概率统计复习13-14
认真复习，预祝大家取得好成绩！
一、单项选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。）
1. 设A ，B 为随机事件，且A ?B ，则AB 等于（ ） A. A B B. B C. A D. A
2. 设A ，B 为随机事件，则P （A-B ）=（ ） A. P （A ）-P （B ）
B. P （A ）-P （AB ）
C. P （A ）-P （B ）+ P （AB ）
D. P （A ）+P （B ）- P （AB ）
3.设A 、B 为两个随机事件，则A 、B 至少有一个发生可以表示为（ ）. A.A B ； B ．AB ； C ．B A ?； D ．B A ．
4.设A 、B 为两个随机事件，则A 、B 不同时发生这一事件可以表示为（ ）. A AB ； B ．B A ； C ．B A ?； D ．B A ． 5． 对（ ）随机变量一定有()()P a X b P a X b <<=≤≤.
A. 任意；
B. 连续型；
C. 离散型； D ．个别离散型.
6. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则2X -Y ~ （ ） A. N （0，1） B. N （1，1） C. N （0，5）
D. N （1, 2)
7.设随机变量X 与Y 相互独立，它们的概率密度分别为)(),(Y f x f Y X ， 则（X ，Y ） 的概率密度为 （ ）
A. )]()([21y f x f Y X +
B. )()(y f x f Y X +
C. )()(y f x f Y X ?
D. )]()([21y f x f Y X ?
8. 设随机变量X ~B （n ，p ）， 且E （X ）=2.4， D （X ）=1.44， 则参数n ，p 的值分别为（ ） A. 4和0.6 B. 6和0.4 C. 8和0.3 D.3和0.8
9. 设随机变量X 的方差D （X ）存在，且D （X ）>0，令Y =-X ，则ρXY =（ ） A. -1 B.0 C. 1
D.2
10. 设总体X ~N （2，32
），x 1，x 2，…，x n 为来自总体X 的样本，x 为样本均值，则下列统计 量中服从标准正态分布的是（ ） A. 32-x B. 92
-x C. n x /32-
D. n x /92-
11．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 12．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5
1, P (B )=53
, 则P (A ∪B )= ( )
A ．
253 B ．2517
C ．54
D ．
25
23
13．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784
D ．0.936
14．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 15．设随机变量X 的概率密度为4
)3(2
e
2
π21)(+-=
x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( )
A ．2,
3- B ．-3, 2 C ．2,
3 D ．3, 2
16．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为?
??≤≤≤≤=,,0,
20,20,),(其他y x c y x f 则常数c = ( )
A ．
41 B ．21
C ．2
D ．4
17．随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}m a x ,Z X Y =
分布函数为（ ）。
A ．()2
F
x ； B ．()()F x F y ；C.()2
11F x --????
； D.()()11F x F y --????????。
18．设X ,Y 为随机变量, D (X )=4, D (Y )=16, Cov(X ,Y )=2, 则XY ρ=( ) A ．
321
B ．161
C ．81
D ．41 19．设随机变量X ~2χ(2), Y ~2χ(3), 且X 与Y 相互独立, 则
3
/2
/Y X ~ ( ) A ．2χ (5) B ．t (5) C ．F (2,3) D ．F (3,2)
20 设总体X ～)2,1(2N ，n X X X ,,21为取自总体的样本，则下面正确的是 （ ）． A.
21-X ～)1,0(N ；B. 41-X ～)1,0(N ；C.n
X 21
-～)1,0(N ; D. 21-X ～)1,0(N .
21.已知事件A ，B ，A ∪B 的概率分别为0.5，0.4，0.6，则P (A B )= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.5
22.设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有 A.F (-∞)=0，F (+∞)=0 B.F (-∞)=1，F (+∞)=0 C.F (-∞)=0，F (+∞)=1
D.F (-∞)=1，F (+∞)=1
23.设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2
+y 2
≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为 A.f(x ，y)=1 B. 1(,)0,
x y D f x y ∈?=?
?，
（,）,其他
C.f(x ，y)=1
π D. 1
(,)0,
x y D f x y π?∈?=???，
（,）,其他
24.．设二元随机变量（X ,Y ）的概率密度为f （x ，y ），分布函数为F （x ,y ），则下列结论不正确的
是（ ）。
A ．
1=??+∞∞-∞
-∞
dxdy y x f ∷）
，（； B ．对任意x ，y 有f （x ,y ）≥0； C ．P ｛（X ，Y ）∈D ｝=
??D
dxdy y x f ),(；D ．?+∞
=
),(dy y x f y x f
X
），（。
25.设随机变量X 的密度函数和分布函数分别为()f x 和()F x ，则有( ).
A ．()()P X x f x ==；
B ．
()1f x dx +∞
-∞
=?
；
C ．()()P X x F x ==；
D ．()()P X x f x =≤.
26..设x 1,x 2，…，x n 为来自总体N (μ，σ2
)的样本，μ，σ2
是未知参数，则下列样本函数为统计量的是
A.1
n i i x μ=-∑ B. 2
11
n
i
i x σ=∑ C. 2
11()n i i x n μ=-∑ D. 211n i i x n =∑
27．设随机变量X ,Y 相互独立X ∽B (16,0.25)，Y 服从参数为6的泊松分布，则
D (X －2Y+1)=( ) 。
A ．－9；
B ．15；
C ．16；
D ．27。
28．随机变量X ，Y 相互独立，22+-=Y X U ，则)(U D =（ ）
A ．)()(2Y D X D +
B ．)()(4Y D X D -；1)()(4++Y D X D ；D ．)()(4Y D X D +． 29．设X ~),(p n B ，则)()(X E X D -=（ ）
A ．)1(p np -；
B ．)1(2p np -；
C ．2np ；
D ．2
np -
30．设随机变量X 和Y 的协方差存在，则0),(=Y X Cov 是X 和Y 独立的 （ ）。
A ．充分但不必要条件；
B ．必要但不充分条件；
C ．充要条件；
D ．既不充分又不必要条件。
31．设总体为X ，),,(321X X X 是来自总体X 的样本，则下列4个总体均值)(X E =μ的无偏估计中最有效的估计量是 ( )。
A ．
321412141X X X ++； B ．32151
5254X X X -+； C ．321323132X X X +-； D ．3213
1
3131X X X ++。
32设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (2X －1)= A.0 B.1 C.3 D.4 33．设X ～)(λπ，且)2()1(===X P X P ，则λ= （ ）.
A ．2；
B ．3；
C ．
31； D ．2
1
．
34．设随机变量X 的分布列为
X -2 -1 1 2 P
0.1 0.2 0.3 0.4
其分布函数为()
F x ，则F ??
= ???
12（ ）。 A ．0.1； B ．0.3； C ．0.6； D ．1。
35.已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则)(X D 的值为 （ ）
A ．
41
； B ． 2； C ．4 ； D ．2
1． 36.设X 服从参数为
21
的指数分布，则)
()(X D X E =（ ）. A.0.2； B.0.5； C. 1； D. 2.
37..已知随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则)(XY E = （ ）
A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4．
38.设随机变量X ～),(2
σμN ，则下列变量中服从)1,0(N 分布的是（ ）.
A.
σ
μ
+X ； B.
σ
μ
-X ； C.
2
σμ
+X ； D.
2
σμ
-X .
39.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于零，则：)()()(Y D X D Y X D +=+是X 和Y （ ）.
A.不相关的充分但不必要条件；
B.独立的必要但不充分条件；
C.不相关的充要条件；
D.独立的充要条件.
40. 对于随机变量,X Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ ）．
A. ,X Y 独立；
B. ,X Y 不独立；
C. ()()()D XY D X D Y =；
D. ()()()D X Y D X D Y +=+
41. 已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布， 则X 的分布函数为 （ ） A. F （x ）=???≤>-.
0,00,e x x λx ，λ B. F （x ）=???≤>--.
0,00,e 1x x λx ，
λ C. F （x ）=???≤>--.
0,00,e 1x x λx ，
D. F （x ）=???≤>+-.
0,00,e 1x x λx ，
42. 已知随机变量X~N （2，2
σ）， P ｛X ≤4｝=0.84， 则P ｛X ≤0｝= （ ）
A. 0.16
B. 0.32
C. 0.68
D. 0.84
43．设事件A 、B 相互独立，且)()(B P A P ≠0，则下式中不成立．．．的是（ ）. A ． )()()(B P A P AB P =； B ． )()(B A P A P =；
C ． )()()(B P A P B A P += ；
D ．)()(A B P B P =．
44 设321X ,X ,X 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本，下面给出的四个统计量都是 总体均值μ 的无偏估计量，则它们中最有效的统计量为（ ）．
A. 11X =∧
μ ； B.32126
1
3121X X X ++=
∧
μ； C. ∑=∧=3
1
331i i X μ ； D. 3145352X X +=∧μ.
45．F(x)为任意随机变量X 的分布函数，对任意的a ＜b ，=≤<)(b X a P （ ） A.
dx x F b
a
?
)( B.?a
b
xdx F )( C.)()(b F a F - D.)()(a F b F -。
47．一线路由A 、B 两元件并联组成，A ，B 元件独立工作，A 正常工作的概率为p ，B 正常工
作的概率为q ，则此线路正常工作的概率为 （ ）．
A ．pq ；
B ．q p +；
C ．pq -1；
D ．pq q p -+．
48.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） A 、2[1(2)]-Φ B 、2(2)1Φ-
C 、2(2)-Φ
D 、12(2)-Φ
49、设(),,321X X X 是来自总体N(μ)2σ)的样本，2
σ未知，下列表达式中不是统计量的是( )
A 、
41
(321X X X ++) B 、μ321++X X C 、min(321,,X X X ) D 、231σ+∑=i i X
50. . 已知随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布，则
)(XY E = （ ）
A ．1；
B ．2；
C ．3；
D ．4． 51.. 设二维随机变量(X ，Y )的分布律
则D (3X )=
A.
2
9
B.2
C.4
D.6
52.. 设总体X ～N （μ，2σ），n X X X ?,,21为总体N （μ，2σ）的样本，若μ，2
σ均是未知的，则2
σ的无偏估计是（ ）。 A ．∑=-n
i i
X X
n
1
2
)
(1
； B ．∑=-n
i i X n
1
2)(1
μ；C ．∑=--n
i i
X X n 1
2
)
(1
1
D ．∑=--n
i i
X n 1
2)(1
1
μ。
53.设X~B(16,0.25)， )3(~e Y 则)
()(Y E X D =（ ）
A 、 12
B 、36
C 、27
D 、9
.
54．设B A ?，且)(A P ＞0．则)(A B P =（ ）．
A ．1；
B ．0；
C ．
)
()
(B P A P ； D ． )(A P ． 55.设总体X ～2
(2,5)N ，n X X X ,,21为取自总体的样本，1
1n
i i X X n ==∑，则下面正确的是（ ）．
A.
25
X -～)1,0(N ； B. 2
5X n -～)1,0(N ；
C.
25X -～)1,0(N ； D. 2
25
X -～)1,0(N . 56.掷一颗骰子，观察出现的点数。A 表示“出现3点”，B 表示“出现偶数点”，则 A.A B ? B.A B ? C.A B ?
D.A B ?
57.设随机变量x 分布律为 ，F(x)为X 的分布函数，则F(0)= A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.6
58.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为,11,02,
(,)0,≤≤≤≤其它,c x y f x y -?=??
则常数c=
A.
14 B.1
2
C.2
D.4
59.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则D(9—2X )= A.1 B.4 C.5
D.8
60.设(X ，Y )为二维随机变量，则与Cov(X ，Y )=0不等价．．．的是 A.X 与Y 相互独立 B.()()()D X Y D X D Y -=+ C.E(XY)=E(X)E(Y)
D.()()()D X Y D X D Y +=+
61.设X 为随机变量，E(x)=0.1，D(X )=0.01，则由切比雪夫不等式可得
A.{}0.110.01≥≤P X -
B.{}0.110.99≥≥P X -
C.{}0.110.99≤P X -<
D.{}0.110.01≤P X -<
62.设x 1，x 2，…，x n 为来自某总体的样本，x 为样本均值，则1
()n
i i x x =-∑=
A.(1)n x -
B.0
C.x
D.nx
63.设总体X 的方差为2σ，x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值， 则参数2σ的无偏估计为
A.2
111n i i x n =-∑ B.2
1
1n i i x n =∑ C.21
1()1n
i i x x n =--∑ D.1
1()2n
i i x x n =-∑
二、填空题 （请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分） 1．设A , B 为随机事件, P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )=__________.
2．设随机事件A 与B 互不相容, P (A )=0.6, P (A ∪B )=0.8, 则P (B )=__________. 3．设A , B 互为对立事件, 且P (A )=0.4, 则P (A B )=__________. 4．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=__________.
5．设随机变量X ~N (0,42
), 且P {X ＞1}=0.4013, Φ (x )为标准正态分布函数, 则
Φ(0.25)=__________.
6．设甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲、乙击中目标的概率分别为0.8，0.5，则甲、乙两人同时击中目标的概率为____________
7.设两个随机变量X Y 和，已知()()25,36,
0.4,XY D X D Y ρ===则()D X Y -=
8．设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为?
?
?>>--=--,,0,
0,0),e 1)(e 1(),(其他y x y x F y x 则当x >0时, X 的边缘分布函数F X (x )=__________.
9．设随机变量X 与Y 相互独立, X 在区间[0, 3]上服从均匀分布, Y 服从参数为4的指数分布, 则
D (X +Y )=__________.
10．设X 为随机变量, E (X +3)=5, D (2X )=4, 则E (X 2
)=__________. 11. 若()0.3,()0.6,()0.4P A P B P A B ===，则)(B A P U ＝ .
12. 已知随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别服从参数为2和4的指数分布，则)(XY E = 13. 设总体X ～),(2
σμN ，1(X ，……)n X 是取自总体X 的样本，2
,σμ均是未知的，则2
σ的无偏估计是
14．设X 为一随机变量，数学期望存在，则E （E (X ))＝ 。
15．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,
2
,
01,()1, 1.
x Ax x F x x ≤???<<=?
?≥??
则有A ＝ 。 16.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}()P X E X == 。
17 在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科 技书的概率为______.
18. 设随机事件A 与B 相互独立，且P （A ）=0.5，P （A B ）=0.3，则P （B ）=______. 19. 设A ，B 为随机事件，P （A ）=0.5，P （B ）=0.4，P （A │B ）=0.8，则P （B │A ）=______. 20. 设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个 黑 球的概率是______.
21. 设随机变量X 的分布律为 ，则P ｛X 2
≥1｝=______.
22. 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，其中D ：0≤x ≤2，0≤y ≤2. 记（X ， Y ）的概率密度为f （x ,y ），则f （1,1）=______.
23..设[]0,X U θ ,θ是未知参数，(0)θ>，n X X X ,,21是来自X 的样本，则θ的矩估计量
=θ? 。
24..设X 和Y 为两个随机变量，且}0,0{≥≥Y X P ＝
7
3
，74}0{}0{=≥=≥Y P X P 。则
=≥}0),{max(Y X P
25．设一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工为成品的概率是 .
26. 两个随机变量X ，Y 独立，已知D(X)=25，D(Y)=36 相关系数为0.4，计算D （2X —Y ）= .
27. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则P ｛X =Y ｝=______.
28. 设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x ，y ）=?????>>----其他，
,0.0,0),e 1)(e 1(y x y x
则P ｛X ≤1,Y ≤1｝=______.
29. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则E （X -3）=______.
0 1 2 0 0.3 0.1 0.2 1
0.1
0.3
X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4
Y X -1 0 1 P
a
b
0.4
X
30. 设随机变量X 的分布律为 ，a ,b 为常数，且E （X ）=0,则
a -
b =______.
31. 设[],X U a b ，则2a b F +??
=
???
．
32.设A ，B 为两事件，且P (A )=P (B )=
13，P (A |B )= 1
6
，则P (A |B )=_____________. 33.已知事件A ，B 满足P (AB )=P (A B )，若P (A )=0.2，则P (B )=_____________.
34.设随机变量X 的分布律 则a =__________.
35.设随机变量X ～N (1，22
)，则P {-1≤X ≤3}=_____________.(附：Ф(1)=0.8413) 36.设X ～),(2σμN ，且3)(=X E ，1)(=X D ，)(x Φ为标准正态分布的分布函数。则
)11(≤≤-X P = （结果用)(x Φ表示）.
37.设离散型随机变量的分布列为i i p x X P ==}{，则
∑=1
i i
p
= .
38...设随机变量X 服从区间[2，θ]上的均匀分布，且概率密度f (x )=1
,240,
x θ?≤≤????，
其他，
则θ=______________.
39.设二维随机变量(X ，Y )的分布律
Y
X
0 1 2 0 0.1 0.15 0 1 0.25 0.2 0.1 2
0.1
0.1
则P{X =Y }=____________.
40.同时掷三枚匀称的硬币，则三枚都是正面向上的概率为 ． 41.设二维随机变量(X ，Y )的分布律
Y
X
-1 1 -1 0.25 0.25 1
0.25
0.25
则E (X 2
+Y 2
)=__________.
X 1 2 3 4 5 ，
P 2a
0.1
0.3
a
0.3
42.．设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为??
?≤≤≤≤=,,0,
10,10,1),(其他y x y x f
则P {X +Y ＞1}=__________.
43.设()3,25X N ，()-7-2P X ≤≤＝ （用()x Φ的值表示）. 44. 设随机变量X ～U (-1，3)，则D(2X -3)=_________.
45．设随机变量(),X b n p ，且() 2.4E X =，() 1.92D X =，则
n= ,，p= ;
46.已知随机变量X 的分布函数为()F x ，则在X 的密度函数()f x 的连续点，()f x = . 47.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为
则常数a =_______.
48.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，1)，Y ～N(-1，1)，记Z =X -Y ，则Z ~_______. 49.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X 2
)=_______.
50.设X ，Y 为随机变量，且E (X )=E (Y )=1，D (X )=D(Y )=5，0.8XY ρ=，则E (XY )=_______. 51.设随机变量X ～B (100，0.2)，Φ(x)为标准正态分布函数，Φ(2.5)=0.9938，应用中心极限定理，可得P {20≤X ≤30)≈_______.
52.设总体X ～N (0，1)，1234,,,x x x x 为来自总体X 的样本，则统计量2222
1234
x x x x +++~_______. 53已知随机变量X ~N (4，9)，{}{}≤P X c P X c >=，则常数c =_______. 54.设随机事件A 与B 相互独立，P (A )=0.3，P (B )=0.4，则P (A -B )=_______.
55.设A 、B 为随机事件，11
(),(),23P A P B A ==则P (AB )=_______.
三、计算题
1．盒中有3个新球、1个旧球, 第一次使用时从中随机取一个, 用后放回, 第二次使用时从中随机
取两个, 事件A 表示“第二次取到的全是新球”, 求P (A ).
2．两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.03，第,二台加工的废品率为0.02，加工出来的零件不加标签混合放在一起，已知这批零件中，由第一台加工的占2/3, 由第二台加工的占1/3,从这批零件中任取一件.求取到合格品的概率.
3. 一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06。 (1)求任取一个零件是合格品的概率；
(2)如果取出的零件是合格品，求它是由第二台车床加工的概率.
4. 设甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有7只红球，3只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求从乙袋中取到红球的概率.
5.有甲、乙两盒，甲盒装有4个白球1个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球.从甲盒中任取1个球，放入乙盒中，再从乙盒中任取2个球.(1)求从乙盒中取出的是2个黑球的概率；(2)己知从乙盒中取出的是2个黑球，问从甲盒中取出的是白球的概率 .6 已知二维随机变量(X ，Y )的分布律
Y
X
-1 0 1 0 0.3 0.2 0.1 1
0.1
0.3
求：(1)X 和Y 的分布律；(2)Cov(X ，Y ).
7.设随机变量X 的密度函数为
(),
01,2,12,0,.x x f x x x ≤
=-≤
其它
求：（1）X 的分布函数；（2）()()0.5,
1.3P X P X ≤>.
8．设随机变量X 的概率密度为??
?<<+=,,
0,
20,)(其他x b ax x f 且P {X ≥1}=
4
1
. 求： (1)
常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ). 9．设二维随机变量 (X , Y )的分布律为
求： (1) (X , Y )分别关于X , Y 的边缘分布律； (2)D (X ), D (Y ), Cov (X , Y ). 10.已知X,Y 的分布为
X 0 1 P 1/3 2/3
Y -1 0 1 P
1/3
1/3
1/3 ()221P X Y ==
求：（1）(),X Y 的分布；（2）Z XY =的分布；（3）XY ρ.
11 某药厂生产的某种药品，声称对某种疾病的治愈率为90％。为了检验此治愈率，任意抽取100个该疾病患者进行临床试验，如果其中至少86人被治愈，则此药通过检验。试问：（1）如果该药
的实际治愈率只有80％，则通过检验的可能性有多大？（2）如果该药的实际治愈率为90％，则通过检验的可能性有多大()()()
1.50.9332, 1.330.9082Φ=Φ=? 1
2.设随机变量X 的分布函数为
()22
0,
0,,01,221,12,21,
2.x x x F x x x x x
≥? 求：（1）X 的密度函数；（2）()13P X ≤≤.
13.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=?????≤≤.
,010,2其他x cx
求：（1）常数c ；（2）X 的分布函数F （x ）；（3）P ?
?
????
<<210X
14.某计算机系统有120个终端，每个终端在1小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否是相互独立的，求至少有10个终端同时使用打印机的概率. 15．设随机变量X 和Y 相互独立，X 和Y 的概率密度函数分别为
()33,0,
0,0.x X e x f x x -?>
=?
≤? ()44,
0,0,0.
y Y e y f y y -?>=?≤?
求（1）(),X Y 的联合概率密度函数(),f x y ；（2）()1,1P X Y <<.
16.一批零件由两台车床同时加工，第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06. (1)求任取一个零件是合格品的概率；
(2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率.
17.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布，令.,Y X Y X -=+=ηξ
求：（1）E ）；
（），（），（），（ηξηξD D E （2）.ξηρ
18.某次抽样结果表明，考生的数学成绩(百分制)近似地服从正态分布N (75，σ2
)，已知85分以上的考生数占考生总数的5％，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.
19.设随机变量X 服从区间[0，1]上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，且X 与Y 相互独立. 求：(1)X 及Y 的概率密度；(2)(X ，Y )的概率密度；(3)P {X >Y }.
20. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率。 21.设G 为曲线2y x =与y x =围成的平面图形区域（如图3.2）
，二维随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布，求：
（1）{}P X Y > ； （2）(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘密度.
22.一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有一台２KW 的空调机．若开房率为80%，需要多少KW 的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机（()2.330.99Φ=，5 2.236=） 23.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
???≤≤≤≤=,,
0,
10,10,6),(2其他y x y x y x f
求（1）}1{≥+Y X P ；（2）),(Y X 关于Y X ,的边缘概率密度；
（3）判断Y X ,是否独立。 24.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
?
??≤≤≤=,,0,
,10,),(2其他y x y Ax y x f
求（1）常数A ；（2）}1{≥+Y X P ；（3）),(Y X 关于Y X ,的边缘概率密度；
（4）判断Y X ,是否独立。
25.设),(Y X 为二维随机变量，它们的联合概率密度函数为
(24),0,0,
(,)0,
x y Ae x y f x y -+?>>=?
?其它.
求（1）系数A ；
（2）边缘概率密度)(),(y f x f Y X ，并判断Y X ,是否独立； （3）{}P X Y ≤．
26.设（X ，Y ）为二维随机变量，它的概率密度函数为
y e x y f x y -?<<=?
?
其它.,,
(,),00. 求：（1）X 与Y 的边际密度函数()()X
Y
f x f y ,；
（2）判断X ，Y 是否独立；
（3）()P
X Y +≤1. 27.设总体X 的密度函数为
x x f x θθθ-??<<=???
其他,,(;),.1010 ()θ>0，
12,,,n X X X 是样本，试用最大似然估计法估计未知参数θ.
28. 学生在做一道有4个选项的单项选择题，已知他知道答案和不知道答案的
概率相等。如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测。（1）求该题答 对的概率（2）在已知该题答对的条件下，求学生确实知道正确答案的概率。 29.设随机变量X 的概率密度为
1,02,
()0,
.ax x f x +≤≤?=?
?其它 求（1）常数a ； （2）X 的分布函数()F x ； （3）(13).P X <<
30.
??
???≤≤≤≤+=其他
,
02
0,20),
(8
1
),(y x y x y x f 求X, Y 的相关系数
31.设由机器包装的每袋面粉的质量是一个随机变量，其均值是10kg,方差为0.2kg 2
,求100袋面粉的总质量在990至1010kg 之间的概率。（24.25=，9874.0)24.2(=Φ） 32.设总体X 服从参数为θ的指数分布，0 θ，且未知，试求
1
1
+θ的最大似然估计。 33.设n X X X ,...,,21是来自总体X 的样本，已知总体X 的密度函数为
??
??=-).
1,0(,0,
10,);(1x x x x f θθθ （0 θ） （1）求未知参数θ的矩估计； （2）求未知参数θ的最大似然估计．
34.设总体X 的概率密度为???<<=-，x x x f 其他,
0,
10,2);(12θθθ其中未知参数错误！未找到引用源。,
x 1,x 2,…,x n 为来自总体X 的一个样本.求错误！未找到引用源。的极大似然估计错误！未找到
引用源。.
35.设n X X X ,...,,21是来自参数为λ的泊松总体X 的简单随机样本， 试求未知参数λ的最大似然
估计．
36.设总体X 的概率密度
??
?<<+=,,0,10,1;其他）（
）（x x x f θθθ
其中未知参数，1->θn X X X ,,21是来自该总体的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计。
37.设总体X 的密度函数为：σ
σ
x
e x
f -=21)( ，)(+∞<<-∞x 求参数σ)0(>σ的最大似然估计． ．
《概率论与数理统计》综合复习资料
《概率论与数理统计》综合复习资料 一、填空题 1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。则： =)|(B A P ； =)(B A P 。 2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ； （2）恰有一次取到次品的概率为 。 3．设随机变量)2, 1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则： )2(Y X E += ； )2(Y X D + 。 4．设随机变量X 的概率分布为 X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ； Y X =-21的概率分布为 。 5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为 。 6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2 )1(1 )(--= x e x f π (-∞<<+∞x ) ； ? ? ?≤≤=其它，，03 12/1)(y y ? 则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。 7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。 8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为 。 9．设Y X 、的概率分布分别为
概率论与数理统计期末复习资料(学生)
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
概率统计期末练习 (1)
一 是非题 1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ??是互不相容的 （ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠- （ ） 3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =（ ） 4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布 （ ） 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计 （ ） 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的 （ ） 1、设A ，B ，C 是3个事件，则 表示事件A,B,C 至少有一个发生。 2、设A,B 是两个相互独立事件，则概率：。 3、 = 3 4、若A,B 是两个互不相容事件，则A,B 必为对立事件。 5、随机变量X 服从二项分布B(10,0.2)，则X 的方差D （X ）= 2 6、设X 1 , X 2 , , X 100为取自正态总体N ( 10 , 9 )的随机样本， 则：样本均值服从的分 布为N( 10, 0.32 )。 9、 若X,Y 不线性相关，则X,Y 的相关系数的符号小于零。 二、选择题（15分，每题3分） （1）设A B ?，则下面正确的等式是 。 （ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-； （ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P = （2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件 是 。 （ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ； （ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ. （3） 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )， 则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D . （ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.
高中数学概率统计教案
专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定
概率论与数理统计期末总结
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
概率统计综合复习题及答案
高二数学练习 一、选择题 1．已知10 21001210(1) (1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a ＝（ ） A ．180- B ．45 C ．45- D ．180 2．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ） A ．24种 B ．18种 C ．48种 D ．36种 3．已知一组数据X 1，X 2，X 3，…,X n 的方差是S 2 ,那么另一组数据2X 1-1，2X 2-1，2X 3-1，…,2X n -1 的方差是（ ） A ．122 -s B ．2s 2 C ．2 s D ．24s 4．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A ．2 4 54C A B ．2456C C ．2454A A D ．24 56A 5．已知复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ． 1142π- B ．3142π+ C ．112π- D ．11 2π + 6．若251 ()(1)x a x +-的展开式中常数项为1-，则a 的值为 A ．1 B ．8 C ．1或9 D ．1-或9- 7．设随机变量X 的概率分布列为 则(|3|1)P X -==（ ） （A ）712 （B ）5 12 （C ） 14 （D ）16 8．已知()23012331n n n x a a x a x a x a x -=++++???+（n * ∈N ），设()31n x -展开式 的二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++???+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是 （ ） A ．n n S >T B ．n n S
(最全)高中数学概率统计知识点总结
概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤
概率统计总复习资料
概率统计总复习资料 1、古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 例1：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1 个白球、3个黑球、5个红球的概率、解：设B＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数： =5005 事件B包含的样本点： =240，则 P(B)=240/5005=0、048 例2：在0～9个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 解：考虑次序、基本事件总数为：=5040，设B={能排成一个四位偶数} 。 若允许千位数为0，此时个位数可在0、 2、 4、 6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有5=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、 4、 6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有种选法；从而共有4=224个。 因此=2296/5040=0、456
2、概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。 例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0、5，P(B)=0、6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB) 解：P(AB)= P(A)P(B)=0、3，P(A－B)= P(A)－P(AB)=0、2，P(AB)= P(A)＋P(B)－P(AB)=0、8 例2：若P(A)=0、4，P(B)=0、7，P(AB)=0、3，求： P(A－B)，P(AB)，，，解：P(A－B)=0、1，P(AB)=0、8，==3/7，==4/7，==2/3 3、准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。 例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、 1、2只残次品的概率相应为0、 8、0、1和0、1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。 解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，，，，，。 由全概率公式得；由贝叶斯公式。 4、随机变量及其分布 (1)一维离散型例：随机变量的分布律为、1234 k2k3k4k 确定参数k 求概率P(0 2008-2009学年第一学期期末试卷-B 卷 概率论与数理统计 课程号： 课序号： 开课学院： 统计学院 1． 设A 、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 2． 设A 、B 是Ω中的随机事件,则A ∪B=A ∪AB ∪B ( ) 3． 若X 服从二项分布B(n,p), 则EX=p ( ) 4． 样本均值X = n 1∑ =n i i X 1 是总体均值EX 的无偏估计 （ ） 5． X ～N(μ,21σ) , Y ～N(μ,22σ) ，则 X －Y ～N(0,21σ－22σ) （ ） 二、填空题（本题共15分，每小题3分） 1．设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且 ()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________. 2．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中 各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________. 3．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0, x x f x < 三、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 （A）X与Y独立. （B）() D X Y DX DY -=+. （C）() D X Y DX DY -=-. （D）() D XY DXDY =. （）2．设随机变量X的概率密度为 2 (2) 4 (), x f x x + - =-∞<<∞ 且~(0,1) Y aX b N =+，则在下列各组数中应取 （A）1/2, 1. a b ==（B ）2, a b == （C）1/2,1 a b ==-. （D ）2, a b ==（）3．设随机变量X与Y 相互独立，其概率分布分别为 01 0.40.6 X P 01 0.40.6 Y P 则有 （A）()0. P X Y ==（B）()0.5. P X Y == （C）()0.52. P X Y ==（D）() 1. P X Y ==（）4．对任意随机变量X，若E X存在，则[()] E E EX等于 （A）0.（B）.X（C）. E X（D）3 (). E X（）5．设 12 ,,, n x x x 为正态总体(,4) Nμ的一个样本，x表示样本均值，则μ的置信度为1α -的置信区间为 （A） /2/2 (x u x u αα -+ （B） 1/2/2 (x u x u αα - -+ （C）(x u x u αα -+ （D） /2/2 (x u x u αα -+（） 四、（8分）甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为1∶7∶2， 而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。求 （1）目标被击毁的概率； （2）若目标已被击毁，问被甲阵地击毁的概率。 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >= 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 《概率论与数理统计》综合复习资料 《概率论与数理统计》综合复习资料 一、 填空题 1、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是 A 工厂的概率为 3/7 。 2、设随机变量 X 的概率分布为f x Ax x ()=< =)(B A P 19/30 。 5、一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则： （1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 8/45； （2）恰有一次取到次品的概率为 16/45 。 6、设随机变量)2,1(~2N X 、) 3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则：)2(Y X E += 5； )2(Y X D + 19 。 7、设A 、B 为事件，3.0)(6.0)(=-=B A P A P ，，则P AB ()=0.7 。 8、设X 与Y 相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则P X Y {}≤=1/2 。 9、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则 λ= 1 。 10、设由来自总体X N ~()μ，1的容量为100的样 知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 随机抽样 一、随机抽样的分类 1． 简单随机抽样? ??随机数法抽签法 2．系统抽样 3. 分层抽样 二、适用条件： 当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用 抽签法 ；当总体容量较大，样本容量较小时，可采用 随机数法 ；当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用 系统抽样 ；当总体中个体差异较显著时，可采用 分层抽样 ． 三、典型练习 1．某会议室有50排座位，每排有30个座位．一次报告会坐满了听众．会后留下座号为15的所有听众50人进行座谈．这是运用了 ( c ) A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样 D ．有放回抽样 2．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体( b ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 ( b ) A ．30人，30人，30人 B ．30人，45人，15人 C ．20人，30人，10人 D ．30人，50人，10人 用样本估计总体 1、频率分布直方图 在频率分布直方图中，纵轴表示 频率/组距 ，数据落在各小组内的频率用 面积 来表示，各小长方形的面积的总和等于 1 . 2、茎叶图 补充：某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）： （1）指出这组数据的众数和中位数和平均数； 众数：8．6， 中位数： 8.78.8 8.752 +=， 平均数：（7．0+7．3+8．6+8．6+8．6+8．6+8．7+8．7+8．8+8．8+8．9+8．9+9．5+9．5+9．6+9．7）/16= 3．众数. 4．中位数 5．平均数 ※6．已知一组数据的频率分布直方图如下．求众数、中位数、平均数． 众数:面积最大的那个矩形的中点横坐标 65 中位数：前部分面积加起来占50%的那条线的横坐标 60+10? 40 20 =65 平均数：每个矩形面积╳其中点横坐标再全部加起来（不用再除！！！） 6705.0951.08515.0754.0653.055=?+?+?+?+? 2013年下学期概率统计模拟卷参考答案 1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为(空1) . 2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设B i ={第i 次取到黑球},i =1,2,3,4. 则1234()P B B B B =(空2) . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= =3/70 3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927 . 则每次试验成 功的概率为(空3) .. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3 = -p , 故 p =3 1 . 4. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2 2 ()()2E X E Y ==, 则2 [()]E X Y +=(空4) . 解 2 2 2 [()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++ 42420.52 6.XY ρ=+=+??= 5. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||}P X E X -（）≥3=(空5) . 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2() {()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 2 {||}9 P X E X -（）≥3≤ . 6. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 2 12()k X X -为2σ的无 偏估计. 则常数k =(空6) . 解 由于2 2 2 121122[()][(2)]E k X X kE X X X X -=-+ 22211222[()2()()]2k E X E X X E X k σσ=-+==, 所以k = 1 2 为2σ的无偏估计. 1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) P (A )=0或P (B )=0.. (D) 以上答案都不对. 统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式： 普查：对调查对象的全体进行调查； 抽样调查：对调查对象的部分进行调查； 总体：所要考察对象的全体； 个体：总体中每一个考察的对象； 样本：从总体中所抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（不带单位）； 平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数； 中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数； 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据； 方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数； 标准差：S ，即方差的算术平方根； 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差； 频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数； 频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1； 扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比； 会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图； 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、 二、概率的基础知识 必然事件：一定条件下必然会发生的事件； 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如 注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数 例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回 ．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 ………… 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-概率统计期末试卷
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