直线的位置关系
一、同步知识梳理
1、两直线的位置关系
（1）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交（垂直）。 （2）判别方法：
法一：系数行列式判别解的个数方法
① 0D ≠?相交；
② =0D 且x D 、y D 至少有一个不等于零?平行； ③ D =x D =y D =0 ? 重合
法二：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
2、相交直线交点与夹角
（1）交点坐标：联立方程求解
（2）夹角公式：
向量表示：2
2
2
22
12
121212121||||
|cos |cos b a b a b b a a +?++=
==θα.
斜率表示：同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”
分类讨论.
（1）若两直线的斜率都存在，当2
π
α≠
时，有公式2
11
21tan k k k k +-=
α;
（2）如果直线1l 和2l 中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.
二、同步题型分析
题型1：位置关系的判别与计算
例1： 已知两条直线2:60P x m y ++=，Q:(2)320m x my m -++=.当m 为何值时，
两直线
（1）相交； （2）平行； （3）重合.
【答案】
解：联立方程组：2
6
(2)32
x m y m x my m ?+=-?
-+=-?，
则232
1= 32 23m D m m m m m
=---，26=
23x m D m m --，16= 22y D m m ---. 令=0D 则=0m 或=3m 或=1m -,
①当0m ≠且3m ≠且1m ≠-时，0D ≠， 则P 与Q 相交； ②当=0m 时，D =x D =0 但y D =－1≠0，则P 与Q 平行；
③当=1m -时，D =0，x D = 16 y D =－16，则P 与Q 平行； ④当=3m 时，D =x D =y D =0，则P 与Q 重合.
综上所述：（1）0m ≠且3m ≠且1m ≠-时，两直线相交； （2）=0m 或=1m -时，两直线平行； （3）m=3时，两直线重合.
【此题的解法体现了化归的数学思想，二元一次方程组的解的讨论是一个规范化的纯代数问题，而直线P 与Q 的位置关系是一个纯几何问题，由交点个数与方程组的解的个数转化顺实现化归；解题中要弄清楚“且”与“或”的关系】
例2、m 为何值时，直线1:(2)0L m x y m -++=，2:360L x my m +++=，互相垂直. 【答案】
解：1L 的法向量1(2,1)n m =-，2L 的法向量2(3,)n m =.
令12=0n n ?，则()32+=0m m -，解得3=
2
m . .
例3、从点()1,2-作直线02153=--y x 的垂线，则垂足的坐标为 . 【答案】
解：设垂足坐标为()00,P x y ，
由直线的方向向量(5,3)d =，则()00(5,3)+1,2=0x y ?-①
点()00,P x y 代入直线方程得：003521=0x y --② 由①、②得：00=2
=3
x y ??-?.
题型2：夹角公式应用
例1：已知直线：，：，则直线与的夹角
是 ． 答案：
3
π
例2：直线1l 在x 轴和y 轴上的截距分别为3和1，直线2l 的方程为10ax y -+=，直线1l 与2l 的夹角为45?，则a 的值为
答案：21
或2-
例3：直线1y =
与直线3y =+的夹角为
解析：当出现平行或垂直x 轴直线时，可数形结合用倾斜角判断
答案：3
π
题型3：直线位置关系的综合分析
例1：当m 取何值时，三条直线1:44L x y +=，2:0L mx y +=,3:234L x my -=不
能构成三角形.
解：（1）当三线交于一点时，不妨设1L 、2L 相交，易求点4
4,444m m m -?? ?--??
，
将交点代入3L 的方程，求得=1m -或2=
3
m . （2）当三条直线中至少有两条平行（或重合）时， ①1L 与2L 平行（或重合），求得=4m ； ②1L 与3L 平行（或重合），求得1
=6
m -； ③3L 与2L 平行（或重合），m 无解.
1l 023=+-y x 2l 0533=-+y x 1l 2l
综上所述，当三条直线不能构成三角形时，m 值可以是1-或
23或1
6
-或4. 【由几何特征，易知三条直线交于一点或至少两条直线平行（或重合）时，三线都不能构
成三角形；分类讨论时要点是不重复且不遗漏】
三、课堂达标检测
1、当m 为何值时，直线1:(2)0L m x y m -++=，2:360L x my m +++=.两直线 （1）相交；（2）平行； （3）重合. 【答案】（1）3m ≠且1m ≠-，相交；
（2）=1m -，平行； （3）=3m 重合.
2、若直线0342:L , 053:21=--=-+y x y ax L 互相垂直，求a 的值？ 【答案】6.
3、若直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则实数m 的值为
.A 1 .B 2- .C 1或2- .D 1-或2-
4、“两条直线的斜率的乘积等于—1”是“两条直线互相垂直”的 （ ）
A .必要非充分条件；
B .充分非必要条件；
C .充要条件；
D .既非充分又非必要条件. 【答案】B .（提示：当斜率为零与斜率不存在的情况下的两条直线也相互平行）
5、若直线042:L , 043:21=+-=-+b y x y ax L 互相平行，则a 、b 的值是 （ ）
A .32a =，163b ≠；
B .32a =，163b ≠-；
C .32a =-，163b ≠；
D .32a =-，16
3
b ≠-.
【答案】 C .
6、若直线1:(1)30L kx k y +--=,2:(k-1)(23)20L x k y ++-=互相垂直，则k 的值为 .
【答案】—3或1（提示：当斜率不存在的时候不能忽略）.
7、两条直线1110A x B y C ++=，2220A x B y C ++=垂直的充要条件是（ ）
.A 12120
A A
B B +=
.B 12120
A A
B B -= .
C 12
12
1A A B B =- .D 12
12
1B B A A = 解析：理解公式的全面性问题 答案：A
8、 “1
2
m =
”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-= 相互垂直”的( )
.A 充分必要条件； .B 充分而不必要条件； .C 必要而不充分条件； .D 既不充分
也不必要条件. 答案：A
9、直线
3x y +=和直线2x y +
=的位置关系是
.A 相交不垂直 .B 垂直 .C 平行 .D 重合
答案：B
10、直线1:0L x c +=，2:0L xsin α+=3(2
ππα＜＜
）的位置关系是（ ）
A .平行；
B .相交；
C .垂直；
D .重合. 答案C .
11、若c b a 、、是△ABC 的三条边，则直线1:0L xsinA ay c ++=，
2:0L bx ysinB sinC -+=
的位置关系是（ ）
A .平行；
B .相交；
C .垂直；
D .重合. 答案C .
12、已知两条直线1l ：y x =，2l ：0ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在0,12π??
???
内变动时，a 的取值范围是
.A ()0,1 .B 3? ? .
C (),11,33??
? ???
.D (（1，
3）
解析：数形结合分析1l 倾斜角4
π
，则2l 倾斜角范围可得
①1L 、2L 平行（或重合），求得=1a ；
②1L 、2L 平行（或重合），求得=2a -；
综上所述，当三条直线不能构成三角形时，a 值可以是1或7或－2.
学法升华
一、 知识收获
1、两直线的位置关系
（1）平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交（垂直）。 （2）判别方法：
法一：系数行列式判别解的个数方法
① 0D ≠?相交；
② =0D 且x D 、y D 至少有一个不等于零?平行； ③ D =x D =y D =0 ? 重合
法二：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
2、相交直线交点与夹角
（1）交点坐标：联立方程求解
（2）夹角公式：
向量表示：2
2
2
22
12
121212121||||
||||
|cos |cos b a b a b b a a d d +?++=
?==θα.
斜率表示：同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.
（1）若两直线的斜率都存在，当2
π
α≠
时，有公式2
11
21tan k k k k +-=
α;
（2）如果直线1l 和2l 中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.
二、 方法总结
1、基本公式理解加以区别和灵活应用
2、数形结合思想
三、 技巧提炼
做好公式区别，掌握特殊情况，数形结合思想分析等
课后作业
1、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 10x y +-= _.
2、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ A ） （A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定
3、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是
4
π
_.
4．已知直线0y +=与直线10kx y -+=的夹角为60，则实数k = 0或
-.
C++求点与直线,直线与直线的位置关系
//---------------------------------- //类名:Vecter2D //功能:2维矢量类 //---------------------------------- class CVecter2D { //---------构造函数--------------------- public: CVecter2D(){ x = y = 0.0;} CVecter2D(double fx,double fy){x = fx; y = fy;} public: double x,y; //-----------操作符--------------------- public: CVecter2D operator + (const CVecter2D& vecter); CVecter2D operator - (const CVecter2D& vecter); CVecter2D operator * (const double& fScalar); CVecter2D operator / (const double& fScalar); void operator = (const CVecter2D& vecter); bool operator == (const CVecter2D& vecter); void operator += (const CVecter2D& vecter); void operator -= (const CVecter2D& vecter); void operator *= (const double& fScalar); void operator /= (const double& fScalar); //-----------操作------------------------ public: void Normalized(); //归一化 double Dot(const CVecter2D& vecter); //点积 double GetAngle(const CV ecter2D& vecter); //夹角 int IsVertical(const CVecter2D& vecter); //0--垂直,1--大于90度,-1小于90度bool IsParallel(const CVecter2D& vecter); //是否平行 void Inverted(); //求反 CVecter2D GetV ertical(bool bClockwise = false); //获取正交向量 //-----------属性------------------------ public: bool IsAffine(); //是否为仿射组合 bool IsConvex(); //是否为凸组合 double GetLength(); //长度 };
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 整体设计 教学分析 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念. 三维目标 1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系. 2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用. 3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入） 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系. 思路2.（事例导入） 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？ 图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做异面直线？ ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？ ⑤什么是空间等角定理？ ⑥什么叫做两异面直线所成的角？ ⑦什么叫做两条直线互相垂直？
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系 一、线、面之间的平行、垂直关系的证明 书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推； 线面垂直判定定理 线面垂直的定义 两平面的法线垂 直则两平面垂直 面面垂直判定定理 线面平行判定定理 线面平行性质定理 线面平行转化 面面平行判定定理 面面平行性质定理
3、平行关系与垂直关系互推。 以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。 线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??； 面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??； 线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； 线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα； 线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //； 线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。 符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=? ；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；
点直线和圆的位置关系教案
教学过程 一、课堂导入 问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？
二、复习预习 1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 2、圆周角定理的推论： （1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. （2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 3、其它推论：①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. ②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半. ③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等. ④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 三、知识讲解 考点1 点与圆的位置三种位置关系 如图1所示，设⊙O 的半径为r ， A 点在圆内，OA ＜r B 点在圆上，OB = r 图 1
C点在圆外，OC＞r 反之，在同一平面上，已知的半径为r⊙O，和A，B，C三点： 若OA＜r，则A点在圆内 若OB= r，则B点在圆上 若OC＞r，则C点在圆外 考点2 直线和圆的位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.） 1、当d＞r时，直线与圆相离(如图所示） 2、当d＜r时，直线与圆相交（如图所示） 3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线. 考点3 切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）.
直线与圆的位置关系(教案)
《直线与圆的位置关系》的教学设计 一、教学课题：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书A版数学②第四章第二节“直 线与圆的位置关系”第一课时。 二、设计要点：学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，在前面几节课学习了直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。用过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“用数学”及合作学习的意识。 三、教学目标： 1．知识目标：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决相关的问题；2．能力目标：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想与方程的思想；3．情感目标：通过学生的自主探究，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。 四、教学重点、难点、关键： （1）重点：用坐标法判断直线与圆的位置关系 （2）难点：学生对用方程组的解来判断直线与圆的位置关系方法的理解 （3）关键：展现数与形的关系，启发学生思考、探索。 五、教学方法与手段： 1．教学方法：探究式教学法 2。教学手段：多媒体、实物投影仪 六、教学过程： 1．创设情境，提出问题 教师利用多媒体展示如下问题： 问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km 处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果 这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 教师提出：利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。 设计意图：让学生从数学角度看日常生活中的问题，体验数学与生活的密切联系，激发学生的探索热情。 2．切入主题，提出课题 （1）由学生将问题数学建模，展示平面几何解决方法，得出结论。教师带领学生一起回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法。
点与直线、直线与直线的位置关系
第二节 点与直线、直线与直线的位置关系 一、基础练习： 1．已知两条直线y ＝a 2 x －2和x-ay ＋1＝0互相垂直，则a 等于________．-1或0 2．直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是a ＝________.-2 3．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为______________．X-y+1=0 4．若点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则实数a 的值为________．-3 5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线l 过点A (－2,3)，且法向量为n ＝(1，－2)，则直线l 的方程为______________．X-2y+8=0 二、重点知识： 1、判断两直线的关系 例1：已知两条直线l 1：ax-by ＋4＝0，直线l 2：(a-1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a 、b 的值。 （1）21l l ⊥，且1l 过点)1,3(--；a=b=2（2）21//l l ，且原点到这两直线的距离相等。a=2,b=-2; a=3 2 ,b=2 规律：已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0。 （1）若l 1∥l 2，则_____________________________________； （2）若l 1⊥l 2，则____________________________________； 练习题：1.已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的________________条件．必要不充分 2．已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是_________________。2 3.若三条直线l 1：x ＋y ＝7，l 2：3x －y ＝5，l 3：2x ＋y ＋c ＝0不能围成三角形，则c 的值为________．-10 4．过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，求直线l 的方程。 4x+y-6=0,3x+2y-7=0 5．设a 、b 、c 、分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是______．垂直 6．已知0 《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点 （3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选 点、直线、圆与圆的位置关系 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 5．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 6．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 名称确定方法图形性质 24．2点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.1点和圆的位置关系 1．如图，⊙O的半径为r. (1)点A在⊙O外，则OA__＞___r；点B在⊙O上，则OB__＝___r；点C在⊙O内，则OC__＜___r. (2)若OA＞r，则点A在⊙O__外___；若OB＝r，则点B在⊙O__上___；若OC＜r，则点C在⊙O__内___． 2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆． 3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___． 4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误___，从而得到原命题成立． 知识点1：点与圆的位置关系 1．已知点A在直径为8 cm的⊙O内，则OA的长可能是( D) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 2．已知圆的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是__OP＞6_cm___．3．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系： (1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm. 解：(1)在圆内(2)在圆上(3)在圆外 知识点2：三角形的外接圆 4．如图，点O是△ABC的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___． 5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___． 6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C) A．任意三角形B．直角三角形 空间中直线与直线之间的位置关系(附答案) 空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝ O，所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) 反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ?? ? 共面直线??? ?? 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点????? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性 符号语言 ? ??? ?a ∥c b ∥c ?a ∥b 图形语言 知识点三 空间等角定理 1.定理 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表： 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 二、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． _A _ l _ l _A _ l 上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 三、三角形内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ?中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=?，则()1 2 r a b c =+- 四、典例分析：切线的性质及判定 _ O _F _E _ D _ C _ B _ A _ C _ B _ A _ C _ B _ A _c _ b _a _c _ b _a _T _A 点、直线与圆的位置关系（中考复习教案） 一、复习目标： 1、探索并了解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系； 2、理解不在同一直线上的三点确定一个圆； 3、掌握切线的判定定理及切线的性质定理，熟练运用它们解决一些具体的问题； 二、复习重点和难点： 复习重点： 1、熟练运用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题； 2、掌握点、直线与圆的位置关系及其性质和判定方法。 复习难点： 1、利用切线的判定定理和切线的性质定理解决一些具体的问题； 2、利用切线的性质和判定进行证明或计算时如何正确添加辅助线。 三、复习过程： （一）知识梳理： 1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 点在圆外?d＞r．点在圆上?d=r．点在圆内?d＜r． 2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离． 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则 直线与圆相交?d＜r；直线与圆相切?d=r；直线与圆相离?d＞r 3.切线的性质和判定 (1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线的判定方法一：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (4)切线的判定方法二：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 注意：证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．” 直线与圆的位置关系 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题(每小题5分，共40分) 1.如果a2+b2=c2，那么直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 2.设直线过点(a，0)，其斜率为-1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为() A.± B.±2 C.±2 D.±4 3.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为() A.1 B.2 C.4 D.4 4.过点P(-2，4)作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m间的距离为() A.4 B.2 C. D. 5.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是() A.y=x B.y=-x C.y=x D.y=-x 6.已知圆C：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a 等于() A. B.2- C.-1 D.+1 7.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为() A.1 B.2 C. D.3 8.过点P(-，-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A.0°<α<30° B.0°<α≤60° C.0°≤α≤30° D.0°≤α≤60° 二、填空题(每小题5分，共10分) 9.过点A(1，)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k=________. 点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用) 一．点与抛物线的位置关系： 已知点p （x 0,y 0）和焦点为F 抛物线2y =2px （p>0） （1）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）? 2o y <2p 0x （p>0） （2）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）上? 2o y =2p 0x （p>0） （3）点p （x 0,y 0）在抛物线2y =2px （p>0）外? 2o y >2p 0x （p>0） 二．直线和抛物线线之间的关系： 已知抛物线C:2y =2px （p>0）直线l ：Ax+By+C=0 抛物线C 和直线l 相离： （1）抛物线C 和直线l 相离?抛物线C 和直线l 无交点?方程组22x y =0 y px A B C =++?? ?无解，消去y 得 关于x 的方程设为 A 2x 2 +2(AC-pB)x+C=0 （1）(或消去x 得关于y 的方程,Ay 2 +2pBy+C=0… ⑵)?方程（1）（或方程（2）无解）? 方程（1）中的 判别式?<0(方程（2） 中的 判别式00. 若抛物线C 和直线l 有两个交点A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2））.C ()00,y x 是AB 的中点，则直线AB 的斜率0 y p k AB = 则 当直线l 斜率是k 时12|AB y y = =- 直线l 倾斜角为α 时1212|||AB x x y y =-=- 课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A 版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。 教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。 教学目标： 1、知识与技能 （1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 （2）.会用平面衬托来画异面直线。 （3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。 （4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 （1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 （1）.让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 （2）.增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。（3）.通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型（正方体）教学模式 问题——自主、合作——探究 第二章点、直线、平面之间的位置关系 知识点总结 1、平面的性质 一、空间点、直线、平面之间的位置关系 四个公理： 公理1 文字语言： 符号语言： 公理2： 文字语言： 符号语言： 公理3： 文字语言： 符号语言： 推论： （1）过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 （2）过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）过两条相互平行的直线，有且只有一个平面。 2、空间中直线与直线之间的位置关系 异面直线： 空间中两条直线有且只有三种位置关系（它们的特征）： 相交直线： 平行直线： 异面直线： 公理4 ：（平行线的传递性） 文字语言： 符号语言： 等角定理： 异面直线所成的角： 3、空间中直线与平面与直线间的位置关系 （1）直线在平面内： （2）直线与平面相交： （3）直线与平面平行： 4、平面与平面之间的位置关系 （1）两个平面平行： （2）两个平面相交： 二、直线、平面平行的判定的判定及其性质 1、直线与平面平行的判定及其性质 （1）直线与平面平行的判定（线线平行，则线面平行）： 符号语言： （2）直线与平面平行的性质（线面平行，则线线平行）： 符号语言： 2、平面与平面平行的判定及其性质 （1）平面与平面平行的判定（线线平行，则面面平行）: 符号语言： （2）平面与平面平行的性质（面面平行，则线线平行）： 符号语言： 三、直线、平面垂直的判定及其性质 1、直线平面垂直的的判断及其性质 （1）直线与平面垂直的定义： （2）直线与平面垂直的判定2、2（线线垂直，则线面垂直）： 符号语言： （3）直线与平面垂直的性质： 符号语言： （4）平面与直线所成角的角： 点、直线、圆与圆的位置关系测试题 一、选择题：(每小题3分，共30分) 1．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的 位置关系为（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或 相离 2．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=∠90°，以CD为直径的半圆O 切AB于点E，这个 （第4题图）梯形的面积为21，周长为20.那么半圆O 的半径为（ ） A 、3 B 、7 C 、3或7 D 、2 ·O A D E B C 4．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与 AB 的延长线交于P ，PC=5，则⊙O 的半径为（ ） A. 33 5 B. 63 5 C. 10 D. 5 5．直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线ａ与⊙O 的位 置关系是（ ） Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6．A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB ⌒的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC 等于 A C 第2题图 第6题图 第3题图 （ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 40° 7．AB 为⊙O 的一条固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上 一点C ，作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当C 点在半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （ ） A. 到CD 的距离不变 B. 位置不变 C. 等分DB ⌒ D. 随C 点的移动而移动 8．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD=20，则△ABC 的周长为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 2 1 35 9．如图，已知∠BAC=45°，一动点O 在射线AB 上运动（点O?与点A 不重 合），设OA=x ，如果半径为1的圆O 与射线AC 有公共点，那么x 的取值范围是（ ） 两直线的位置关系 【知识清单】： 1．两条直线位置关系的判定 （1）易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑． （2）比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1 C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答． 2．两条直线的交点的求法： 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是方程组????? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0， A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0的解． 3．距离 注意： 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错． 【考点突破】： 考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透) 1．(2016·重庆巴蜀中学模拟)若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于() A．1B．－1 3 C．－2 3D．－2 解析：选D由a·1＋2·1＝0得a＝－2，故选D. 2．(2016·金华十校模拟)“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件． 3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是() A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：选A依题意，设所求的直线方程为x－2y＋a＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a＝0，即a＝－1，则所求的直线方程为x－2y－1＝0. 考点二距离问题(重点保分型考点——师生共研) 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2. 解：设点P的坐标为(a，b)． ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)． 而AB的斜率k AB＝－3＋1 4－2 ＝－1， ∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， ( 数学教案 ) 学校：_________________________ 年级：_________________________ 教师：_________________________ 教案设计 / 精品文档 / 文字可改 九年级数学：《直线与圆的位置 关系》(教学方案) Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities. 九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教 学方案) 教材：华东师大版实验教材九年级上册 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 圆的有关性质，被广泛地应用于工农业生产、交通运输等方面，所涉及的数学知识较为广泛；学好本章内容，能提高解题的综合能力。而本节的内容紧接点与圆的位置关系，它体现了运动的观点，是研究有关性质的基础，也为后面学习圆与圆的位置关系及高中继续学习几何知识作铺垫。 2、教学目标 知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种 位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。 过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。 情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。 3、教学重、难点 重点：理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系； 难点：学生能根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系，揭示直线与圆的位置关系；直线与圆的三种位置关系判定方法的运用。两条直线的位置关系说课稿
点、直线、圆与圆的位置关系
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)资料
空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)教学教材
讲义_直线与圆的位置关系
点、直线与圆的位置关系(中考复习教案)
直线与圆的位置关系(解析版)
点、直线与抛物线之间的位置关系(学生用)
空间直线与直线的位置关系(教案)
点直线平面之间的位置关系知识点归纳
新人教版九年级数学点直线和圆的位置关系》测试题
(精品word)两条直线的位置关系(含答案)
九年级数学：《直线与圆的位置关系》(教学方案)