李广信版高等土力学课后习题答案 第二、三、四章

第二章 习题与思考题

17、在邓肯-张的非线性双曲线模型中，参数a 、b 、i E 、t E 、13-ult σσ（）以及f R 各

代表什么意思？

答：参数i E 代表三轴试验中的起始变形模量，a 代表i E 的倒数；ult )(31σσ-代表双曲

线的渐近线对应的极限偏差应力，b 代表ult )(31σσ-的倒数；t E 为切线变形模量；f R 为破

坏比。

18、饱和粘土的常规三轴固结不排水实验的应力应变关系可以用双曲线模拟，是

否可以用这种实验确定邓肯-张模型的参数？这时泊松比ν为多少？这种模型用

于什么情况的土工数值分析？

答：可以，这时ν=0.49，,用以确定总应力分析时候的邓肯-张模型的参数。

19、是否可以用饱和粘土的常规三轴固结不排水试验来直接确定用有效应力表示

的邓肯-张模型的参数？对于有效应力，上述的131()/d d σσε-是否就是土的切线

模量t E ？用有效应力的广义胡克定律来推导131()/d d σσε-的表达式。

答：不能用饱和粘土的常规三轴固结不排水试验来直接确定用有效应力表示

的邓肯-张模型的参数；在有效应力分析时，邓肯-张模型中的131()/d d σσε-不

再是土的切线模量，而需做以下修正：

131()/=1-(1-2)

t t E d d A σσευ- 具体推导如下：

'

'

'

11231231231231=[-(d +d )]1=[(-du)-(d +d -2du)]1=[(-du)-(d +d )-2du)]1=[-(d +d )-(1-2)du)]d d E

d E d E

d E

εσυσσσυσσσυσσυσυσσυ 又由于23=d =0d σσ；且B=1.0时，13=(-)u A σσ?，则：13=(-)du Ad σσ，代入

上式，可得：

1313131=[d(-)-(1-2)Ad(-)]1=[1-(1-2)A]d(-)d E E

εσσυσσυσσ 可知

131(-)=1-(1-2)

t t d E d A σσευ 20、土的3σ为常数的平面应变试验及平均主应力为常数的三轴压缩试验（1σ增

加的同时，3σ相应的减少，保持平均主应力p 不变）、减压的三轴伸长试验（围

压1σ保持不变，轴向应力3σ不断减少）的应力应变关系曲线都接近双曲线，是

否可以用这些曲线的切线斜率131(-)/d d σσε直接确定切线模量t E ？用广义胡克

定律推导这些试验的131(-)/d d σσε表达式。

解：三类问题都不能按131(-)/d d σσε直接确定切线模量t E ：

（1）对于平面应变问题，有：

2112222112123121-=-E 1-1-=-E 1-1=G

=+υυεσσυ

υυεσσυ

γτσυσσ（）（）（）

若3σ为常数，则

21132

11-=-E 1-1-=E

d d d d υυεσσυ

υσ（） 可得

1321(-)=1-t t

d E d σσευ （2）对于平均主应力为常数的三轴压缩试验，有

1231311=(++)=(+2)=const 33

p σσσσσ 从而

13+2=3p σσ

3131=-22p σσ

广义胡克定律： 1123131111=[-(+)]1=[-2]131=[-2(-)]22

1=[(1+)-3]E

E p E p E

εσυσσσυσσυσυσυ 从而

11131=(1+)d 1=(1+)d(-)d E E

ευσυσσ 得到：

131d(-)=1+t t

E d σσευ （3）对于减压的三周伸长试验，有

123=>σσσ，313=-d(-)<0d σσσ

广义胡克定律：

11231=[-(+)]E

εσυσσ

1123313131=[d -(d +d )]1=-d 1=-[-d(-)]1=d(-)d E

E E

E

εσυσσυσυσσυσσ

得

131d(-)=t t

E d σσευ 21、通常认为在平面应力试验中，应力为零方向上的主应力是中主应力。设两个

主动施加的主应力成比例，即/= 1.0z x k σσ≥，平面应变方向上的主应力为y σ。

设=0.33ν，用弹性理论计算k 等于多少时，y σ成为小主应力？

答：由题知：

=z x k σσ，z x σσ≥

若要使y σ成为小主应力，只需1x y

σσ≥；又由于平面应变上的主应力为y σ，有 1

=[-(+)]=0y y x z E εσυσσ

1[-(+k )]=0y x x E

συσσ =(1+k)y x συσ

1=1(1+k)

x y σσυ≥ 将=0.33υ代入上式，又 1.0k ≥，可知

1.0

2.0k ≤≤

22、在平面应变情况下，=y o ε及=0y d ε，有人假设===d =0e p e p y y y y d εεεε，是否正

确？

答：这种假设是错误的。在平面应变情况下，平面应变方向的应变为零，但

是平面应变方向的应力不为零，即=(+)0y x z συσσ≠，因此0e y ε≠，又

=+=0

e p y y y εεε，可知0p y ε≠；由于=(+)y x z συσσ，x 、z 方向加载时，0y d σ≠，因此0e y d ε≠，而在整个平面应变过程中y o ε≡，0p y d ε≠。

23、当两个主动主应力z σ和x σ减少到接近于零时，按一般弹塑性模型即认为是

卸载，试说明平面应变方向的主应力y σ不应当也是零。

24、土的塑性力学与金属材料的塑性力学有什么区别？

答：土的塑性力学与金属材料的塑性力学有以下几点不同：

（1）研究对象不同。金属材料的塑性力学是以金属材料试验为基础的，

主要研究的是金属材料；土塑性力学的基础是土工试验，主要研究对象时工

程用土；

（2）土和金属材料的组成结构不同。金属构件一般是由人工制成，其晶

体结构均匀，而土是天然形成，是一种三相体，而且是多矿物组合体；

（3）两者变形特性不同。金属材料无塑性体积变形，弹性体积变形很小，

对塑性变形无影响；而土体不仅具有塑性剪切变形，而且还有塑性体积变形，

还有剪胀性和压密性、应变软化、拉压不等、各向异性、弹塑性耦合等性质；

（4）屈服准则建立的基础不同。金属材料的屈服准则建立在剪切屈服的

基础之上；土体的屈服准则不仅要考虑剪切屈服，还要考虑静水压力对土体

屈服的影响；

（5）两者采用不同的塑性力学理论。金属材料采用传统的塑性力学理

论，采用一个屈服势函数或一个塑性势面，并服从Drucker 公设，采用相适

应的流动准则，塑性应变增量正交与屈服面；土体材料采用广义的塑性力学

理论，它要求采用三个塑性势函数或三个塑性势面。它不服从Drucker 公设，

并采用不相适应的流动准则，它可以反映塑性变形增量方向与应力增量的相

关性和主应力轴旋转产生的塑性变形。

25说明塑性理论中的屈服准则、流动准则、加工硬化理论、相适应和不相适应

的流动准则？

答：在多向应力作用下，各应力分量与材料性能之间必须符合一定关系时，变形体进

入塑性状态并使塑性变形继续进行，这种关系称为屈服准则。屈服准则可以用来判断弹塑性

材料被施加一应力增量后是加载还是卸载，或是中性变载，亦即是判断是否发生塑性变形的

准则。

流动规则指塑性应变增量的方向是由应力空间的塑性势面g 决定，即在应力空间中，各

应力状态点的塑性应变增量方向必须与通过改点的塑性势能面相垂直，亦即

ij

p ij g d d σλε??=。流动规则用以确定塑性应变增量的方向或塑性应变增量张量的各个分量间的比例关系。

同时对于稳定材料0≥p ij ij d d εσ，这就是说塑性势能面g 与屈服面f 必须是重合的，亦

即f=g 这被称为相适应的流动规则。如果令f ≠g ，即为不相适应的流动规则。

加工硬化定律是计算一个给定的应力增量硬气的塑性应变大小的准则，λd 可以通过硬

化定律确定。

26、什么是物态边界面？什么是临界状态线？在平p 、q 、=1+e υ三维坐标系绘

出正常固结粘土的物态边界面和临界状态线。

答：在剑桥模型中，饱和重塑正常固结粘土，其应力状态与土的体积状态之

间存在着唯一性关系，在由有效应力路径、试样的比体积υ、有效平均应力'p 组

成的空间坐标构架中形成唯一的曲面，称之为物态边界面或罗斯柯面；

临界状态线是土体在固结剪切至破坏或临界状态时，其有效应力路径、

试样的比体积υ、有效平均应力'p 三者之间的相互关系在三维坐标系''--q p υ中形

成的一条空间曲线，该曲线在不同平面上的投影也称之为临界状态线。

正常固结土的物态边界面和临界状态线如下：

'q

S

p'

N 0 S NCL 线

N

CSL 线

S N 图1 正常固结土的物态边界面

27、正常固结粘土在''-p q 平面上的屈服轨迹是否为土的固结不排水有效应力路

径的投影？为什么？

答：不是。屈服轨迹是临界状态线CSL 在''-q p 平面上的投影，它与土体的排

水条件无关。

28、一种正常固结粘土具有的唯一的物态边界面，说明在同样围压下固结到同样孔隙比的正常固结粘土，其固结不排水条件压缩试验在''-p q 平面上的有效应力路径是惟一的，这种说法是否正确？

答：这种说法是错误的。正常固结粘土具有唯一的物态边界面，它是以等压固结成NCL 和临界状态线CSL 为边界的，正常固结土的排水和不排水路径都必须在物态边界面上。对于固结到同样孔隙比的正常固结粘土进行固结不排水试验时，由于体积不变，因此他们的有效应力路径是相同的，都是-i i C U ，但不是惟一的。

29、两个完全一样（含水量，孔隙比相同）的正常固结饱和粘土试样，在相同的各向等压条件下固结，然后进行不排水剪切试验（CU ），A 试样进行的是常规三轴压缩试验（CTC ）；B 试样进行的是减压的三轴压缩试验（RTC ），试验中轴向应力保持不变，围压逐渐减少，直至破坏。问：

（1）两个固结不排水试验的有效应力路径是否相同？

（2）两个固结不排水试验的应力应变关系曲线（即

131-σσε（）关系曲线）是否相同？

答：（1）两个固结不排水试验的有效应力路径不同，这是由于不同的加载方式造成的；

（2）两个固结不排水试验的应力应变关系曲线不同。这是由于应力水平（围压）影响土体的应力应变关系：压缩试验要求13->0σσ，且在进行剪切试验时初始的13=σσ，在A 、B 试验的13-σσ相同的情况下，3A 3>B σσ，由于土的压硬性的影响，在高围压情形下其变形模量相对较大，因此应力应变曲线不同。

30、说明什么是伏斯列夫（Hvorslev ）面，它适用于什么状态的粘性土？

答：伏斯列夫面是物态边界面的一部分，介于零拉应力边界面和罗斯柯面之间，是在各种比体积ν下对超固结土样进行固结剪切试验，试件达到破坏或屈服后所对应的一系列土体的有效应力路径组成的曲面，它控制了重超固结土的破坏与屈服。

31、说明剑桥弹塑性模型的试验基础和基本假设。该模型的三个参数：M 、λ、κ

分别表示什么意义？

答：剑桥模型的试验基础是正常固结粘土和弱超固结粘土的排水和不排水三轴试验。 基本假设：土体是加工硬化材料，服从相适应流动规则。

M 是破坏常数；λ是各向等压固结参数，为NCL 或CSL 线在'ln p -ν平面中的斜率；κ是回弹参数，为卸载曲线在'ln p -ν平面上的斜率。

32、剑桥模型和修正的剑桥模型在''-p q 平面上的屈服轨迹可以分别表示为

''

''=-ln =0p q f M p p

和'2'22=-=0+p M f p M η，绘制出它们在''-p q 平面上的形状，说明造成两种屈服轨迹区别的原因。

解:剑桥模型和修正的剑桥模型在''-p q 平面上的屈服轨迹如下：

q' q'

''=q Mp ''=q Mp

O '0/p e '0p p' '0/2p '0p 图2 剑桥模型的屈服轨迹 图3 修正的剑桥模型的屈服轨迹

两种屈服轨迹之所以不同，是由于两者采用不同的能量方程形式，修正的剑桥模型计入了球应力p 对土体屈服的影响，更接近于试验结果。

第三章 习题与思考题

3-5改变以下条件，对于中砂的抗剪强度指标?有什么影响？（1)其他条件不变，孔隙比e 减少；（2）两种中砂的级配和孔隙比不变，其中一种的颗粒变得圆润；(3)在同样的制样和同样30d 条件下，砂土的级配改善（u C 增大）；(4)其他的条件不变，矿物成分改变使砂土颗粒的粗糙度增加。

答：(1)孔隙比减少，?将增大；(2)颗粒变得圆润，?将减小；(3) 参见P126表3-2. u C 大的砂,级配较好.当30d 相同,控制相同的r D 时,，级配较好的砂,颗粒间咬合更多，颗粒间接触点多,接触应力较小，颗粒不易破碎，摩擦角?较大. 控制d ρ相同时, r D 并不相同. 均匀的砂r D 可能更大，实际上更紧密(因为级配均匀的砂要达到较大的密度, 更难,需要更大的击实能), 则摩擦角?较大.

颗粒的粗糙度增加,则?增加.级配改善。(4)粗糙度增加，?将增大。

3-6三轴试验得到的松砂的内摩擦角为'?=33°，正常固结粘土的内摩擦角为'?=30°，粘土不排水试验得到的摩擦角为u ?=0°。它们是否就是砂土矿物颗粒之间及粘土矿物之间的滑动摩擦角？土颗粒间的滑动摩擦角比它们大还是小？为什么？

答：三轴试验得到的松砂的内摩擦角不是砂土矿物颗粒之间的滑动摩擦角，土颗粒间的滑动摩擦角比它小。因为测得的砂土间的摩擦角包括两个部分：滑动摩擦和咬合摩擦。而这两种摩擦的摩擦角都是正值。

三轴试验得到的正常固结粘土的内摩擦角不是粘土矿物之间的滑动摩擦角，土颗粒之间的滑动摩擦角比他小，因为正常固结粘土实际具有一定的粘聚力，只不过这部分粘聚力是固结应力的函数，宏观上被归于摩擦强度部分中，既正常固结粘土的内摩擦角包括滑动摩擦角和一部分粘聚力导致的摩擦角。

三轴不排水试验得到的粘土摩擦角不是粘土矿物之间的滑动摩擦角，土颗粒之间的滑动摩擦角比它大。因为粘土颗粒之间必然存在摩擦强度，只是由于存在的超静水压力使所有破坏时的有效应力莫尔圆是唯一的，无法反应摩擦强度。

3-7 定性画出松砂和密砂的内摩擦角?随毕肖常数b 从0变到1时的变化关系曲线，其中2

113b σσσσ-=-。

3-8 定性绘出疏松和密实状态的同一种砂土在固结不排水试验中得应力-应变-孔压((σ1-σ3)- ε1-u)关系曲线。

3-9粗粒土颗粒之间的咬合对土的抗剪强度指标?有什么影响？为什么土颗粒的破碎会最终降低这种土的抗剪强度？

答：粗粒土颗粒之间的咬合可以增加土的剪胀，从而提高土的抗剪强度指标?。而土颗粒的破碎会减少剪胀，从而降低土的抗剪强度。

3-10对于砂土的三轴试验，大主应力的方向与沉积平面（一般为水平面）垂直和平行时，哪一种情况的抗剪强度高一些？为什么？

答：大主应力的方向与沉积平面垂直时的抗剪强度高一些。因为在长期的沉积、固结过程中，砂土颗粒的长轴在重力作用下倾向于水平面方向排列。于是当大主应力平行于水平面时，砂土颗粒由于长轴基本平行于水平面，颗粒在剪切力作用下容易滑动破坏，抗剪强度因而较低；而当大主应力垂直水平面时，土颗粒间交叉咬合，颗粒间接触应力的竖向分量大，剪切必将引起颗粒的错动和重排列，故而难以产生滑动破坏，所以抗剪强度较高。大主应力的方向与沉积平面垂直时，抗剪强度更高。大主应力垂直时，剪破面与与水平面的夹角为450+2/1?。

大主应力水平时，剪破面与与水平面的夹角为450-2/2?。450

+2/1?面上的颗粒咬合作用比450

-2/2?面强烈，强度更高。

3-11对于天然粘土试样上的直剪试验，沿着沉积平面的平行方向和垂直方向时，哪一种情况的抗剪强度高一些？

答：天然粘土进行直剪试验时，剪切面沿着沉积平面垂直方向抗剪强度高一些，这主要是因为在沉积平面上固结应力大，由此引起的咬合摩擦和凝聚力较大。

3-12 用同样的密度、同样组成的天然粘土试样和重塑粘土试样进行三轴试验，一般那一个的抗剪强度高一些？

答：由于天然粘土具备的结构性，尤其是天然粘土的絮凝结构使得其抗剪强度高于重塑土的抗剪强度。

3-13在正常固结土地基中进行十字板剪切试验，作用在圆柱形竖向侧面上抗剪强度v τ和作用在其上下水平端面上的抗剪强度h τ哪一个大？为什么？

答：作用在上下水平端面上的抗剪强度大，因为现场土是各向异性的，水平面上的固结应力更大，所以水平面上的抗剪强度一般大于垂直面的抗剪强度。

3-14在实际工程中，基坑上的主动土压力一般总是比用同样土填方挡土墙主动土压力小，试从土的强度角度分析其原因。

答：（1）天然沉积土具有方向异性，在450+2/?方向上，因颗粒咬合使强度增加，则主动土压力减小；（2）原状土的结构性增加了土的强度，主动土压力减小。 主动土压力：)2

45(tan z p 02a ?-

?γ=

450+2/?

3-15 下雨以后，在砂土上行走，一般不会跌倒，在粘土上行走，不小心就可能跌倒，解释这是什么原因。

答：下雨以后，砂土内的水很快流出，人在行走的时候，砂土的强度是排水（有效）强度，强度高，不会滑倒。粘土内饱水，人在行走的时候，粘土的强度是不排水强度，强度低，易滑倒。

习题与思考题

4-1、初始屈服、相继屈服与破坏有什么区别与联系？

答：初始屈服是指材料第一次由弹性状态进入塑性状态的标志；相继屈服是指当材料初始屈服之后，随着应力和变形的增加，屈服应力不断提高或提高到一定程度后而降低的现象；相继屈服只出现在塑性加载过程中出现，又叫做加载屈服；破坏是指材料变形过大或丧失对外力的抵抗能力。

对于理想塑性材料，产生无限制的塑性流动就称为破坏。其没有相继屈服，只要是屈服就意味着破坏，只不过屈服与破坏的形式不同而已；

对于硬化材料，相继屈服或加载应力达到一定程度后，屈服应力不再增加，材料产生无限制的塑性变形，称之为破坏。

4-2、屈服函数、加载函数及破坏函数与屈服线（面）、加载曲面（线）及破坏曲面（线）的关系是什么？

答：屈服函数一般是应力（或应变）状态的函数；加载函数一般是加载应力（或应变)与硬化参量的函数；破坏函数是破坏应力（或应变）与破坏参量的函数。它们在应力空间所对应的图形分别叫做屈服线（面）、加载曲面（线）及破坏曲面（线）。由于这些超维的曲面在现实的三维空间中难以表示，因此一般将其表示在主应力空间中。

4-3、岩土类材料的屈服与破坏形式有哪几种？岩土类材料的屈服与破坏有哪些主要特性？

答：岩土类材料的屈服与破坏形式主要是剪切破坏，只有一小类岩土材料可以承受一定的拉力而产生拉力破坏。岩土类材料的屈服与破坏特性有以下几点：

（3）一般的岩土类材料都具有应变硬化或软化特性，故屈服与破坏函数不同；

（4）三个主应力或三个应力不变量都对屈服或破坏有影响，即不仅代表着剪应力的2J 影响着屈服与破坏，而且静水压力p 及偏应力第三个不变量3J σσθμ（及）

对屈服与破坏都有影响； （5）单纯的静水压力也可以产生屈服；

（6）具有S-D 效应，即拉压的屈服与破坏强度不同；

（7）高压下，屈服及破坏与静水压力呈非线性关系；

（8）除坚硬的岩块、混凝土等可以承受一定的拉力破坏而外，一般的岩土材料破坏都属于剪切破坏。

（9）初始为各向异性和应力导致的各向异性

4-4、根据岩土类材料的屈服与破坏特性，在主应力空间、偏平面和拉压子午面上描绘出岩土类材料屈服曲面及曲线的一般几何形状。

解：在主应力空间中，岩土类材料屈服曲面如下：

（ａ）

在偏平面上：

（ｂ）

图１ Ｃ－Ｍ准则的屈服曲面及屈服曲线

（ａ）主应力空间 （ｂ）偏平面

4-5、绘图：（1）偏平面上=03060?、、时的C-M 准则屈服线；（2）13-σσ平面上

=01545?、、时的C-M 准则屈服线。

解：（１）Ｃ－Ｍ屈服准则

当123>>σσσ时，1313-=[(+)sin +2cos ]c σσσσ??± 当132>>σσσ时，1212-=[(+)sin +2cos ]c σσσσ??± （１） 当213>>σσσ时，2323-=[(+)sin +2cos ]c σσσσ??±

=0?时： 131223-=2-=2-=2c

c c

σσσσσσ±±±

=30?时： 131********

31-=[(+)+3c ]2

1-=[(+)+3c ]2

1-=[(+)+3c ]2σσσσσσσσσσσσ±±± =60?时 131

3121

223233-=[(+)+c ]23-=[(+)+c ]23-=[(+)+c ]

2σσσσσσσσσσσσ±±± 每种摩擦角对应Ｃ－Ｍ准则的六条屈服曲线，在偏平面上如下图所示：

图２ 偏平面上不同内摩擦角对应的Ｃ－Ｍ屈服曲线

（２）在13-σσ平面上，2=0σ

=0?时， 1313-=2=2=2c

c c

σσσσ±±

=15?时， 13131sin152cos15=

1sin151sin152cos15=1sin15

2cos15

=1sin15

c c c σσσσ±±± =45?时， 13132222=222222=22

22=

2

2c c

c

σσσσ±±± 在13-σσ平面上如下图所示：

图３ 13-σσ平面上不同内摩擦角对应的Ｃ－Ｍ屈服曲线

4-6、证明C-M 屈服准则的12J I σθ、、表达式为

1211=sin -(cos +sin sin )+ccos =033

f I J σσ?θθ?? 证明：主应力表示的C-M 准则为

1313=(-)-(+)sin -2cos =f c o σσσσ??

131232(-)-(++)sin -2cos +sin =c o σσσσσ??σ?

131********(-)-(++)sin -cos +sin =(++)sin +cos 33

c c σσσσσ??σ?σσσ?? 1131212sin +cos =(-)-sin -cos +sin 33

I c I c ??σσ??σ? 13131312132131321322213213222

132222121323213

2121-+2=(-)-

sin -+sin +sin 322

-2--=+sin 26

-2--=(+sin )263(-)2--1=(+sin )123123(-)=(

2(-)+2(-)+2(-)2--1

+32(-)+2(-I J J J J J J J σσσσσσ??σ?σσσσσ?σσσσσ?σσσσσ?σσσσσσσσσσσσσσσ22323sin ) a )+2(-)?σσ（）

又

213

132tan 3()σσσσθσσ--=-

22

13213222123131223222

121323[3()]+(2) =4+4+4-4-4-4 =2(-)+2(-)+2(-)σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ---

如下图

2221213232(-)+2(-)+2(-)σσσσσσ 2132σσσ--

σθ

133()σσ- 利用上图，代入（ａ）式，有

1211sin +cos =J cos +sin sin 33

I c σσ??θθ?（） 得

1211=sin -(cos +sin sin )+ccos =033

f I J σσ?θθ?? 4-7、在p-q 坐标中证明：（1）k 0固结线的斜率为003(1-k )=1+2q p k ；（2）常规三轴压缩试验的屈服与破坏线的斜率为6sin =3-sin q p ??，纵坐标的截距为06cos q =3-sin c ??

。 证明： （1） K O 固结中： 23112301==0>0>0==k εεεσσσσ，、，

12310111p=(++)=(+2)33

k σσσσσ 1222212132301=(-)+(-)+(-)=(1-)2

q k σσσσσσσ????１ 011dp=(1+2)d 3

k σ 01dq=1-d k σ（）

因此 0100011-d 3(1-)q ===1p 1+2(1+2)d 3

k k dq dp k k σσ（） （2）常规三轴压缩试验中： 12312==>σσσσσσ，且

1231311p=(++)=(+2)33

σσσσσ 12222121323131=(-)+(-)+(-)=-2

q σσσσσσσσ???? 得：

12=p+3q σ 31=-3

p q σ

由C-M 准则的主应力表达式：

131232(-)=(++)sin -2cos +sin c σσσσσ??σ?

1q=(2p+q)sin +2ccos 3

?? 1(1-sin )=2psin +2ccos 3

q ??? 2sin 2cos =+111-sin 1-sin 336sin 6cos =+3-sin 3-sin c q p c p ????????

从上式可以看出破坏线的斜率

6sin =3-sin q p ??，纵坐标的截距为06cos q =3-sin c ??。 4-8、对于C-M 准则，为什么1+sin =1-sin c t σ?σ?，而3+sin =3-sin c t q q ??

？ 解：对于单轴压缩试验，有：

123=>0,==0σσσσ，此时=-1σμ

对于单轴拉伸试验，有

123==0=-<0σσσσ，，此时=1σμ

（1）对于Ｃ－Ｍ准则

1313-=(+)sin +2cos c σσσσ??

在单轴压缩时有

=sin +2cos c σσ??压压

2cos =

1-sin c ?σ?

压 单轴拉伸时有 33-=sin +2cos c σσ??

=-sin +2cos c σσ??拉拉

2cos =1+sin c ?σ?

拉

可得： 1+s i n =1-s i n

c t σ?σ? （２）单压单拉应力状态同（１），

1231==(++)3

m p σσσσ （ｂ） 因

21313

2--=-σσσσμσσ 得 13132-+=

+22σσσσσσμ

将上式代入（ｂ）式，得 13

13

-+=+62

m σσσσσσμ 1313-+=2-3m σσσσσσμ （ｃ）

假设123>>σσσ，在Ｃ－Ｍ准则1313-=(+)sin +2cos c σσσσ??中代入（ｃ）式，有

13

13--=(2-)sin +2cos 36+cos =3+sin m m c c σσσσσσσμ??σ??μ?（sin ） 则

13=(-)6+cos =3+sin c c

m q c σσσ???

（sin ） 13=(-)6+cos =

3+sin t t

m q c σσσ???

（sin ） 可得

3+sin =3-sin c t q q ??