高一数学必修一子集真子集例题汇总

1．真子集不包含已知集合它本身。

如集合｛1，2，3｝的子集有｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝｛1,2,3｝；而真子集有｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝。不要忽略了空集哦~~

2．通俗地说，对于集合A和集合B，若A中的每个元素都是B中的元素，那么A 就是B的子集；若在满足上面的条件下，能够找到至少一个元素，这个元素属于B但不属于A，则A就是B的真子集。

3．已知集合M={x|x=m+1/6,m属于Z},N={x|x+n/2-1/3,n属于Z},P={x|x=p/2+1/6,P属于Z},则M,N,P满足关系?

有4个选项:A.M=N真包含P B.M真包含N=P C.M真包含N真包含P D.N真包含P 真包含M

请告诉我这个题的意思和解法,我不是只要答案,我想知道怎样做的

这题很简单，用通分即可。。

集合M中X=（6M+1）/6

N中X=（3N-2）/6

P中X=（3P+1）/6

N与P中的分子都是一个除以3余1的数，所以N=P

而M中X可以表示成x=[3*(2M)+1]/6

所以M中的元素都在N、P中，而且N、P的元素数量范围要比M中的大，所以M 真包含于N（你的题目应该打少了个“于”字吧）

所以答案是（B）

4．

如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B 的真子集。

举例所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集。

所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。

{1, 3} ? {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ? {1, 2, 3, 4}

真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等

真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等 编辑本段真子集和子集举例

子集比真子集范围大，子集里可以有全集本身，真子集里没有，还有，要注意非空真子集与真子集的区别，前者不包括空集，后者可以有。 比如全集I 为{1，2，3}，

它的子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、再加个空集；

而真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、再加个空集，不包括全集I 本身。

非空真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}，不包括全集I 及空集。

设全集I 的个数为n ，它的子集个数为2的n 次方，真子集的个数为2的n 次方-1，非空真子集的个数为2的n 次方-2。

5．集合A 中任何一个元素属于集合B ，且集合B 中有元素不属于集合A ，那么A 就是B 的真子集

比如 集合A=｛1，2｝ 集合B=｛1，2，3｝ 集合A 中任何一个元素1，2都属于集合B ，但集合B 中的元素3不属于集合A ，这样A 就叫做B 的真子集 再如C=｛a,b,c ｝D=｛a,b,c,d,e ｝C 是D 的真子集

6．集合、子集、交集、并集、补集

一. 选择题：

1. 满足{}{}

-??--1121012，，，，，M 的集合M 的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 设I 为全集，A B ?，则A B ?=（ ）

A A

B B

C I

D ....φ

3. {}{}

M x x k k Z N x x k k Z ==+∈==-+∈||()3231，，，，则集合M 、N 的关系是（ ）

A M N

B M N

C M N

D M N ....=???=φ

4. 已知{}

{}

M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈||2

11，，，，则M N ?等于

（ ）

{}{}{}

A B C D .()()...[)

011201121，，，，，，+∞

5. 已知集合{}{}A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+||35141，，且A B B ?=，

B ≠φ，则实数a 的取值范围是（ ）

A a

B a

C a

D a ....≤≤≤≤-≤≤1010

41

6. 下列各式中正确的是（ ）

{}{}A B C D ....0000∈?=?φφφ

φ

7. 设全集{}I =1234567，，，，，，，集合{}{}

A B ==135735，，，，，，则（ ）

A I A

B B I A B

C I A B

D I A B

....=?=?=?=?

8. 已知全集{}{}{}

I x x x N A B =≤∈==|101352379，，，，，，，，，那么集合

{}46810，，，是（ ）

A A

B B A B

C A B

D A B

....????

二. 填空题：

1. 用列举法表示｛不大于8的非负整数｝__________________________。

2. 用描述法表示{1，3，5，7，9，…}________________________。

3. {}

()|x y xy ，<0表示位于第___________象限的点的集合。

4. 若{}{}

A x x x N

B x x x N I N =<∈=>∈=||126，，，，，则A B ?=_______。

5. 设{}

{}

I a A a a =-=-+241222

，，，，，若{}A =-1，则a=__________。

6. 集合{}

M N ?=-11，，就M 、N 两集合的元素组成情况来说，M 、N 的两集合组成情况最多有不同的__________________种。

三. 解答题：

1. 已知{}

{}

A x y y x

B x y y x ==-==()|()|，，，322

，求A B ?。

2. 已知集合{}

{}

A a a d a d

B a aq aq =++=，，，，，22

，其中a ，d ，q R ∈，若

A=B ，求q 的值。

3. 已知集合{}

A x x p x x R =+++=∈|()2

210，，且A R ?-

，求实数p 的取值范围。

【试题答案】

一.

1. B

2. C

3. A

4. D

5. B

6. D

7. C

8. D 二.

1. {0，1，2，3，4，5，6，7，8}

2. ｛正奇数｝

3. 二、四

4. {}

x x x x N |<>∈711或且 5. 2 6. 9 三.

1. 解：A B x y y x y x ?==-=???????????

?

?()，322

{}=()()1124，，，

2. 解：a a a d aq a d aq a a

a d aq a d aq

=+=+=????

?=+=+=???

??212222()()或

解(1)得：q=1，这样集合B 中元素重复，不合题意。

解(2)得：q q =-

=1

21或(舍) ∴=-q 1

2

3. 解：(1)当?<0时，A R =?-

φ，符合条件

由?=+-<<<()p p 240402

解得－ (2)当时，或?==-004p

当时，解得，满足当时，解得，不满足p x A R p x A R p ==-?=-=?∴=-

-

01410

(3)当?>0时，要A R ?-

则

?>+???

??>00

001212x x x x p 解得

综上所述，p >-4。

7。．子集、全集、补集应试能力测试

一、选择题

1．下列各式中正确的是( ) A ．0＝? B ．}0{?? C ．{0}＝?

D ．0∈?

2．若x 、y ∈R ，A ＝{(x ，y)|y ＝x}，}1x

y

|)y x {(B ==，，则A 、B 关系为( ) A ．B A ≠? B ．B A ≠? C ．A ＝B

D ．B A ?

3．已知集合}Z m 61m x |x {M ∈+==，，}Z n 3

1

2n x |x {N ∈-=

=，，}Z p 6

1

2p x |x {P ∈+=

=，，则M 、N 、P 满足关系( ) A ．P N M ≠?=

B ．P N M =≠?

C ．P N M ≠?≠?

D ．M P N ≠?≠?

4．满足}9 7 5 3 1{}3 1{，，，，，?≠?A 的集合A 的个数是( ) A ．3

B ．6

C ．7

D ．8

5．已知全集U(U ≠?)和子集M 、N 、P ，且N M U C =，P N U C =，则M 与P 的关系是( )

A ．P M U C =

B ．M ＝P

C ．P M ≠?

D ．P M ≠?

二、填空题

1．已知集合A ＝{x|－1

2．设S 为非空集合，且}5 4 3 2 1{，，，，?S ，那么满足性质“若a ∈S ，则6－a ∈S ”的集合S 有______________________．

3．设U ＝R ，A ＝{x||x|>1}，}02

1

x |x {B ≥-=，则_______

=A U C ，_________

=B U C ． 4．如果}7 5 3{，，=A ，}2{=A U C ，则U ＝__________________________． 5．已知集合A ＝{x ∈R|x ＝2n ＋1，n ∈Z}，B ＝{x ∈R|x ＝4n ±1，n ∈Z}，则A 、B 关系

是____________________．

三、解答题

设集合}R x 0x 4x |x {A 2∈=+=，，}R x R a 01a x )1a (2x |x {B 22∈∈=-+++=，，，若A B ?，求实数a 的取值范围．

参考答案

一、 1．B 2．B

提示：A ＝{直线y ＝x 上所有点}，B ＝{直线y ＝x 上除(0，0)外的点} 3．B

提

示

：

因

}

Z m )1m 6(6

1

x |x {M ∈+==，，

}Z n ]1)1n (3[61)2n 3(61x |x {N ∈+-=-==，，}Z p )1p 3(6

1

x |x {P ∈+==，

4．C

5．B

提示：注意M N P P U U U C C C ===)(

二、

1．a ≥3，借助数轴

2．注意到a ＋(6－a)＝6，因而考虑1与5，2与4，3与3

集合S 可能是：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，5，3}，{2，4，3}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}．共7个

3．}11|{≤≤-=x x A U C ，}2

1

|{<=x x B U C 4．}7 5 3 2{，，，=U 5．A ＝B 因为??

?-=-=+=+1)

2k n ( 142k)

n ( 1412当当k k n

三、

解：∵A ＝{0，－4}，A B ?，于是有以下几种情况 (1)当A ＝B 时，此时B ＝{0，－4}

∴0，－4是方程01a x )1a (2x 22=-+++的根

∴???=--=+-0

1a 4)1a (22 解得a ＝1

(2)当A B ≠?时，又可分为

①B ≠?时，即B ＝{0}或B ＝{－4} ∴⊿0)1a (4)1a (422=--+=， ∴a ＝－1，B ＝{0}满足条件

②B ≠?时，即⊿0)1a (4)1a (422<--+=，

∴a<－1

综合(1)、(2)，可知实数a 的取值范围是a ≤―1或a ＝1．

8．．【学习目标】

1．了解全集的意义和它的记法．

2．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及子集的补集．

3．会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．

【学习障碍】

1．对于全集的理解模糊不清．

2．对于补集的理解不到位．

3．数形结合是一种常用方法，但部分同学只注意逻辑思维，忽视了数与形的结合，走了弯路并常出错．

【学习策略】

Ⅰ．学习导引

1．预习课本P9～10．

2．本课时的重点是补集的概念，难点是概念的应用．

关于补集与全集的概念．

①补集：设S是一个集合，A是S的一个子集，即A?S，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)．记作S A＝｛x｜x∈S且x?A｝图示法表示如图1—2：

②全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可看作一个全集．全集通常用U表示．

Ⅱ．知识拓宽

与补集相关的概念是差集．什么是差集呢？集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A/B；即：A/B＝｛x｜x∈A且x?B｝．要注意该式等号右边与补集定义中的式子类似，但意

义不同，在A B中，要求B是A的子集；在A/B中，B可以不是A的子集，当B是A的子集时的时候有A B＝A/B．

Ⅲ．障碍分析

1．如何理解全集的概念？

全集具有相对性，并不惟一．我们在自然数范围内讨论问题时，可以把N看作U，在实数范围内讨论问题，可以把实数集R看作全集U．

2．对补集的理解应注意什么?

(1)紧紧抓住补集的概念，不能死记硬背，而应深刻理解U A?U，且A?U．

(2)补集是相对于全集而言的，同一集合在不同的全集中，补集不同，如A＝｛1，2，3｝，若U＝｛1，2，3，4，5｝，则U A＝｛4，5｝；若U＝｛1，2，3，4，5，6｝，则U A＝｛4，5，6｝．

(3)对于补集有以下结论：

①若A?B，则U B?U A，

②若A＝B，则U A＝U B，

③若U A＝U B，则A＝B，

④U U＝?，U?＝U，U(U A)＝A．

［例1］设全集U＝｛2，3，a2＋2a－3｝，A＝｛｜2a－1｜，2｝，且U A＝｛5｝，求实数a的值．

思路：解本题的关键是理解题意，U A＝｛5｝，说明了5∈U，但5?A，所以

a2＋2a－3＝5，｜2a－1｜≠5且｜2a－1｜∈U．

解：∵U A＝｛5｝，∴5∈U且5?A．

∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4．

当a＝2时，｜2a－1｜＝3≠5，

a＝－4时，｜2a－1｜＝9≠5但9?U

∴a＝－4(舍去) ∴a＝2．

误区点评：在解本题时求出a＝2或－4时，忘记检验，忽略了隐含条件A?U，即

｜2a－1｜∈U，误把a＝－4当作本题的答案．

3．如何利用文氏图来表示补集？

文氏图法或数轴法也是研究补集关系的常用方法．但一般来说都比较直观、简捷，要注意数形结合思想的应用．

［例2］设全集为U，A、B为其子集，且A?B，则

A．U A?U B

B．U A U B

C．U A?U B

D．U A U B

解：画出如图1—3所示文氏图，由图可知U A?U B．

答案：C

点评：文氏图是研究集合关系的常用方法，也是数形结合思想的重要应用．

Ⅳ．思维拓展

［例3］已知全集S＝{1，3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果S A＝{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

思路：由U A＝｛0｝，知0∈S，但0?A.由0∈S，可求出x，然后结合0?A，来验证其是否符合题目的隐含条件A S，从而确定最后的x是否存在．

解：∵S A＝｛0｝，∴0∈S且0?A，于是有x3＋3x2＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，即x1＝0，x2＝－1，x3＝－2．当x＝0时，｜2x－1｜＝1不合题意；

当x＝－1时，｜2x－1｜＝3，3∈S；

当x＝－2时，｜2x－1｜＝5，但5?S．

因此，实数x的值存在，x＝－1．

点评：①解此类问题的关键是理解补集的概念及S A＝｛x｜x∈S且x?A｝的含义．

②求出的x要注意检验．

Ⅴ．探究学习

对于非空集合M和N，把所有属于M但不属于N的元素组成的集合称为M和N的差集，记作M－N，那么M－(M－N)等于

A．N

B．M

C．M∩N

D．M∪N

答案：C

【同步达纲练习】

一、选择题

1．全集U＝｛a，b，c，d，e｝，A＝｛a，b｝，B U A，则集合B的个数是

A．5

B．6

C ．7

D ．8

2．设A ＝｛x ｜x

1

＞0｝，S ＝R ，则S A 等于 A ．｛x ｜

x

1

＜0｝ B ．｛x ｜x ＜0｝ C ．｛x ｜x ≤0｝ D ．｛x ｜x ≥0｝

3．设S ＝Z ，A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z ｝，则下列关系式中错误的是

A ．S

A ＝B

B ．S

B ＝A

C ．S

(

S

A)＝B

D ．

S

?＝Z

4．已知全集U ，集合M ，N 是U 的非空子集，若U

M ?N ，则必有

A ．M ?U

N

B ．M ?U

N

C ．

U

M ＝U

N

D ．M ＝N 二、填空题

5．已知全集I ＝｛2，0，3－a 2

｝，子集P ＝｛2，a 2

－a －2｝， I

P ＝｛－1｝，则a 的值

为_________．

6．设S ＝｛x ｜x 是至少有一组对边平行的四边形｝，A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，则S

A

＝_________．

7．设A 、B 、C 都是R 的子集，若A ＝R

B ，B ＝

R

C ，则A 与C 的关系是_________．

三、解答题

8．设U ＝｛2，3，a 2

＋2a －3｝，A ＝｛b ，2｝，

U

A ＝｛5｝，求实数a 和b 的值．

9．设全集P ＝｛1，2，3，4｝，A ＝｛x ｜x 2

－5x ＋p ＝0｝， P

A ＝｛x ｜x 2

－qx ＋6＝0｝，求实

数p 、q 的值．

参考答案

【同步达纲练习】

一、1．C 提示：

U

A ＝｛c ，d ，e ｝，∵B

U

A ＝｛c ，d ，e ｝

∴｛c ，d ，e ｝的真子集有23

－1＝7个． 2．C 提示：因A ＝｛x ｜x

1

＞0｝＝｛x ｜x ＞0｝，∴S A ＝｛x ｜x ≤0｝ 3．C 提示：

S A ＝B ，

S

B ＝A ．

4．A 提示：该题可由文氏图来解．

二、5．－2 提示：由题意得a 2－a －2＝0，3－a 2

＝－1，∴a ＝－2． 6．｛x ｜x 是梯形｝ 提示：至少有一边平行包含“只有一组对边平行”和“两组对边都平行”，∴

S

A 是只有一组对边平行即梯形．

7．A ＝C 提示：由文氏图可以得出．

三、8．解：∵

U

A ＝｛5｝

∴a 2

＋2a －3＝5，∴a ＝2或a ＝－4． 又∵A ?U ，5?A

9．解：∵x 2

－5x ＋p ＝0，∴x 1＋x 2＝5

又∵x 2

－qx ＋6＝0，x 3x 4＝6 ∴2、3∈

P

A ，1，4∈A ．

∴p ＝4，q ＝5．

10．子集、全集、补集·典型例题

能力素质

例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}?

(2){1，2，3}＝{3，2，1}

(3){0}??≠

(4)0∈{0}

(5){0}(6){0}

??∈＝

分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．

说明：含元素0的集合非空．

例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．

解含有个元素的子集有：； 0?

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ?

例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ??

________．

分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．

答 共3个．

说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．

例设为全集，集合、，且，则≠

4 U M N U N M ??

[ ]

分析 作出4图形． 答 选C ．

说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．

点击思维

例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是

[ ]

A A

B B A B

C A B

D A B ．＝．．．≠≠

???

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上

x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，

y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ．

说明：要注意集合中谁是元素．

M 与P 的关系是

[ ]

A ．M ＝

U P

B ．M ＝P

C M P

D M P ．．≠?

?

分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝

U N ＝

U (

U P)＝P ；三是利用画图的方法．

答 选B ．

说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是

[ ]

A ．

U (

U A)＝{A}

B A B B A B

C A {1{2}}{2}A

．若∩＝，则．若＝，，，则≠???

D A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈?

分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．

∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ? 集有，，，，，，，，，，，，，而?{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B

是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ． 答 选D ．

说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．

例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．

分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．

答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．

说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．

学科渗透

例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，

则p ＝________．

分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于

S M ＝{1，4}，

且，≠

M S ? ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解．

答 p ＝2×3＝6．

说明：集合问题常常与方程问题相结合．

例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求

a 的值．

S 这个集合是集合A 与集合

S A

的元素合在一起“补成”的，此外，对这类

字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．

解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足

()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 2

2

2＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④???????

或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④

(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 22

2???

??

?? 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．

在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．

说明：分类要做到不重不漏．

高考巡礼

例年北京高考题集合＝＝π＋π

，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24

x|x k Z}＝

π＋π

，∈则k 42

[ ]

A ．M ＝N

B M N

C M N

．．≠≠??

D ．M 与N 没有相同元素

分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得

M {}N {}M N ＝…，－

π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π

，…易见，．≠

44345474423454

?

答 选C ．

说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性

三、运用子集的性质

例3：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B= {x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ?A ， 求实数a 的取值范围．

分析：首先要弄清集合A 中含有哪些元素， 在由B ?A ，可知，集合B 按元素的

多少分类讨论即可． 【解】

A={x|x 2+4x =0，x ∈R}={0，-4} ∵ B ?A

∴ B=?或{0}，{-4}，{0，-4}

①当B=?时，⊿=[2(a+1)]2-4?(a 2-1)<0 ∴ a< -1 ②当B={0}时，2

02(1)01

a a =-+??=-?

∴ a=-1

③当B={-4}时，2

442(1)

161a a --=-+??=-?

∴ a=?

④当B={0，-4}时，2

402(1)

01

a a -+=-+??=-? ∴ a=1

∴ a 的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1． 点评:

B=?易被忽视，要提防这一点． 四、补集的求法 例4：①方程组210

360x x +>??

-≤?

的解集为A ，

U=R ，试求A 及u C A ．

②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，

B 是R

C A 的真子集，求实数a 的取值范围．

【解】

① A={x|1

22

x -

<≤}， u C A ={x|x ≤1

2

-或x>2}

② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ， R C A ={x|x ≤1}

∵ B 是R C A 的真子集 如图所示：

x

1

-a ∴ -a ≤ 1即a ≥-1

点评:

求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．

高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学 满分150分 姓名 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。

高一数学必修一各章知识点总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 2. 3.集合的表示：{ …集合的含义 集合的中} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r． 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d． 如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点， 这两个交点符合题意． 又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：． 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合 题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

高一数学期末复习资料

复习指南 1．注重基础和通性通法 在平时的学习中，应立足教材，学好用好教材，深入地钻研教材，挖掘教材的潜力，注意避免眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础知识和基本方法的不良倾向，当然注重基础和通性通法的同时，应注重一题多解的探索，经常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的能力。 2.注重思维的严谨性 平时学习过程中应避免只停留在“懂”上，因为听懂了不一定会，会了不一定对，对了不一定美。即数学学习的五种境界：听——懂——会——对——美。 我们今后要在第五种境界上下功夫，每年的高考结束，结果下来都可以发现我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个原因。 另外我们的学生的解题的素养不够，比如仅仅一点“规范答题”问题，我们老师也强调很多遍，但作为学生的你们又有几人能够听进去！ 希望大家还是能够做到我经常所讲的做题的“三观”： 1. 审题观 2. 思想方法观 3. 步骤清晰、层次分明观 3. 注重应用意识的培养 注重培养用数学的眼光观察和分析实际问题，提高数学的兴趣，增强学好数学的信心，达到培养创新精神和实践能力的目的。 4.培养学习与反思的整合 建构主义学习观认为知识并不是简单的由教师或者其他人传授给学生的，而只能由学生依据自身已有的知识、经验，主动地加以建构。学习是一个创造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个充满想象、探索和体验的过程。你不想学，老师强行的逼迫是不容易的或者说是作用不大，俗话说“强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积累和模仿，而且还要动手实践，自主探索，并且在获得知识的基础上进行反思和修正。（这也就是我们经常将让大家一定要好好预习，养成自学的好习惯。）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新知识作为进步的标准的一门学问，仔细想来确实很有道理！ 所以我们在平时学习中要注意反思，只有这样才能使内容得到巩固，知识的得到拓展，能力得到提高，思维得到优化，创新能力得到真正的发展，希望大能够让数学反思成为我们的自然的习惯！ 5.注重平时的听课效率 听课效率高不仅可以让自己深刻的理解知识，而且事半功倍，可以省好多的时间。而有些同学则认为上课时听不到什么，索性就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实。这种认识是不科学的，想象如果上课没有用的话，国家还开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，学生买了书就可以自己学习到时候参加考试就行了。 想想好多东西还是在课堂上聆听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较。课堂上记下比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，注重老师对题目的分析过程。课后宁愿花时间去整理笔记，因为整理笔记实际上是一种知识的整合和再创造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，

高一数学集合典型例题、经典例题

《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例.设集合 ｛0｝ 例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算 例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a

高一数学集合较难题(完整资料)

此文档下载后即可编辑 高一数学集合较难题 一、选择题： 1．全集U R =，集合{|112},{|21,},M x Z x N x x k k N +=∈-≤-≤==+∈则图1中阴 影部分所示集合的元素共有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．无穷多 2．设全集U={2，3，2 a +2a-3}，A={|a+1|，2}，A C U ={5}，则a 的值为（ ） A 、2 B 、-3或1 C 、-4 D 、-4或2 3. 已知集合{1,2}{21}M N a a M ==∈-，，则M N ?＝（ ） A ．}1{ B ． }2,1{ C ． }3,2,1{ D ．空集 4.记全集},,111|{N x x x U ∈<≤=则满足}9,7,5,1{}10,97531{=?P C U ，，，， 的所有集合P 的个数是（ ） A.4 B.6 C.8 D.16 5．已知集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，则下列正确的是（ ） A ．{}1,A B y y =>I B.{}2A B y y =>I C.{}21A B y y ?=-<< D. {}21A B y y y ?=<>-或 6.设全集为R ，}3x 3|x {B }5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（ ） A. R B A R C =Y B. R B A R C =Y C. R B A R R C C =Y D. R B A =Y 7.设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ?，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2)- B ．[1,2]- C ．[0,3] D ．[0,3)8.已知不等式 8.03)1(4)54(22>+-+-+x k x k k 对任何实数x 都成立，则关于x 的方程0108)2(2232=-+-+k x k x （ ） A.有两个相等的实根 B. 有两个不等的实根 C.无实根 有无实根不确定 9.满足)3,}(,,,,,{},{132121≥∈??-≠ n N n a a a a a P a a n n Λ21,a a 21,a a 的集合P 共有（ ） A.123--n 个 B. 122--n 个 C. 121--n 个 D. 12-n 个

高一数学必修1第一章集合教案

第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

高一数学函数经典习题及答案

函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =-

6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；

高一数学 集合 重难点解析 人教版

数学 集合 【重点难点解析】 集合论是由德国数学家康托(Cantor ，1845—1918)创立的，它的创立使数学的面貌产生了巨大的变化．现在我们学习的是集合的初步知识． 本节重点是集合的基本要领及其表示方法，难点是运用集合的表示方法正确表示一些简单的集合．学习中请注意以下几点： (1)集合与集合的元素是两个不同的概念，与几何中的点、线、面的概念类似．但是，应把握集合元素的确定性、互异性、无序性，要明确元素的属性，这是解决集合问题的关键． (2)集合具有两方面的含义：一方面，凡符合条件的对象都是它的元素，另一方面，凡它的元素都符合条件． (3)新的国家标准定义自然数集N 含元素“0”，这与初中所学不同，要注意． 【考点】 本节是打基础的预备知识，考试时一般是与后面章节结合起来考查，因此，本节学习需达到的要求是： ①理解集合概念； ②掌握集合的常用表示方法； ③会正确使用符号∈与?． 【典型热点考题】 例1 考察下列每组对象能否构成一个集合？ (1)比较小的数； (2)所有无理数； (3)比2大的几个数； (4)直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点； (5)高一(2)班所有的男生． 思路分析 判断一组对象能否构成一个集合，关键在于是否有一个明确的标准来判断这些对象具有某种性质． 解：(1)“比较小”无明确的标准，对于某个数是否“比较小”无法客观地判断，因此“比较小”的数不能构成集合；类似地，(3)也不能构成集合． (2)任给一个实数，可以明确地判断它是不是无理数，故“所有无理数”可以构成集合．类似地，(4)、 (5)也能构成集合． 例2 设集合}Z k 412k x |x {M ∈+==，，}Z k 2 14k x |x {N ∈+==，，则( ) A ．M ＝N B ．N M ≠? C ．N M ≠? D ．M ∩N ＝? 思路分析1 采用描述法向列举法转化： k 取0，±1，±2，±3，…，可得： }4 54341414345{ ，，，，，，，---=M

高一数学必修1各章知识点复习总结

高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 集合的含义 集合的中元素的三个特性： 元素的确定性如：世界上最高的山 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 列举法：{a,b,c……} 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x -3>2} ,{x| x -3>2} 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} Venn 图: 4、集合的分类： 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 B A ?? /?/

高一数学必修三知识点总结及典型例题解析

新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

集合难题汇总

高一数学必修1集合经典题训练 2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠ ，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是 7、设集合{} R x x x A ∈≥-=,914, ??????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于 9、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =? ，则实数a 的取值范围是 17、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2

高一数学必修二各章知识点总结[1]

数学必修2知识点 1. 多面体的面积和体积公式 S 底·h ch ′ h （S 上底+S 下底+ （c+c ′）h ′ 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。 2. 旋转体的面积和体积公式 πr2h πh （r21+r1r2+r22） πR3 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。 3、平面的特征：平的，无厚度，可以无限延展. 4、平面的基本性质： 公理1、若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ,,,l l l αααA∈B∈A∈B∈?? 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ,,,,,C C ααααA B ?A∈B∈∈三点不共线有且只有一个平面使 公理3、若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. l l αβαβP∈?=P∈ 且 推论1、经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2、经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3、经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行. //,////a b b c a c ?

5、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 6、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 数学符号表示：,,////a b a b a ααα??? 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ?=? 7、平面与平面平行的判定定理：（1）一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 数学符号表示：,,,//,////a b a b a b ββαααβ??=P ? （2）垂直于同一条直线的两个平面平行. 符号表示：,//a a αβαβ⊥⊥? （3）平行于同一个平面的两个平面平行. 符号表示：//,////αγβγαβ? 面面平行的性质定理： （1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面. //,//a a αβαβ?? （2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. //,,//a b a b αβαγβγ==? 8、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα??=A ⊥⊥?⊥ （2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. //,a b a b αα⊥?⊥ （3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面. //,a a αβαβ⊥?⊥ 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. ,//a b a b αα⊥⊥? 9、两个平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. ,a a βααβ⊥??⊥ 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 数学符号表示：,,,b a a b a αβαβαβ⊥=?⊥?⊥ 10、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为α( ) 0180α≤< ，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ? .当2πα=时，斜率不存在. （2）当090α≤< 时，0k ≥；当90180α<< 时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-.

高一数学集合练习题及答案经典

发散思维培训班测试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集

8、设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D } {2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2x ax b ++,A=}{}{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式

高一数学必修一各章知识点总结技巧解答

高一数学必修1各章知识点总结 一、集合 1、集合的中元素的三个特性： 2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真 子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

高中数学经典题型50道(另附详细答案)

高中数学经典题型50 道(另附详细答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sin x|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与 地球的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆 的方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的

高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.

高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是