第十二章__无穷级数

班
级
姓
名
学
号
第十二章 无穷级数
练习 12—1 常数项级数的概念与性质 1．单项选择题： （1）若级数
∞
∑u
n =1
∞
n
是收敛的，则下列级数收敛的是
；
（A）
∑ un2 .
n =1
（B）
∞
∑ (un + 5) .
n =1
∞
（C） 5 +
∑ un .
n =1
∞
（D）
∑u
n =1
∞
1
n
.
（2）已知 lim an = a ，则
n →∞
∑ (a
n =1
n
? an ?1 ) 是
； （D）发散．
（A）收敛于 a ． （3）级数
∞
（B）收敛于 0 ． （C）收敛于 a ? a0 ．
∑ (u
n =1
∞
2 n ?1
+ u2 n ) 是收敛的，则
∞
．
∞
(A)
∑ un 必收敛． (B)
n =1 ∞
∑ un 未必收敛． (C) lim un = 0 ． (D)
n =1 n →∞
∑u
n =1
n
发散
（４）下列命题正确的是 （A）数项级数
．
∞
∑ un 的部分和数列 {Sn } 有界是级数 ∑ un 收敛的充要条件．
n =1
n =1
（B）若 lim un = 0 ，则数项级数
n →∞
∑u
n =1 n →∞
∞
n
收敛．
（C）若级数
∑u
n =1
∞
n
发散，则必有 lim un ≠ 0 ．
∞ ∞
（D）若级数
∑ an 收敛，级数 ∑ bn 发散，则级数 ∑ (an + bn ) 一定发散．
n =1 n =1 n =1
∞
2．判断下列级数的敛散性： (1)
1 1 1 1 + + + ??? + n + ??? ； 5 25 125 5
(2)
∑ sin
n =1
∞
nπ ； 6
(3)
n 3 ? 2n + 5 ∑ (2n + 1)(2n ? 1)(2n + 3) ； n =1
∞
安徽建筑工业学院高等数学作业题
1

班
级
姓
∞
名
学
号
（4）
∑(
n =1
n +1 ? n) ；
（5）
∑(
1 4n +1 ? )． 3n 5n
3．若级数
∑ un 收敛，其和为 S ，问级数 ∑ (un ? un+1 ) 是否收敛？若收敛求其和．
n =1 n =1
∞
∞
4．设级数
∑ un (un ≥ 0) 收敛，证明级数 ∑ un2 收敛，试举例说明反之不成立．
n =1 n =1
∞
∞
安徽建筑工业学院高等数学作业题
2

班
级
姓
名
学
号
练习 12—2 常数项级数的审敛法 1．单项选择题： （1）下列级数中收敛的是
∞
；
∞ ∞ 4 n +1 3n （B） ∑ ． （C） ∑ ． （D） ∑ ． （A） ∑ ． n n n =1 n n n =1 n( n + 2) n =1 n ? 2 n =1 ( n ? 1)( n + 3)
1
∞
（2）
∑u
n =1
∞
n
为正项级数，下列命题中错误的是
；
（A）如果 lim
∞ ∞ un +1 u = ρ < 1 ，则 ∑ un 收敛． (B)如果 lim n +1 = ρ > 1 ，则 ∑ un 发散． n →∞ u n →∞ u n =1 n =1 n n
(C)如果
∞ u n +1 < 1 ，则 ∑ u n 收敛． un n =1
(D)如果
∞ u n +1 > 1 ，则 ∑ u n 发散． un n =1
（3）设级数
∑ an2 收敛，则级数 ∑ (?1)n
n =1 n =1
∞
∞
| an |
n2 + a
(a > 0)
；
（A）绝对收敛． （C）发散． （4）设 un = (?1) ln(1 +
n
（B）条件收敛． （D）收敛性与 a 有关．
1 ) ，则 n
∞
；
∞
（A）
∑ un 与 ∑ un2 均收敛．
n =1 n =1
∞
∞
（B）
∑ un 与 ∑ un2 均发散．
n =1 n =1
（C）
∑ un 收敛而 ∑ un2 发散．
n =1 n =1
∞
∞
（D）
∑ un 发散而 ∑ un2 收敛．
n =1 n =1
∞
∞
（5）设 0 ≤ an <
1 ，则下列级数中 n
必定收敛；
（A）
∑a
n =1
∞
∞
n
．
（B）
∑ (?1)
n =1
∞
∞
n
an ．
2 an ．
（C）
∑
n =1
∞
an ．
（D） ．
∞
∑ (?1)
n =1
n
（6）下列命题正确的是
∞
（A）若
∑ an2 和 ∑ bn2 都收敛，则 ∑ (an + bn )2 收敛．
n =1
∞
n =1
n =1
（B）若
∑ | anbn | 收敛，则 ∑ an2 和 ∑ bn2 都收敛．
n =1 n =1 n =1
∞
∞
（C）若正项级数
∑a
n =1
∞
n
发散，则 an ≥
1 ． n
3
安徽建筑工业学院高等数学作业题

班
级
姓
名
学
∞
号
（D）若级数
∑a
n =1
∞
n
收敛，且 an ≥ bn (n = 1, 2,
) ，则级数 ∑ bn 也收敛．
n =1
2．用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的收敛性： （1）
∑ ln n ；
n=2
∞
1
（2）
∑
n =1
∞
n+5 (n + 2)(n3 + 3)
2
；
（3）
∑
n =1
∞
n cos 2
nλ 3 ； (n + 1) 3
（4）
∑ arctan 5n
n =1
∞
π
；
(5)
∑ n tan n
2
2
．
3．用比值审敛法或根值审敛法判定下列级数的收敛性：
1 7 1） ∑ ( ) ； n =1 n 6
∞
n
2）
∑ n!8
n =1
∞
(2n)!
n
；
3）
22 n ∑ n2 ； n =1
∞
4）
nn ∑ (n!) 2 ； n =1
∞
5）
∑(
n =1
∞
n ) ； 2n + 1
n
6）
∑ ( n + 1)
n =1
∞
an
n
（ a >1） ．
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4

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4． 判定下列交错级数的收敛性： 1)
∑ (?1)n?1
n =1
∞
1 ； ln n + a
2)
∑ (?1)
n =1
∞
n ?1
n ． n +1
5．判别下列级数的收敛性，如收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛？ (1)
∑ (?1)
n =1
∞
n ?1
ln
n +1 ； n
(2)
∑
n =1
∞
cos nπ
n 4 + 3n
；
(3)
∑ (?1)
n =1
∞
n ?1
ln n ； n!
(4)
(?1) n ∑ n ? ln n ． n=2
∞
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5

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幂级数
学
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练习 12—3 1．填空题： (1)幂级数 ∑ 2 x n 的收敛域为 n =1 n (2)幂级数 ∑ 1 ( x ? 2 ) n 的收敛域为
∞ n =1
∞
n
； ；
n
3
(3) 幂级数
∑ (?3)
n =1 ∞ n=0
∞
n
n
+ 2n
x 2 n ?1 的收敛半径 R =
∞
；
(4)若幂级数
∑ an x n 的收敛半径为 3，则幂级数 ∑ nan ( x ? 1)n+1 的收敛区间为
n =1
．
２．选择题： (1). 若幂级数
∑a
n =1
∞
n
x n 在 x = x 0 处收敛，则该级数的收敛半径 R 满足
（B） R < x 0 ．
n
；
（A） R = x 0 ． (2) 若幂级数
（C） R ≤ x 0 ．
（D） R ≥ x 0 ． ；
∑ a ( x ? 1)
n =1 n
∞
在 x = ?1 处收敛，则该级数在点 x = 2 处 （B）绝对收敛． ； （C）发散．
（A）条件收敛．
∞
（D）敛散性不能确定．
(3) 级数 ∑ (n + 1) x n 的和函数为
n=0
（A）
1 1 1 ． （B） ． （C） ． （D）以上都不对． 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x)3
2 ∞ ∞ ∞ (4) 设 幂 级 数 ∑ an x n 与 ∑ bn x n 的 收 敛 半 径 分 别 为 5 和 1 , 则 幂 级 数 ∑ an x n 的 收 敛 半 径
i =1 i =1
3
3
i =1
2 bn
为
． （A）5． （B） 5 ．
3
∞
（C） 1 ．
3
（D） 1 ．
5
∞
3．求下列幂级数的收敛域及和函数： (1)
∑ ( 2n + 1) x n
n=0
；
(2)
∑ n4
n =1
n
xn ．
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6

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练习 12—4 函数展开成幂级数 1．选择题 (1)函数 f ( x) = e 展开成 x 的幂级数为___________；
x2
（A） (2 ) f
∞ ∞ ∞ x 2n xn (?1) n ? x n (?1) n ? x 2 n ． （B） ∑ ． （C） ∑ ． （D） ∑ ． ∑ n! n! n! n =0 n =0 n! n=0 n =0
∞
(n)
(0) 存在是 f(x)可展开成 x 的幂级数的___________．
（B）充分但非必要条件． （D）既不是充分条件也非必要条件．
（A）充要条件． （C）必要而不充分条件．
2． 将下列函数展开成 x 的幂级数并指出展开式成立的区间： (1) arctan
1+ x ； 1? x
(2)
x ． 2 + x ? x2
3．将函数 e 展开成 x ? 1 的幂级数并指出展开式成立的区间．
x
安徽建筑工业学院高等数学作业题
7

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练习 12—5 傅里叶级数 1． 填空题： (1) f ( x) 是以 2π 为周期的周期函数，已知其傅里叶级数为 a n , bn ，若 g ( x) = f (? x) ，则
g ( x) 的傅里叶系数 a n , bn 与 a n , bn 的关系式 a n =__________． bn =__________；
*
*
*
*
(2) f ( x) =
π ?x
2
∞
(0 ≤ x ≤ π ) 展成正弦级数为
；
(3) 设 x =
2
∑a
n=0
n
cos nx (?π ≤ x ≤ π ) ，则傅里叶级数展开式中系数 a2 = __________．
2． 选择题 (1) 设 f ( x) 是以周期为 2π 的周期函数，它在 [ ?π , π ] 的表达式为 f ( x) = ? x, ? π ≤ x ≤ 0 ， ? ?0, 0 ≤ x ≤ π
f ( x) 的傅里叶级数的和函数为 S（x） S (π ) =___________； ，则
（A） ?
π
2
．
（B） ? π ．
（C）0．
（D）不存在．
(2) f ( x ) = sin x ( ?π ≤ x ≤ π ) 的傅里叶系数 a n , bn 满足___________； （A） a n = 0( n = 0,1,2
), bn ≠ 0(n = 1,2 ) ． （B） bn = 0(n = 1,2 ), a 2 k ?1 = 0( k = 0,1,2 ) ．
（D）以上结论都不对．
（C） a n ≠ 0(n = 0,1,2 ), bn = 0(n = 1,2 ) ．
(3) 求 f ( x) 在 [ 0, π ] 上的正弦级数，实际上就是求___________中 f ( x )在[? π , π ] 上的傅 里叶级数． （A） F ( x) = ?
0≤ x ≤π ? f ( x), ? f ( x), 0 ≤ x ≤ π ． （B） F ( x) = ? ． ?? f ( x), ? π ≤ x ≤ 0 ?? f (? x), ? π ≤ x ≤ 0
． （D） F ( x) = ?
（C） F ( x) = ?
? f ( x), 0 ≤ x ≤ π ? f (? x), ? π ≤ x ≤ 0
?π ≤ x < 0 0≤ x ≤π
?2 f ( x), 0 ≤ x ≤ π ． ?π ≤ x ≤ 0 ?0,
3．将 f ( x) = ?
?e x
?1
展开成傅里叶级数．
安徽建筑工业学院高等数学作业题
8

班
级
姓
练习 12—6
2
名
学
号
一般周期函数的傅里叶级数
1．将 f ( x) = x ( ?1 ≤ x ≤ 1) 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由该级数求下列数项级 数的和： (1)
1 ∑ n 2 ；( 2). n =1
∞
∑ (?1)
n =1
∞
n +1
1 ． n2
２．将函数 f ( x) = 2 x (0 ≤ x ≤ 2) 分别展开成正弦函数和余弦函数．
2
安徽建筑工业学院高等数学作业题
9