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2019年高考数学压轴题 专题11 隐圆问题(解析版)

专题11 隐圆问题

直线与圆是高中数学的C 级知识点,是高中数学中数形结合思想的典型体现.但有些时候,在条件中没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题目中的,要通过分析和转化,发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题

类型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆

典例1 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是

________

【答案】6

05

a -<<

【解析】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,转化到此单位圆与已知圆相交求解

2221(02)(03)21a a -<-+--<+∴6

05

a -<<

类型二 由圆周角的性质确定隐形圆

典例 2 已知圆22

:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点,且2,AB M =为弦AB 的中点,

()()

,22,2C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时,始终有CMD ∠为锐角,则实数a 的取值范围

为__________.

【答案】()(),20,-∞-?+∞

【解析】由题意得512OM =-=, ∴点M 在以O 为圆心,半径为2的圆上.

设CD 的中点为N ,则()

22,1N a +,且2CD =. ∵当,A B 在圆O 上运动时,始终有CMD ∠为锐角,

∴以O 为圆心,半径为2的圆与以()

22,1N a +为圆心,半径为1的圆外离.

3>,

整理得()2

11a +>, 解得2a <-或0a >.

∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-?+∞.

类型三 两定点A 、B ,动点P 满足

(0,1)PA

PB

λλλ=>≠确定隐形圆(阿波罗尼斯圆) 典例3 一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8 海里的A 处,发现在其北偏东30°

方向相距4 海里的B 处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3 倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行.

(1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截成功;(参考数据: 3sin1733 5.74466

?

≈ )

(2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由.

【答案】(1)略(2)能 【解析】:(1)略 (2)如图乙,

以A 为原点,正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy .则(2,3)B ,设缉私艇在P (x ,

y )处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私船相遇,则

3PA

PB

=

3=,22

9993444x y ?

??-+= ? ??? 因为圆心99344?

?到领海边界线l :x = 3.8的距离为1.55,大于圆半径32

所以缉私艇能在领海内截住走私船.

1.已知ABC ?中, 3AB AC ==

ABC ?所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==,则

ABC ?面积的最大值为__________.

【答案】

23

16

【解析】设2BC a =,以BC 所在直线为x 轴、其中垂线OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系(如图所示),

()()(2

,0,,0,3B a C a A a --,设

(),P x y ,由222

33PB PC PA +=

=,得222((3

{ (1

x x y

y y x +++=+=,即222222232

{ 2331

x y a x y a y a +=

-+--+-=,

则2227

2232

{

131

a a y a -=-≤≤-,

则(

)()

2

22222323232323a

a a a a ---≤-≤-+-

即(

)

(

)

2227

232232

a a a --≤

-≤-+,

解得a ≤

,即122ABC S a ?=?=≤

即ABC ?523

2.在平面直角坐标系xOy 中,已知B ,C 为圆2

2

4x y +=上两点, 点A(1,1),且AB ⊥AC ,则线段

BC 的长的取值范围为_______

【答案】62,62] 【解析】

设BC 的中点为M (x,y),

,

因为22222OB OM BM OM AM =+=+,

所以2

2

2

2

4(1)(1)x y x y =++-+-,

化简得2

2

113222x y ?

???-+-= ? ??

???,

所以点M 的轨迹是以11,22??

???为圆心,322为半径的圆,所以AM 的取值范围是62-??

所以BC 的取值范围是62,62].

3.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆()(2

2

:16

1C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---,

且1a >,若圆C 上存在两个不同的点,P Q ,使得90APB AQB ∠=∠=?,则实数a 的取值范围为__________.

【答案】17117a ≤≤【解析】原问题等价于以,A B 为圆心的圆与圆C 有两个交点,

AB 中点坐标为()0,0,以,A B 为圆心的圆的半径()2

212R a a =+-, 且圆C 的圆心为(1,26,半径为21R =,

两圆的圆心距为: 5d ==,

结合1

a>可得关于实数a的不等式组:

15

15

求解关于实数a的不等式组可得实数a的取值范围为17117

a

+≤≤

4.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1

-,0),B(1,0)均在圆C:()()

222

34

x y r

-+-=外,且圆C上存在唯一一点P满足AP BP

⊥,则半径r的值为____.

【答案】4

【解析】根据题意,点A(?1,0),B(1,0),若点P满足AP BP

⊥,

则点P在以AB为直径的圆上,

设AB的中点为M,则M的坐标为 (0,0), |AB|=2,

则圆M的方程为221

x y

+=,

若圆C上存在唯一一点P满足AP BP

⊥,则圆C与圆M只有一个交点,即两圆外切,

则有22

345

+=,解可得r=4.

5.已知等边ABC

?的边长为2,点P在线段AC上,若满足等式?

PA PBλ

=的点P有两个,则实数λ的取值范围是_____.

【答案】

1

4

λ

-<≤

【解析】以AB中点为坐标原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则

()()(()

10,10,3,,

A B C P x y

-,,,AC:()

33,10

y x x

=-≤≤

由?

PA PBλ

=得22

1

x yλ

-+=,()

2

2

311

1,10100

44

λλλ

∴>-=-≤-+-=∴-<≤

??

6.已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠APB=60°,则实数a的取值范围为____________.

【答案】

?

?

?

?

?

?

2-

2

2

,2+

2

2

【解析】设P(x,y),sin∠OPA=sin30°=

1

x2+y2

,则x2+y2=4 ①.又P在圆M上,则(x-a)2+(y -a+4)2=1 ②.由①②得1≤a2+(a-4)2≤3,所以

4-2

2

≤a≤

4+2

2

.

7.在平面直角坐标系xOy中,已知过原点O的动直线l与圆C:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B,若点A恰为线段OB的中点,则圆心C到直线l的距离为____________.

【答案】36

4

【解析】∵ 圆C 1:x 2

+y 2

-6x +5=0,整理,得其标准方程为(x -3)2

+y 2

=4,∴ 圆C 1的圆心坐标为(3,0);设直线l 的方程为y =kx ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立(x -3)2

+y 2

=4,y =kx ,消去y 可得(1+k 2)x 2-6x +5=0,由题知x 1=12x 2, y 1=12y 2,由韦达定理化简可得k 2

=35,即k =±155,直线l 的方程

为y =±

155x ,由点到直线的距离公式知,所求的距离为36

4

. 8.在平面直角坐标系xOy 中,过点P(-2,0)的直线与圆x 2

+y 2

=1相切于点T ,与圆(x -a)2

+(y -3)2

=3相交于点R ,S ,且PT =RS ,则正数a 的值为____________. 【答案】4

【解析】圆x 2+y 2

=1半径为1,PO =2,则直线PT 的倾斜角为30°,则直线方程为x -3y +2=0,PT =3,RS =3,圆(x -a)2

+(y -3)2

=3的半径为3,则圆(x -a)2

+(y -3)2

=3的圆心(a ,3)到直线PT 的距离为3

2

,由点到直线距离公式得|a -1|=3,则正数a =4.

9.在平面直角坐标系xOy 中,圆M :(x -a)2

+(y +a -3)2

=1(a >0),点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心,ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点,则a 的最小值为__________. 【答案】3

【解析】根据题意,圆M 与以N 为圆心的圆的位置关系是内切或内含.则d MN ≤d ON -1,即1≤d ON -1.所以d ON ≥2恒成立.因为N 在圆M 上运动,所以d ON 的最小值为d OM -1,即d OM -1≥2,所以a 2

+(3-a )2

≥3,解得a ≥3,所以a 的最小值为3.

10.已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA →·CB →

=λ(λ为常数),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径

的圆内,则实数λ的最大值是__________. 【答案】-3

4

【解析】建立平面直角坐标系,B(0,0),A(2,0),设C(x ,y),则CA →·CB →=x(x -2)+y 2

=λ,则(x -1)2

+y 2

=λ+1,得(x -1)2

+y 2

=λ+1,点C 的轨迹是以(1,0)为圆心λ+1为半径的圆且与x 2+y 2

=14外离或相切.所以λ+1≤12,λ的最大值为-34

.

11.在平面直角坐标系xOy 中,设直线y =-x +2与圆x 2

+y 2

=r 2

(r >0)交于A ,B 两点.若圆上存在一点C ,满足OC →=54OA →+34OB →

,则r 的值为________.

【答案】10

【解析】OC →2=? ????54

OA →+34OB →2

=2516OA →2+2·54OA →·34OB →+916OB →2,即r 2

=2516r 2+158r 2cos ∠AOB +916r 2,整理化简

得cos ∠AOB =-35,过点O 作AB 的垂线交AB 于D ,则cos ∠AOB =2cos 2∠AOD -1=-35,得cos 2

∠AOD

=15.又圆心到直线的距离为OD =22=2,所以cos 2∠AOD =15=OD 2

r 2=2r 2,所以r 2

=10,r =10. 12.已知圆M :(x -1)2

+(y -1)2

=4,直线l :x +y -6=0,A 为直线l 上一点.若圆M 上存在两点B ,C ,使得∠BAC =60°,则点A 横坐标的取值范围是__________. 【答案】[1,5]

【解析】圆M :(x -1)2

+(y -1)2

=4上存在两点B ,C ,使得∠BAC =60°,说明点A(x ,y)到M (1,1)的距离小于等于4,即(x -1)2

+(y -1)2

≤16,而y =6-x ,得x 2

-6x +5≤0,即1≤x ≤5.点A 横坐标的取值范围为[1,5].

13.已知点A(0,2)为圆M :x 2

+y 2-2ax -2ay =0(a >0)外一点,圆M 上存在点T 使得∠MAT =45°,则实数a 的取值范围是________________. 【答案】3-1≤a <1

【解析】点A(0,2)在圆M :x 2

+y 2

-2ax -2ay =0(a >0)外,得4-4a >0,则a <1.圆M 上存在点T 使得∠MAT =45°,则

AM 2

≤r =2a ,即AM ≤2a ,(a -2)2

+a 2

≤4a 2

(a >0),解得3-1≤a.综上,实数a

的取值范围是3-1≤a <1.

14.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O 1,圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1,O 2与原点O 共线,O 1,O 2两点的横坐标之积为6,设圆O 1与圆O 2相交于P ,Q 两点,直线l :2x -y -8=0,则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为____________. 【答案】855

- 6

【解析】设圆O 1的方程为(x -a)2

+(y -ka)2

=k 2a 2

①,圆O 2的方程为? ????x -6a 2+?

????y -6k a 2

=36k

2

a 2 ②,②

-①,得2ax -12a x +2aky -12a ky +36a 2-a 2=0,即2x +2y -a -6a =0.设P(x 0,y 0),则(x 0-a)2+(y 0-ka)

2

=k 2a 2,即x 20+y 20=2ax 0+2ay 0-a 2,又2x 0+2y 0-a -6a =0,可得2ax 0+2ay 0-a 2=6,故x 20+y 2

0=6,即

点P 的轨迹是以原点为圆心,半径为6的圆,则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为

85

5- 6.

15.已知直线l 过点P(1,2)且与圆C :x 2

+y 2

=2相交于A ,B 两点,△ABC 的面积为1,则直线l 的方程为________________. 【答案】x -1=0,3x -4y +5=0

【解析】由S △ABC =1

2

×2×sin ∠ACB =1,sin ∠ACB =1,∠ACB =90°,则点C(0,0)到直线l 的距离为

1,设直线l 的方程为y -2=k(x -1),利用距离公式可得k =3

4,此时直线l 的方程为3x -4y +5=0,

当k 不存在时,x -1=0满足题意.

16.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :x 2

+(y -1)2

=5,A 为圆C 与x 轴负半轴的交点,过A 作圆C 的弦AB ,记线段AB 的中点为M.若OA =OM ,则直线AB 的斜率为________. 【答案】2

【解析】设点B(x 0,y 0),则M ?

??

??x 0-22,y 02,圆x 2+(y -1)2=5与x 轴负半轴的交点A(-2,0),OA =OM

=2=

? ????x 0-222

+? ????y 022

,即? ????x 0-222

+? ??

??y 022

=4.又 x 20+(y 0-1)2

=5,

两式相减得y 0=2x 0+4.而A(-2,0)也满足y 0=2x 0+4,即直线AB 的方程为y 0=2x 0+4,则直线AB 的斜率为2.

17.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x +1)2

+(y -6)2

=25,圆C 2:(x -17)2

+(y -30)2

=r 2

.若圆C 2上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ,满足PA =2AB ,则半径r 的取值范围是______________. 【答案】[5,55]

【解析】在圆C 2上任取一点P ,过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A 、B ,当AB 过圆心时,此时PA 在该点处最小,AB 在该点情况下最大,此时在P 点情况下PA

PB 最小,当P ,A ,B 三点共线时,如图1,

2,PA 为所有位置最小,且PA AB 是所有位置中最小,所以只要满足PA

AB ≤2,即满足题意,

错误! 5≤r ≤55.

18.直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x -1)2

+(y -1)2

=9,直线l :y =kx +3与圆C 相交于A 、B 两点,M 为弦AB 上一动点,以M 为圆心,2为半径的圆与圆C 总有公共点,则实数k 的取值范围为________.

【答案】????

??-34,+∞

【解析】以M 为圆心,2为半径的圆与圆C 总有公共点,则C 点到直线l 的距离小于1,即d =

|k +2|k 2

+1

1,解得k ≤-3

4

.

19平面直角坐标系xOy 中,已知圆C :(x -a)2

+(y -a +2)2

=1,点A(0,2),若圆C 上存在点M ,满足MA 2

+MO 2

=10,则实数a 的取值范围是________. 【答案】[0,3]

【解析】设M(x ,y),由MA 2

+MO 2

=10,A(0,2),得x 2

+(y -1)2

=4,而(x -a)2

+(y -a +2)2

=1,它们有公共点,则1≤a 2

+(a -3)2≤9,解得实数a 的取值范围是[0,3].

20.平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x -1)2

+y 2

=4,P 为圆C 上一点.若存在一个定圆M ,过P 作圆M 的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,当P 在圆C 上运动时,使得∠APB 恒为60°,则圆M 的方程为______________. 【答案】(x -1)2

+y 2

=1

【解析】∵ 当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°,∴ 圆M 与圆C 一定是同心圆,∴ 可设圆M 的方程为(x -1)2+y 2=r 2

.当点P 坐标是(3,0)时,设直线AB 与x 轴的交点为H ,则MH +HP =2,MH =12r ,AB

=2×32r ,所以12r +2×32r ×32

=2,解得r =1,所以所求圆M 的方程为(x -1)2+y 2

=1.

1、一知

半解的人,多不谦虚;见

多识广有本领的人,一定谦虚。——谢觉哉 2、人若勇敢就是自己最好的朋友。

3、尺有所短;寸有所长。物有所不足;智有所不明。——屈原

4、功有所不全,力有所不任,才有所不足。——宋濂

5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。

6、游手好闲会使人心智生锈。

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