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透叠

标志图形与图形--透叠同构

精思巧形LOGO

这是12种图形同构手法中的第三个，透叠。前三种图形关系“并置”“重叠”“透叠”，并没有对图形符号本身做太多的变化处理，它们都是二维空间关系“上下左右、前后、内外”的描述词语，但是解读这些关系离不开生活中的行为和现象。为了便于记忆这些图形关系，参见我上图中的示意图。

我们这里列举的图形同构手法都是针对两个具象概念的图形符号，虽然，这些手法也适用于两个抽象图形，或者一个具象符号（需要两个图形来表达）的情况，但是我们这里强调的是信息的逻辑关系，两个符号分别代表两个不同的信息词汇，需要通过图形同构关系来阐释信息。

如果一个标志图形中有两个具象图形符号，但它们却同属于一个视觉符号信息，比如“鸡尾酒”的视觉符号需要一个杯子和一片柠檬，那么这两个具象图形算是一个视觉符号，但是如果你将杯子上的柠檬换成了其他的图形，比如“一个文字符号”，那么你就加了一个新的信息进去，那么这就算是两个图形符号了，有了两个图形符号，就有了两个信息词汇，所以才会用到信息同构（逻辑语法）。

透叠----这个名字“透”明确的说明了两个符号之间的关系，它来自于日常生活中的内外关系或者前后关系，但是外面和前面的图形是“透明”的，我们能够通过前面的图形看到后面的图形。

当两个图形关系相重叠时，两者重叠部分显现明显明确轮廓和形象的表现手法。透叠的图形保持着各自形状的完整性，它们之间不存在着遮挡关系，也就不像重叠那样能表达明确的纵深位置。但是透叠却能是图形留有空间变换的余地。很多透叠图形利用图形重合部分呈现多重意义表达，重合部分是图形双方的公用形。

内外的透叠，是最直白的透叠，这种图形关系最常用来揭示或展示某物的内涵，含有什么。内部的图形往往是信息的重点，因为“透”就是展示内部，而很多时候，我们不能看到内，所以“透”也就有了揭示的意味，很多时候“内涵”才是品牌真正的差异化区别。看下面的海报，就是最直白的透叠，香水里的动物，揭示了“代价”。啤酒瓶里的重型武器，揭示了“酒劲”。这些都是让观众理解信息，并且通过简单的图形符号产生丰富联想，从而对信息深刻认识的手法。

前后的透叠关系就比较有意思了，这种透叠关系，前后图形都可以是视觉的焦点，一个东西可以透，比如

下图中的导航仪，那么后面的地区活动旅游风景就是为了衬托其功能了。观众透过野生动物的眼睛看到“人”，这种“透”产生的身临其境感，对信息的解读过程中产生的心理影响是强大的，当我们凑近海报去看，看清眼球中的人时，和我们在自然中近距离接近这些猛兽的心理有着相似性，这种需要观众产生的恐惧情绪，很好的通过这种手法处理出来了。当然这种现象并不能严格的说成“透叠”，但是“透过”的行为，和眼球的“透明”，我还是把它划分为“透叠”手法。我只是想说明，不要局限于这些名称和手法，归纳手法只是帮助我们系统的掌握符号关系（视觉符号语法）的途径，无论什么样的分类，只要能够快速的触类旁通，就是好方法，这对我们快速掌握设计有好处。

就像李小龙也不断强调，“截拳道”并没有固定的招式，不是武术类别（拳术，剑术，刀术等），更不是武术门派（武当、永春等），练习截拳道的目的是要人们通过练习达到自由表达自我的境界，眼到手到，心到身到。但是，即使没有固定的招式，为了便于初学者入门，还是要通过一定的套路招式来不断练习，这些套路可能来自永春拳等各家招式。我们学习设计也是这样，视觉设计师学习视觉符号这门“语言”，目的就是为了自由的表达自我（准确的传达信息--客户的要传达给消费者的信息，设计师自己的思想观点，自己的生活感悟等等）。那么在学习过程中的这些手法仅仅是途径，不能当成教条及死记硬背的章程。举一反三，触类旁通，将这些手法还原到生活中视觉行为中去仔细揣摩才是最好的学习方法。

下面来看看，透叠在标志符号中的常见用法。

很多人都会想到这种手法，肯定多用半透明效果来处理，虽然很多标志的色彩并非真正的调成半透明（前面的标志色彩文章中讲到了），如下图左边第一个和第二个的标志。

但是除了色彩的透明，还有很多手法，主要就是抓住透过来的图形基本会发生变化，至于是变形，变色，还是变质感，都看你自己的需求了，另外透视线也可以表现出透叠。特别是生活中的透明事物，通常在用它们做符号图形时，多会使用透叠手法，如上图中的右边两个标志。

前面说了，这个“透”有前后的透，和里外的透。前后的透，如上图的右边两个标志，牙齿和圆规画的形状，汽车和"AQUA"的文字符号。左边的两个标志，是里外的“透”。他们都是人常生活中的透明现象的图像表现。

有时候，里外的透叠，在视觉上看起来和填充手法类似，但是两者还是有区别的，填充，强化外轮廓，填充一方的图形一般是辅助信息，信息的重点可能还是外形的符号所代表的信息，但是透叠就更多的着重两者关系，而且多是强调“透”的关系，因为需要“透”的行为来帮助解读信息。透叠里外多都是一个图形，而填充有时就可以是一类符号，我们举例子来对照下。关键的问题还是设计师自己要表达的信息适合哪种同构手法来表达，设计师要考虑观众看到这两个符号时，需要怎么组合这两个符号代表的信息词汇，哪个更适合信息逻辑，就用哪个，而且要强化图形的同构关系。

训练作业：要求表现出图形之间的透叠感觉。

将“咖啡杯”图形和代表“设计”的图形符号透叠同构，表达“设计咖啡厅”或者“品味设计”的信息概念。设计的符号，自己寻找，可以是铅笔等或者是和设计有关的图形符号，也可以是设计的中英文文字符号，确定之后，这些符号都可以从我分享的标志库中找到现成的图形，借鉴使用即可。

后面内容更加精彩！

图形的翻折公开课教案

D E C B A 图一 C B 图二【教学设计】初三数学总复习——图形的翻折上海市风华初级中学程慧一、教学目标: 1、理解图形翻折的直观意义； 2、认识平面图形翻折的过程,在实例中理解轴对称的意义；根据要求能画出翻折后的图形； 3、知道翻折后图形的形状、大小保持不变；二、教学重点与难点：教学重点：理解图形翻折的意义及相关性质，会画经过翻折后的图形教学难点：利用图形翻折后的性质解决综合问题。三、教学方法和手段：主要采用讨论式和启发式教学方法，利用多媒体辅助教学。四、教学过程一）复习引入如图一，画出△ABC沿着直线DE翻折后的图形。如图二，△ABC沿着某条直线翻折后，点A落在点M处，请画出折痕及翻折后的图形。【黑板演示，理清依线翻折与依点翻折的不同作图方法；引导学生归纳翻折后图形的性质】翻折后图形的性质： 1、翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变，并且对应角、对应线段相等 2、折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的对称轴 3、翻折后，图形对应点的连线段被对称轴垂直且平分二）画一画 1、如图1已知：在Rt△ABC中，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM翻折，点 A落在点D处，画出翻折后的图形。 2、如图2已知：Rt△ABC中，CM是斜边AB的中线，将△ABC 沿某直线折叠，使点C落在M上，折痕与AC的交点为E，与直线BC的交点为F，连接EM，CF。画出翻折后的图形。

M C B A B E C A B ′ G D F D 【关键是找出对称点，利用对称性画出翻折后的图形；学生画，教师用多媒体演示，进行点评总结】三）例题精讲例题：如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在'C 的位置上，'BC 交AD 于G （1）求G 'C 的长度；（2）若再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN （如图），EN 交AD 于点M ，求ME 的长。【教师精讲，黑板板书】四)课内巩固练习 1、在Rt △ABC 中，∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A 等于_________度。 2、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32 AB ，则AE 的长为。 3、在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AB ′E ，那么EC 的长为。【学生用实物投影分析】 450E D C A B 第3题第2题题

中考数学专题图形的翻折

中考数学专题图形的翻折 1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′C′的位置。若∠EFB=65°，则∠AED′=___________°. 2.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若∠ADC=20°，则∠BDC的度数为______________. 3.如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠(点E、F是边CD上两点)，使点C与D在正方形内重合于点P处，则∠EPF=____________度。 4.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°.现将△ADE沿DE折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A，则∠BDA的度数为_________. 5.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平,A与A重合,若∠A=75°，则∠1+∠2=_______°. 6.如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF 折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是________________.

7.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC 的中点E处，则梯形的周长为____________. 8.平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_______________. 9.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。若 AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是______________cm2. 10.如图，在△ ABC中， AB=AC=5， BC=6，点E、F 分别在AB、BC 边上，将△BEF 沿直线EF翻折后，点B落在对边AC的点B′处，若△BFC与△ABC相似，那么BF=__________. 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3；点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处；当△AEF是直角三角形时，BD的长为_____________. 12.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，延长AD到E，使得AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=_______________. 13.如图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥BD，那么线段DE的长为_____________.

图形的翻折--知识讲解

图形的翻折--知识讲解【学习目标】 1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定．要点二、轴对称 1．轴对称定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点．要点诠释： 1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变． 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段．要点四、对称轴的作法在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等．成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．【典型例题】类型一、判断轴对称图形 1、在下图的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）

中考数学图形翻折

第18题――图形翻折图形翻折 1、如图，已知边长为6的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC,则CE 的长是． 2、如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=50°，则∠BDF 的度数是． 3、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若32=AB ，则AE 的长为 4、如图，把直角三角形纸片沿着过点B 的直线BE 折叠，折痕交AC 于点E ，欲使直角顶点C 恰好落在斜边AB 的中点上，那么∠A 的度数必须是． 5、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为． 6、如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A'落在oBC 若BC=6，则折痕在△ABC 内的部分DE 的长为__________ 7、已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，点D 是边上一点，连BD ，若沿直线BD 翻折，点A 恰好落在边BC 则AD ：DC= ． 8、正方形纸片ABCD 中，边长为4，E 是BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN 设梯形ADMN 的面积为1S ，梯形BCMN 的面积为2S ，那么1S ∶2S 的值是 N A C B E B E C A B ′ G D F

9、如图2,把腰长为4的等腰直角三角形折叠两次后,得到一个小三角形的周长是 . 10、如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ? ∠=将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，记作' B 点，连结'B B 、交EF 于点O ，若'90B FC ? ∠= ，则:EO FO = . 11、等边△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，折叠三角形使点B 与y 轴上的点C 重合，折痕为MN ，且CN 平行于x 轴，则 ∠CMN = 度． 12、有一块矩形的纸片ABCD ，AB=9,AD=6,将纸片折叠，使得AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为． A B A D B D B D C E C E C 13、如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =10，AD =6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于 F ，那么△CEF 的面积是。 14、如图1，在等腰直角△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上， 060=∠ADB ，将△ADC 沿AD 翻折后点C 落在点C /，则AB 与 BC /的比值为________. 15、△ABC 中，BC=2，∠ABC=30°，AD 是△ABC 的中线，把△ABD 沿AD 翻折到同一平面，点B 落在B′的位置，若AB′⊥BC ，则B′C=__________．图2 '第12题图

图形的翻折公开课教案

M C B A D E C B A 图一 M C B 图二【教学设计】初三数学总复习——图形的翻折上海市风华初级中学程慧一、教学目标: 1、理解图形翻折的直观意义; 2、认识平面图形翻折的过程,在实例中理解轴对称的意义;根据要求能画出翻折后的图形; 3、知道翻折后图形的形状、大小保持不变; 二、教学重点与难点: 教学重点:理解图形翻折的意义及相关性质,会画经过翻折后的图形教学难点:利用图形翻折后的性质解决综合问题。三、教学方法与手段: 主要采用讨论式与启发式教学方法,利用多媒体辅助教学。四、教学过程一) 复习引入如图一,画出△ABC 沿着直线DE 翻折后的图形。如图二,△ABC 沿着某条直线翻折后,点A 落在点M 处,请画出折痕及翻折后的图形。【黑板演示,理清依线翻折与依点翻折的不同作图方法;引导学生归纳翻折后图形的性质】翻折后图形的性质: 1、翻折后得到的图形与原图形形状相同、大小不变,并且对应角、对应线段相等 2、折痕所在的直线即为翻折前后两个图形的对称轴 3、翻折后,图形对应点的连线段被对称轴垂直且平分二 )画一画 1、如图1已知:在Rt △ABC 中, CM 就是斜边AB 的中线,将△ACM 沿直线CM 翻折,点A 落在点D 处,画出翻折后的图形。 2、如图2已知:Rt △ABC 中,CM 就是斜边AB 的中线,将△ABC 沿某直线折叠,使点C 落在M 上,折痕与AC 的交点为E,与直线BC 的交点为F,连接EM,CF 。画出翻折后的图形。【关键就是找出对称点,利用对称性画出翻折后的图形; 学生画,教师用多媒体演示,进行点评总结】三)例题精讲题:如图,一张宽为3,长为4的矩形纸片ABCD ,先沿对角线BD 对折,点C 落在'C 的例位置上,'BC 交AD 于G 求G 'C 的长度; (1)（2）若再折叠一次,使点D 与点A 重合,得折痕EN (如图),交AD 于点M ,求ME 的长。【教师精讲,黑板板书】四)课内巩固练习 1、在Rt △ABC 中AB 的中线,将△ ACM 沿直线CM 翻折,点A 落在点D 处,如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A 等于_________度。 2、如图,将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠,使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上,若C B A M E F 图 2

初二图形的翻折专题

初二图形的翻折专题 1.如图，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，连结AE， △ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____． 2.如图1，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE 最小，则这个最小值为_________． 3.如图，将正方形ABCD沿MN折叠，使点D落在AB边上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为_________． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为_______． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把矩形ABCD沿直线 MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AE＝2AM，那么EN 的长等于．

6. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＜BC ，点M 、N 分别在 AD 、BC 上，沿直线MN 将四边形DMNC 翻折，点C 恰好与点A 重合．如果此时在原图中△CDM 与△MNC 的面积比是 1∶3，那么MN DM 的值等于___________． 7. 如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 8. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠C ＝90°，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么DE CF 的值为____________． 9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处，连结AC ′．直线AC ′与CB 的延长线相交于点F ．如果∠DAB ＝∠BAF ，那么BF ＝______________．

用课件制作工具演示对称翻折动画

用课件制作工具演示对称翻折动画学习数学知识讲究的是数形结合，画图来讲解可以让学生们轻松理解。比如在学习轴对称知识时，如果可以画图给学生们演示轴对称过程，这样就便于理解了。下面就一起来学习用数学课件制作工具几何画板制作多边形轴对称翻折动画。比如作出△ABC关于线段DE的轴对称翻折动画，具体制作步骤如下：步骤一绘制△ABC和线段DE。选择左侧侧边栏“线段工具”，在画板工作区域绘制△ABC和线段DE，如下图所示。图1：绘制△ABC和线段DE 步骤二选中线段DE，执行“变换”——“标记镜面”命令；然后选中△ABC，执行“变换”——“反射”命令就得到了△A’B’C’。

图2：构造反射△A’B’C’ 步骤三使用线段工具连接线段AA’，在线段AA’上任取一点F，选中点F，执行“度量”—“点的值”命令，得到点F在线段AA’上的值。

图3：度量点F在线段AA’上的值步骤四构造线段BB’，选中BB’，执行“绘图”——“在轴上绘制点”命令，然后用鼠标点击度量的点F在AA’上的值），这样就得到了点G，同理，在C’上得点H，依次连接点F、G、H，得到△FG H。

图4：构造△FGH 步骤五依次选中FA’，执行“编辑”——“操作类按钮”—“移动”命令，这样就得到一个按钮，将按钮标签修改为：向右对称翻折；同样地，依次选中FA，执行“编辑”——“操作类按钮”—“移动”命令，得到一个按钮，将按钮标签修改为：复位，速度：高速。

图5：制作移动按钮步骤六选中△A’B’C’和线段AA’、BB’、CC’，执行“显示”——“隐藏对象”命令，将不需要的对象进行隐藏。

第三节色彩构成与绘画用色的区别

第三节色彩构成与绘画用色的区别传统绘画写生的色彩是以光照作用下产生的色彩变化为依据，对表现物体瞬间变化的色彩进行敏锐的捕捉，真实地再现自然物象。绘画者的科学认识与观察是表现写生色彩的基本方式。色彩构成则以绘画写生色彩为基础，根据设计专业的特点和要求，运用色彩归纳、概括、提炼等手段，表现物体之间的层次关系。它更注重和强调物象的形式美感以及色彩的对比协调关系，培养设计者主动表现色彩的能力。 1．绘画色彩的特征图1-3-1 荷兰画家伦布朗的作品《戴金头盔的男子》（布面油画）

绘画色彩重在表现自然物象及绘画者的情感。想表现绘画者的内心世界，就需要了解色彩现象的成因和表现色彩的绘画技巧。对于色彩现象的成因以及色彩概念和原理的认识，通常需从光色谈起。有光才有色，光不仅是生命之源，也是色彩的起因。光让我们感受到瑰丽的色彩世界，也决定了我们的视觉对自然界的感知。没有光线，色与形就消失于我们的视觉中了。在写实绘画中运用的一切有关色彩的法则都是自然规律的反映。同时，绘画中的色彩是以人的视觉感受为基点的，人的色彩感觉首先来自视网膜中锥体细胞机能，它能感受、分辨色光中的红、蓝、绿，并做出综合反映。而且，人的视觉感受还会受到生理或心理变化的影响，面对不同色彩会唤起人不同的生活体验，产生不同的联想。光的运动和色光的反射是造成色彩现象的外界因素，而色彩概念则是由人的视觉思维形成的。绘画中色彩的运用对表达创作的主题思想和情调意境有很大关系，因此色彩对画面的最后效果起了很大的作用。尽管各画派对色彩的要求是不同的，使用的材料和画法也各有特点，但色彩运用的基本规律是一致的。首先根据作品的主题思想和情调、意境，确定画面的基色调，基色调在绘画中起了决定性的作用，例如，荷兰画家伦布朗的布面油画作品《戴金头盔的男子》（见图1-3-1），这幅油画的基调色是深赭色，因此在进行表现的时候，几乎每一色调都有赭石色倾向。在绘制传统油画时每种色都要加入基色，如我们定一幅画以红色为基色，那么这幅画几乎所有的颜色都要加入一点红色，如这幅画中的纯白色带有一点粉红色，黑色头发不是纯黑而是带有褐色。运用色相、明度、纯度、冷热及面积大小的对比，使主要形象更显突出，次要的部分起陪衬作用（具

翻折图形题一(含答案)

翻折图形题一

一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____（不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=____0.5_____． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为____2____． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=____15_____． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=___25/4______．

7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=____5根号3/3_____cm，∠DCE=___30°__． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_____60____度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_．二．选择题（共9小题） 10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（A） A．3 B．4 C．5 D．6

图形的翻折问题(精)

图形的翻折问题上海市桃李园实验学校戚元彬近几年上海中考试题中，图形的运动成为一个命题热点。图形的翻折是图形的运动形式之一，翻折问题是中考的热点，也是中考的一个难点。一认识翻折问题 1.关注“两点一线” 在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。这是解决问题的基础。 2. 联想到重合与相等遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。二解决翻折问题我们把翻折问题分为两类：“依线翻折”和“依点翻折”。 1. 依线翻折关键是找出对称点，并画出来。例1. 已知：在Rt △ABC 中， ∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与 AB 垂直,那么∠A 等于_________度。分析：本题是依直线CM 进行翻折的。首先需要作出A 点关于CM 的对称点D ，这样“两点一线”就明确了。其次联想到“重合”，从而得到相等的线段和角：CA=CD ，∠1=∠2。根据已知CD ⊥AB ，AC ⊥CB ，可想到∠A=∠3，又CM 是斜边的中线，于是∠1= ∠A.，所以∠1=∠2=∠3，故∠A=30°。 2. 依点翻折关键是找出折线，并画出来。例2.. 已知：Rt △ABC 中，∠A<∠B ， CM 是斜边AB 的中线，∠B=60°，将△ABC 沿某直线折叠，使点C 落在M 上，折痕与AC 的交点为E ，那么∠CEM =____度。分析：本题是依已知点C 、M 翻折的，图中没有折线。首先需要作出折线：CM 的垂直平分线，并标出点E 。这样“两点一线”已经明确了。接下来马上联想到重合的线段和重合的角。由于CM 是斜边AB 的中线，所以可得到∠BCM=60°，于是∠ECM=30°。而∠ECM 与∠CME 重合，所以相等，故∠CEM=180°－30°－30°=120°。同学们，现在请你们尝试解决下面的几个题目： 1.如图，AD 是△ABC 的中线， ∠ADC=45°，把△ABC 沿 AD 对折，点C 落在C ′的位置，如果BC= 2 ，那么BC ′=________． D B B C ′ A

中考数学专题--图形的翻折

专题---图形的翻折 1.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′C′的位置。若 ∠EFB=65°，则∠AED′=___________°. 2.如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若∠ADC=20°，则∠BDC的度数为______________. 3.如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠(点E、F是边CD上两点)，使点C与D在正方形内重合于点P处，则∠EPF=____________度。 4.如图，在△A BC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°.现将△ADE沿DE 折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A，则∠BDA的度数为_________. 5.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC 上，将△ABC沿着DE折叠压平,A与A重合,若∠A=75°，则∠1+∠2=_______°. 6.如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是________________.

7.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，沿对角线BD翻折梯形ABCD，若点A恰好落在下底BC的中点E处，则梯形的周长为____________. 8.平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠B=60°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AFE，那么△AFE与四边形AECD重叠部分的面积是_______________. 9.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF。若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是______________cm2. 10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点E、F分别在AB、BC边上，将△BEF 沿直线EF翻折后，点B落在对边AC的点B′处，若△BFC与△ABC相似，那么BF=__________. 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3；点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处；当△AEF是直角三角形时，BD的长为_____________. 12.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，延长AD到E，使得AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=_______________.

(完整版)图形的翻折和对称

图形的翻折和对称概念总汇 1、旋转对称图形与中心对称图形（1）把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（2）如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 2、中心对称（1）把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么这两个图形叫做关于这点对称，也叫做中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（2）寻找对称中心，只需分别连结两队对应点，所得两条直线的交点就是对称中心 3、翻折与轴对称图形（1）轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴（2）轴对称图形的特征对称轴左右两旁的部分能完全重合说明：掌握轴对称图形的特征，会用轴对称图形的知识画轴对称图形，并且能自己创造涉及轴对称图形，体会数学之美和数学价值 4、轴对称（1）如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴。两个图形的对应点叫做关于这条直线的对称点（2）两个图形关于某条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变说明：

（1）在学习了对称轴与轴对称图形知识的基础上，研究画轴对称图形，可以更好地加深对轴对称的理解。画轴对称图形的关键是找到对称轴，然后由图形上的关键点，作对称轴的垂线，并延长，使对称轴的两边线段相等，即得关键点的对应点，将所有对应点，顺次连接，即得轴对称图形（2）通过运用轴对称知识解决生活中的数学问题，体会数学的价值例题讲解例1如图，每一对三角形ABC和A’B’C’的形状、大小完全相同。（1）哪些图形是旋转对称图形？（2）在旋转对称图形中，哪些图形是中心对称图形？并指出这些图形的对称中心难度等级：A 解：（1）图形甲、乙、丙都是旋转对称图形。图形丁不是旋转对称图形。（2）在图形甲、乙、丙这些旋转对称图形中，图形甲和乙是中心对称图形。【知识体验】要学会区分旋转对称图形和中心对称图形这两种既有联系又有差异的不同类型图：如果旋转对称图形的旋转角等于1800，那么它就是中心对称图形，所以是中心对称图形一定是旋转对称图形；反之则不是。【解题技巧】图形甲中，CC’的中点是对称中心；图形乙中，点C（C’）是对称中心。【搭配练习】下列各组图形中,由左边变成右边的图形,分别进行了平移、旋转、轴对称、中心对称等变换,其中进行了中心对称变换的是 ( )组,进行轴对称变换的是 ( ) A. B C D. 例2（1）如图所示，已知三角形ABC和三角形A’B’C’关于某点成中心对称，试确定对称中心O的位置。（2）如图所示，画出四边形ABCD关于点O的中心对称图形。

[转]ppt中全等三角形平移、翻折与旋转动画的制作

[转] PPT中全等三角形平移、翻折与旋转动画的制作日志[转] PPT中全等三角形平移、翻折与旋转动画的制作2011-7-21 11:39阅读(6)转载自手辰下一篇：PPT中全等三角形... |返回日志列表赞赞赞赞转载(11) 分享评论复制地址更多PPT中全等三角形平移、翻折与旋转动画的制作最近帮同事做课件，同事要求实现全等三角形平移、翻折与旋转动画。平移还容易实现，可翻折和旋转动画以前都是在FLASH中制作。如何在PPT中实现这两个动画，还真让我费了不少脑筋。在网上查阅了一下，看到了一个围绕点旋转的动画教程，我试验了一下，旋转动画制作成功。在此基础上，我进行联想，也实验了翻折的动画。现整理出来，与大家分享。 1、全等三角形的平移：操作：选定对象/自定义动画/添加效果/动作路径/选择动作方

向。 2、全等三角形围绕顶点旋转想让两个全等三角形顶点相连，其中一个三角形绕连接顶点旋转（就像钟表一样）。绘制一个三角形为A图，复制A，粘贴后生成图B，这时对B进行180度的旋转（注意：建议使用office里默认的旋转工具，让它旋转两次90度，这样可以保证随后点O没有位移）。在B旋转180度后，移动B图，让其旋转点相接。这时，选中图A和B，点击右键，“组合”，这时图A和B组合成图C，此时可以将图C中B的颜色及填充色都设定成无，则B看上去就透明不见，但是它实际还是存在的。图A和图C的顶点对齐，这时再设置图C，设置动画：在组合图形上点击右键，选择“自定义动画”，在“自定义动画”任务窗格中依次点击“添加效果→强调→陀螺旋”，在“数量”一栏改为“半旋转”、“顺时针”即可。 3、全等三角形的翻折想让两个全等三角形底边相连，其中一个三角形绕连接底边翻折（就像翻书一样）。绘制一个三角形为A图，复制A，粘贴后生成图B，这时对B进行垂直旋转（注意：建议使用office里默认的旋转工具，）。在B垂直旋转后，移动B图，让其与A图顶点相接。这时，选中图A和B，点击右键，“组合”，这时图A和B组合成图

几何图形的翻折图形题

几何图形的翻折图形题一．填空题：1．已知：如下图1，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等的线段_________ （不包括AB=CD和AD=BC）． 2．如上图2，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN 上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=_________． 3．如上图3，有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为,_________． 4．如下图1，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为_________． 5、如上图2所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB= 6、BC=8，则BF=_________． 6、如上图3，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=_______cm，∠DCE=________． 7、如下图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A 1处，则∠EA 1 B=_________度． 8、一张长方形的纸片如下图2所示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为______．

二．选择题：1、如下图1，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（）A．3 B．4 C．5 D．6 2、如上图2，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分 ∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②D．③④ 3、如上图3，一张四边形纸片ABCD，AD∥BC，将∠ABC对折使BC落在AB上，点C落在AB上点F 处，此时我们可得到△BCE≌△BFE，再将纸片沿AE对折，D点刚好也落在点F上，由此我们又可得到一些结论，下述结论你认为正确的有（）①AD=AF；②DE=EF=EC； ③AD+BC=AB；④EF∥BC∥AD；⑤∠AEB=90°；⑥S =AE?BE 四边形ABCD A．3个B．4个 C．5个D．6个 4、如下图1，一张平行四边形纸片，AB＞BC，点E是AB上一点，且EF∥BC，若沿EF剪开，能得到两张菱形纸片，则AB与BC间的数量关系为（） A．AB=2BC B．AB=3BC C．AB=4BC D．不能确定 5、如上图2，把一张长方形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点F，有下列几个说法：①∠BED=∠BCD；②∠DBF=∠BDF；③BE=BC；④AB=DE．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个 6、如下图1，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则得到的四边形是（）A．只能是平行四边形B．只能为菱形C．只能为梯形D．可能是矩形 7、如下图2，直角梯形纸片ABCD中，∠DCB=90°，AD∥BC，将纸片折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为CF．若AD=2，BC=5，则AF：FB的值为（）A．B．C．D．

例谈平面图形的翻折问题(精)

例谈平面图形的翻折问题湖南省浏阳市教育局教研室朱保仓 E-mail ：将平面图形翻折成空间图形，既是实际应用问题的需要，又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综合分析问题能力的功能，因此，它是高考中的一种常见题型。下面结合几道例题来说明这类问题的解决方法。例1 如图1，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将ABC ?沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 A 、90? B 、60? C 、45? D 、0? 解：将ABC ?沿DE ，EF ，DF 折成的三棱锥如图2所示，GH 与IJ 为一对异面直线，由已知易得：DF ∥,GH IJ ∥AD ，所以，ADF ∠即为所求，即GH 与IJ 所成角的度数为60?. 评注：1、本题通过对翻折问题处理空间直线与直线的位置关系，从识图、想图、画图的过程的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层次上考查空间想象能力的主要方向。 2、解决本题的关键有二：一是正确画出翻折后的空间图形（三棱锥），二是抓住其中的一些不变关系和不变量（IJ 与BD 的平行关系及GH 与DF 的平行关系在翻折前和翻折后不变，ADF ∠在翻折前和翻折后都等于60?）。例2 如图3，ABC ?内接于直角梯形123,PP P A 沿AB 、BC 、CA 分别将12,ABP BCP ??，3ACP ?翻折上去，使得123,,P P P 重合于一点P ，构成一个三棱锥P ABC -。（1）求证：PB ⊥AC ；（2）若1214,32PP PA ==，求三棱锥P ABC -的体积。解：（1）∵在直角梯形123PP P A 中有：1122,P A PB P C P B ⊥⊥，

平面构成教案+

平面构成教案授课班级：213/214 授课时间：2017下学期

构成基础课程编号总学时：60 适用专业：室内设计专业一、课程教学目标《构成基础》是室内装饰设计专业的基础课程。以平面构成、色彩构成、立体构成，为主要内容的教学体系，是以非具象性的抽象思考，对造型要素进行分解和构成的研究。以培养能力和素质为目的，它是以观察、分析、表现走向探索，想象、发现与创造的历程，以适应日益发展的数字化环境和新媒体潮流，并为设计创意的表达、交流和实现提供良好的媒介。除锻炼抽象思维能力之外，重点训练表现力，想象力和创造力以及对形式美法则的理解与掌握，同时培养造型意识和审美趣味。二、教学内容及基本要求第一章、平面构成第一节、平面构成的基本概念及内容一、概念要素二、视觉要素三、关系要素第二节、平面构成的基本要素一、重复构成形式二、近似构成形式三、渐变构成形式四、特异构成形式五、发射构成形式六、肌理构成形式第三节、平面构成的基本形式

第四节、平面构成在设计中的应用第三章色彩构成第一节色彩构成概述一、色概念二、色表现三、色彩构成概念第二节色彩的本质一、光源二、光与色三、色彩的产生第三节色的属性一、彩的范畴二、色彩三属性 1、度(Valuc) 2、相(Hue) 3、彩度(Chroma) 三、色立体第四节、基本配色法一、同类色配合二、邻近色配合二、邻近色配合四、互补色配合五、中性色配合第五节色彩的对比与调和一、色彩对比的概念：二、色彩对比的种类与基本规律：（1）同时对比：（2）顺序对比（3）色相对比

图形的平移翻折与旋转

图形的平移翻折与旋转知识要点:这部分题目的主要特征是在图形的平移、翻折、旋转等运动变化中寻找不变的量，把握规律，探求关系。另一个主要特征是把图形的对称性与分类讨论思想结合在一起，也就是平常所说的一题多解。这样的题目一般布局在中考试卷填空题或选择题的最后两道题，作为基础部分的选拔题典型例题：例1.如图，O为矩形ABCD的中心,将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BＣ、AB相交，交点分别为M、N.如果ＡB=4,AD=6,OＭ=x,ＯＮ=y则y与x的关系是Ａ.2 3 y x =B．6 y x = C.y x =?D． 3 2 y x = 类题训练: 已知∠AOB=900，在∠ＡOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与ＯA、OB（或它们的反向延长线)相交于点Ｄ、E．当三角板绕点C旋转到CD与ＯＡ垂直时(如图１）,易证：ＯD+OE=错误!OC. 当三角板绕点C旋转到CＤ与ＯA不垂直时，在图２、图３这两种情况下,上述结论是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．图1 图2 图3 N O A B D C M 例1题图

例2.如图１,已知矩形ABCＤ的顶点Ａ与点O重合,ＡD、AB分别在ｘ轴、y轴上，且Ａ D=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(４,0） (１）当x取何值时,该抛物线的最大值是多少? （2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图１所示的位置沿ｘ轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向Ｂ匀速移动．设它们运动的时间为ｔ秒(0≤ｔ≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ①当时,判断点Ｐ是否在直线ＭE上，并说明理由； ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能，请说明理由．

浙教版八年级上册图形的轴对称与翻折专题培优(附答案)

2020-2021学年浙教版八年级上册图形的轴对称与翻折专题培优基础巩固 1.如图是一张长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在A处，点D落在D，处.若∠1 = 40°，则∠BMC的度数为（）. A.135° B.120° C.100° D.110° 第1题第2题第3题 2.如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点.若△ABC的内角∠BAC = 70°，∠ABC = 60°，∠ACB = 50°，则∠ADB + ∠BEC + ∠CFA = （）. A.180° B.270° C.360° D.480° 3.如图，在长方形ABCD中，M为CD的中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若 ∠AME = a，∠ABE = β，则α与β之间的数量关系为（）. A.a + 3β = 180° B.β - α = 20° C.α + β = 80° D.3β - 2α = 90° 4.如图，点D，E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′， ∠A′EC = α，∠A′DB = β，且α < β，则∠A = _________ （用含a，β的式子表示）.（用含α，β的式子表示）. 第4题第5题 5.如图，设镜面L1和L2，是平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A放在L1，L2之间，小球在镜L1中的像为A′，A′在镜L中的像为A″，若L1，L2的距离为7，

则AA″ = _________ . 6.生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程如图1～4所示（阴影部分表示纸条的反面）:如果由信纸折成的长方形纸条（图1）长为26 cm，宽为x （cm），分别回答下列问题: （1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P），试求x的取值范围.（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离（用x 表示） 7.（1）如图1，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A，B两点的距离之和最小（保留作图痕迹不写作法）. （2）知识拓展:如图2，点P在∠AOB内部，试在OA，OB上分别找出两点E，F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）. （3）解决问题: ①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）. ②若∠BAE = 125°，∠B = ∠E = 90°，AB = BC，AE = DE，∠AMN + ∠ANM的度数为 _________ .