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数的开方2

第4课时实数与数轴（1）

教学目标

1、了解实数的意义，能对实数进行分类。

2、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点表示无理数。

3、会估计两个实数的大小。

教学过程

一、创设问题情境，导入实数的概念

问题l 用什么方法求 2 ？其结果如何?

问题2 你能利用平方关系验算所得结果吗?

问题3 验证的结果并不是2，而是接近于2，这说明了什么问题?

问题4 如果用计算机计算 2 ，结果如何呢?

让学生阅读P15页计算结果，并指出；在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说 2 不是有理数．有兴趣的同学可以看一看第18页的阅读材料．问题5 那么， 2 是怎样的数呢?

1．回顾有理数的概念．

(1)有理数包括________和________

(2)请你随意写出三个分数，将它化成小数，看一看结果。

(3)由此你可以得到什么结论?

(任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数)

2．无理数的概念

与有理数进行比较， 2 计算的结果是无限不循环小数，所以 2 不是

有理数。

提问：还有没有其他的数不是有理数?为什么?

无限不循环小数叫做无理数．例如 2 、 3 、 5 、∏、3

5 都是无理数．

有理数与无理数统称为实数．

二、试一试

问题1 按照计算器显示的结果，你能想像出 2 在数轴上的位置吗?

问题2 你能在数轴上找到表示 2 的点吗?

请同学们准备两个边长为1的正方形纸片，分别沿它的对角线剪开，得到四个什么三角

形?

如果把四个等腰直角形拼成一个大的正方形，其面积为多少?其边长为多少?

这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 2 ．利用这个事实，我们容易画出表示 2 的点，如图所示．

三、反思提高

问题1 如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?

问题2 如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?

让学生充分思考交流后，引导学生归结为：如果将所有有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无理数都标到数轴上，那么数轴被填满。

数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)也都可以用数轴上的点来表示，即实数与数轴上的点一一对应。

四、范例

例1．试估计3＋2与∏的大小关系。说明：正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行。

提问：若将本题改为：试估计－（3＋2）与－∏的大小关系，如何解答?

让学生动手解答，并请一位同学板演，教师讲评．

五、课堂练习

P11练习1(1)， 3．

六、小结

1．什么叫做无理数?

2．什么叫做实数?

3．有理数和数轴上的点一一对应吗?为什么?

4．无理数和敷轴上的点一一对应吗?为什么?

5．实数与数轴上的点一一对应吗?为什么?

七、作业

第5课时实数与数轴(2)

教学目标

1．了解有理敷的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用． 2．能利用运算法则进行简单四则运算．

教学过程

一、创设问题情境，导入新知

1．复习提问

(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．

(3)平方差公式?完全平方公式?

(4)有理数a 的相反数是什么?不为0的数a 的倒数是什么?有理数a 的绝对值等于什么?

在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较，运算法则及运算律仍然适用。

二、范例

例1．计算：∏2

－｜23－32｜(结果精确到0.01) 分析：对于实数的运算，通常可以取它们的近似值来进行。提问：用什么手段取它们的近似值?

例2．计算: (2＋1)( 2－1) 12-33(3+1)2 三、课堂练习

P11页练习l(2)、2，

让四位同学板演，教师根据学生的具体解答情况作出正确判断，并分析发生错误的原因．

四、小结

由学生完成如下小结：

1．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．

(完整版)数的开方知识点汇总

数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数 a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。（2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数） 3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为 a，读作根号a, （3）算术平方根的性质： ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。

（4）a的双重非负性 ①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。 ②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。综上：a中a≥0 a≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。（2、）立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a 其中3叫做根指数，a叫被开方数。（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式：

数的开方和二次根式

数的开方和二次根式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2()()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥；

③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。（二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题

3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1；（2 （3 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2 2x y + 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式： 0),3b b - 5. 化简与计算 2)x ；； 7)2m - ⑤22-； ⑥(+ 三：【课后训练】 1. 当x ≤2时，下列等式一定成立的是（）

实数的开方与二次根式(总复习)

初中数学总复习 1.3数的开方和二次根式一：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1） ①20,a ≥=若则；③= (0,0)a b ≥≥ ( )()a a a ?==?-?0,0)a b =≥ （2）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； 0,0)a b =≥≥； 0,0)a b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。二：【课前练习】 1.填空题

2. 判断题 3. 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A 5. ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1；（2 （3 3．当x ≤2时，下列等式一定成立的是（） A 2x =- B 3x =- C 、= D 4. 那么x 取值范围是（）

A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 5. 当a 则实数a 在数轴上的对应点在（） A ．原点的右侧 B ．原点的左侧 C ．原点或原点的右侧 D ．原点或原点的左侧 6. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；是17的平方根，其中正确的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7. ______． 8. 当a ≥0= 9.计算（1）（2）、))20032 （3）、(2；（4） 10. 已知：x y 、为实数，3x+4y 的值。

数的开方常考题型

数的开方常考题型汇总类型一、利用平方根与立方根的概念求值一、选择题（4分）9的平方根是（） A．±3 B．﹣3 C．3 D．（4分）4的平方根是（） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 （4分）若x2=4，则x=（） A．±2 B．2 C．4 D．16 （4分）下列说法正确的是（） A．1的立方根是±1 B．=±2 C．0.09的平方根是±0.3 D．0没有平方根（4分）下列说法正确的是（） A．1的立方根是±1 B．=±4 C．=4 D．0没有平方根（3分）下列命题中是真命题的是（） A．是无理数 B．相等的角是对顶角 C．D．﹣27没有立方根（4分）化简的结果是（） A．8 B．4 C．﹣2 D．2

二、填空题（4分）﹣27的立方根是．（4分）﹣64的立方根是．（4分）64的立方根为．类型二、利用算术平方根的概念求值一、选择题（4分）的平方根是（） A．2 B．±2 C．D．± （3分）下列算式正确的是（） B． C．D． A．（4分）下列写法错误的是（） A． B． C．D．=﹣4 （4分）计算﹣的结果是（） A．3 B．﹣7 C．﹣3 D．7 二、填空题（4分）4是的算术平方根（4分）16的算术平方根是．（2分）的算术平方根是．（4分）计算：=．（4分）计算：=．

（6分）计算：（1）﹣= （2）= （3）﹣= （4）三、解答题（6分）计算：﹣﹣（π﹣1）0．（8分）计算：（﹣2）2﹣+ （6分）计算：﹣﹣|﹣5| （6分）计算：+﹣．（﹣1）2016+×+（6分）计算：﹣﹣+．

﹣++（6分）（1）﹣|﹣3|+3．（9分）计算：﹣+．（9分）计算：﹣+2 （9分）（1）计算：（﹣1）2+﹣﹣|﹣5| 类型三、无理数的判断（4分）下列实数中，属于无理数的是（） ﹣2 B．0 C．D． A．（4分）下列实数中，是无理数的是（） A．B．﹣7 C．0.D．Π （4分）在下列实数中，无理数是（） A．﹣ B．2πC．D．（4分）下列实数中属于无理数的是（）

第11章数的开方知识点总结

第11章数的开方知识点总结平方根 ★1.平方根的定义: 如果一个数的________等于a,那么这个数叫做a的__________. 2,那么________叫做________的__________. 即如果a x ★2.数的开方: 数的开方是一种运算,它包括开平方和开立方. （1）开平方: 求一个数的平方根的运算,叫做开平方; （2）开立方: 求一个数的________的运算,叫做开立方. ★3.平方根的特征: （1）正数的平方根有________个,它们互为________; （2）0的平方根只有________个,是________,即它本身; （3）负数________平方根. ★4.平方根的表示: 非负数a的平方根表示为__________.其中a叫做__________,对a 的要求是________. ★5.算术平方根非负数a的算术平方根表示为__________. ★6.关于算术平方根正数的算术平方根只有________个,0的算术平方根是________,负数没有平方根,当然也就没有____________. 算术平方根等于它本身的数有________个,分别是____________. 平方根等于它本身的数有________个,是________.

★7.()0≥a a 具有双重非负性: （1）0≥a ; （2）0≥a . ★8.非负数的和为0的问题若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于________. 若02=++C B A ,则______________________. ★9.重要结论: （1）???==________________________2 a （2）()=2a ________,()=-2a ________. （3）若A B B A --与都有意义,则____________. ★10.新概念---完全平方数如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做_______,如0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100等. 完全平方数可以用于估算某些无理数的值,即开方开不尽的数. ★11.易错题例1. 16的平方根是________,16的平方根是________. 例2. 81的平方根是________,81的平方根是________. 例3. ()2 4-的平方根是________,算术平方根是________. 例4. 如果()=-=a a 则,6.12 2________. 例5. 25 16的平方根是________,用数学式子表示为_______________. 例6. 若某个数的平方根只有一个,则这个数是______.若一个自然数的算术平方根是a ,则和这个自然数相邻的下一个自然数是________.

经典初中数学题大全

一、填空题： 1．一个正数a的平方根，用符号“________”表示，其中a叫做________，根指数是________． 2．平方根等于它本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．3．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根． 4．0.25的算术平方根是________． 5．9的算术平方根是________，的算术平方根是________． 6．36的平方根是________，若，则x＝________． 7．的平方根是________，的平方根是________，的算术平方根是________．8．81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是 ________，平方根的倒数是________，平方根的绝对值是________．9．，则x＝________． 10．当 a________时，有意义．二、判断并加以说明． 1．3 的平方是9；（） 2．1的平方根是1；（） 3．0的平方根是0；（） 4．无理数就是带根号的数；（） 5．的平方根是；（） 6．是25的一个平方根；（） 7．正数的平方根比它的平方小；（） 8．除零外，任何数都有两个平方根；（） 9．的平方根是；（） 10．没有平方根；（）

11．零是最小的实数；（） 12．23是的算术平方根．（）三、选择题： 1．下列说法正确的是（）． A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的平方根是 2．在四个数0，，2，中，有平方根的是（）． A．0与 B．0，与 C．0与 D．0，2与 3．若，则x为（）． A．1 B． C． D． 4．的平方根是（）． A．3 B． C．9 D． 5．的算术平方根是（）． A．16 B． C．4 D． 6．如果有意义，则x的取值范围是（）． A．x≥0 B．x＞0 C．x＞ D．x≥ 7．如果一个自然数的平方根是(a≥0)，则下一个自然数的平方根为（）．A． B． C． D． 8．下列叙述正确的是（）． A．是7的一个平方根 B．11的平方根是 C．如果x有算术平方根，则x＞0 D． 9．计算的平方根，下列表达式正确的是（）． A． B． C． D．

(完整版)中考数学第一章《数的开方与二次根式》复习教案新人教版

章节第一章课题数的开方与二次根式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点二次根式的化简与计算. 教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥f （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -+；（2）211x x -+；（3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

数的开方及二次根式

《数的开方及二次根式（复习）》教学设计宜良县第六中学袁志刚教学内容：人教版义务教育实验教科书“数与代数”（八上）第十三章、（九上）第二十一章。课型：复习课课时：1课时教学目标： 1、能够比较熟练应用二次根式的性质进行化简. 2、能够比较熟练进行二次根式的运算. 3、进一步渗透化归思想、分类讨论思想及进行逆向思维训练。教学重点：二次根式的性质的应用，二次根式的运算。教学难点：二次根式的化简及灵活应用公式教具：多媒体课件、《导学案》教法：互动式教学法教学过程（教师寄语：一千个愿望，一千个计划，一千个决心，不如一个行动！）、小试牛刀: 1. 当X _ <3__时，J 3—X 有意义。 2. 3 -8 二-2 ； 3.化简：二 _2j5 ___ 5. 计算屈乂弱-屈二 _屈_ . 6. 把分母中的根号化去（分母有理化）：丄二迺丄二週価二迈（1）匸 ________ . _________ ；（ 2 、、「「 _____ . _________ ；（ 3）二」- ____ - _________ 4 ?比较大小：（1） 13— 3 2 ⑵ _2命 __ 〉 __ —3^/2

7.若：r.有意义，则,'L的取值范围是x>6 匚的结果是（ &化简 D ?以上答案都不对 (A a>0—>0 D .丄■一 10.一一「的值为（B C l 冷-2 11.若代数式「丨有意义，则.［的取值范围是 2 A. 一且 B. 12.计算2* (3—1)2+ 1 + 解：原式= 匕注+ . 2+ 1+ 3 —2 =2—,3+ 2 + 1+ 3— 2 = 3. 5 - 8= 0则以x, y的值为两边长的等腰三角13.［2012攀枝花］已知实数x, y满形的周长是（B A. 20 或16 B .20 C. 16 D .以上答案均不对二、考点聚焦: 考点1 平方根、算术平方根与立方根一个数x的平方—等于a,那么x叫做a的平方根，记作一个正数x的平方.等于a,则x叫做a的算术平方根，记作.a , 0的算术平方根是0 一个数x的_立方等于a,那么x叫做a的立方根

1数的开方(一)平方根

数的开方（一）平方根【知识要点】 1．平方根的概念如果一个数x 的平方等于a ，即2 x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。 2．平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②零有一个平方根，它是零本身； ③负数没有平方根。 3．平方根的表示方法：一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方根用符号“2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作 4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做 0的算术平方根。因此，0的算术平方根为00=。 5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。 6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。【典型例题】例1 ∵()20.30.09= ∴（） A ．0.090.3是的平方根； B ．0.090.3是的3倍； C ．0.30.09是的一个平方根； D ．0.09的平方根是0.3。例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125 ，0.0256。例3 （1）81的平方根是，算术平方根是；（2）2)4(-的平方根是，算术平方根是；（3）（-2．345）2的平方根是，算术平方根是。例4 （1）122++x x 的平方根为（） A ．没有平方根 B ．(1)x ±+ C ．0 D ．1 （2）1412-+- x x 的平方根为（） A ．)2(2 1-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（） A ．1+m B ．12+m C ．1+± m D ．12+±m

数的开方知识点汇总

数的开方知识点汇总文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果 x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。（2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数） 3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a, （3）算术平方根的性质： ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。（4）a的双重非负性 ①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。

②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。综上：a中a≥0 a≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。（2、）立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a 其中3叫做根指数，a叫被开方数。（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式：（1）2a| = (a为任意实数) |a （2、）（a）2=a (a≥0) （3、）（3a）3= a（a为任意实数） 33（a为任意实数）（4、）a a= （5、）-3a=3a -（a为任意实数）

数的开方与二次根式讲义

数的开方与二次根式讲义〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗 1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）； 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ． (2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． (3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式． 2．二次根式的性质 ). 0;0();0;0(); 0(), 0(||); 0()(22>≥=≥≥?=?? ?<-≥==≥=b a b a b a b a b a ab a a a a a a a a a 3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥= ?b a ab b a 二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式． (3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．

中考数学第4节数的开方与二次根式

第4节数的开方与二次根式命题点一二次根式的概念及性质 1. 下列二次根式中，最简二次根式是() A. － 2 B. 12 C. 1 5 D. a 2 2. 下列二次根式中，与3是同类二次根式的是() A. 18 B. 1 3 C. 2 4 D. 0.3 3. 下列各式化简后的结果为32的是() A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 命题点二二次根式有意义的条件 4. 要使二次根式2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＝2 5. 式子 a＋1 a－2 有意义，则实数a的取值范围是______________. 6. 使代数式 1 x＋3 ＋4－3x有意义的整数x有________个．命题点三平方根、算术平方根、立方根 7. 4的平方根是() A. 16 B. 2 C. ±2 D. ± 2 8. 计算36的结果为() A. 6 B. －6 C. 18 D. －18 命题点四二次根式的估值 9. 估计38的值在() A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 10. 下列实数，介于5和6之间的是() A. 21 B. 35 C. 42 D. 3 64 11. 已知M＝2×8＋5，则M的取值范围是()

A. 8＜M＜9 B. 7＜M＜8 C. 6＜M＜7 D. 5＜M＜6 12. 估计7＋3的值在哪两个连续整数之间() A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 13.若3＜a＜10，则下列结论中正确的是() A. 1＜a＜3 B. 1＜a＜4 C. 2＜a＜3 D. 2＜a＜4 14. 在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在() 第14题图 A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 15. 关于8的叙述正确的是() A. 在数轴上不存在表示8的点 B. 8＝2＋ 6 C. 8＝±2 2 D. 与8最接近的整数是3 命题点五二次根式的运算 16.下列运算正确的是() A. 2＋3＝ 5 B. 22×32＝6 2 C. 8÷2＝2 D. 32－2＝3 17.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a－b）2的结果是() A. －2a＋b B. 2a－b C. －b D. b 第17题图 18. 计算27－61 3的结果是________． 19. 计算：418－92＝________. 20. 计算12＋8×6的结果是________．

(完整版)《平方根》典型例题及练习

平方根练习题 1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），算术平方根 2、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们（2）0的平方根是；（3）没有平方根． 3、重要公式：（1）=2 )( a （2） { ==a a 2 4、平方表： 5.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________. 6.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________. 7.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________. 8. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.1827 26 的立方根是________. 例1、判断下列说法正确的个数为（） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0；

④ 0.01是0.1的算术平方根； ⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例2、 36的平方根是（） A 、6 B 、6± C 、 6 D 、 6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1） 5 （2）2- （3）4- （4） 2 )3(- （5） 310- 例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（） A ．()1+a B ．()1+±a C ．1 2+a D ．12+± a 强化训练一、选择题 1．下列说法中正确的是（） A ．9的平方根是3 B 4 2 2． 4的平方的倒数的算术平方根是（） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．14 3．下列结论正确的是（） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 25 1625162 =? ?? ? ? ?-- 4．以下语句及写成式子正确的是（） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2 )7(-的平方根，即 7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即7 49=± D 、7±是49的平方根，即749±= 5．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根； (4)9的平方根是3，其中正确的有（） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 6．下列说法正确的是（） A ．任何数的平方根都有两个 B ．只有正数才有平方根

数的开方精选练习题

数的开方单元试题(华东师大版) 考试总分：120分考试时间：90分钟姓名：得分：一、选择题（共8题24分，每题3分） 1、4的算术平方根是（） A 、4- B 、4 C 、2- D 、2 2、“9的平方根是3±”的表达式正确的是（） A 、39±=± B 、39= C 、39 ±= D 、39=- 3、若式子5+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A 、5->x B 、5-

6.1.平方根经典例题与习题

6.1平方根学习目标： 1. 掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别. 2. 能够用符号正确地表示一个非负数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系. 知识点： ()() ()()()()双重非负性．注：的算术平方根是；的算术平方根，即的正平方根叫做　正数　负数没有平方根．　０的平方根是０；，它们互为相反数；　正数的平方根有两个　平方根的性质：运算开平方与平方互为逆开平方的平方根的运算，叫做　求一个非负数，符号表示：的平方根就叫做那么即：如果）的平方根（或二次方根那么这个数就叫做平方等于　定义：如果一个数的;0,0. 00.5321.43 (20) 0,0, .12≥≥≥≥±=≥=a a a a a a a a a x a x a a x a a 知识应用类型：题型一求一个非负数的平方根【例1】求下列各数的平方根 ()()()()()2-0310012100122 +?? ? ??a ５３２４；； ()()() 即：和的平方根是，，即：和的平方根是，，１答案 101 1001.10 1 -10110011001101-1001101210 10010-1010010010-100102 2 2 2± =±∴=? ?? ??=??? ??±=±∴==

()()() 的平方根是即：的平方根是，的算术平方根是 2253232-3232-32-32-32-324000 03222 22 22 2 2+±+± =?? ? ??±± ??? ??∴?? ? ??=??? ??? ? ? ??=??? ??∴=a a 题型二求字母的取值范围 ()().32;112得取值范围没有意义，求若的取值范围有意义，求２若】　【例x x x x -- 解析根据平方根的意义，负数没有平方根可知12-x 是非负数；3-x 是负数. ()() .303 3 2 .21 012 12 1 ≤∴≤-∴-≥∴≥-∴-x x x x x x ，没有意义，，有意义，答案题型三化简求值 ()()()()() 】求下列各式的值【例29-481 49364.0-222513± ()()()()()()的算术平方根表示的平方根表示负的平方根　表示的算术平方根表示解析 2 2 9-9-481 498149364.064.0-22252251±

初三数学总复习教案-数的开方和二次根式

2013初三数学总复习教案数的开方和二次根式一：【课前预习】（一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。（2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的。一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是； 2.二次根式（1）（2）（3）（4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为，在合并同类二次根式； ②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。（二）：【课前练习】 1.填空题

2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）23x -+；（2） 211x x -+；（3）4 x -

数的开方知识点汇总

数的开方知识点汇总集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根 1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。即如果x2= a那么x就是a有平方根。 2、平方根的性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。（2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数） 3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a，读作正负根号a 其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数，叫根号，我们平常省略了根指数2。 3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。（2）表示方法：一个非负数a的算术平方根可表示为a，读作根号a,（3）算术平方根的性质： ①正数有一个正的算术平方根。 ②0的算术平方根是0 ③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。（4）a的双重非负性

①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。 ②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数，即它的值是一个非负数。综上：a中a≥0 a≥0 （5）初中所学的三类非负数 ⅰ：绝对值非负即|a|≥0 ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0 ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥0 4、立方根（1、）定义：如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。即如果x3=a那么x就是a的立方根。（2、）立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a 其中3叫做根指数，a叫被开方数。（当根指数是2时可以省略，是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质：任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。 5、数的开方中的几个公式：（1）2a| |a (a为任意实数) （2、）（a）2=a (a≥0)

平方根经典题型

可编辑平方根1 练习一概念练习：1判断下列说法正确的是____ (1)-5是-25的算术平方根；(2)6是()26-的算术平方根； (3)0的算术平方根是0；(4)0.01是0.1的算术平方根； (5)一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． 1．下列计算正确的是（） A ±2 B C.636=± D.992-=- 2．以下语句及写成式子正确的是（） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、 7是2)7(-的平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根，即 749±= 3、下列叙述错误的是（）A 、-4是16的平根 B 、17是2(17)-的算术平方根C 、1 64 的算术平方根是18 D 、0.4的算术平方根是0.02 4 2=，则2(2)m +的平方根为（） A 、16 B 、16± C 、4± D 、2± 5 、） A 、4 B 、4± C 、2 D 、2± 6、36的算术平方根是___ 的算术平方根是_____； 7、若2x =3，则x=____；a a -=-11，则a=_____ 8、36的平方根是____；(-3)2的平方根是_________ 2 )2(-的平方根是__;9的平方根是__化简=-2)3(π 9、若数a 的平方根只有一个，那么a=____;10、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是___ 1、一个数的算术平方根是9，则这个数的平方根是

12、若a是2 (2) -的平方根，b 2 a+2b的值 13 的平方根等于±2，那么a= 练习二估算比较：1、比较大小：(1)12和4 (2)2 1 3- 和2 1 2、估计20的算术平分根的大小在（） A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5和6之间 32的值在( ) A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．在4到5之间练习三有意义：1、下列各式中，有意义的是（） A、3- B、a C、23- D、2a 2、若式子 3 3 1 1 2x x- + - 有意义，则x得取值范围是（） A．2≥x B.3≤x C.3 2≤ ≤x D.以上都不对 3、x为何值时下列各式有意义：（1）3+x（2）（3）1 1 - x x x+ - 1 )1( 4x的取值范围是_____，若a≥00 5、．一个正数的两个平方根的和是______，商是________． 6、. 若a和a-都有意义，则a的值是（） A.0 ≥ a B.0 ≤ a C.0 = a D.0 ≠ a 7、.若2x a=，则（）A.0 x> B. 0 x≥ C. 0 a> D. 0 a≥ 8、．当≥ m0时，m表示（） A．m的平方根B．一个有理数C．m的算术平方根D．一个正数 9、如果5 3-x有意义，则x可以取的最小整数为_____ 可编辑

数的开方2

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