快速傅里叶变换计算衍射光强的分布(设计)本科学位论文
快速傅里叶变换计算衍射光强的分布
目录
快速傅里叶变换计算衍射的光强分布 (4)
0.引言 (4)
1. 空域连续函数的离散及延拓 (5)
2. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系 (5)
3.快速傅里叶变换计算衍射光强 (11)
3．1单缝衍射 (13)
3．2 圆孔衍射 (14)
4. 光强分布曲线 (15)
4.1单缝衍射的光强分布曲线 (15)
4.2圆孔衍射的光强分布 (17)
5.结论 (20)
参考文献 (21)
附录 (21)
1.用MATLAB软件模拟单缝衍射和光强分布曲线的程序 (21)
2.用MATLAB软件模拟圆孔衍射和光强分布曲线的程序 (22)
致谢 (24)
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河西学院本科生毕业论文诚信声明
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
作者签名：
二O 一三年五月二十六日（打印）
河西学院本科生毕业论文开题报告
快速傅里叶变换计算衍射的光强分布
摘要：本文利用快速傅里叶变换计算了光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟了单缝和圆孔衍射现象.分析表明，衍射图样取决于缝宽或孔径的大小，它反映了障碍物和光波之间限制和扩展的辩证关系，限制范围越小，扩张现象愈显著；在哪个方向上限制，就在该方向上扩展. 且在处理实际问题时应合理选择两种算法S—FFT，D—FFT．
关键词：离散傅立叶；快速傅里叶变换；衍射光强的分布；快速卷积算法
Abstract: By using fast Fourier transform, this paper calculates the light intensity distribution of the single-slit and circular aperture diffraction. And, according to the calculation results simulates the single slit and circular aperture diffraction phenomenon by using MATLAB software. The simulation analysis showed that the diffraction pattern depends on the size of slit or the width of aperture. It reflects the dialectical relationship of restrictions and extensions between obstacles and light. And the smaller limit rang, the more remarkable expansion phenomenon; it extends in the direction which is the direction of restrictions, and in dealing with practical problems, it should be a reasonable choice to use two kinds of algorithms, S-FFT and D-FFT.
Keywords:discrete Fourier transform; fast Fourier transform; the light intensity distribution of diffraction; fast convolution algorithm
0.引言
1965年,由库利—图基(Cooley—Tukey)提出的PFT技术彻底改变了这种状况，计算机的普及应用为这种快速计算方法的推广创造了良好的条件因此、利用FFT技术计算衍射的方法逐渐被广泛采用．然而，必须指出．由于快速傅里叶变换只是离散博里叶变换的一种快速算法，对离散傅里叶变换理论进行研究后很快就能发现，只有当被变换的函数是在频域有限区域存在的“带限函数”时、连续函数的傅里叶变换才能由离散傅里叶变换表述．否则，由于频谱的混叠效应，离散傅里叶变换只是连续函数傅里叶变换的一种近似．不幸的是，衍射计算问题中所遇到的函数基本上都不是带限函数、因此利用快速博里叶变换对衍射所作的计算也是一种近似．只有了解离散傅里叶变换
与傅里叶变换的关系，通过合适的离散、较好地将频谱混叠的影响控制在允许的误差范围才能使用这种计算方法得到较好的结果．
为了能够正确使用FPT 计算衍射p 在具体阐述计算方法之前，有必要对二维空间函数的取样、延拓及离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系进行研究．
1. 空域连续函数的离散及延拓
函数作二维离散傅里叶变换时，要求是被变换函数是二维空间的周期离散函数．由于实际需要作博里叶变换的函数通常是在空域无限大平面上均有定义的连续函数，于是，必须将函数截断在有限的区域进行取样及延拓通常的取样方法是、先将函数的主要部分通过坐标变换放在第一象限、并沿平行于坐标轴的方向将函数截断在一个
y L L x ?的矩形区域内；然后．取样周期为x x x N L T =，y y y N L T =，从坐标原点开始将函数离散为y L L x ?从个点的二维离散分布值、图l(a)、(b)描述了上述过程(图中用黑点标注出取样点落在函数定义区域上的位置，用小圆圈表示取样为零的位置)．图l(c)是二维周期延拓结果．
图1.空域连续函数的离散及延拓
]
3[
2. 离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系
很明显，函数经截断及离散处理后无论在空域还是在频域均会引入误差．现以z 方向的博里叶变换为例进行研究，以后再将结果推广到二维空间．图2示出于某一给定的y ，函数沿s 方向进行离散傅里叶变换的过程．图中，左边为一列空域的原函数图像，右边一列图像是它们的频谱的模，符号“?”表示它们为傅里叶变换对．例如，图2(a1)为空域的原函数)(y x g ,，图2(a2)为它的频谱()y f G x ,的模()y f G x ,
对未经截断函数的取样，等于用图2(b1)的梳状函数()x x
T δ乘以图2(a1)的原函数，
数学表达式为
)(),()(),(),(∑∞
-∞
=-==n x T nT x y x g x y x g y x gTx X δδ （1）
由于梳状函数),(y x δ为周期x T 的δ函数，可以表为博里叶级数：
???
?
?
?=
-=
∑∑∞-∞=∞
-∞
=x T
jk A nT t x x n k n x T x
πδδ2exp )()( （2） 其中,
,1-=j ()x x
T T T x
k T dx x T jk
x T A x x x
12exp 12
=???
? ?
?-=
?
-π
δ 于是,
)()
(∑∞-∞=???
?
?
?=k x x
T x T jk T y x g y x g x π2exp 1
,, （3） 被信号)(y x g ,调制的结果(见图2(c1))．
上式表明，取样信号已经不是原信号，而是无穷多个截波信号
∑∞-∞=???
?
?
?k x x
x T
jk T π2exp 1 （4） 现在，通过博里叶变换来考察信号经取样后的频谱与原信号频谱的关系对上式作博里叶变换得
())(()dx x f j y x g y f G x T x T x x π2exp ,,-=?+∞∞
-
)(()dx x f j x T jk T y x g x k x x
ππ
2exp 2exp 1
,-???
?
?
?=∑?∞-∞=∞
+∞- )(dx t T k f j y x g T x x k x
???? ?
????? ??--=∑?∞
-∞=∞
∞
-π2exp ,1 ∑∞
-∞=???? ?
?-=k x x x
y T k f G T ,1 （5） 结果表眼在取样信号频谱()y f G x T x ,中除了包含原信号频谱()y f G x ,外，还包含了无穷多个被延拓的频谱、延拓的周期为x 1(见图2(c2))．并且、由于原函数的频谱宽度大于延拓的周期x 1，相邻的频谱曲线产生了混叠．
根据傅里叶变换中频域的卷积定律，图2(c2)也可以通过原函数的频谱函 数()y f G x ,(图2(a2))与梳状函数的频谱函数()x x f T ?(2(b2))的卷积求出:
()()()x x x x T f T y f G y f G x ?*=,, （6）
为强调这个关系，图2(c2)的纵坐标由这个卷积表达式标注
由此可见、连续函数经过周期为x T 的无穷δ序列取样离散后，其频谱与原函 数频谱相比有两点区别：
（1）频谱发生了周期为x 1的周期延拓如果原函数的频谱宽度大于x T 1时,则产生频谱混叠，引入失真．
(2)离散信号频谱()y f G x T x ,的幅度是原函数频谱()y f G x ,的x 1倍.
然而．上面对连续函数被无穷δ序列取样离散的后的频谱研究只是一个理论结果、因为实际上不可能作取样点为无限多的数值计算．并是，由于离散傅里叶变换事实上讨论的是在空域及频域均是周期离散函数的傅里叶变换问题．还要将离散函数截断及延拓才能满足要求因此，将空域非周期的离散函数(图2(c1))先通过下述矩形宙函数图2(d1))截断:
()??
?-<<-=,
022,1x x x T T L x T r x (7) 得到具有从x N 个点的的离散分布(图2(e1)):
()()()()x r x y x g y x g Lx Tx T xr δ,,= (8)
然后，再将截断后的部分进行周期为x L 的延拓，形成图2(g1)的周期离散序列:
()() ,2,1,0,,,±±=+=k y kL x g y x g x Txrk Txrk (6)
按照傅里叶变换理论，空域中矩形窗函数图今2(d1)与离散序列图2(c1)的乘积的频谱函数、可表为矩形函数的频谱函数()x Lx f R (图2(d2))与图2(c1)的频谱函数图2(c2)的卷积：
()()()[]()x Lx x x x x Txr f R f T y f G y f G *?*=,, (9)
对应的频谱函数曲线示于图2(e2).
由图可见由于矩形宙函数的频谱()x Lx f R 具有较大的起伏变化的伤瓣，卷积运算的结果佼图2(c2)的频谱曲线形状产生了失真(为说明问既图中略有夸大)．将图2(c2)与图2(a2)比较不难发现,现在得到的是带有畸变的原函数频谱的周期延拓曲线，延拓周期为
x 1．
离散傅里叶变换是对空域及领域均为周期离散函数的变换，因此, 图2(e2)的曲线还将被周期为x 1的梳状函数(图2(f1))取样．其结果是一个周期为x N 的频域的离散函数〔图2(g2)).在频域进行上面频谱函数与梳状函数的乘积取样时，就对应着它们在空域原函数的卷积运算．图2(e1)与图2(f1)的函数在空域卷积运算的结果成为一周期为
x N 的空域离散函数图2(g1))．
空域及领域离散函数均以x N 为周期，我们只要分别知道一个周期内的离散值或样本点使可以了解离散函数全貌．离散傅里叶变换或其快速算法FFT ，便是完成从空域到频域、以及从频域到空域的这x N 个样本点的汁算方法．
至此，我们已经知道，离散傅里叶变换是博里叶变换的一种近似计算只要能 够将衍射的计算表为卷积的形式，并了解离散傅里叶变换与博里叶变换间的定量关系，采取合适的措施抑制晌曳便能对衍射问题求解．将菲涅耳衍射积分的卷积形式:
()()()()()[
]0
2
0200002exp ,exp ,dy dx y y x x d
jk y x U d j jkd y x U ?
????
?-+-=
??∞
∞-∞∞
-λ （10） 中的二次项展开后得:
()()(
)()()
()0000220002
2
202exp 2exp ,2exp exp ,dy dx y y x x d j y x d jk y x U y x d
jk d j jkd y x U ??????+-?????
????????+?
??
????+=
??
∞
∞-∞
∞
-λπλ （11）
设()000,y x U 为物平面光波复振幅；根据第（10）式，经距离d 的衍射到达观测平面的光波复振幅()y x U ,可由下形式的菲涅耳衍射积分表出:
()()()
()(
)()0
00
2
20000222exp 2exp ,2exp exp ,dy dx y y x x d j y x d jk y x U y x d jk d j jkd y x U ??
?
??
?+-?
???
????????+???
?
???+=
??∞
∞
-λπλ （12）
式中1-=j ，λ为光波波长，π2=k .
若利用快速傅里叶变换FFT 进行计算-----式．物平面取样宽度为0L ?，取样数为N N ?,取样间距为N L x 000?=?=?，（12）式可写为:
()()()()()
()()()()
d
y
p d
x p y n x m d jk
y n x m U FFT y q x p d jk
d j jkd y q x p U λλλ?????
?
?????????+??????
?????+?=
??,2020000222exp ,2exp exp ,
)12,,12,2,,,(-+--=N N N n m q p (13)
式中，y x ?=?是离散傅里叶变换后对应的空域取样间距．为确定这个数值，根据前面对离散傅里叶变换的讨论，（13）式的计算结果将是取值范围01x ?的N N ?点的离教值．即:
01L N
x d L ?=
?=?λ 或者，
L dn
L ?=
?λ (14)
因此
L d
N L y x ?=
?=
?=?λ (15) 对（10）式两边作博里叶变换并利用空域卷积定律得:
(){}()()()
?
??
?
??????????????+=2
2
0002exp exp ,,y x d jk d j jkd f y x U F y x U F λ （16） 令y x f f ,是频域坐标可以定义菲涅耳衍射传递函数为:
()()(
)?
??
?????????+=2
2
2exp exp ,y x d jk d
j jkd F f f H y x F λ （17） 3.快速傅里叶变换计算衍射光强
光是一种电磁波，按jwt e 的规律随时间传播，电光源发粗的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度v 在电容率为ε的介质中传播，当光到达半径为r 的求面时，光的场强E 是t r ,的函数，可以表示为:
()()()()[]kr wt j r E r t jw r E t r E -=????????? ??-=exp exp ,
υ （18）
其中λ
π
υ2==w k 称为波数，()t r E , 为光矢量.点光源从原点出发的球面波，能量密度为:
2
21E w ε= （19）
以v 表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为:
V E W 2
2
1 ε= （20）
而
()0E k r E υ
'
= （21）
式中0E 是与光源振动有关的常数，k '是与介质有关的常数，则
()()[]kr wt j E r
k t r E -'
=exp ,0 （22）
为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项jwt e 可省去。在光学系统中，光从出射光瞳射出，取光瞳坐标为()00,y x ，观察平面的坐标为()y x ,，两坐标系相平行，原点在它们的公共垂线上，相距为0z 见图（3）
图3 衍射光强分布图
光瞳面上任意一点s ()00,y x 到观察面上的某点p ()y x ,的距离为:
()()[
]
2
1
2
2
02
0z
y y x x r +-+-= （23）
由（22）式知，光是从s 点以球面波jkr
e r
k -'的形式传播到p 点的。如果s 点振幅为E ()y x ,,则在P 点光的矢量为:
()()jkr e y x E r
k y x E -'
=00,, （24）
为计算球面上p 点的光的场强，需要选取包含s 点在内的小面元00dy dx ，则
()00001
,),(dy dx e r
y x E k y x E jkr -??= （25）
为便于计算，设光瞳与观察点面相距很远，取R r =,r 的近似值为:
()()[
]
[]
R
yy xx R y x R yy xx y x R z
y y x x r x 0
2
0202
1
002
0222
1
2
2
02
0222+-++=--++=+-+-= （26）
在远场衍射的情况下，即∞→R 时
()
R
y x k 22
2+-《1
且z R ≈，则
()()()
??+=
-ds z
yy xx jk y x E z
ke y x E jkz
]exp[
,,0000 （27） 式（27）为远场近似情况下的衍射的公式.那么级光源在p 点的E
()y x ,是光瞳函数
E
()00,y x 的二维傅里叶变换式.
3．1单缝衍射
图4 单缝衍射原理图
衍射装置如图12所示，衍射物体为不透明屏∑上一条方向平行于η轴，长度不限，宽度为0a 的狭缝.用轴上单色点光源S 和推直透镜C 产生的平行光正入射照明，在透镜L 的后焦面∏上观察.在不考虑透镜L 孔径大小的情况下，可认为光波在η方向不受限制，
S
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶变换定律-傅里叶变换定义定律
第2章信号分析 本章提要 信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
质量M 弹簧 刚度K t x (t ) o x 0 质量－弹簧系统的力学模型 x (t ) ? ?? ? ??+=0cos )(?t m k A t x 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
?- = 2 2 0)(1T T dt t x T a ?- = 2 2 0cos )(2T T n tdt n t x T a ω ? - = 2 2 0sin )(2T T n tdt n t x T b ω 式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2 /T 。 三角函数展开式的另一种形式： ) cos()(1 00∑∞ =++=n n n t n A a t x ?ωN 次谐波 N 次谐波的相角 N 次谐波的频率 N 次谐波的幅值 信号的均值，直流分量
Fourier-Mellin变换图像配准算法研究
CHANGZHOU INSTITUTE OF TECHNOLOGY 毕 业 设 计 说 明 书 题目： Fourier-Mellin 变换图像配准算法研究 二级学院： 电气与光电工程学院 专 业： 电子信息工程 班级： 12信Y2 学生姓名： 马俊鑫 学号： 12120615 指导教师： 吴峰 职称： 副教授 评阅教师： 职称： 2016年 5 月 SJ006-1
摘要 图像配准技术如今在许多方面都有应用而且已经成为了不可或缺的一种技术。本文基于傅立叶梅林变换的研究，通过对图像进行平移、旋转、缩放等一系列变换对两幅或几幅待配准的图像进行配准的方法。 首先本文介绍了图像配准技术的意义、目的、研究背景及国内外发展现状。此外，还简略介绍了图像配准技术的基本原理及关键步骤。 其次讨论傅立叶变换的基本原理。研究傅立叶梅林变换的相关算法，介绍相位相关算法和频域配准算法，图像的边缘检测和提取的算法。 接着论述了与图像配准相关的傅立叶变换特性如：平移变换、旋转变换以及缩放变换等。 然后分析基于Fourier-Mellin变换的图像配准的原理以及主要技术，针对在配准的过程中配准精度降低的情况，讨论改进的方法，给出了图像配准的流程。 最后开展Fourir-Mellin变换的图像配准仿真、分析、仿真结果。给出通过高通滤波以及加窗提高图像的信噪比，提高了图像的配准精度。 关键词：傅立叶梅林；图像配准；相位相关算法；傅立叶变换
Abstract Image registration technology has been applied in many aspects and has become an indispensable technology.In this paper, based on the research of Fourier-Mellin transform,Through the image translation, rotation, scaling, and a series of transformation of two or a few images to be registered for the registration method. First of all, this paper introduces the significance, purpose, research background and development status of the image registration technology.In addition, the basic principles and key steps of image registration are briefly introduced. Secondly, the basic principle of Fu Liye transform is discussed.Fourier-mellin transform correlation algorithm, introduced the phase correlation algorithm and frequency domain registration algorithm, image edge detection and extraction algorithm. Then it discusses the characteristics of Fourier transform, such as translation transformation, rotation transformation and scaling transformation, and so on. Then, the principle and main technology of image registration based on Fourier-Mellin transform are analyzed,In the process of registration, the registration accuracy is reduced,The improved method is discussed, and the flow of image registration is given. Finally, the simulation, analysis and simulation results of Fourir-Mellin transform are carried out.The signal to noise ratio of the image is improved by using high pass filtering and adding window, and the image registration accuracy is improved. Key words: Fourier - Mellin ; Image registration; Phase correlation; Fourier transform
傅里叶变换
研究生课程论文（作业）封面 （ 2014 至 2015 学年度第 1 学期） 课程名称：__________________ 课程编号：__________________ 学生姓名：__________________ 学号：__________________ 年级：__________________ 提交日期：年月日 成绩：__________________ 教师签字：__________________ 开课---结课：第周---第周 评阅日期：年月日 东北农业大学研究生部制
积分变换在工程上的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。 关键词：傅里叶变换；偏微分方程；数字信号处理 1 概要介绍 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。——（1） 2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 ()()()()()()?? ? ??-++=-? ? ∞ +∞ +∞ -.,200,]cos [1 其它连续点处， 在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ 当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：
积分变换的认识与应用
积分变换的一些应用 积分变换 积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。 傅里叶变换 定义 傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换： 它存在逆变换，则傅里叶逆变换： 有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为： 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
个别应用 傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。 根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵 ，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为： ，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为： 。 基于离散分数傅里叶变换的特征向量和特征值方法产生的定义不是唯一的，对特征值和特征向量的不同选择，导致了离散傅里叶变换的不同定义形式。如果用不同的分数次幂代替DFT矩阵的特征值=，则将FRFT推广到了MPDFRFT。N点NXN MPDFRFT矩阵定义为： 在MPDFRFT域中采用双自由度编码进行数字图像加密解密，两个过程分别如下图： 图像加密过程
离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反
快速傅里叶变换原理及其应用
快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用
Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used
实验六傅里叶变换及其反变换
实验六 傅里叶变换及其反变换 6.1实验目的 １．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换； ２．学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换； 3．学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。 6.２实验原理及实例分析 1．连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下： ?∞ ∞--= dt e t x j X t j ωω)()( 6.1 ?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 X(j ω)通常为关于的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为： X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω) 其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。 给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号，也可以用傅里变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 ２．用MATLAB 实现CTFT 的计算 MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。 1） MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。常用的是：F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。 f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数 例：利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换，画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。 syms t v w x phase im re ; %定义符号变量 f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t) Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]); subplot(312); ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱 im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部
常用傅立叶变换表
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这
9 矩形脉冲和归一化的sinc 函数 10 变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11 tri 是三角形函数 12 变换12的频域对应 13 高斯函数 exp( ? αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式
18 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 21 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22 由变换1和25得到 23 这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这 个变换是根据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使用，我们可以变 换所有多项式。 24 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. 27 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换 根据变换1和31得到.
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为： 可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点 的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即
x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为： 上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明： 因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2
(i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都
傅里叶变换公式
第2 章信号分析 本章提要 ?信号分类 ?周期信号分析--傅里叶级数 ?非周期信号分析--傅里叶变换 ?脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2 －1 信号的分类 ?两大类：确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。
质量－弹簧系 统的力学模型x(t) = A cos k t +0 非确定性信号(随机信号：给定条件下取值是不确定的 ?按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 ?信号描述方法 时域描述如简谐信号
简谐信号及其三个要素 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法: 将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
T ：周期。注意n 的取值：周期信号“无始无 终” # ? 傅里叶级数的三角函数展开式 x (t ) = a + (a cos n t + b sin n t ) n =1 （n =1, 2, 3 ，…） 傅立叶系数： T a 0 = 1 x (t )dt - 2 T x (t )cos n tdt 2 T 2 x (t ) sin n tdt 2 式中 Ｔ--周 期；0--基频, 0=2/T 。 ? 三角函数展开式的另一种形式： 2 a n = b n =2
旋转和缩放不变的联合变换报告——极-梅林变换的Matlab仿真分析
旋转和缩放不变的联合变换相关目标识别报告 ——极-梅林变换的Matlab 仿真分析 2015202120040 张智宇 联合变换相关器(Joint Transform Correlator, JTC)是利用透镜的两次傅里叶变换得到互相关峰来实现目标识别的。由于其可以实时、并行地处理光学图像，因此有着巨大的潜在应用价值。标准的JTC 只能识别畸变较小的目标，如果目标相较参考像有较大角度的旋转或较大比例的缩放，相关峰就会迅速衰减甚至无法识别。因此JTC 的应用受到了限制。 1.JTC 畸变不变识别技术发展概况 实际应用中，目标图像相对于参考图像总会存在不同程度的畸变（尺度和旋转等）。在这种情况下，系统对真假目标的识别性能称为系统的畸变不变识别能力。畸变不变识别已成为衡量系统性能的一个重要指标，提高目标畸变情况下联合变换相关器的识别能力十分重要。围绕提高光学相关目标识别系统的畸变不变识别能力，国内外进行了大量的理论和实验研究。通过三十多年的发展，人们提出了多种算法，诸如坐标变换法（也称为极-梅林变换法），Zernike 矩，综合识别函数法，圆谐函数展开法，直方图归一化法，本征图像法，滤波器库设计法，神经网路滤波法等等。这些方法能实现特定应用背景下的某种畸变不变识别，但是没有哪一种方法能够一劳永逸地解决所有情况下的畸变不变性识别问题。 1.1 圆谐函数展开法 1982 年，Yuan-Neng Hsu 等人提出用圆谐函数展开(Circular HarmonicExpansion, CHE)法解决目标旋转的识别问题，并利用基于某一圆谐分量的计算机全息图作为匹配滤波器实现了旋转目标的识别。目标图像f(x,y)可以用极坐标表示为f(ρ,θ)然后可以用指数函数展开成级数的形式： f(ρ,θ)=∑f M (ρ)exp?(jMθ)+∞M=?∞ (1-1) f M (ρ)=12π∫f(ρ,θ)exp?(?jMθ)dθ2π 0 (1-2) 如此一来，旋转 φ 后目标函数可以表示为： f(ρ,θ+φ)=∑f M (ρ)exp?(jMθ)exp?(Mφ)+∞M=?∞ (1-3) 原点处的相关在极坐标中的表达式为： C (φ)=C φ(0,0)=∫ρdρ∫f(ρ,θ+φ)f ?(ρ,θ)dθ2π0∞0 (1-4) 将1-1带入1-4得： C (φ)=∑∑exp (jMφ)∫f M (ρ)+∞0+∞M ′=?∞+∞M=?∞f M ′(ρ)ρdρ×∫exp (j (M ? 2π0M ′)θ)dθ=2π∑exp? (jMφ)∫|f M (ρ,θ)|2ρdρ∞0+∞M=?∞ (1-5) 式(1-5)所示的相关函数包含了圆谐函数各级分量的贡献。当旋转角φ变化时，显然不满足旋转不变的条件。而是得到如下结论：当参考信号中包含多个（大于等于2）圆谐函数分量时，相关输出是随旋转角度改变的。但是，如果参考信号中仅包含一个（某一级）圆谐函数分量，那么相关输出与旋转角度无关，即实现了旋转不变。 应用圆谐函数展开法进行旋转不变的相关识别，其识别性能强烈地依赖于极坐标系的原点的选择及作为参考信号的圆谐函数分量的选择。一般情况下，选择原则是把原点选在图像
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 0)()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π2 } （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(2 2++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域数字 序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际 位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x [ （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。
积分变换的应用
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换