2005年上海市初三数学竞赛(宇振杯)试题及及答案

2005年上海市初三数学竞赛（宇振杯）

黄浦区选拔考试题

（2005年11月27日 上午7：30 ～ 9：00）

学校＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 得分＿＿＿

注意：解答本试卷不能使用计算器

本试卷共15个填空题。1～10题每题6分，11～15题每题8分，共100分

1、已知实数x 满足21

=+x x ， 则3

31322+--++x x x x x x 的值为 。

2、计算：=----+--237

134

x x x x 。

3、正整数n 使42+n 与27-n 被3除的余数相同，且它们是两个不超过100

的不同的正整数，则这样的n 有 个。

4、

2113

3=-++y x 26=+y x 5、若正整数a 、m 、n 满足n m a -=-242，则a 、m 、n 的值依次是 。

6、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 平

分线，CH ⊥AB 于H ，若AD ＝P ，BD ＝q ，则CH

的长为 。

方程组 的解是 。

C B

A H D

7、函数)3)(2)(1(+++=x x x x y 的最小值为 。

8、三位数A 满足下列条件：交换个位数与百位数得到的数与A 相加，其和是

一个以173开始的四位数，则这样的A 共有 个。

9、某旅游团根据以下约定条件，从a,b,c,d,e 五个风景点选择旅游点：⑴若

去a ，则也必须去b ；⑵d 、e 两点至少去一个；⑶b 、c 两点只去一个；

⑷c 、d 两点或都去，或都不去；⑸若去e ，则a 、d 两点也必须去，则该 旅游团必去的点是 。

10、 2122+

--x x y ﹥0 1-+x y ＜2 11、已知抛物线4)3

43(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A 、B ，与y 轴交于点 C ，若△ABC 是等腰三角形，则m 所有可能的值是 。

12、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，则梯形面积所有可能的值是 。

13、在平面直角坐标系中，有四个点：A （－8,3），B （－4，5），C （0，n ）， D （m ，0），当四边形ABCD 的周长最短时，m 、n 的值依次是 。

14、两个正的无理数a 、b （a ﹥b ），都小于5，若a+b 与ab 等于同一个整 数，则a 、b 的值依次 。

15、若关于x 方程：k x x x x x x =--+--+--)6()2(2)6()4()4()2(有6个

实数根，则实数k 的取值范围是 。

参考答案：（1）0；（2）－3；（3）4；（4）（－2，28）、（26，0）；（5）3、8、1；（6）2

2q p q)pq(p ＋+；（7）－1；（8）5；（9）c 、d ；（10）（0，0）、（1，1）、（2，满足不等式组 的所有整数对（x,y ）=________________。

0）；（11）；，－，－，－78946132（12）10 36和；（13）；＝，＝－37n 27m （14）33332

55255－，＋或－，＋ ；（15）8＜k ＜10。

2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析

2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值．

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

最新大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知

上海市高三数学竞赛解答 供参考

2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得：

归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49，

由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意

高二数学竞赛模拟试题及答案

高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．

2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．

全国高中数学联赛精选模拟试题一

最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM

大学生数学竞赛真题非数学类

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n ,且n e u n =)1(,求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时,与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题

2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A

上海市高中数学竞赛

上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且

全国初中数学竞赛模拟试题及答案

全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是

A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C

2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

数学综合提高试题精选汇总(含答案_竞赛类)

提高卷一一、填空题： 1.计算：111111 6246012021084 +++++=________； 2.小凤在计算一道求七个自然数的平均数（得数保留两位小数）时，将得数最后一位算错了，他的错误答案是 21.83，正确的答案应是_______； 3.已知a=11661267136814691570 11651266136714681569 ?+?+?+?+? ?+?+?+?+? ?100，问a的整数部分是________； 4.一只乌鸦从其巢飞出，飞向其巢北10千米东7千米的一点，在该点它发现有一个稻草人，所以就转向再北4 千米东5千米的地方飞去，在那里它吃了一些谷物后立即返巢，乌鸦所飞的途 径构成了一个三角形（假设乌鸦总是沿直线飞行的），这个三角形的面积是 ________； 5.把1，2，3，?，9填入图中9个圈内，不同圈内填不同数字，三角形每边上 四个数之和相等，右图中阴影部分的六个圆圈内所填数之和的最小值是 ________； 6.从1，2，?，16中，最多能选出_______个数，使得被选出的数中，任意三个 数都不是两两互质的； 7.将所有自然数，自1开始依次写下去：123456789?，试确定在第206788个位置所出现的数字是_______； 8.某一出租车的车费起价是2千米5元钱，往后每增加1千米车费增加2元。现在从甲地到乙地乘出租车共支出 车费35元。如果从甲地到乙到先步行800米，然后乘车也是35元。从甲、乙两地中点到乙地需支付_______车费； 二、解答题： 9.如图有五个圆，它们相交后相互分成9个区域，现在两个区域里 已分别填上数10与6，请在另外七个区域里分别填进2，3，4，5，6，7，9七个数，使每个圆内的和等于15； 10.一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一 半再落下，当它第10次着地时，共经过了多少米；（得数保留到个位） 11.有4个蜂鸣器A，B，C，D，这4个蜂鸣器连续响的时间长短是以1:2:3:4的比例而定的，它们分别响完后再过 8秒又开始响。4个蜂鸣器第一次同时开始响，28分钟之后又同时响起来。此时，是C蜂鸣器的第121次开始。 问C和D两个蜂鸣器第一次同时开始响，是在从4个蜂鸣器首次开始响算起几分之几秒后；A和B两个蜂鸣器响完是几秒之后； 12.一个直角三角形，各边都是整数，若周长与面积的数值相同，这样的直角三角形有______个； 13.已知511 24a b =-，那么a、b共有______组，分别是_______； 14.如图所示，将半径为2厘米的圆沿圆形的内侧滚动一圈： （1）求出圆心所经过路线的长度； （2）求出图形内圆未经过部分的面积； 提高卷二一、填空题： 1.计算： 1 1234 ??? + 1 2345 ??? + 1 17181920 + ??? L=________； 2.规定x△y=1 xy + 1 () y A x + ，而且1△1=1 1 3 ，求998△999的值是________； 3.甲、乙两队比赛羽毛球，双方各出4名队员按事先排好的顺序出场比赛。双方先由1号队员比赛，负者被淘汰， 胜者继续与对方2号队员比赛??，直到一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，这样形成一个比赛过程，那 10 6

2018年初中数学竞赛模拟试题(含答案)

2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A

历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算()ln(1) d d 1D y x y x x y x y ++=--??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1） ??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线 性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线 与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=，且n e u n = )1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时，与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1) (1)n n x a a a =+++，其中||1,a <求lim .n n x →∞