压轴题专项训练四

压轴题专项训练（四）

1.（11山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x 的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

2、如图11，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．

（1）求⊙O 的直径；

（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；

（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的

速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

图10（3） A B C O E F A B C

O D

图10（1）

A B O E F C 图10（2）

答案及解析：

1、. 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．

∴ △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM AN AB AC

=，即43x AN =． ∴ AN ＝4

3x ． ∴ S =2133248

MNP AMN S S x x x ??==??=．（0＜x ＜4） （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =

21MN ． 在Rt △ABC 中，BC ＝22AB AC +=5．

由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．

∴ AM MN AB BC

=，即45x MN =． ∴ 54MN x =，∴ 58

OD x =． 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==

． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，

∴ △BMQ ∽△BCA ．

∴ BM QM BC AC

=．∴ 55258324x BM x ?==，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝49

96时，⊙O 与直线BC 相切．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜x ≤2时，2Δ8

3x S y PMN ==． ∴ 当x ＝2时，2332.82

y =?=最大 ……………………………………8分

② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．

∵ 四边形AMPN 是矩形，

∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．

又∵ MN ∥BC ，

∴ 四边形MBFN 是平行四边形．

∴ FN ＝BM ＝4－x ．

∴ ()424PF x x x =--=-．

又△PEF ∽ △ACB ．

∴ 2PEF ABC

S PF AB S ????= ???． ∴ ()2322PEF S x ?=-． MNP PEF y S S ??=-＝()222339266828

x x x x --=-+-． 当2＜x ＜4时，29668

y x x =-+-298283x ??=--+ ???． ∴ 当83

x =

时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．

2、解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知）

∴∠ACB ＝90o（直径所对的圆周角是直角）

∵∠ABC ＝60o（已知）

∴∠BAC ＝180o－∠ACB －∠ABC ＝ 30o（三角形的内角和等于180o）

∴AB ＝2BC ＝4cm （直角三角形中，30o锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为4cm ．

（2）如图10（1）CD 切⊙O 于点C ，连结OC ，则OC ＝OB ＝1/2·AB ＝2cm ． ∴CD ⊥CO （圆的切线垂直于经过切点的半径）

∴∠OCD ＝90o（垂直的定义） ∵∠BAC ＝ 30o（已求）

∴∠COD ＝2∠BAC ＝ 60o ∴∠D ＝180o－∠COD －∠OCD ＝ 30o∴OD ＝2OC ＝4cm ∴BD ＝OD －OB ＝4－2＝2（cm ）

∴当BD 长为2cm ，CD 与⊙O 相切．

（3）根据题意得：

BE ＝（4－2t ）cm ，BF ＝tcm ；

如图10（2）当EF ⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BAC

∴BE ：BA ＝BF ：BC 即：（4－2t ）：4＝t ：2解得：t ＝1

如图10（3）当EF ⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF ∽△BCA

∴BE ：BC ＝BF ：BA 即：（4－2t ）：2＝t ：4解得：t ＝1.6

∴当t ＝1s 或t ＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形．