(完整版)《实变函数》第二章点集
第二章 点集 （总授课时数 8学时）
教学目的： 欧氏空间n R 上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间
上的若干拓扑概念.通过本节的学习,可以熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Borel 集,Cantor 集等常见的集,为后面的学习打下基础.
本章要点 由n R 上的距离给出邻域,内点,聚点的定义,从而给出开集, 闭集的定义.
由开集生成一个σ-代数引入Borel 集.Cantor 集是一个重要的集, 它有一些很特别 的性质. 应使学生深刻理解本节介绍的各种集的概念并熟练应用.充分利用几何图形的 直观,可以帮助理解本节的内容.
本章难点 Borel 集、Cantor 集的性质. 授课时数 8学时
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本章先介绍n R 中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、聚点、外点、边界点、开集、闭集等特殊点和集，并讨论了开集与闭集的性质及其构造.最后介绍了聚点原理、有限覆盖定理.
§1 度量空间，n 维欧氏空间
教学目的1、深刻理解 n R 中的距离、邻域、点列收敛等概念，弄清它们在刻划不同类型
的点及点集中的作用.
2、理解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，
理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念.
3、了解邻域的四条性质.
本节要点 度量空间的概念.
本节难点 度量空间的概念. 授课时数 2学时
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一、 度量空间
定义1：设X 为一非空集合，d ：X X R ?→为一映射，且满足 （1）(,)0d x y ≥，(,)0d x y x y =?= （正定性） （2）(,)(,)d x y d y x = （对称性）
（3）(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式）
则称(,)X d 为度量空间. 例1：
（1） 欧氏空间(,)n
R d ,其中(,)d x y =
（2） 离散空间(,)X d ，其中1(,)0x y
d x y x y ≠?=?=?
（3） [],a b C 空间([],a b C 表示闭区间[],a b 上实值连续函数全体), 其中
(,)max |()()|a t b
d x y x t y t ≤≤=-
二、 邻域
定义2： 称集合0{|(,)}P d P P δ<为0P 的δ邻域，并记为0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为0P 的邻域，并记为
0()U P .
不难看出：点列{}m P 收敛于0P 的充分必要条件是对任意0ε>，存在N ，当
m N >时有：0()m P U P ∈.
容易验证邻域具有下面的基本性质： 1) ()P U P ∈；
2) 对于1()U P ?和2()U P ， 如果存在12()()P U P U P ∈?，则存在
3()U P 12()()U P U P ??
3) 对于Q ()U P ?∈，存在()()U Q U P ?；
4) 对于Q P ?≠，存在()U Q 和()U P 满足()()U Q U P φ?≠
定义3： 两个非空的点集,A B 间的距离定义为
()(),,inf ,P A Q B
d A B d P Q ∈∈=
如果,A B 中至少有一个是空集，则规定(),0d A B =；若{}B X =，则记
()(),,d A B d A X =
显然，若A B ?≠?，则(),0d A B =。
定义4： 一个非空的点集E 的直径定义为：
()(),sup ,P Q E
E d P Q δ∈=
当E =?时，规定()0δ?=。显然，()0E E δ=? 至多只有一个元素。 若()E δ<+∞，则称E 为有界集。
定义5： 称
(){}12
,,,|,1,2,,n i i X X
X X A i n ∈=L L 为集合i A 的直积，记为
12n X X X ???L 或1n i i A =∏
定义6： 若1
n
i
i I I
==
∏，其中,i i i I a b =<>为直线上的区间，则称I 为n 维欧氏空间n
R 中的区间；如果所有i I 都是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间，则称I 是开(闭、左开右闭、左闭右开)区间。如果所有的i I 都是直线上的有界区间，则称I 是n
R 中的有界区间；如果至少有一个i I 是直线上的无界区间，则称I 是n
R 中的无界区间.
注： 2R 中的有界区间即矩形，3R 中的区间即长方体，因此n R 中的区间有时也称为“长方体”.
显然，E 为有界集的充要条件是存在有界区间I E ?或E 为有界集的充要条件是存在有界邻域00(,)E U x δ?
定义7： 1
n
i
i I I
==
∏,,i i i
I a b =<>,称1
()n
i
i i I b
a ==
-∏为区间I 的“体积”，即
1
n
i i I I ==∏.当然，这里约定000?∞=∞?=，当0a a a ≠?∞=∞?=∞时，.
注：1R 中的区间体积即区间的长度，2R 中的区间体积即矩形面积＝长×宽，3
R 中的区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定n
R 中的区间体积＝n 个边长的乘积，既是合理的又是自然.
§2、聚点、内点、界点
教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.
2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E ，
会求这些相关的点集.
3、了解Bolzano--Weierstrass 定理.
本节要点 内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概
念.
本节难点 对一个已知的点集E ，求这些相关的点集. 授课时数 2学时
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一、 欧氏空间中各类点的定义
（1）0P 为E 的内点：0,δ?>使得0(,)U P E δ?，记为o E
（2）0P 为E 的外点：0,δ?>使得0(,)U P E δ=?I ，E 的外点的全体记为c E .
（3）0P 为E 的边界点：0,δ?>有0(,)U P E δ?≠?且0(,)c
U P E δ?≠?，记为E ?
（4）0P 为E 的聚点：0,δ?>有00(,)({})U P E p δ?-≠?， E 的聚点的全体称为E 的
导集，记为'E
（5）0P 为E 的孤立点：0,δ?>使得00(,){}U P E p δ?= （6）0P 为E 的接触点：0,δ?>有0(,)U P E δ?≠?
注： 聚点、边界点不一定属于E ，内点、孤立点一定属于E .
由定义可知'{E E E =?的孤立点全体'
}E E E E =?=??
例1：（1）令E Q =， 则'
E E E R ==?=，E =?o
（2）令11
11,,,,23
E k
??
=??
??
L L ,则'{0}E = 对一切1k (1,2,3,)k =L 均为E 的孤立点
二、 聚点的等价定义
定理1 下面三个陈述是等价的： （1）0'P E ∈ ；
（2）对0δ?>，{}()
00(,)U P P E δ-?≠?
（3）E 中有各项互异的点列{}k P ()0,1,2,3,k P
P k ≠=L ，使0k P P →()k →∞ 证明 （1）? （2）是显然的．
（2）?（3）：因为()()
00,1{}U P P E -?≠?，取()()
100,1{}P U P P E ∈-?，则
1P E ∈且10P P ≠.令()1101min ,,2d P P δ?
?=????，则()01,U P δ中至少有一点2P E ∈且 20P P ≠，21P P ≠.令()2201min ,,3d P P δ?
?=????
，则()02,U P δ中至少有一点3P E ∈且 ()30,1
,2i P P i ≠=.这样继续下去，便得到点列{}k P 且满足要求. （3）?（1）：0δ?>，存在自然数0k ，当0k k ≥时，有()0,k P U P δ∈，即()0,U P E δ?为无限集，故0'P E ∈.
三、 开核、边界、导集之间的关系
定理2 设A ? B ，则''A B ?，0
A B ? ，A B ?． 定理3 ()'''A B A B ?=?，A B A B ?=?
证明：（1）因为A A B ??，B A B ??，由定理2知，()''A A B ??，()''B A B ?? 从而()'''A B A B ???.另一方面，任取()'P A B ∈?，若''P A B ??，则'P A ?且
'P B ?.于是
10δ?>，使
(){}()1
,U P P A δ-?=?，
20δ?>，使
(){}()2
,U P P δ-B ?=?，
取{}12min ,δδδ=，则
(){}(){},U P P A B δ-??(){}(),U P P A δ??=-????(){}(),U P P B δ??-?=???
这说明()'P A B ??，这与()'P A B ∈?矛盾.所以''P A B ∈?，即()'''A B A B ???
综合以上两个方面，即有()'''A B A B ?=?.
（2） ()()()()'''A B A B A B A B A B ?=???=???()()''A A B B =???
A B =?.证毕
定理4 （Bolzano-Weierstrass 定理）n
R 中的有界点列必有收敛子列．（证略）
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作业：P49 2, 3, 4, 5
练习题
1 E 是1
R 与2
R 上的全体有理点，在1
R 与2
R 中分别看E 时，0
,,,E E E E -
'各是有哪些点构成的.
2 设A ? B ，证明''A B ?，00A B ? ，A B ?．
§3、开集、闭集、完备集
教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面
的定理）.
2、理解Heine--Borel 有限覆盖定理.
本节要点 开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理. 本节难点 Heine--Borel 有限覆盖定理. 授课时数 2学时
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一、开集、闭集的定义
若0
E E ? ,则称E 为开集（E 中每个点都为内点) 若E E =,则称E 为闭集（与E 紧挨的点不跑到E 外）
注：由于''{E E E E E =?=?的孤立点全体} ，故E E =等价于'
E E ?
说明：要证E 是开集，只要证E E ?o （E E ?o
显然） 要证E 是闭集，只要证'E E ?或E E ?（E E ?显然）
例1：开区间(,)a b 为开集
证明：任取(,)x a b ∈取min{,}x a x b δ=--,则(,)(,)U x a b δ?从而x 是(,)a b 的内点，故(,)a b 是开集。
例2：闭区间[,]a b 为闭集.
证明：任取[,]c
x a b ∈,取min{,}x a x b δ=--,则(,)[,]c
U x a b δ?,
从而[,]a b 的接触点都在[,]a b 内，从而[,]a b 是闭集。
注：闭集为对极限运算封闭的点集. 即：A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点.
定理1 对任何n E R ?，E o 是开集，'E 和E 都是闭集. 证明：（1）E o 是开集.只要证()E E ?o
o o
任取x E ∈o
，由内点的定义知0,δ?>使得(,)U x E δ?.
任取(,)y U x δ∈，取'(,)d x y δδ=-，则(,')(,)U y U x E δδ??，从而y 为E 的内点，
从而(,)U x E δ?o
，所以x 为E o
的内点，即()x E ∈o o ，()E E E ?o
o o
o
从而，即为开集.
（2）'E 是闭集。只要证()'
''E E ?
任取()'
'x E ∈，由聚点的定义知0,(,)('{})U x E x δδ?>?-≠?有，取'(,)('{})x U x E x δ∈?-，有''x E ∈，
（当'min{(,'),(,')}d x x d x x δδ<-时， 有'
'
(,)(,)x U x U x δδ??），从而(,)({})U x E x δ?-≠?，即x 为E 的聚点， 从而()'''E E ?。
利用()'(')''(')''''E E E E E E E E E =?=???=?可得E 为闭集. 注：E o 为含于E 内的最大开集。
二、开集与闭集的对偶性
a ）()()()()c c c c E E E E ==o
o
)b 若E 为开集，则c E 为闭集;若E 为闭集，则c E 为开集。
证明：设E 为开集，即,0,x E δ?∈?>使得(,)U x E δ?，从而(,)c
U x E δ?=?，
从而x 不是c E 的接触点，也即c E 的接触点一定在c E 内，从而CE CE =，即c
E 为闭集.
设E 为闭集，即E E =，任取c
x E ∈，假如x 不是c
E 的内点，则x 的任一邻域内至少有一个属于E 的点，从而x 为E 的接触点，由E 为闭集可知x 在E 内， 这与c
x E ∈矛盾，所以c E 中的点都为c E 的内点，即c
E 为开集。
三、开集的性质
1） 空集，n
R 为开集;
2） 任意多个开集之并仍为开集； 3) 有限个开集之交仍为开集。
注：无限多个开集的交不一定为开集，如：(0,1/),n E n =
n R 中只有空集和n R 既开又闭，
存在大量既不开又不闭的集合，如：[0,1)E =
四、 闭集的性质
1）空集，n R 为闭集；
2）任意多个闭集之交仍为闭集； 3) 有限个闭集之并仍为闭集。
注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：[0,11/]n E n =-
说明：不仅n R 中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理.
五、完备集
定义1 设n E R ?，如果'E E ?，称E 是自密集.
注：（1）如果集合中的每个点都是这个集合的聚点，则这个集合是自密集.
(2) 没有孤立点的集合是自密集. 定义2 设n
E R ?，如果'
E E =，则称E 为完备集或完全集. 注：完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集.
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作业：P49 6, 8, 11
练习题
1、 证明每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并.
2设()f x 是n
R 上的实函数，证明：()f x 是连续函数的充分必要条件是对任意开集
11,()G R f G -? 是n R 的开集.
3、设()f x 是直线上的实值连续函数，则对任意常数a ，{|()}E x f x a =>是开集，而
1{|()}E x f x a =≥是闭集.
4、设()f x 在E 上有定义， 称0''''''
0(,)0
()limsup{|()()|:,}x x f x f x x x O E δδω→=-∈?
为()f x 在0x E ∈处的振幅，若()f x 在闭集E 上定义，则对任意实数t ，点集
{:()}x E x t ω∈≥为闭集.
§4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
教学目的 介绍直线上的开集，闭集及完备集构造.
本节要点 直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造
定理.
本节难点 直线上开集构造定理. 授课时数 2学时
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本节所讨论的点集都是1
R 的子集．
一、直线上的开集、闭集的构造
定义 设G 是开集，若非空开区间(,)G αβ?，且,G αβ∈，就称(,)αβ是G 的一个构成区间．
定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。
⑴直线上的闭集或是全直线，或是从直线上挖去有限个或可数个互不相交的开区间所得之集.
⑵直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点;但并不意味无孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。
⑶n
R 中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.
二、R 中有关紧性的两个结论
⑴Bolzano-Weierstrass 定理：若E 是n
R 中的一个有界的无限集，则E 至少有一个聚点. 点列{}123,,,a a a L
1a =（11,a 12,a 13,a 14a ，L ,1n a ） 2a =（21,a 22,a 23,a 24a ，L ,2n a ）
3a =（31,a 32,a 33,a 34a ，L ,3n a ）
L L L L L L
注：对无限维空间不一定成立。
⑵ Heine-Borel 有限覆盖定理
设F 为有界闭集，若开集簇{:}i U i I ∈覆盖F （ 即i i I
F U ∈??），则{:}i U i I ∈ 中存
在有限个开集12,,,n U U U L ,它同样覆盖F .
注： Heine-Borel 有限覆盖定理的逆命题也成立. （3）可数覆盖定理
设F 为n
R 中一 集合，若开集簇{:}i U i I ∈覆盖F （即i i I
F U ∈??），则{:}i U i I ∈
中存在可数个开集12,,,n U U U L ,L 它同样覆盖F
提示：利用空间中以有理点为中心，正有理数为半径的圆全体为可数集，开集中的点为内点，以及有理点全体在n R 中稠密和有理数全体是R 的稠密集.
三、直线上完备集的构造
如：Cantor 集
对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor 集. ⑴ 定义：令(),i
n n j
G I =?
称[0,1][0,1]c
P G G =-=?为Cantor 集. ⑵ Cantor 集的性质
1) 分割点一定在Cantor 集中
Cantor 集[0,1][0,1]c
P G G =-=?为闭集,(),i
n n i
G I =?
2) P 的“长度”为0，去掉的区间长度和
1
11132123
13
n n
n ∞
-=?==-∑
注：第n 次共去掉21n -个长为1/3n 的开区间 3) P 没有内点
证明：对任意x P ∈, x 必含在“去掉手续进行到第n 次”时留下的2n 个长为1/3n 的互
不相交的某个闭区间中()
n i I .
()130,(,)n n i I U x εεε?>
分去掉中间一个开区间，从而(,)U x ε内至少有一点不属于P ，所以x 不可能是P 的内点。 4) P 中的点全为聚点,从而没有孤立点.
证明：对任意x P ∈，只要证：0,(,)({})U x P x δδ?>?-≠?有, 由Cantor 集的作法知()1
3,,(,)n
n i n i U x I δδ?>
?及某个，使,而()n i I 的两个端点定在P
中，从而x 为P 的聚点，当然不为孤立点。
5) P 的势为? （利用二进制，三进制证明）
证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数，则Cantor 集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor 集为小数位只是0,2的点的全体，作对应 （三进制数）3
121230.0.
222
a a a a a a →L L （二进制数）
说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如
0.1000000… = 0.0222222… （三进制小数） 0.2000000… = 0.1222222…
注:Cantor 集中除了分割点外,还有大量其他点.
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作业：P50 12, 13
练习题
1 设E 为Cantor 集的余集的构成区间的中点所成之集，求E '.
2 证明用十进位小数表示[0,1]中的数时，其中用不着数字6的一切数成为完备集.
3 证明如果闭集A 不含任何开区间，则A 必是疏朗集.
4 疏朗集的余集是否一定为稠密集？