高三数学椭圆教案

第一节 椭 圆

一.基本知识概要

1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()

212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|

e d

PF =，0＜e ＜1的常数

}。

（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）；

焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -=

（一个?Rt ）

（2）焦点在y 轴上，中心在原点：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）；

焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -=

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=

并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜

B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

3.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12

2

22

=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：

坐标系下的性质：

① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；

② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；

（a 半长轴长，b 半短轴长）；

④ 准线方程：c

a x 2±

=；或c

a y 2

±=

⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；

|PF 1|=下r =a+ey 0，|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max , 平面几何性质： ⑥ 离心率：e=

a

c

（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。 ⑦ 焦准距c b p 2=；准线间距c

a 2

2=

⑧ 两个最大角()()221max 21221max 21,A B A PA A F B F PF F ∠=∠∠=∠

焦点在y 轴上，中心在原点：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。

4.重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。

5.思维方式：待定系数法与轨迹方程法。

6.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e 与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.

二.例题：

例1：(1) 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭

圆的长轴长是6，且cos ∠OFA=2/3。则椭圆方程为________________。

(2) 设椭圆136

10022

=+y x 上的点P 到右准线的距离为10，那么点P 到左焦点的距离等于

_______。

(3) 已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，P 为椭圆上的点，

当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率e=_______。（教材P 119页例1）。

（4）已知椭圆19

252

2=+y x 上的点P 到左焦点的距离等于到右焦点的距离的两倍，则P

的坐标是_________。 解：(1) ∵椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA=2/3，∴点A 不是长轴的端点。∴|OF|=c ，|AF|=a=3，

∴c=2，b 2

=5。∴椭圆方程是19522=+y x ，或15

92

2=+y x 。

（2）由椭圆的第二定义得：点P 到左焦点的距离等于12。

(3) 设椭圆方程为12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）,2

2b a c -=, F 1（－c ，0），则点),(2

a b c P -，

由PO ∥AB 得k AB =k OP 即ac b a b 2

-=-，∴b=c ，故2

2=e 。

（4）设P(x,y),F 1,F 2分别为椭圆的左右焦点。由已知椭圆的准线方程为4

25

±

=x ， 故

x PF x PF -=+4

25||425||21，∵|PF 1|=2|PF 2|，∴4119±=x ，故)4119

,1225(±P 。

【思维点拨】1)求离心率一般是先得到a ，b ，c 的一个关系式，然后再求e ； 2)由椭圆的

一个短轴端点,一个焦点,中心O 为顶点组成的直角三角形在求解椭圆问题中经常用到；（3）结合椭圆的第二定义,熟练运用焦半径公式是解决第(3)小题的关键。

例2：如图，设E ：122

22=+b

y a x （a>b>0）的焦点为1F 与2F ，且θ2,21=∠∈PF F E P 。

求证：21F PF ?的面积θtan 2

b S =。（图见教材P119页例2的图） 证明：设2211,r PF r PF ==，则

c F F r r S 2,2sin 2

1

2121==

又θ， 由余弦定理有θθ2cos 22)(2cos 2)2(2121221212

22

12r r r r r r r r r r c --+=-+=＝

)2cos 1(2)2(212

θ+-r r a θ

θ2cos 12444)2cos 1(22

212

2

2

21+=

?=-=+?b r r b c a r r 这样即有21=S .tan cos 2cos sin 22sin 2cos 1222

22θθ

θ

θθθb b b ==+ 【思维点拨：解与)(21为椭圆上的点

P F PF ?有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合a PF PF 221=+来解决。

例3：若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，

直线OM （O 为原点）的斜率为

2

2，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程。

解：设椭圆方程为ax 2+by 2

=1，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(

2

,22

121y y x x ++). 由??

?=+=+1

12

2by ax y x 消去y 得012)(2

=-+-+b bx x b a . ∴

,221b a b x x +=+ 221y y +=1－b a a

x x +=+221,

∴),(b

a a

b a b M ++,∴由=OM k 2

2得a b 2=……①; 又OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即

x 1x 2+(1-x 1)(1-x 2)=0,2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0,∴

01212=++-+-b

a b

b a b ）（, ∴a+b=2……②.

联立①②得)12(22),12(2-=-=b a ∴方程为1)12(22)12(222=-+-y x . 【思维点拨】“OA ⊥OB ?x 1x 2+y 1y 2=0”(其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2))是我们经常用到的一个结论.

例4:（备用）已知椭圆的焦点是F 1（－1，0）,F 2（1，0）,P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P 在第三象限，且∠P F 1F 2=1200，求tan ∠F 1PF 2。

解：(1)由题设2|F 1F 2|=|PF 1|+|PF 2|，c=1。∴2a=4，∴b=3。∴椭圆方程为13

42

2=+y x 。 (2)设∠F 1PF 2=θ,则∠PF 2 F 1=600－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到

)60sin(||120sin ||sin ||010221θθ-==PF PF F F )

60sin(120sin |

|||0

012θ-++=PF PF ,

∴化简可得)cos 1(3sin 5θθ+=,∴5

3

cos 1sin 2

tan

=

+=

θθθ

, 从而可求得tan ∠F 1PF 2=

11

3

5。 【思维点拨】解与△P F 1F 2有关的问题（P 为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且

结合|PF 1|+|PF 2|=2a 来求解。

例5:（备用）（1）已知点P 的坐标是(-1,3)，F 是椭圆112

162

2=+y x 的右焦点,点Q 在椭圆上

移动，当PQ QF 2

1

+

取最小值时，求点Q 的坐标，并求出其最小值。 （2）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23=

e ，已知点P ??

?

??23,0这 个椭圆上的点的最远距离是7

的点的坐标。

解(1)由椭圆方程可知a=4,b=32,则c=2,2

1

=

e , 椭圆的右准线方程为x=8 过点Q 作QQ ’l ⊥于点Q ’

,

过点P 作PP ’l ⊥于点P ’

,则据椭圆的第二定义知,

e QQ

QF ='

'21QQ QF =∴,()

PQ QQ PQ QF +=+'2

1

21

易知当P 、Q 、Q ’在同一条线上时，即当Q ’与P ’点重合时，PQ QQ +'

才能取得最小

值，最小值为8-(-1)=9，此时点Q 的纵坐标为-3，代入椭圆方程得2±=x 。

因此,当Q 点运动到(2,-3)处时, PQ QF 2

1

+取最小值9.

(2)设所求的椭圆的直角坐标方程是()0122

22>>=+b a b

y a x

由4312

2

22222

=??

? ??-=-==a b a b a a c e ,解得21=a b ,设椭圆上的点(x,y)到点P 的距离为d 则34213232322

22222

22

2

++??? ?

?+-=??? ??-+-=??? ??-+=b y y y b a a y x d

其中b y b ≤≤-,如果2

1

取得最大值

()

2

2

237??? ?

?

+=b

解得b=21237>-

与21

1

-=y 时d 2取得最大值， ()

3472

2

+=b 解得b=1,a=2 所求椭圆方程为14

22

=+y x

由21-

=y 可得椭圆上到点P 的距离等于7的点为??? ?

?

--21,3,??? ??-21,3 三、课堂小结:

1.椭圆定义是解决问题的出发点,要明确参数a,b,c,,e 的相互关系,几何意义与一些概念的联系.尤其是第二定义,如果运用恰当,可收到事半功倍的效果(如关于求焦半径的问题).

2.在椭圆的两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；

3.待定系数法和数形结合是最基本的方法与思想.在解题时要熟练运用.

高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案

解斜三角形（复习）公开课教案 [教学目标] 一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。 二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。 [教学重点] 正弦、余弦、面积公式的应用。 [教学难点] 选择适当的方法解斜三角形。 [教学过程] 一：基本知识回顾： 1.1、正弦定理及其变形； 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2c C R = 变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c = 1.2、余弦定理及其变形； 余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，变式：222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-， 222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-。 222 cos 2a b c C ab +-= 1.3、面积公式 二：例题分析： 1、正弦定理 （1）在△ABC 中，已知 ，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =0 30A = , 则B 等于60?或120? 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===4,303 a b A ===?

2、余弦定理 （1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60° （2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 A ．4 1 - B ．41 C ．3 2 - D ． 3 2 3、三角形解的个数 （1）在△ABC 中，已知 , 这个三角形解的情况是:（ C ） A.一解 B.两解 C.无解 D.不能确定 （2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6== b a ，那么 满 足条件的△ABC （ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 4、判断三角形形状 （1）若c C b B a A cos cos sin = =则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形 （2）关于x 的方程02 cos cos cos 2 2=-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 5、正余弦定理的实际应用 （1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2） 10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值 18,20,150a b A ===?222a b c bc =+-

完整word版,椭圆(高三复习课教案)

椭圆（高三复习课） 恩平市第一中学张雪梅 一、教学内容分析 圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。 二、学生学习情况分析 本班是普通文科班，此课之前，学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》（A版）第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。 三、教学目标 1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。 2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理 解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。 3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。 2、了解椭圆的简单应用。 教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。 五、教学过程

高中数学《椭圆》教案设计

教案设计高中数学 《椭圆》 一、椭圆的定义 1、平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 定点F1, F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|叫做椭圆的焦距。 2、点集P=﹛M | |MF1| + |MF2|=2a,2a2a＞|F1F2|﹜,其中两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭圆的焦距。 二、椭圆的标准方程 1、焦点在x轴上，焦点坐标（±c,0）,焦距为2c。 2、焦点在y轴上，焦点坐标（0,±c）,焦距为2c。 三、一般方程式 1、Ax2+By2=C 2、Ax2+By2=1 四、椭圆标准方程的求解方法 1、定义法 2、待定系数法 五、几种题型的讲解 1、共焦点 2、焦点三角形 3、与椭圆有关的的轨迹方程的求解 4、直线与椭圆关系 5、中点弦问题及点差法 例题1：过已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是（）。 A.圆 B.椭圆 C.圆或椭圆 D.线段 例题2：如图，Rt△ABC中，|AB|=|AC|=1，以点C为一个焦点的椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A，B两点，则这个椭圆的焦距长为。

例题3：求适合下列条件的椭圆的标准方程。 （1）、两个焦点的坐标分别是（-4,0），（0，-4），椭圆上任意一点p 到两焦点距离之和等于10； （2）、两个焦点的坐标分别为（0，-2），（0,2），并且椭圆经过 (23 -,25) (3)、焦点在y 轴上，且经过两个点（0,2），（1,0); (4)、经过点P(-23,1),Q(3,-2). 共焦点问题： 例题4：过点（-3,2）且与92x +142 =y 有相同焦点的椭圆的方程为 。 焦点三角形问题： 例题5：已知P 为椭圆174252 2=+y x 上的一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60°,求△F 1PF 2的面积。 与椭圆有关的的轨迹方程的求解问题： 例题6：已知圆922=+y x ，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′,点M 在PP ′上，并且 求点M 的轨迹。 直线与椭圆关系问题 例题7：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，直线y=x+1与该椭圆交于点P 、Q ，且 0·=→ → OQ OP ,|PQ|=210 ,求椭圆的方程。 ' =→→MP PM 2

[精品]新高三数学第二轮专题复习概率与统计优质课教案

高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法

知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案 一、课型 新授课 二、教学内容 1、椭圆的定义； 2、椭圆的两类标准方程； 3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。 三、教学目标 1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标 准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程； 2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力； 通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系； 3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学 习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。 四、教学重点、难点 重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程； 难点：椭圆标准方程的推导过程。 五、教学方法 教师引导为主、学生自主探究为辅。 六、教学媒体

幻灯片、黑板。 七、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。 （二）问题探究 老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成 下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？ 如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。 将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。 再用课件给学生进行演示： 通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2 的距离之和等于常数(大于|F 1 F 2 |)的点的轨迹叫做 椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数

[精品]新高三数学第二轮专题复习分类讨论思想优质课教案

高三数学第二轮专题复习：分类讨论思想 高考要求 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 重难点归纳 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是 1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 典型题例示范讲解

例1已知{a n }是首项为2，公比为2 1的等比数列，S n 为它的前n 项和 （1）用S n 表示S n +1; （2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S c S k k 成立 命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力 知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质 错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223 技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k ,c 轮流分类讨论，从而获得答案 解 （1）由S n =4(1–n 21），得221)2 11(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N *) （2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---k k S c S c 因为4)211(4<-=k k S 所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N *)故只要23S k –2＜c ＜S k ，（k ∈N *） 因为S k +1＞S k ，(k ∈N *) ① 所以23S k –2≥2 3S 1–2=1 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3 当c =2时，因为S 1=2，所以当k =1时，c ＜S k 不成立，从而①不

高中数学精讲教案-椭圆及其性质

高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数． 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF 1F 2 ＝ 1 2|PF1||PF2|·sinθ＝b 2· sinθ 1＋cosθ ＝b2tan θ 2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： (1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)． (2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)． 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2＋y2 n2＝1共焦点的椭圆可设为 x2 m2＋k ＋ y2 n2＋k ＝1(k>－m2，k>－n2)． (2)与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2＋ y2 b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝k2(k2>0，焦 点在y轴上)．

高中数学《指数函数(一)》优质课比赛教案设计

指数函数（一） 教学目标： 知识与技能： 理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、底数变化图像的变化规律、中介值）比较大小。 过程与方法： (1). 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生 观察、猜想、归纳、概括的能力。 (2). 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分 类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直 观、严谨的思维品质。 情感、态度与价值观： (1). 体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的 普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激 发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐 趣。 (2). 让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步 培养学生的学习兴趣。 教学重点：指数函数的图像和性质。 教学难点：指数函数的底数a对图像的影响。

教学过程： （一）、概念引入： 1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，以此类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ 2．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的12 ，设该物质的初始质量为1，经过x 年后的剩余质量为y ，你能写出,x y 之间的函数关系式吗？ 1. 2()x y x N +=∈ 2. 1()()2x y x N +=∈ 上述两个函数都是正整数指数函数，但在实际问题中指数不一定都是正整数，比如在实例（2）中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，这就需要对正整数指数函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将正整数指数函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数。 一般地，函数(01x y a a a =>≠且）叫做指数函数，其中x R ∈。 结合指数的运算，引导学生分析为什么规定01a a >≠且，加深学生对概念的理解。 你能举出指数函数的例子吗？ 练习1：判断下列函数是否为指数函数。 （1）3x y -= （2）2y x = （3）23x y += （4）(2)x y =-

高中数学椭圆的教学设计

选修1-1《2.1.1 椭圆及其标准方程》教学设计 一、指导思想与理论依据 1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出：“强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。”在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。 2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。 二、教学背景分析 1. 教材分析 解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。 在必修2中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法，并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形。在选修1中，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。本章所研究的三种圆锥曲线都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种圆锥曲线的学习的重点放在了椭圆上，通过求椭圆的标准方程，是学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用方法。因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 2. 学情分析 知识方面 （1）在必修2第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础； （2）根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战； （3）在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题； 自身特征方面 （1）我所教授的班级是文科班，他们普遍对数学有一定的畏难情绪，但是他们思维比较活跃，对新鲜事物有一定的好奇心和探索欲望，对老师的讲授敢于质疑，有自己的想法和主见，愿意自己去探索是什么和为什么。并且具备了初步的探索能力；

高中数学优秀教学案例设计汇编(上册)

高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部）

目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）……………………………………………………

21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用………………………………………

高三年级数学椭圆的教学设计与反思

《椭圆及其标准方程》教学设计及反思 教学目标： （一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程． （二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力． （三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神． 教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳． 教学过程 （一）设置情景，引出课题: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的 实 物和图片，让学生从感性上认识椭圆. 2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规 律”运动的轨迹。 提问：点M 运动时，F 1、F 2移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？ 下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题： 1．在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？ . （二）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ 2、研讨探究 问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有 a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。 M

椭圆(高三复习课教案)

椭 圆（高三复习课） 阜阳三中 谭含影 一、教学内容分析 圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。 二、学生学习情况分析 本班是普通文科班，此课之前，学生已经学习过相关内容。此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“ 思”、“究” ，再到教师的“讲”， 使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。 三、教学目标 1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。 2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。 3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。 2、了解椭圆的简单应用。 教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。 五、教学过程 1、知识梳理 构建网络 问题1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和为常数的点的轨迹是什么? 常数大于12||F F 时，点的轨迹是椭圆

椭圆的标准方程教案

河北阜城中学--高二数学组 组题人：高泽宁 审核人：沈志华 日期：2019年 月 日 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 学校： 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○ 第 1 页 共 3 页 学习目标： 1：熟练掌握椭圆的定义。 2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆并确定椭圆的标准方程。 学习重点：椭圆的定义及标准方程。 学习难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程： 一：椭圆概念的引入： 1：动画演示：（1）天体行星和卫星运行的轨道。 （2）立体几何中作圆的一种直观图。 2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。 即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 3：由此总结椭圆定义： 平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 说明 注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点------两点间距离确定。 （2） 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 思考： 改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？ 绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤： 2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （ c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得： )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22> 022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得： 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得： 选修2-1 第一章 2.2.2 椭圆的标准方程 教案 试卷类型 学案 ※ 数学是一切知识的最高形式----柏拉图 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a ＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在

《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》

直线与圆的位置关系(1) 课型：高三数学一轮复习课 课题：直线与圆的位置关系 课时：第一课时 教材：苏教版 对教材内容的理解分析： １、本节内容在全书及章节的地位： 直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课． ２、本节课的复习内容： 本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一． ３、教材的地位与作用： 本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学反思： 1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体． 2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化．教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖． 关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法． 参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等． [教学目标] 知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题． 能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力． 情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性． [重点难点] 重点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用．

椭圆(高三复习课)

椭 圆 学习目标： 1.掌握椭圆的定义、标准方程，会求椭圆的标准方程； 2.掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单问题； 3.体会椭圆和谐美及对称美的同时，提高分析探索能力及解决几何问题的能力. 高考要求：椭圆 B 级 考点回顾： 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 3.椭圆的几何性质 课前练习: (1)已知1F 、2F 为椭圆22 14x y +=的左右焦点，弦AB 过1F ,则2F AB ?的周长为_________. (2)过椭圆 22 1259 x y +=的右焦点F 的直线与椭圆在第一象限交于P ，若PF =2,则点P 到左准线距离为__________. (3)如果椭圆经过()3,0和()0,4两点，则该椭圆的标准方程是______________. (4)方程 22 123x y m m +=--表示椭圆,则 m 的取值范围是______________. (5)已知椭圆方程为 22 12516 x y +=,则该椭圆的焦点坐标为___________,长轴长为________,短轴长为________,离心率为________,准线方程为________. (6)若椭圆 22 12x y m +=的离心率为12,则m =________. 典型例题精析: 例1 在△ABC 中,B(-1,0)、C(1,0),且AC 、BC 、AB 成等差数列,求顶点A 的轨迹方程. 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的3倍,且经过点B(0,1); () 2A 2,B ? ? ???? 经过两点；

(3)设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且此焦 点与长轴上较近的端点距离为4,求此椭圆的方程. 例3 在平面直角坐标系xOy 中,点(,)P a b (0)a b >>,12F F 、分别为椭圆22 221x y a b +=的 左右焦点,已知△12F PF 为等腰三角形，求椭圆的离心率. 巩固练习: 1、如图，已知A 、B 、C 是椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点， F 为椭圆右焦点，BC 过椭圆中心Ｏ，且0,||2||AC BC BC AC ?== 当长轴长为４时，求椭圆的标准方程； 2、如图，已知12,F F 是椭圆22 22:1x y C a b += (0)a b >>的左、右 焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆2 2 2 x y b +=相切于点Q 点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 . 课堂小结: 课后作业: 123P 《完胜》（课外练习）

高三数学课题：数学归纳法(公开课讲解)

课题：数学归纳法 【三维目标】： 一、知识与技能 1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 二、过程与方法 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。 三、情感，态度与价值观 体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。 【教学重点与难点】： 重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。 难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。 【课时安排】：2课时 第一课时 【教学思路】： （一）、创设情景，揭示课题

问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝ n n a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n 1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n 的结果吗？证明你的结论？ ________97531________ 7531_______531_______ 31=-+-+-=+-+-=-+-=+- 生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： ()()()n n n n 1121531-=--++-+- （*） 怎样证明它呢？ 问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。 （二）、研探新知 原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1） 第一块骨牌倒下； （2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）

高中数学《函数的应用》公开课优秀教学设计可编辑

《函数的应用》教学设计 一、教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学1》（人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》． 函数的应用是在学生学习了函数，指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，它不仅能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力． 通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力． 二、教学目标设置 根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 1．了解数学建模的基本步骤，会建立函数模型解决实际问题； 2．经历建立函数模型解决实际问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力； 3．加深学生对数学应用问题的理解，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣． 本节课的教学重点是建立函数模型解决实际问题； 本节课的教学难点是选择适当的方案和函数模型解决问题． 三、学生学情分析 学生已经研究了一次函数、二次函数、指数函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合． 授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生已经对北京的交通情况作了初步的调查和数据整理，对问题背景有一定的了解．但学生应用数学的意

识不强，数据处理能力不足，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验． 四、教学策略分析 本节课以探究学习作为主要的学习方式，通过情境引入、初步探究、综合应用、总结提升四个环节，逐步将研究引向深入．引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学建模的过程，培养应用数学的能力． 为了突破难点，落实重点，我采取了以下措施：首先，学生使用图形计算器辅助学习，避免繁琐的计算，为从多角度，多层次研究问题提供了支持．其次，以北京的热点问题——交通问题作为研究背景，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性．第三，将资料的采集和整理工作交给学生课前完成，让学生提前熟悉问题背景，降低探究难度，提高课堂效率． 本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，上台展示等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．教师还将通过开放式作业进一步评估学生的学习效果． 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 （1）教师对学生之前的调查作简单小结，引导学生回顾他们所提出的问题，引出本节课的课题——函数的应用． 设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫． （2）ppt展示学生作业，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思．

最新人教版高三数学(文)第一轮复习函数的单调性与最值公开课教学设计

函的单调性与最值 一、 知识梳：（阅读教材必修1第27页—第32页） 1．对于给定区间D 上的函)(x f ，对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时， 都有12()()f x f x <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函; 当12x x <时，都有 12()()f x f x >， 则称)(x f 是区间D 上减函. 2．判断函单调性的常用方法： （1）定义法： （2）导法： （3）利用复合函的单调性; (4) 图象法. 3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2 121在?>--上是增函；[]1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函. 5.如果)(x f 和)(x g 都是增(或减)函,则在公共定义域内是)()(x g x f +增(或减)函; )(x f 增)(x g 减,则)()(x g x f -是增函;)(x f 减)(x g 增,则差函)()(x g x f -是减函. 6．基本初等函的单调性 （1）一次函y kx b =+. 当0k >在(),-∞+∞上是增函；当0k <在(),-∞+∞上是减函 （2）二次函2(0)y ax bx c a =++≠. 当0a >在,2b a ??-∞- ???上是减函；在,2b a ??-+∞???? 上是增函； 当0a <在,2b a ??-∞- ???上是增函；在,2b a ??-+∞???? 上是减函； （3）反比例函(0)k y k x =≠.