备战高考高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量教学案文

专题1.3 三角函数与平面向量

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一.考场传真

1. 【2017课标1,文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,

a =2,c

C =

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π

π

π

π

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2.【2017课标3,文6】函数1ππ

()sin()cos()536

f x x x =++-的最大值为( ) A .

6

5

B . 1

C .3

5

D .15

【答案】A

【解析】由诱导公式可得:cos cos sin 6233x x x ππππ????

????-

=-+=+ ? ? ????

??????

? ,则:()16sin sin sin 53353f x x x x πππ???

???=+++=+ ? ? ????

??? ,函数的最大值为65 .所以选A.

3.【2017课标II ,文3】函数π

()sin(2)3

f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2

【答案】C 【解析】由题意22

T π

π=

=,故选

C.

4.【2017课标3,文4】已知4

sin cos 3

αα-=,则sin 2α=( ) A .7

9

-

B .29

-

C . 29

D .79

【答案】A

【解析】()2

sin cos 1

7

sin 22sin cos 1

9

ααααα--==

=-- .所以选A.

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5.【2017课标3,文15】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b c =3,则A =_________. 【答案】75°

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6.【2017课标II ,文4】设非零向量a ,b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A

【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+,即0ab =,则a b ⊥,故选A. 7.【2017课标3,文13】已知向量(2,3),(3,)a b m =-=,且a b ⊥,则m = . 【答案】2

【解析】由题意可得:2330,2m m -?+=∴=.

8.【2017课标II ,文16】ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos bc B a C c A =+,则B = 【答案】

3

π

【解析】由正弦定理可得

1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23

B B A

C C A A C B B B =+=+=?=

?= 9.【2017课标II ,文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .

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【解析】()f x ≤=

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10.【2017课标1,文13】已知向量a =(–1,2),b =(m ,1).若向量a +b 与a 垂直,则m =________. 【答案】7

【解析】由题得(1,3)a b m +=-,因为()0a b a +?=,所以(1)230m --+?=,解得7m = 11.【2017课标1,文15】已知π(0)2

a ∈,,tan α=2,则π

cos ()4α-=__________.

【答案】

10

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二.高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求 考纲要求: 三角函数:

①了解任意角、弧度制的概念,理解任意角三角函数的定义;②理解同角三角函数的基本关系式,能用诱导公式进行化简求值证明;③掌握三角函数的图像与性质,了解函数()?ω+=x A y sin 的图像,了解参数

?ω,,A 对函数图像变化的影响;④掌握和差角、二倍角公式,能运用公式进行简单的恒等变换;⑤掌握正

弦定理、余弦定理和面积公式,并能解决一些简单的三角形度量问题. 平面向量:

掌握向量的加法和减法,掌握实数与向量的积,解两个向量共线的充要条件,解平面向量基本定,解平面向量的坐标概念,掌握平面向量的坐标运算,掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题,掌握向量垂直的条件. 【命题规律】

(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面:一是用五点法作图,二是图象变换,三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值,常以选择题或填空题的形式考查.

(2)高考对三角函数性质的考查是重点,以解答题为主,考查y =Asin(ωx +φ)的周期性、单调性、对称性

以及最值等,常与平面向量、三角形结合进行综合考查,试题难度属中低档.

(3)三角恒等变换包括三角函数的概念,诱导公式,同角三角函数间的关系,和、差角公式和二倍角公式,要抓住这些公式间的内在联系,做到熟练应用.

(4)解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用,因此,在一套高考试卷中,既有选择题、填空题,还有解答题.

(5)平面向量的命题以客观题为主,主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积,考查数形结合的数学思想,在解答题中常与三角函数相结合,或作为解题工具应用到解析几何问题中.

3.学法导航

1. 已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

3. 函数y=A sin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路:第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=A sin(ωx+φ)+B的形式;第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=A sin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

4. (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现“张冠李戴”的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.

5.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.

6.(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意平面向量基本定理的灵活运用.

(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.

7.数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.

8.在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.

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一.基础知识整合 基础知识: 一.基础知识整合

1.三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )

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2.(1)y =sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)

平移|φ|个单位

y =sin (ωx +φ)――→纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变

y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0).

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y =sin ωx ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)

平移????

??φω个单位

y =sin(ωx +φ)――→纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变

y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0).

3.正弦型函数y =A sin (ωx +φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点,对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线;正切型函数y =A tan(ωx +φ)的图象是中心对称图形,不是轴对称图形. 4.三角形面积公式:(1)S =12ah a (h a 为BC 边上的高);(2)S =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B ;(3)S =abc

4R (R

为△ABC 外接圆的半径);(4)S =2R 2

sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆的半径);(5)S =

p (p -a )(p -b )(p -c )?

??

??p =12(a +b +c );(6)S =12(a +b +c )r =pr (p =12

(a +b +c ),r 为△ABC 内切圆的半

径).

5.四边形面积公式:S =1

2

l 1l 2sin θ(l 1,l 2为对角线长,θ为对角线夹角).

6.正弦定理及其变形:a sin A =b sin B =c sin C =a +b +c

sin A +sin B +sin C

=2R (2R 为△ABC 外接圆的半径).

7.余弦定理:a 2

=b 2

+c 2

-2bc cos A ,b 2

=a 2

+c 2

-2ac cos B ;c 2

=a 2

+b 2

-2ab cos C .

8.常用边角互化方法:sin A =a 2R ;sin B =b 2R ;sin C =c 2R ;cos A =b 2+c 2-a 2

2bc ;

cos B =a 2+c 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 2

2ab

.

9.平面向量中的四个基本概念

(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,与a 同向的单位向量为a

|a |.

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).

(4)向量的投影:|b |cos 〈a ,b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影.

10.平面向量的两个重要定理:(1)向量共线定理:向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b =λa .

(2)平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,其中e 1,e 2是一组基底. 11.两非零向量平行、垂直的充要条件:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则: (1)若a ∥b ?a =λb (b ≠0);a ∥b ?x 1y 2-x 2y 1=0; (2)若a ⊥b ?a ·b =0;a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0.

12.平面向量的三个性质:(1)若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2

+y 2

.(2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |

=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2

.(3)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,

则cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2

x 21+y 21x 22+y 22

.

13.平面向量的三个锦囊:(1)向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则A ,B ,P 三点共线的充要条件是OP =λ1OA +λ2 OB (其中λ1+λ2=1).(2)三角形中线向量公式:若P 为△OAB 的边AB 的中点,则向量OP 与向量OA ,OB 的关系是OP =1

2(OA +OB ).(3)三角形重心坐标的求法:G 为△ABC 的重心

?0GA GB GC ++=?G ? ??

??x A +x B +x C 3,y A +y B +y C 3.

二.高频考点突破

考点1 三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用

【例1】已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,(2)(0)P m m m -≠,

是角α终边上的一点,则tan()4

απ

+的值为( )

A.3

B.1

3 C.13- D.3-

【答案】C

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【例2】已知1cos sin cos 2sin -=+-α

αα

α,则=αtan .

【答案】

2

1 【解析】

sin 2cos tan 21sin cos tan 1

αααααα--==-?++=αtan 21

. 【规律方法】1、利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系,但是注意角的顶点在坐标原点,始边在x 轴的非负半轴.

2. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ?”的应用

sin cos x x ±与sin cos x x ?通过平方关系联系到一起,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±,

2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=2

1(sin cos )sin cos .2

x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就

可以利用上述关系求出或转化为另外两个.

sin cos αα、的求值技巧:当已知sin 4πα??± ???,cos 4πα?

?± ??

?时,利用和、差角的三角函数公式展开后都

含有sin cos x x +或sin cos αα-,这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα,根据同角三角函

数的平方关系,即可求出另外一个,这两个联立即可求出sin cos αα、

的值.或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立,通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值.

3.如何利用“切弦互化”技巧

(1)弦化切:把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值. 常见的结构有:

① sin ,cos αα的二次齐次式(如2

2

sin sin cos cos a b c αααα++)的问题常采用“1”代换法求解;

②sin ,cos αα的齐次分式(如sin cos sin cos a b c d αα

αα++)的问题常采用分式的基本性质进行变形.

(2)切化弦:利用公式tan α=sin cos α

α

,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技

巧.

4.温馨提示:(1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解.(2)利用平方关系求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号. 5. 利用诱导公式求值:

i.给角求值的原则和步骤:(1)原则:负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤:利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02

π

:

之间角的三角函数,然后求值,其步骤为:

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ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系,通过相加或相减建立联系,若出现2

π

的倍数,则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系

(1)常见的互余关系有:3

π

α+与

6

π

α-;

3

π

α-与

6

π

α+;

4

π

α+与

4

π

α-等.

(2)常见的互补关系有:

3

π

α+ 与

23πα-;4πα+与34

πα-等.遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 6. 利用诱导公式化简、证明

i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求

(1)原则:遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.

(2)要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

ii.证明三角恒等式的主要思路

(1)由繁到简法:由较繁的一边向简单一边化简.

(2)左右归一法:使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法:先将要证明的结论恒等变形,再证明.

7.提醒:由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-.

【举一反三】已知α为锐角,且4

sin 5

α=,则()cos πα+=( ). A .35- B .35 C .45- D .45

【答案】A

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考点2 三角函数的图像与性质

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【例3】【四川省内江市2018届第一次模拟】已知函数()2sin cos f x x x x =,则 A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 的最大值为2 C. ()f x 在5,36ππ

??

???

上单调递减 D. ()f x 的图象关于直线6x π=对称 【答案】C

【解析】∵函数()21cos21sin cos sin 2262x f x x x x x x π-?

?==

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=-+ ??

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?,∴()f x 的最小正周期为

22ππ=,故A 错误,()f x 的最大值为13122+=,故B 错误,当6

x π

=时, 1

sin 216662f πππ????=?-+= ? ????

?,故()f x 的图象不关于直线6x π=对称,故D 错误,由

3222,2

6

2k x k k Z π

π

πππ+

≤-

≤+

∈,得536

k x k ππ

ππ+≤≤+,令0k =,可得()f x 的一个单调减区间为5,36ππ??

?

??

?,故C 正确,故选C 【例4】【广西玉林市2018届期中】已知ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,且

sin sin sin B A C -=

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,若将函数()()22f x sin x B =+的图像向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图像,则()g x 的解析式为( ) A. 22sin 23

x π?

?+

??

? B. 22cos 23x π?

?

+

??

?

C. 2sin2x

D. 2cos2x 【分析】在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外,恒等变形过程中,一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2

b 、2

a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 【答案】D

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向右平移

6π个单位长度单位,得到()522222cos2662g x sin x sin x x ππ

π?????

?=-+=+= ? ? ?

??????

,故选D. 【规律方法】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先化简三角函数式,尽量化为y =Asin(ωx +φ)+B 的形式,然后再求解.(2)对于形式y =asin ωx +bcos ωx

型的三角函数,要通过引入辅助角化为y = a 2+b 2

sin(ωx +φ)(cos φ=a a 2

+b

2

,sin φ=b a 2

+b

2

)的

形式来求.

(3)对于y =Asin(ωx +φ)函数求单调区间时,一般将ω化为大于0的值.

【举一反三】【内蒙古包钢2018届月考】函数()()cos f x x ω?=+的部分图象如图所示,则()f x 的单调递减区间为

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A. 13π,π,44k k k ?

?-

+∈ ???Z B. 132π,2π,44k k k ?

?-+∈ ??

?Z C. 13,,44k k k ??-

+∈ ???Z D. 132,2,44k k k ?

?-+∈ ??

?Z 【答案】D

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考点3 三角恒等变换 【例5】若13tan ,,tan 242ππααα??-

=∈ ???,则sin 24πα?

?+ ??

?的值为( )

A .-

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C .

D 【答案】D

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【规律方法】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧

基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:

(1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,

22

αβ

αβ++=?

(

)()

2

2

2αβ

β

ααβ+=-

--

等.

(2)三角函数名互化:切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用:如

()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,

sin cos 4πααα?

?±=± ??

?,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等

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(4)三角函数次数的降升:降幂公式与升幂公式:ααα2sin 21cos sin =

;21cos 2cos 2

α

α+=,21cos 2sin 2

α

α-=

. (5)式子结构的转化.

(6)常值变换主要指“1”的变换:

2

2

1sin cos x x =+2

2

sec tan tan cot x x x x =-=?tan sin 42

ππ===等.

(7)辅助角公式:()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定,θ的

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值由tan b

a

θ=

确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.

如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436

x x x x x x x x x πππ

±=

±±=±±=±等.

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2.题型与方法:

题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题,常见有以下三种类型:(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-,

()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222,,()ββα+-2,

()()()ααβββαβαβαβα=-+=+-=--+,,等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角

的范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角,给值求角的本质还是给值求值,即欲求某角,也要先求该角的某一三角函数值.由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求出限定范围内的角.要仔细观察分析所求角与已知条件的关系,灵活使用角的变换,如α=(α+β)-β,α=α+β2+α-β2

题型二,三角函数式的化简与证明:三角函数式的化简:常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等.(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数 三角等式的证明:(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端化“异”为“同”;(2)三角条件等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明.

题型三. 辅助角公式:函数()sin cos f a b ααα=+(,a b 为常数),

可以化为()()

f αα?=+

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或()()f αα?=

-,其中?可由,a b 的值唯一确定.

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【举一反三】【四川省内江市2018届第一次模拟】0000

sin20cos40cos20sin140+=

A. 2-

B. 2

C. 12-

D. 12

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【答案】B

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故选B

考点4解三角形

【例6】【安徽省淮南市2018届高三第四次联考】在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且

222b a bc =-, 23

A π

=

,则角C 等于( ) A. 6π B. 4π或34π C. 34π D. 4π

【答案】A

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【规律方法】 1.在解三角形时,三角形内角的正弦值一定为正,但该角不一定是锐角,也可能为钝角(或直角),这往往造成有两解,应注意分类讨论,但三角形内角的余弦值为正,该角一定为锐角,且有唯一解,因此,在解三角形中,若有求角问题,应尽量求余弦值.

2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口.

【举一反三】【四川省成都市2018届一诊】已知ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为

(),,,2cos cos cos 0.a b c C a C c A b ++=,

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(1)求角C 的大小;(2)若2,b c ==,求ABC ?的面积. 【解析】(1)

()2cos cos cos 0C a C c A b ++=,由正弦定理可得

()20cosC sinAcosC sinBcosA sinB ∴++=,()20,20cosCsin A C cosCsinB sinB ∴+=∴+=即,又

1

0180,sin 0,cos ,120.2

B B

C C <<∴≠∴=-=即

(2)由余弦定理可得(2

222222cos12024a a a a =+-?=++,又

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1

0,2,sin 2

ABC a a S ab C ?>=∴=

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= ABC ∴? 考点5 解三角形在实际生活中应用

【例7】 “郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员求出,地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为,,B C D ).当返回舱距地面1万米的P 点的时(假定以后垂直下落,并在A 点着陆),C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向,仰角为60°,B 救

援中心测得飞船位于其南偏西30°方向,仰角为30°,D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向.

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(1)求,B C 两救援中心间的距离; (2)D 救援中心与着陆点A 间的距离.

分析: (1)在Rt PAC ?中,01,60PA PCA =∠=?AC =

.在Rt PAB ?中,01,30PA PBA =∠=,

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?

BC ==

(2)sin sin ACD ACB ACD ∠=∠=∠=?

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()0sin sin 30ADC ACD ∠=+∠=

?sin sin AC ACD AD ADC ∠=

=∠万米.

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【规律方法】三角形应用题的解题要点:解斜三角形的问题,通常都要根据题意,从实际问题中寻找出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形得出所要求的量,从而得到实际问题的解.有些时候也必须注意

到三角形的特殊性,如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等.正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的. 把握解三角形应用题的四步:

(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型; (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解;

(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 求距离问题的注意事项:

(1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 求解高度问题应注意:

(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图;

(3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想的运用. 解决测量角度问题的注意事项: (1)明确方位角的含义;

(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.

【举一反三】如图,某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市

的某大学M 与市中心O 的距离OM =,且A O M β∠=.现要修筑一条铁路L ,L 在OA 上设一站

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A ,在O

B 上设一站B ,铁路在AB 部分为直线段,且经过大学M .其中tan 2α=,cos

β=

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15AO km =.

(Ⅰ)求大学M 与A 站的距离AM ; (Ⅱ)求铁路AB 段的长AB .

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(II )

∵cos β=

且β为锐角,

∴sin β=在A O M ?中,由正弦定理得,sin sin AM OM

MAO β=∠,

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sin MAO

=∠

,∴sin 2MAO ∠=,∴4MAO π∠=,∴4ABO πα∠=-,∵tan 2α=

,∴

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sin α=

,cos α=

,∴sin sin()4ABO πα∠=-=AOB πα∠=-

,∴

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sin sin()AOB πα∠=-=

,在AOB ?中,15AO =,由正弦定理得,sin sin AB AO AOB ABO =∠∠

,即

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15

21AB =

,∴AB =,即铁路AB 段的长AB

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为. 考点6 平面向量的线性运算

【例8】【2018辽宁庄河两校联考】已知直线

分别于半径为的圆

相切于点

,若点在圆的内部(不包括边界),则实数的取值范围是( )

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A.

B.

C.

D.

分析:一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径,因此写出向量

,再根据向量的平方运算,求出

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,令其小于半径即可求出.

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【答案】B

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【规律方法】用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底,并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过对比已知等式即可得λ1,λ2的值.

向量的几何表示是高考的热点问题,特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材,常见的结论如下:

①1()3

PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心,特别地0PA PB PC P ++=?为ABC ?的重心;

(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量,过重心;()

1

,2

AD AB AC =

+等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线.

②PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为ABC ?的垂心;()||cos ||cos AB AC

AB B AC C

λ+[0,)λ∈+∞是△ABC

的边BC 的高AD 上的任意向量,过垂心.

③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? ABC ?的内心;向量()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠所在直线过

ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).

④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +?=+?=+?=,

222OA OB OC OA OB OC ?==?==?O 为ABC ?的外心.

向量与平行四边形相关的结论

向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到,其应用非常广泛.在平行四边形ABCD 中,设

,AB a AC b ==,则有以下的结论:

①,AB AC a b AD +=+=通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并;若C AB D =,可判断四边形为平行四边形;

②,,a b AD a b CB +=-=若0a b a b a b +=-??=对角线相等或邻边垂直,则平行四边形为矩形;

()()0a b a b a b +?-=?=对角线垂直.则平行四边形为菱形;

③2

2

2

2

22a b a b a b ++-=+说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和;

④||||||||||||a b a b a b -≤±≤+,特别地,当 a b 、

同向或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-;当 a b 、

反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+;当 a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).

【举一反三】【内蒙古呼和浩特市2018届质调】已知,,A B C 是平面上不共线的三点, O 是ABC 的重心,

动点P 满足: 1112322OP OA OB OC ??

=

++ ???

,则P 一定为ABC 的 A. 重心 B. AB 边中线的三等分点(非重心)C. AB 边中线的中点 D. AB 边的中点 【答案】B

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考点7 平面向量的数量积

【例9】如图,在ABC ?中,,3,1AD AB BC BD AD ⊥==,则AC AD 的值为( )

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A .1

B .2

C .3

D .4

分析:本题考查向量的数量积的定义和性质,同时考查诱导公式和正弦定理的运用,是关于向量数量积的

常考题型,属于中档题;运用向量的数量积的定义,结合条件可得CAD AC AD ∠=?,再由诱导

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公式可得BAC ∠=?,结合三角形ABC 中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定

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