数学:2.5《夹角的计算》学案(北师大版选修2-1)

夹角的计算

$$学法指导$$

本小节主要包括三个部分的知识:直线间的夹角;平面间的夹角;直线与平面间的夹角.在学习时要注意的问题有:(1)直线间的夹角:直线间夹角的范围是0,

2π??

????

(2)求平面间的夹角时求平面的法向量是解题的关键.(3)求直线与平面间的夹角时用的是直线的方向向量

和平面的法向量所成的夹角,此角与直线和平面所成角互余. 用向量作工具来研究空间的夹角问题时,重要的是明确直线的方向向量、平面的法向量以及它们之间的关系. $$知识精要$$

知识点1: 直线间的夹角 1.两直线的夹角

当两条直线1l 与2l 共面时,我们把两条直线交角中,范围在0,2π??

????

内的角叫做两直线的夹角 2. 异面直线的夹角:

当两条直线1l 与2l 是异面直线时,在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ,我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫做异面直线1l 与2l 的夹角

3.(重点)空间两直线的夹角与它们方向向量的夹角的关系:

已知直线1l 与2l 的方向向量分别为1s

, 2s ,

当0<12,s s <2π时,直线1l 与2l 的夹角等于12,s s ;当2π<12,s s

π≤时,直线1l 与2l 的

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夹角等于π-12,s s

.

注:确定直线的方向向量是解决两直线夹角的关键. 知识点2 (重难点) 平面间的夹角

1. 平面间的夹角:

数学:2.5《夹角的计算》学案(北师大版选修2-1)

在两个平面所成的二面角的平面角中,称范围在0,

2π??

????

内的角为这两个平面的夹角. 注:平面间的夹角与平面的二面角不是同一概念.

2. (重点)求两平面间的二面角的向量求法 方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的角或其补角即为所求的二面角的大小;

注:要特别关注两个向量的方向

方法二:设1n ,2n 分别是两个面的法向量,则向量1n 与2n

的夹角(或其补角)即为所求二面

角的平面角的大小.

注:通过向量法求出二面角有利于求两平面的夹角.

3. (难点)两平面的夹角与两平面法向量所成的角的关系.

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