C 是⊙O 上异于A 、B 的任意一点，求∠ACB 的度数？ P P

探究二：如图，是一块三角形铁皮，怎样才能从中剪裁一个“最大的圆”？作法：总结归纳： ☆三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的.内切圆的圆心是的交点，叫做三角形的。内心到的距离相等 1.已知：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，图中共有几对相等线段？ ⑴若AD=4，BC=5，CF=2，则△ABC的周长是＿＿；⑵如果∠A=70°，则∠BOC= ； ⑶若AB=4，BC=5，AC=6，求AD，BE，CF的长？例2 如图，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，已知∠C=90°，AC=3，BC=4，求⊙I的半径？直线和圆的位置关系习题课 A 2

九年级数学常见的公式与定理

常见的初中数学公式与定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

数学人教版九年级下册初中数学公式定理大全

初中数学公式定理大全 1、直线 ①过两点确定一条直线②两点之间线段最短 2、平行线性质 ①同位角相等②内错角相等③同旁内角互补 3、平行线判定 ①同位角相等②内错角相等③同旁内角互补 4、三角形边关系 ①两边之和大于第三边②两边之差小于第三边 5、三角形角关系 ①三个内角和等于180°②一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ③一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ④n边形内角和公式=（n-2）×180°；n边形外角和等于360° 6、全等三角形性质: 对应边、对应角相等 7、全等三角形判定 ①边边边（SSS）三边对应相等 ②边角边（SAS）两边和它们的夹角对应相等 ③角边角（ASA）两角和它们的夹边对应相等 ④角角边（AAS）两角和其中一角的对边对应相等 ⑤斜边、直角边（HL）斜边和一条直角边对应相等 8、角平分线的性质 ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 9、垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 10、等腰三角形性质 ①两条边（腰）相等 ②两个底角相等 ③顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一） 11、等腰三角形判定 ①有两条边相等的三角形②有两个角相等的三角形

12、等边三角形性质 ①三条边都相等②三个内角都等于60° ③每个内角的平分线、对边上的中线和对边上的高都互相重合（三线合一） 13、等边三角形判定 ①三条边都相等的三角形②三个角都相等即有两个角等于60°的三角形 ③有一内个角等于60°的等腰三角形 14、直角三角形性质 ①两个锐角互余 ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理） ③30°直角三角形，短边、长边、斜边比例分别为1 ④45°直角三角形，直角边、斜边比例分别为1:1 ⑤斜边上的中线等于斜边长的一半⑥斜边上的高=直×直÷斜 15、直角三角形判定 ①有一个角为直角②有两个角互余 ③三边长a、b、c满足222 a b c +=(满组（勾股定理逆定理） 16、平行四边形性质 ①对角相等②对边平行且相等③对角线互相平分 17、平行四边形判定 ①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形④对角线互相平分的四边形 ⑤对角分别相等的四边形 18、矩形性质（除平行四边形已有的外） ①四个角是直角②对角线相等 19、矩形判定 ①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形 ②对角线相等的平行四边形 20、菱形性质（除平行四边形已有的外） ①四条边都相等 ②对角线互相垂直③每一条对角线平分一组对角 21、菱形判定

初中数学重要公式定律

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

数学人教版九年级上册《切线长定理》

《切线长定理》教案浠水县望城实验中学万春光教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点切线长定理及其运用. 教学难点切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知活动一：切线长定义

如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.）活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三：观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察：在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理

初中数学基本性质和定理

初中数学基本性质和定理一、直线、射线和线段 1.过两点有且只有一条直线. 2.两点之间线段最短. 二、垂线 1.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直. 2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 三、平行线 1.平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （２）两直线平行，内错角相等. （３）两直线平行，同旁内角互补. 2.平行线的判定（１）同位角相等，两直线平行. （２）内错角相等，两直线平行. （３）同旁内角互补，两直线平行. 3.平行公理（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行. 四、角 1.对顶角相等.

2.同角的补角相等. 3.同角的余角相等. 五、三角形 1.定理1：三角形两边的和大于第三边. 推论：三角形两边的差小于第三边. 定理2：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互余. 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 2.全等三角形（1）性质：全等三角形的对应边、对应角相等. （2）判定： ①边角边定理（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ②角边角定理（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ③推论（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. ④边边边定理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等. ⑤斜边、直角边定理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

新人教版九年级上册数学[切线长定理—知识点整理及重点题型梳理](提高)

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习切线长定理—知识讲解（提高）【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】类型一、切线长定理 1.如图，等腰三角形ABC中，6 AC BC ==，8 AB=．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G，DF AC ⊥，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线. 【答案与解析】如图，连结OD、CD，则90 BDC ∠=?． ∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点，

湘教版九年级数学下册教学工作计划

湘教版九年级数学下册教学工作计划一、课程目标（一）、本学段课程目标知识技能 1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。 2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。数学思考 1．通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。 2．了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点。3．体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。 4．能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。问题解决 1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。情感态度 1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。（二）、本学期课程目标教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。二、学情分析本学期我担任九年级班的数学教学工作。共有学生39人，上学期期末考试成绩不理想，落后面比较大,学习风气还欠浓厚。正如人们所说的“现在的学生是低分低能”,我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。使用的教材是新课程标准实验教材《湘

初中数学公理和定理大全

阳光家教网 https://www.wendangku.net/doc/099421564.html,中国最大找家教、做家教平台初中数学知识内容概况公理和定理一、线与角 1．两点之间，线段最短。 2．经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3. 等角的补角相等，等角的余角相等。 4．对顶角相等 5. 经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6. （1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 7．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8. 平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. 9. 平行线的特征：（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。 10. 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 11. 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．二、三角形、多边形 12. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°. （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. （3）三角形的任何两边的和大于第三边（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 13．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°. （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°. 14.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被

浙教版数学九年级下册《切线长定理》习题.docx

《切线长定理》习题 1．一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于（) A．21 B．20 C．19 D．18 2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角（不包括∠PAB本身)有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的（) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 4．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120° B．125° C．135° D．150° 5．一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN=60 ，则OP =（) A．50cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 6．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）．

B A C P O A．60° B．75° C．105° D．120° 7．如图，在△ABC中，5cm AB AC = =，cosB 3 5 =．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO =__________cm． 8．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，点E是⊙O上一点，且 60 = ∠AEB，则= ∠P_____度．9．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长． 10．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BC、CD为⊙O的切线，切点分别是A、B、E，则有一下结论：（1）CO ⊥DO；（2）四边形OFEG是矩形．试说明理由． G F E C B 初中数学试卷

湘教版数学九年级下册期末测试.docx

初中数学试卷鼎尚图文**整理制作期末测试 (时间：90分钟满分：120分) 题号一二三总分合分人复分人得分一、选择题(每小题3分，共24分) 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝3x 2＋x －1 D ．y ＝2x 2＋1 x 2．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1； ④长分别为3，5，9厘米的三条线段不能围成一个三角形．其中确定事件的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．(岳阳中考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．棱柱 4．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且点A 是BAC ︵上与点B ，点C 不同的一点，若△BOC 是直角三角形，则△BAC 必是( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．有一个角是30°的三角形 D ．有一个角是45°的三角形 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为( ) A ．x 1＝－3，x 2＝0 B ．x 1＝3，x 2＝－1 C ．x ＝－3 D ．x 1＝－3，x 2＝1 6．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( ) A ．3个 B ．不足3个 C ．4个 D ．5个或5个以上

7．如图，菱形ABCD 的对角线BD ，AC 分别为2，23，以B 点为圆心的弧与AD ，DC 相切，则阴影部分的面积是( ) A ．23－ 33π B ．43－3 3 π C ．43－π D ．23－π 8．如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象，则下列结论：①abc ＞0；②b ＋2a ＝0；③抛物线与x 轴的另一个交点为(4，0)；④a ＋c ＞b ；⑤3a ＋c ＜0.其中正确的结论有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个二、填空题(每小题3分，共24分) 9．抛物线y ＝－1 2 (x ＋3)2＋2的顶点坐标为____________． 10．身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，我们可以判定小明离灯较____________． 11．已知扇形的半径为4 cm ，圆心角为120°，则此扇形的弧长是____________cm. 12．已知a ，b 可以取－2，－1，1，2中的任意一个值(a ≠b)，则直线y ＝ax ＋b 的图象不经过第四象限的概率是____________． 13．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∠ACB ＝40°，点P 在边BC 上，则∠PAB 的度数可能为____________．(写出一个符合条件的度数即可) 14．如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12 x 2的图象，则阴影部分的面积是____________． 15．如图是一个上下底密封且为正六棱柱的纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为____________cm 2.(结果可保留根号) 16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则tan ∠CBE ＝____________.

湖南省邵阳市新邵县九年级数学上学期 公理与定理学案(无答案)湘教版