《金融工程学》习题及参考答案

《金融工程学》习题及参考答案

无套利定价和风险中性定价

练习

1、假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是1美元换1.8马克,美元利率是8%,马克利

率是4%,试问一年后远期无套利的均衡利率是多少?

2、银行希望在6个月后对客户提供一笔6个月的远期贷款。银行发现金融市场上即期利

率水平是:6个月利率为9.5%,12个月利率为9.875%,按照无套利定价思想,银行为这笔远期贷款索要的利率是多少?

3、假如英镑与美元的即期汇率是1英镑=1.6650美元,远期汇率是1英镑=1.6600美元,6

个月期美远与英镑的无风险年利率分别是6%和8%,问是否存在无风险套利机会?如存在,如何套利?

4、一只股票现在价格是40元,该股票一个月后价格将是42元或者38元。假如无风险利

率是8%,用无风险套利原则说明,执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少?

5、条件同题4,试用风险中性定价法计算题4中看涨期权的价值,并比较两种计算结果。

6、一只股票现在的价格是50元,预计6个月后涨到55元或是下降到45元。运用无套利

定价原理,求执行价格为50元的欧式看跌期权的价值。

7、一只股票现在价格是100元。有连续两个时间步,每个步长6个月,每个单步二叉树

预期上涨10%,或下跌10%,无风险利率8%(连续复利),运用无套利原则求执行价格为100元的看涨期权的价值。

8、假设市场上股票价格S=20元,执行价格X=18元,r=10%,T=1年。如果市场报价欧式

看涨期权的价格是3元,试问存在无风险的套利机会吗?如果有,如何套利?

9、股票当前的价格是100元,以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别

是3元和7元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权,再购入到期日价值为100 的无风险债券,则我们就复制了该股票的价值特征(可以叫做合成股票)。试问无风险债券的投资成本是多少?如果偏离了这个价格,市场会发生怎样的套利行为?

参考答案

1、按照式子:(1+8%)美元=1.8×(1+4%)马克,得到1美元=1.7333马克。

2、设远期利率为i,根据(1+9.5%)×(1+i)=1+9.875%, i=9.785%.

3、存在套利机会,其步骤为:

(1) 以6%的利率借入1655万美元,期限6个月;

(2) 按市场汇率将1655万美元换成1000万英镑;

(3) 将1000万英镑以8%的利率贷出,期限6个月;

(4) 按1.6600美元/英镑的远期汇率卖出1037.5万英镑;

(5) 6个月后收到英镑贷款本息1040.8万英镑(1000e0.08×0.5),剩余3.3万英镑;

(6) 用1037.5万元英镑换回1722.3万美元(1037.5×1.66);

(7) 用1715.7美元(1665 e0.06×0.5)归还贷款本息,剩余6.6万美元;

(8) 套利盈余=6.6万美元+3.3万英镑。

4、考虑这样的证券组合:购买一个看涨期权并卖出Δ股股票。如果股票价格上涨到42元,

组合价值是42Δ-3;如果股票价格下降到38元,组合价值是38Δ。若两者相等,则42Δ-3=38Δ,Δ=075。可以算出一个月后无论股票价格是多少,组合 的价值都是28.5,今天的价值一定是28.5的现值,即28.31=28.5 e-0.08×0.08333。即-f+40Δ=28.31,f是看涨期权价格。f=1.69。

5、按照风险中性的原则,我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率p,它满

足等式:42p+38(1-p)=40 e0.08×0.08333,p=0.5669,期权 的价值是:(3×0.5669+0×0.4331)e-0.08×0.08333=1.69,同题4按照无套利定价原则计算的结果相同。

6、考虑这样的组合:卖出一个看跌期权并购买Δ股股票。如果股票价格是55元,组合的价值是55Δ;如果股票的价格是45元,组合的价值是45Δ-5。若两者相等,则45Δ-5=55Δ。Δ=-05。一个月后无论股票价格如何变化,组合的价值都是-27.5,今天的价值则一定是-27.5的现值,即-27.5 e-0.1×0.5=-26.16。这意味着-p+50Δ=-26.16,p=1.16。p是看跌期权的价值。

7、按照本章的符号,u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=( e0.08×0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里p是风险中性概率。期权的价值是:

(0.70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。

8、本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数,会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票,现金流是20-3=17。17以10%投资一年,成为17 e0.1==18.79。到期后如果股票价格高于18,套利者以18元的价格执行期权,并将股票的空头平仓,则可获利18.79-18=0.79元。若股票价格低于18元(比如17元),套利者可以购买股票并将股票空头平仓,盈利是18.79-17=1.79元。

9、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元,否则,市场就会出现以下套利活动。

第一,若投资成本低于96元(比如是93元),则合成股票的成本只有97元(7-3+93),相对于股票投资少了3元。套利者以97元买入合成股票,以100元卖空标的股票,获得无风险收益3元。

第二,若投资成本高于96元(比如是98元),则合成股票的成本是102元,高于股票投资成本2元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票,可以带来2元的无风险利润。

无套利分析:远期和期货

练习

1.某交易商拥有1亿日元远期空头,远期汇率为0.008美元/日元。如果合约到期

时汇率分别为0.0074美元/日元和0.0090美元/日元,那么该交易商的盈亏如

何?

2.目前黄金价格为500美元/盎司,1年远期价格为700美元/盎司。市场借贷年利

率为10%,假设黄金的储藏成本为0,请问有无套利机会?

3.一交易商买入两份橙汁期货,每份含15000磅,目前的期货价格为每磅1.60元,

初始保证金为每份6000元,维持保证金为每份4500元。请问在什么情况下该交

易商将收到追缴保证金通知?在什么情况下,他可以从保证金账户中提走2000

元?

4.一个航空公司的高级主管说:“我们没有理由使用石油期货,因为将来油价上升

和下降的机会是均等的。”请对此说法加以评论。

5.每季度计一次复利的年利率为14%,请计算与之等价的每年计一次复利的年利率

和连续复利年利率。

6.每月计一次复利的年利率为15%,请计算与之等价的连续复利年利率。

7.某笔存款的连续复利年利率为12%,但实际上利息是每季度支付一次。请问1万

元存款每季度能得到多少利息?

8.假设连续复利的零息票利率如下:

期限(年) 年利率(%)

1 12.0

2 13.0

3 13.7

4 14.2

5 14.5

请计算第2、3、4、5年的连续复利远期利率。

9.假设连续复利的零息票利率分别为:

期限(月) 年利率

3 8.0

6 8.2

9 8.4

12 8.5

15 8.6

18 8.7

请计算第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率。

10.假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元,无风险连续复利年利率为10%,求该股票3个月期远期价格。

11.假设恒生指数目前为10000点,香港无风险连续复利年利率为10%,恒生指数股息收益率为每年3%,求该指数4个月期的期货价格。

12.某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息,该股票目前市价等于

30,所有期限的无风险连续复利年利率均为6%,某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头,请问:c该远期价格等于多少?若交割价格等于远期价格,则远期合约的初始值等于多少?d3个月后,该股票价格涨到35元,无风险利率仍为6%,此时远期价格和该合约空头价值等于多少?

13.假设目前白银价格为每盎司80元,储存成本为每盎司每年2元,每3个月初预付一次,所有期限的无风险连续复利率均为5%,求9个月后交割的白银期货的价格。

14. 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期,这样它就希望与银行签订一种在一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己放在银行经理的位置上,你会如何对客户想要的这个产品进行定价?

15.有些学者认为,远期汇率是对未来汇率的无偏预测。请问在什么情况下这种观点是正确的?

16.一家银行为其客户提供了两种贷款选择,一是按年利率11%(一年计一次复利)贷出现金,一是按年利率2%(一年计一次复利)货出黄金。黄金贷款用黄金计算,并需用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为9.25%。储存成本为每年0.5%(连续复利)。请问哪种贷款利率较低?

17.瑞士和美国两个月连续复利率分别为2%和7%,瑞士法郎的现货汇率为0.6500美元,2个月期的瑞士法郎期货价格为0.6600美元,请问有无套利机会?

18.一个存款账户按连续复利年利率计算为12%,但实际上是每个季度支付利息的,请问10万元存款每个季度能得到多少利息?

19.股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数?请解释原因。

参考答案

1.若合约到期时汇率为0.0075美元/日元,则他赢利1亿×(0.008-0.0075)=5万美元。

若合约到期时汇率为0.0090美元/日元,则他赢利1亿×(0.008-0.009)=-10万美元。

2.套利者可以借钱买入100盎司黄金,并卖空1年期的100盎司黄金期货,并等到1年后交割,再将得到的钱用于还本付息,这样就可获得无风险利润。

3.如果每份合约损失超过1500元他就会收到追缴保证金通知。此时期货价格低于1.50元/磅。当每份合约的价值上升超过1000元,即期货价格超过1.667元/

磅时,他就可以从其保证金账户提取2000元了。

4.他的说法是不对的。因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一,通过购买石油期货,航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险。

5.每年计一次复利的年利率=

(1+0.14/4)4-1=14.75%

连续复利年利率=

4ln(1+0.14/4)=13.76%。

6.连续复利年利率=

12ln(1+0.15/12)=14.91%。

7.与12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率=

4(e0.03-1)=12.18%。

因此每个季度可得的利息=10000×12.8%/4=304.55元。

8.第2、3、4、5年的连续复利远期利率分别为:

第2年:14.0%

第3年:15.1%

第4年:15.7%

第5年:15.7%

9.第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率分别为:

第2季度:8.4%

第3季度:8.8%

第4季度:8.8%

第5季度:9.0%

第6季度:9.2%

10.期货价格=20e0.1×0.25=20.51元。

11.指数期货价格=10000e(0.1-0.05)×4/12=10125.78点。

12.(1)2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.06×2/12+e-0.06×5/12=1.96元。

远期价格=(30-1.96)e0.06×0.5=28.89元。

若交割价格等于远期价格,则远期合约的初始价格为0。

(2)3个月后的2个月派发的1元股息的现值= e-0.06×2/12=0.99元。

远期价格=(35-0.99)e0.06×3/12=34.52元。

此时空头远期合约价值=(28.89-34.52)e-0.06×3/12=-5.55元。

13. 9个月储藏成本的现值=0.5+0.5e-0.05×3/12+0.5e-0.05×6/12=1.48元。

白银远期价格=(80+1.48)e0.05×9/12=84.59元。

14.银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证

明,如果外币利率高于本币利率,则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割

日期,而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期。相反,如果外币利

率低于本币利率,则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期,而拥有远

期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只要在合约有效期中,外币利率和

本币利率的高低次序不变,上述分析就没问题,银行可按这个原则定价。

但是当外币利率和本币利率较为接近时,两者的高低次序就有可能发生变化。

因此,客户选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。

如果合约签订后,客户不会选择最有利的交割日期,则银行可以另赚一笔。

15.只有当外币的系统性风险等于0时,上述说法才能成立。

16.将上述贷款利率转换成连续复利年利率,则正常贷款为10.44%,黄金贷款为1.98

%。

假设银行按S元/盎司买了1盎司黄金,按1.98%的黄金利率贷给客户1年,同时卖出e0.0198盎司1年远期黄金,根据黄金的储存成本和市场的无风险利率,我

们可以算出黄金的1年远期价格为Se0.0975元/盎司。也就是说银行1年后可以收到

Se0.0198+0.0975=Se0.1173元现金。可见黄金贷款的连续复利收益率为11.73%。显然黄金

贷款利率高于正常贷款。

17.瑞士法郎期货的理论价格为:

0.65e0.1667×(0.07-0.02)=0.06554

可见,实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元,买瑞士法郎,再卖瑞士法郎期货

来套利。

18. 与12%连续复利年利率等价的3个月计一次复利的年利率为:

4×(e0.03-1)=12.18%

因此,每个月应得的利息为:

10万×0.1218/4=3045.5元。

19.由于股价指数的系统性风险为正,因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指

数值。

无套利分析:互 换

习题

1.A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款,需支

付的年利率分别为:

固定利率浮动利率

A公司 12.0% LIBOR+0.1%

B公司 13.4% LIBOR+0.6%

A公司需要的是浮动利率贷款,B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换,

其中银行作为中介获得的报酬是0.1%的利差,而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

2.X公司希望以固定利率借入美元,而Y公司希望以固定利率借入日元,而且本金

用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下:

日元美元

X公司 5.0% 9.6%

Y公司 6.5% 10.0%

请设计一个货币互换,银行作为中介获得的报酬是50个基点,而且要求互换对双方具

有同样的吸引力,汇率风险由银行承担。

3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6个月的

LIBOR利率交换12%的年利率(每半年计一次复利)。市场上对交换6个月的LIBOR利率

的所有期限的利率的平均报价为10%(连续复利)。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6

%。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少?对支付固定利率的那一方价值为

多少?

4. 一份货币还有15月的期限。这笔互换规定每年交换利率为14%、本金为2000万英

镑和利率为10%、本金为3000万美元两笔借款的现金流。英国和美国现在的利率期限结

构都是平的。如果这笔互换是今天签订的,那将是用8%的美元利率交换11%的英镑利率。

上述利率是连续复利。即期汇率为1英镑=1.6500美元。请问上述互换对支付英镑的那一

方价值为多少?对支付美元的那一方价值为多少?

5. 解释互换的市场风险和信用风险的区别。

6. X公司和Y公司的各自在市场上的10年期500万美元的投资可以获得的收益率为:

固定利率浮动利率

X公司 8.0% LIBOR

Y公司 8.8% LIBOR

X公司希望以固定利率进行投资,而Y公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利

率互换,其中银行作为中介获得的报酬是0.2%的利差,而且要求互换对双方具有同样的吸

引力。

7. A公司和B公司如果要在金融市场上借款需支付的利率分别为:

A公司B公司

美元浮动利率 LIBOR +0.5% LIBOR+1.0% 加元固定利率 5.0% 6.5%

假设A 公司需要的是美元浮动利率贷款,B 公司需要的是加元固定利率贷款。一家银行想设计一个互换,并从希望中获得的0.5%的利差如果互换对双方具有同样的吸引力,A 公司和B 公司的利率支付是怎么安排的?

8.为什么说货币互换可以分解为一系列远期外汇协议?

习题答案

1. A 公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势,但A 公司想借的是浮动利率贷款。而B 公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势,但A 公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%,在浮动利率贷款上的年利差是0.5。如果双方合作,互换交易每年的总收益将是1.4%-0.5%=0.9%。因为银行要获得0.1%的报酬,所以A 公司和B 公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A 公司和B 公司将分别以LIBOR -0.3%和13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。

12.3% 12.4%

12% A 金融中介 B LIBOR+0.6%

LIBOR LIBOR

2. X 公司在日元市场上有比较优势但想借入美元,Y 公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款上的利差为1.5%,在美元贷款上的利差为0.4%,因此双方在互换合作中的年总收益为1.5%-0.4%=1.1%。因为银行要求收取0.5%的中介费,这样X 公司和Y 公司将分别获得0.3%的合作收益。互换后X 公司实际上以9.6%-0.3%=9.3%的利率借入美元,而Y 实际上以6.5%-0.3%=6.2%借入日元。合适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担。

日元5% 日元6.2%

日元5% A 金融中介 B 美元10%

美元9.3% 美元10%

3. 根据题目提供的条件可知,LIBOR 的收益率曲线的期限结构是平的,都是10%(半年计一次复利)。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为

0.33330.10.83330.16106103.33e e ?×?×+=百万美元

互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为

()0.33330.1100 4.8101.36e ?×+=百万美元

因此,互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33101.36 1.97?=百万美元,对支付固定利率的一方的价值为-1.97百万美元。

4.我们可以用远期合约的组合来给互换定价。英镑和美元的连续复利年利率分别为10.43%和7.70%。3个月和15个月的远期汇率分别别0.250.02731.65 1.6388e ?×=和

1.250.0273

e?×=。对支付英镑的一方,远期合约的价值为

1.65 1.5946

()0.0770.25

?×=?百万美元

3 2.8 1.6388 1.56

e?×

()0.0771.25

?×=?百万美元

e?×

3 2.8 1.5946 1.33

本金交换对应的远期合约的价值为

()0.0771.25

?×=?百万美元

e?×

3020 1.5946 4.61

???=百万美元。

所以互换合约的价值为 1.56 1.33 1.72 4.61

5.信用风险源于交易对方违约的可能性,而市场风险源于利率、汇率等市场变量的波动。

6.X公司在固定利率投资上的年利差为0.8%,在浮动利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8%。其中有0.2%要支付给银行,剩下的X和Y每人各得0.3%。换句话说,X公司可以获得8.3%的回报,Y公司可以获得LIBOR+0.3%的回报。互换流程如图所示。

8.3% 8.5%

LIBOR X 金融中介Y 8.8%

LIBOR LIBOR

7. A公司在加元固定利率市场上有比较优势,而B公司在美元浮动利率市场上有比较优势,但两个公司需要的借款都不是自己有比较优势的那一种,因此存在互换的机会。

两个公司在美元浮动利率借款上的利差是0.5%,在加元固定利率借款上的利差是1.5%,两者的差额是1%,因此合作者潜在的收益是1%或100个基点,如果金融中介要了50个基点,A、B公司分别可得25个基点。因此可以设计一个互换,付给A公司LIBOR+0.25%的美元浮动利率,付给B公司6.25%的加元固定利率。

加元5% 加元6.25%

加元5% A 金融中介 B 美元LIBOR+1% 美元LIBOR+0.25% 美元LIBOR+1%

本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反,在互换终止时与箭头指示相同。金融中介在此期间承担了外汇风险,但可以用外汇远期合约抵补。

8.货币互换的每一项支付都可以看作一份远期合约,因此货币互换等价与于远期合约的组合。

连续时间模型:期权

习题

1.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动,其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元,求:c 第二天收盘时的预期价格,d 第二天收盘时股价的标准差,e 在量信度为95%情况下,该股票第二天收盘时的价格范围。

2.变量X 1和X 2遵循普通布朗运动,漂移率分别为μ1和μ2,方差率分别为σ12和σ22。请

问在下列两种情况下,X 1+X 2分别遵循什么样的过程?

(1)在任何短时间间隔中X 1和X 2的变动都不相关;

(2)在任何短时间间隔中X 1和X 2变动的相关系数为ρ。

3.假设某种不支付红利股票的市价为50元,风险利率为10%,该股票的年波动率为30%,求该股票协议价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。

4.请证明布莱克-舒尔斯看涨期权和看跌期权定价公式符合看涨期权和看跌期权平价公式。

5.某股票市价为70元,年波动率为32%,该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息,市场无风险利率为10%。现考虑该股票的美式看涨期权,其协议价格为65元,有效期8个月。请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的,并请计算该期权价格。

6.某股票目前价格为40元,假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。连续复利无风险年利率为8%。请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少?

参考答案

1、 由于),(~t t S

S ΔΔΔσμφ 在本题中,S=50,μ=0.16,σ=0.30,Δt=1/365=0.00274.因此,

ΔS/50~φ(0.16×0.00274,0.3×0.002740.5)

=φ(0.0004,0.0157)

ΔS ~φ(0.022,0.785)

因此,第二天预期股价为50.022元,标准差为0.785元,在95%的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96×0.785至50.022+1.96×0.785,即48.48元至51.56元之间。

2、 (1)假设X 1和X 2的初始值分别为a 1和a 2。经过一段时间T 后,X 1的概率分布为:

11,a T φμσ+(

《金融工程学》习题及参考答案

X 2的概率分布为:

22,a T φμσ+(

《金融工程学》习题及参考答案

根据独立的正态分布变量之和的性质,可求X 1和X 2的概率分布为:

11221212()a T a T a a T φμμφμμ+++=+++((

《金融工程学》习题及参考答案

《金融工程学》习题及参考答案

这表明,X 1和X 2遵循漂移率为12μμ+,方差率为2212σσ+的普通布朗运动。

(2)在这种情况下,X 1和X 2在短时间间隔Δt

之内的变化的概率分布为:

《金融工程学》习题及参考答案

12[()t φμμ+Δ 如果1212μμσσρ、、、和都是常数,则X 1和X 2在较长时间间

隔T

之内的变化的概率分布为:

12[()T φμμ+

《金融工程学》习题及参考答案

这表明,X 1和X 2遵循漂移率为12μμ+,方差率为22

12σσ++ 122ρσσ的普

通布朗运动。

3、 在本题中,S=50,X=50,r=0.1,σ=0.3,T=0.25,

《金融工程学》习题及参考答案

因此, 1210.24170.30.0917

d d d ===?=

《金融工程学》习题及参考答案

这样,欧式看跌期权价格为,

0.10.250.10.2550(0.0917)50(0.2417)

500.4634500.4045 2.37

p N e N e ?×?×=???=×?×= 4、 根据布莱克-舒尔斯看跌期权定价公式有:

21()()rT p S Xe N d SN d S ?+=???+

由于N(-d 1)=1-N(d 1),上式变为:

21()()rT p S Xe N d SN d ?+=?+

同样,根据布莱克-舒尔斯看涨期权定价公式有:

12221()())1(),()()rT rT rT rT rT c Xe

SN d Xe N d Xe N N d c Xe

Xe N d SN d ?????+=?+=??+=??2由于(d 上式变为: 可见,rT p S c Xe ?+=+,看涨期权和看跌期权平价公式成立。

5、 D 1=D 2=1,t 1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65

221()0.10.1667()0.10.25[1]65(1) 1.07

[1]65(1) 1.60r T t r t t X e e X e

e ???×???×?=?=?=?=

可见, 221()2()1[1]

[1]r T t r t t D X e D X e ????

显然,该美式期权是不应提早执行的。

红利的现值为:

0.250.10.500.1 1.9265e e ?×?×+=

该期权可以用欧式期权定价公式定价:

S=70-1.9265=68.0735,X=65,T=0.6667,r=0.1,σ=0.32

《金融工程学》习题及参考答案

21210.320.3013

《金融工程学》习题及参考答案

d d d ==?= N(d 1)=0.7131,N(d 2)=0.6184

因此,看涨期权价格为:

0.10.666768.07350.7131650.618410.94e ?××?××=

6、 构造一个组合,由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。如果股票价格升到42元,该

组合价值就是42Δ-3。如果股票价格跌到38Δ元,该组合价值就等于38Δ。令:

42Δ-3=38Δ

得:Δ=0.75元。也就是说,如果该组合中股票得股数等于0.75,则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元,该组合的价值到时都等于28.5元。因此,该组合的现值应该等于:

28.5e

-0.08×0.08333=28.31元。

这意味着:

-c+40Δ=28.31

c=40×0.75-28.31=1.69元。

离散时间模型

习题

1. 如何理解二叉树数值定价方法?

2. 一个无红利股票的美式看跌期权,有效期为3个月,目前股票价格和执行价格均为50美元,无风险利率为每年10%,波动率为每年30%,请按时间间隔为一个月来构造二叉树模型,为期权定价。

3. 一个两个月期基于某股票指数的美式看涨期权,执行价格为500,目前指数为495,无风险利率为年率10%,指数红利率为每年4%,波动率为每年25%。构造一个四步(每步为半个月)的二叉树图,为期权定价。

4. 假设无红利股票价格运动服从对数正态分布,股票当前价格为100美元,执行价格为105美元,波动率为20%,无风险利率为5%,一年后到期。时间步长选择为0.01,运用matlab 软件计算出股票价格的一条模拟路径。

参考答案

1. 二叉树图模型的基本出发点在于:假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成,用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时运用风险中性定价原理获得每个结点的期权价值,从而为期权定价。其中,模型中的隐含概率p 是风险中性世界中的概率。当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候,该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型,即布莱克-舒尔斯定价偏微分方程。

2. △t

u d p 1-p 看跌期权?A f 0.0833 1.0905 0.9170 0.5266 0.4734 2.71

运用二叉树方法得到欧式看跌期权?E

f 为2.62美元。 3. △t

u d p 1-p 期权价格 0.0417 1.0524 0.9502 0.5118 0.4882 19.66

5. 蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格的随机运动,预测期权的平均回报,并由此得到期权价格的一个概率解。蒙特卡罗模拟的主要优点包括:易于应用;适用广泛,尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算,如路径依赖期权,多个标的变量的期权等。同时,在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。蒙特卡罗模拟的缺点主要是:只能为欧式期权定价,难以处理提前执行的情形;为了达到一定的精确度,一般需要大量的模拟运算。

《金融工程学》习题及参考答案

6. 使用的公式为()()2exp 2S t t S t r q t σ???+Δ=??Δ+??????,注意从matlab 软件中可以得到取标准正态分布随机数的函数。

扩展性练习(散见于各章)

习题

1、 美国某公司拥有一个β系数为1.

2、价值为1000万美元的投资组合,当时标准

普尔500指数为270,请问该公司应如何应用标准普尔500指数期货为投资组合套期保值?

2、

美国某公司打算用芝加哥商品交易所的期货合约为其德国马克头寸套期保值。假设美元和德国马克各种期限的利率均相等且不变并分别用r 和r f 表示,该公司保值时间为τ,期货合约到期时间为)(τ>T T ,请证明其最优保值比率为))((τ??T r r f e

3、 假设现在是1月30日,你正管理一个价值600万美元的债券组合,该组合的平均久期为8.2年。9月份长期国债期货价格为108—15,交割最合算债券的久期为7.6年。请问你应如何规避今后7个月利率变动的风险。

4、 某银行发现其资产负债不匹配,其存款为浮动利率,贷款为固定利率,请问应

如何应用互换来抵消这种风险?

5、 假设你管理一个价值6000万美元的投资组合,其β系数等于2.0,市场无风险利率为5%,标准普尔500指数为300,该指数和该组合每年的股息收益率都

是3%,请问为了防止该组合价值低于5,400万美元,应购买什么期权对它套

期保值?

6、 某种不支付股息股票价格的年波动率为25%,市场无风险利率为10%,请计算该股票6个月期处于平价状态的欧式看涨期权的Delta 值。

7、 某金融机构刚出售一些七个月期的日元欧式看涨期权,假设现在日元的汇率为1日元=0.80美分,期权的协议价格为0.81美分,美国和日本的无风险利率分别为8%和5%,日元的年波动率为15%,请计算该期权的Delta 、Gamma 、Vega 、Theta 、Rho 值,并解释其含义。

8、

某金融机构拥有如下柜台交易的英镑期权组合: 种类 头寸 期权的Delta 期权的Gamma 期权的Vega

看涨 ―1000 0.50 2.2

1.8

看涨 ―500 0.80 0.6 0.2

看跌 ―2000 ―0.40 1.3 0.7

看涨 ―500 0.70 1.8 1.4

现有一种可交易期权,其Delta 值为0.6,Gamma 值为1.5,Vega 值为0.8,请问:c 为使该组合处于Gamma 和Delta 中性状态,需要多少该可交易期权和英镑头寸?d 为使该组合处于Vega 和Delta 中性状态,需要多少该可交易期权和英镑

头寸? 9、

在上例中,假设有第二种可交易期权,其Delta 值为0.1,Gamma 值为0.5,Vega 值为0.6,请问应如何使该组合处于Delta 、Gamma 和Vega 中性状态?

参考答案

1. 该公司应卖空的合约份数为:

1.2×10,000,000/(500×270)=88.9≈89份

2. 在τ时刻,期货价格和现货价格的关系为:

()()f r r T F S e τττ??=

假设保值比率为h, 则通过保值可以卖出的价格为:

()()00()f r r T h F F S hF S hS e

τττττ???+=+? 如果()()f r r T h e

τ??=,则卖出的价格恒等于hF 0, 这时保值组合的方差为0。也就证明了()()f r r T h e τ??=是最优保值比率。

3. 每份期货合约的价值为108.46875×1,000=108,468.75美元。应该卖空的合约

份数为:

6,000,0008.259.760108,468.757.6

×=≈份 4. 该银行可以与其他金融机构签订一份它支付固定利率、接受浮动利率的利率互换

协议。

5. 当该投资组合的价值降到5400万美元时,你的资本损失为10%。考虑到你在1

年中得到了3%的现金红利,你的实际损失为7%。令E (R P )表示投资组合的预期收益率,E(R I )表示指数的预期收益率,根据资本资产定价模型有:

E(R P )-r f =β[E(R I )- r f ]

因此当E(R P )=-7%时,E(R I )=[E(R P )-r f ]/ β+ r f =-1%。由于指数1年的红利收益率等于3%,因此指数本身的预期变动率为-4%。因此,当组合的价值降到5400万美元时,指数的预期值为0.96×300=288。因此应购买协议价格等于288、期限1年的欧式看跌期权来保值。所需的欧式看跌期权的数量为:

2×60,000,000/(300×100)=4000份

其中每份期权的规模为100美元乘以指数点。

6. 在本题中,S=X, r=0.1, σ=0.25, T-t=0.5, 因此,

2

《金融工程学》习题及参考答案

10.3712d == N(d 1)=0.64。

该期权的Delta 值为0.64。

7. 在本题中,S=0.80, X=0.81, r=0.08, r f =0.05, T-t=0.5833

《金融工程学》习题及参考答案

2121120.10160.0130

《金融工程学》习题及参考答案

()0.5405,

()0.4998

d d d N d N d ===?=?==

一份看涨期权的Delta 值为: ()0.050.58331()0.54050.5250.f r T t e N d e ???×=×=

由于21/20.005161()0.3969,d N d ??′=

《金融工程学》习题及参考答案

《金融工程学》习题及参考答案

== 因此,一份看涨期权的Gamma 值为:

() 4.206.f

《金融工程学》习题及参考答案

《金融工程学》习题及参考答案

r T t ??== 一份看涨期权的Vega 值为:

()1()0.39690.97130.2355.f r T t d e ??′=×=

《金融工程学》习题及参考答案

《金融工程学》习题及参考答案

一份看涨期权的Theta 值为:

()

《金融工程学》习题及参考答案

()()12()()0.050.80.54050.97130.080.810.95440.49480.0399.

《金融工程学》习题及参考答案

f f r T t r T t r T t f r SN d e rXe N d ??????+?=+×××?×××=? 一份看涨期权的Rho 值为: ()2()()0.810.58330.95440.49480.2231.r T t X T t e N d ???=×××=

8. 该组合的Delta 值为:

-1000×0.50-500×0.80-2000×(-0.40)-500×0.70=-450

该组合的Gamma 值为:

-1000×2.2-500×0.6-2000×1.3-500×1.8=-6000

该组合的Vega 值为:

-1000×1.8-500×0.2-2000×0.7-500×1.4=-4000

(1)买进4000份该可交易期权就可得到Gamma 中性组合,因为4000份该期权多头的Gamma 值为4000×1.5=6000。买进期权后,整个组合的Delta 值变为:

4000×0.6-450=1950。

为了使新组合同时处于Gamma 和Delta 中性,还得卖出1950英镑。

(2)买进5000份该可交易期权就可得到Vega 中性组合,因为5000份该期权多头的Vega 值为5000×0.8=4000。买进期权后,整个组合的Delta 值变为:

5000×0.6-450=2550。

为了使新组合同时处于Gamma 和Delta 中性,还得卖出2550英镑。

9.令w1为第1种可交易期权的头寸,w2为第2种可交易期权的头寸,为了使该组合处于Gamma和Vega中性状态,w1和w2必须同时满足如下条件:

6000=1.5w1+0.5w2

4000=0.8w1+0.6w2

解得:w1=3200, w2=2400。此时整个组合的Delta值为:

-450+3200×0.6+2400×0.1=1710

因此,只要买进3200份第1种期权,2400份第2种期权,同时卖出1710英镑就可以使新组合同时处于Delta、Gamma和Vega中性状态。

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