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高中数学必修五北师大版 一元二次不等式及其解法(1) 学案

高中数学必修五北师大版 一元二次不等式及其解法(1) 学案
高中数学必修五北师大版 一元二次不等式及其解法(1) 学案

第一课时一元二次不等式及其解法

[提出问题

观察下列不等式:

(1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0.

问题1:以上给出的三个不等式,它们含有几个未知数?未知数的最高次数是多少?

提示:它们只含有一个未知数,未知数的最高次数都是2.

问题2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点?

提示:形如ax2+bx+c>0(或≤0),其中a,b,c为常数,且a≠0.

[导入新知]

1.一元二次不等式

我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.

2.一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.

[化解疑难]

1.定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次的系数不能为0.

2.解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.

[提出问题

已知:一元二次函数y=x2-2x,一元二次方程x2-2x=0,一元二次不等式x2-2x>0.

问题1:试求二次函数与x轴交点坐标.

提示:(0,0),(2,0).

问题2:一元二次方程的根是什么?

提示:x1=0,x2=2.

问题3:问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系?

提示:交点的横坐标为方程的根.

问题4:观察二次函数图象,x满足什么条件,图象在x轴上方?

提示:x >2或x <0.

问题5:能否利用问题4得出不等式x 2-2x >0,x 2-2x <0的解集?

提示:能,不等式的解集为{x |x >2或x <0},{x |0<x <2}.

[导入新知]

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表

一元二次方程的根对应于二次函数图象与x 轴的交点,一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x 轴上方(下方),或在x 轴上的点,由此得出二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法,这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法.

[例1] (1)2x 2

+7x +3>0;

(2)x 2-4x -5≤0;

(3)-4x 2+18x -814

≥0; (4)-2x 2+3x -2<0.

[解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,

所以方程2x 2+7x +3=0有两个不等实根x 1=-3,x 2=-12

. 又二次函数y =2x 2

+7x +3的图象开口向上,

所以原不等式的解集为??????xx >-12,或x <-3. (2)原不等式可化为(x -5)(x +1)≤0,

所以原不等式的解集为{x |-1≤x ≤5}.

(3)原不等式可化为?

????2x -922≤0, 所以原不等式的解集为?

?????xx =94. (4)原不等式可化为2x 2-3x +2>0,

因为Δ=9-4×2×2=-7<0,

所以方程2x 2-3x +2=0无实根,

又二次函数y =2x 2-3x +2的图象开口向上,

所以原不等式的解集为R.

[类题通法]

解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零;

(2)计算对应方程的判别式;

(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;

(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.

[活学活用]

解下列不等式:

(1)x 2-5x -6>0;(2)-x 2+7x >6;

(3)(2-x )(x +3)<0;(4)4(2x 2-2x +1)>x (4-x ).

解:(1)方程x 2-5x -6=0的两根为x 1=-1,x 2=6.

结合二次函数y =x 2-5x -6的图象知,原不等式的解集为{x |x <-1或x >6}.

(2)原不等式可化为x 2-7x +6<0.

解方程x 2-7x +6=0,得x 1=1,x 2=6.

结合二次函数y =x 2-7x +6的图象知,原不等式的解集为{x |1

(3)原不等式可化为(x -2)(x +3)>0.

方程(x -2)(x +3)=0的两根为2和-3.

结合二次函数y =(x -2)(x +3)的图象知,原不等式的解集为{x |x <-3或x >2}.

(4)由原不等式得8x 2-8x +4>4x -x 2,

高中数学北师大版必修1全册知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集, R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

A B = 真子集 A ≠ ?B (或 B ≠ ?A ) B A ?,且B 中至少有一元素不属于A (1)A ≠ ??(A 为非空子 集) (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?,则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ,B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ (1)A A A =I (2)A ?=?I (3)A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ (1)A A A =U (2)A A ?=U (3)A B A ?U A B B ?U B A

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值

人教A版高中数学必修五一元二次不等式及其解法教案(1)

教学要求:正确理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法;理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系,能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点:熟练掌握一元二次不等式的解法. 教学难点:理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗? 2、比较,,a b c 的大小:22,5a b c ===- 二、讲授新课: 1、教学不等式2 0(0)ax bx a ++>≠的解集 ① 若判别式240b ac ?=->,设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <,则:0a >时,其解集为{} 12|,x x x x <>或;0a <时,其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0?=,则有:0a >时,其解集为|,2b x x x R a ??≠- ∈???? ;0a <时,其解集为?. ③ 若0?<,则有:0a >时,其解集为R ;0a <时,其解集为?.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关,从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解” ⑤ 简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。 2、教学例题: ① 出示例1:求不等式244150x x --≤的解集. (解方程 → 给出图象 →学生板演) ② 变式训练:求不等式244150x x -->的解集. ③ 变式训练:求不等式244150x x -+->的解集. ④ 出示例2:求不等式223x x -+< (方程的解→函数草图→观察得解) ⑤ 出示例3:已知220ax x c ++>的解集为1132 x -<<,试求,a c 的值,并解不等式220cx x a -+-> (将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来) ⑥ 变式训练:已知不等式2 0ax bx c ++>的解集为(,)αβ,且0αβ<<,求不等式20cx bx a ++<的解集. 3、小结:不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集情况,解一元二次不等式的三步曲. 三、巩固练习: 1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ?- <

人教新课标版数学高一必修5人教A版 第三章3.2第3课时一元二次不等式解法

第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第3课时 一元二次不等式解法(习题课) A 级 基础巩固 一、选择题 1.不等式(x -1)x +2≥0的解集是( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |x ≥1或x =-2} D .{x |x ≤-2或x =1} 解析:(x -1)x +2≥0, 所以???x -1≥0,x +2≥0 或x =-2, ?x ≥1或x =-2,故选C. 答案:C 2.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的值的集合是 ( ) A .{a |00,Δ≤0????a >0,a 2-4a ≤0 ?0≤a ≤4. 综上知,0≤a ≤4.选D. 答案:D

3.已知集合M =???? ??x ???x +3x -1<0,N ={x |x ≤-3},则集合{x |x ≥1}等于( ) A .M ∩N B .M ∪N C .?R(M ∩N ) D .?R(M ∪N ) 解析:因为M ={x |-33 C .12 解析:f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a >0,a ∈[-1,1]恒成立?(x -2)a +x 2-4x +4>0,a ∈[-1,1]恒成立.

(北师大版)高一数学必修1全套教案

(北师大版)高一数学必修1全套教案

第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结

构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必

修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时,

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______

人教新课标版数学高二必修五练习3.2一元二次不等式的解法(第一课时)

1.(2011·广东高考)不等式2x 2-x -1>0的解集是( ) A .(-1 2,1) B .(1,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(-∞,-1 2)∪(1,+∞) 解析:由原不等式得(x -1)(2x +1)>0, ∴x <-1 2或x >1. 答案:D 2.(2012·蚌埠二中高二检测)不等式x 2-|x |-2<0的解集是( ) A .{x |-22} C .{x |-11} 解析:令t =|x |,则原不等式可化为 t 2-t -2<0,即(t -2)(t +1)<0. ∵t =|x |≥0.∴t -2<0.∴t <2. ∴|x |<2,得-2f (1)的解集是( ) A .(-3,1)∪(3,+∞) B .(-3,1)∪(2,+∞) C .(-1,1)∪(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(1,3)

解析:f (1)=1-4+6=3, 则有????? x ≥0,x 2-4x +6>3或????? x <0,x +6>3, 解得0≤x <1或x >3或-33. 答案:A 5.(2011·海南三亚高二检测)已知{x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的取值范围是________. 解析:当a =0时,显然成立;当a ≠0时,要满足题意,需有????? a >0, a 2-4a ≤0,解之得00解集为________. 解析:由根与系数的关系,可得 ????? -a =1+2,b =1×2,即????? a =-3, b =2. ∴不等式bx 2+ax +1>0,就是2x 2-3x +1>0. 由于2x 2-3x +1>0?(2x -1)(x -1)>0 ?x <12 或x >1. ∴bx 2+ax +1>0的解集为(-∞,12 )∪(1,+∞). 答案:(-∞,12 )∪(1,+∞) 7.(2012·中山一中高二检测)设f (x )=(m +1)x 2-mx +m -1. (1)当m =1时,求不等式f (x )>0的解集; (2)若不等式f (x )+1>0的解集为(32 ,3),求m 的值. 解:(1)当m =1时,不等式f (x )>0为2x 2-x >0,

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章 不等式 一、选择题 1.若a =20.5,b =log π3,c =log πsin 5 2π ,则( ). A .a >b >c B .b >a >c C .c >a >b D .b >c >a 2.设a ,b 是非零实数,且a <b ,则下列不等式成立的是( ). A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C . 21ab <b a 21 D . a b <b a 3.若对任意实数x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1 4.不等式x 3-x ≥0的解集为( ). A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞) D .[-1,0]∪[1,+∞) 5.已知f (x )在R 上是减函数,则满足f (11 -x )>f (1)的实数取值范围是( ). A .(-∞,1) B .(2,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2) 6.已知不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为图中( ). A B C D 7.设变量x ,y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2++- 则目标函数z =5x +y 的最大值是( ). A .2 B .3 C .4 D .5 8.设变量x ,y 满足?? ? ??5 --31+-3-+y x y x y x 设y =kx ,则k 的取值范围是( ). A .[ 21,3 4 ] B .[ 3 4 ,2] C .[ 2 1 ,2] D .[ 2 1 ,+∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式:ab≤a+b 2(学案) 学习目标:1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点). [自主预习·探新知] 1.重要不等式 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”). 思考:如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式? [提示]a+b≥2ab. 2.基本不等式:ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:a,b均为正实数; (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 思考:不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b 2成立的条件相同吗?如果不同各是 什么? [提示]不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;ab≤a+b 2成立的条件 是a,b均为正实数. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b 2,几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:a+b 2≥ab与? ? ? ? ? a+b 2 2 ≥ab是等价的吗? [提示]不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R. 4.用基本不等式求最值的结论 (1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当x=y=s 2时,积xy有最

小值为2xy . (2)设x ,y 为正实数,若xy =p (积p 为定值),则当x =y =p 时,和x +y 有最大值为(x +y )2 4. 5.基本不等式求最值的条件 (1)x ,y 必须是正数. (2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 思考:利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值? [提示] 三个条件是:一正,二定,三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值. [基础自测] 1.思考辨析 (1)对任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,a +b ≥2ab 均成立.( ) (2)对任意的a ,b ∈R ,若a 与b 的和为定值,则ab 有最大值.( ) (3)若xy =4,则x +y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )=x 2 +2 x 2+1 的最小值为22-1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.设x ,y 满足x +y =40,且x ,y 都是正数,则xy 的最大值为________. 400 [因为x ,y 都是正数, 且x +y =40,所以xy ≤? ???? x +y 22 =400,当且仅当x =y =20时取等号.] 3.把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ,则另一边长可表示为(8-x )m ,则面积S =x (8-x )≤? ???? x +8-x 22 =16,当且仅当x =4时取等号,故当矩形的长与宽相等,都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

必修5一元二次不等式解法

一元二次不等式及其解法 [考点梳理] 1.解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同,则称它们是; (2)一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的; (3)解不等式变形时应进行同解变形;解不等式的结果,一般用集合表示. 2.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax >b (a ≠0)的形式.当a >0时,解集为_______;当a <0时,解集为.若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ,则实数a ,b 满足的条件是_______. 3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或ax 2+bx +c <0)(其中a >0)的形式,其对应的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1,x 2,且x 1<x 2(此时Δ=b 2-4ac >0),则可根据“大于号取,小于号取”求解集. (4)一元二次不等式的解: 函数与不等式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1=x 2=-b 2a 无实根 ax 2+bx +c >0(a >0)的解集 ① ② R ax 2+bx +c <0(a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2} ? ③ (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 f (x ) g (x ) 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: f (x ) g (x )>0 ? f (x )g (x )>0;f (x ) g (x ) <0 ? f (x )g (x )<0; f (x ) g (x )≥0 ? ???f (x )g (x )≥0,g (x )≠0;f (x )g (x )≤0 ? ???f (x )g (x )≤0,g (x )≠0.

高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计

课题:基本不等式 一、教材分析: 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学5·必修》(人教A版)中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。 基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路,体现新课标“数学有用”的理念。同时,运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究,培养学生数形结合的思想方法。 二、学情分析: 在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法,对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解,为基本不等式的学习提供了基础。 授课班级为高一(1)班,我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较活跃,能够较好的掌握教材上的内容,但处理、分析问题的能力还有待提高。 三、设计思想: 本课为新授课,积极践行新课程“数学有用”理念,倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式;注重提高数学思维能力,在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值;注重信息技术与数学课程的整合。

四、教学目标: 1、知识与技能: (1) 师生共同探究基本不等式; (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明; (3) 会简单运用基本不等式。 2、过程与方法: 通过基本不等式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力;遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式,培养学生数形结合的思维能力。 3、情感、态度与价值观: (1)培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合的想象力; (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功的快乐。 五、教学重点: (1)用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明; (2)运用基本不等式解决实际问题。 教学难点:基本不等式的运用。 重、难点解决的方法策略: 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教

高中数学必修五3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 从容说课 本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时,第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法,以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解,在这些例题中设置思考项,让学生探究,层层铺设,以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念,有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后,再回归到先前的具体事例,总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤,由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来;然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来,根据这些图表,得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系,再辅以新的例题巩固.整个教学过程,探究一元二次不等式的概念,揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质,引出一元二次不等式解法的步骤和过程,并及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发学生的学习兴趣. 教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想. 教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 教具准备多媒体及课件,幻灯片三张 三维目标 一、知识与技能 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一次二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图. 二、过程与方法 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验; 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想; 2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,树立辩证的世界观. 教学过程 导入新课 师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司(Internet Servi c e Provider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用. 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司可供选择,公司A每小时收费1.5元;公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元,第二小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元.(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算)

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案

描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式组的集合意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组. 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 的并集叫做闭半平面.以不等式解 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式 的符号相同,所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ,由 符号即可判断 出 (或)表示的是直线哪一侧的点集.直线 叫做这 两个区域的边界(boundary). 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1) ;(2). 解:(1)① 画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画 成虚线. ② 取原点 ,代入 ,所以原点在不等式 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图. 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0

【数学】3.2《一元二次不等式及其解法》教案(新人教A版必修5)(2课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型: 2 50x x -< (1) 2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义 象250x x -<这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式 2)探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根:120,5x x == 二次函数有两个零点:120,5x x == 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x<0,或x>5时,函数图象位于x 轴上方,此时,y>0,即2 50x x ->; 当0

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集;N *或N +表示正整数集;Z 表示整数集;Q 表示有理数集;R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈;或者a M ?;两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来;写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质};其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素;则它有2n 个子集;它有21n -个真子集;它有21n -个非空子集;它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集

A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 ( %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律: 交换律:.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律:,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律:.,A A A A A A ==Y I 求补律:A ∩ A ∪=U 反演律:(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合;如果按照某种对应关系f ;对于集合A 中的 元素;在集合B 中都有 元素和它对应;这样的对应叫做 到 的映射;记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射;那么和A 中的元素a 对应的 叫做象; 叫做原象.二、函数1.定义:设A 、B 是 ;f :A →B 是从A 到B 的一个映射;则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ;记作 .2.函数的三要素为 、 、 ;两个函数当且仅当 分别相

高中数学必修五《一元二次不等式及其解法》教学设计

一元二次不等式及其解法(第一课时) 一、教材分析 1、教学内容 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第三章第二节《一元二次不等式及其解法》第1课时。 2、教材地位和作用 从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸,同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密,涉及的知识面较多。 从思想层面看,本节课突出本现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具,因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。 3、教学目标 知识与技能:正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。熟练掌握一元二次不等式的解法。 过程与方法:通过看图象找解集,培养学生从“从形到数”的转化能力,“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力;通过对问题的思考、探究、交流,培养学生良好的数学交流能力,增强其数形结合的思维意识。 情感态度与价值观:通过具体情境,使学生体验数学与实践的紧密联系,激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感,使学生充分体验获取知识的成功感受;在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神,使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯。 4、教学重、难点 重点:一元二次不等式的解法。 难点:一元二次方程,一元二次不等式与二次函数的关系。 二、学习者特征分析: 学习者是普通高中高二理科学生(基础差)。已经学习了一元一次不等式,一元一次方程、一元一次函数,二元一次方程与函数。 三、教学方法和教学策略分析: 1、选择教法的原则和依据 根据学生的原有知识和现有的认知规律,以发展学生的能力和应试水平为原则。 2、教法选择 选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式。重点以引导学生为主,让他们能积极、主动的进行探索,获取知识。

必修五不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间

三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +?∈,||ax b c x φ+?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结:

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(含必修和选修) 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录: 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题

必修2 全书目录: 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动:随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计

高中数学必修5 第3章 不等式 教师版 不等式第14课时

听课随笔

第14课时 基本不等式的应用(2) 学习要求 1.进一步会用基本不等式解决简单的最大(小)值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究,进一步体会数学建模的思想。 3.进一步开拓视野,认识数学的科学价值和人文价值. 【课堂互动】 自学评价 1.设x>0时, y=3-3x -x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】 例1.过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程 【解】 见书(但设直线方程可有两种方法). 例2.如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版 面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 见书. 思维点拔: 先建立目标函数,然后创造条件利用基本不等式求解。 追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客

运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万 元与营运年数n(n )N +∈的关系为 y=-n 2+12n -25,则每辆客车营运( C ) 年,使其营运年平均利润最大. A 3 B 4 C 5 D 6 2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴 的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两 点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的 方程. 解:设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b a A +--. 所以||||PB PA =a k k b k ?+-+221||1 =ab k k ab 2)||1 |(|≥+ (等号当且仅当1-=k 时成立) 所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的 方程为:0=--+b a y x . 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要 向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距 离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距 离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验 公式: S=2403 v +v 85 , 为保证安全行驶, 要 求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 “安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现 假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身 长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并 且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.

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