2002年考研数学(三)真题及详细解析

2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠

，则21lim ln[]________(12)

n n n na n a →∞-+=-.

【分析】将所求极限转换为1

ln[1]

(12)

lim

n n a n

→∞

+

-，利用等价无穷小代换化简求解，或

利用重要极限。

【详解】法一：11

ln[1]

211(12)(12)

lim ln[

]lim

lim (12)

12n

n n n n na n a n a n a a

n n

→∞

→∞→∞+

-+--===

-- 法二：11

(12)12122111limln[]limln[1]limln (12)(12)12n a n a

a n n n n na e n a n a a

-?--→∞→∞→∞-+=+==

--- ⑵

交换积分次序：

1

1142210

4

(,)(,)________y

y

dy f x y dx dy f x y dx +=?

??.

【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分

【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中

11(,)0,4D x y y y x ?=≤≤≤≤??

2111(,),422D x y y y x ??

=≤≤≤≤???

?

画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ??

=≤≤

≤≤????

故

2111

1422210

4

(,)(,)(,)x

y

y

x

dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=?

????

⑶ 设三阶矩阵122212304A -????=??????

，三维列向量(,1,1)T

a α=。已知A α与α

线性相关，则

______a =。

【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a

【详解】由于122212123304134a a A a a α-????????????==+????????????+??????

由A α与α线性相关可得：

2334

11

a a a a ++==，从而1a =-。 ⑷ 设随机变量X 和Y 的联合概率分布为

则2

X 和2

Y 的协方差22(,)_______Cov X Y =。

【分析】本题主要考查利用随机变量X 和Y 的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。 【详解】法一：由题设可得

010.40.6X ?? ?

??

， 1

010.150.50.35Y -?? ??? ， 2010.40.6X ?? ??? ， 2010.50.5Y ?? ??? ， 22

010.720.28X Y ?? ???

从而 2

()0.6E X =， 2

()0.5E Y =，2

2

()0.28E X Y = 故 2

2

2

2

2

2

(,)()()()0.280.30.02COV X Y E X Y E X E Y =-=-=- 法二：由题设可得

010.40.6X ?? ???

， 1010.150.50.35Y -??

??? ， 从而2

2

2

()00.410.60.6E X =?+?=，2

2

2

2

()(1)0.1500.510.350.5E Y =-?+?+?=

2222222222()(1)00.07(1)10.08000.18010.32E X Y =-??+-??+??+??

2

2

2

2

100.15110.200.28+??+??= 故 2

2

2

2

2

2

(,)()()()0.280.30.02COV X Y E X Y E X E Y =-=-=-

⑸ 设总体的概率密度为

(),(;)0,

x e x f x x θθ

θθ--?≥=?

而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______ 【分析】根据矩估计的定义计算即可. 【详解】由于()

()()(;)lim

t

x x t E X xf x dx xe

d xd

e θθθ

θ

θθ+∞

+∞

-----∞

→+∞===-?

??

()

lim

1t

x t e

dx θθθθ--→+∞

=+=+?

根据矩估计量的定义,满足()E X X =的?θ即为θ的矩估计量,因此1

1?11n

i i X X n θ==-=-∑ 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

⑴ 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 （A ）当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ= （B ）对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξ

ξ→-=

（Ｃ）当()()f a f b =时，(,)a b ξ∈，使()0f ξ'= （Ｄ）存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-

【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。 【详解】由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，只能说明

()f x 在开区间(,)a b 内连续且可导，不能保证函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，从而零点

定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A ）、（C ）、（D ）三选项都错； 由于可导必定连续，从而()f x 在开区间(,)a b 内连续，所以对任何(,)a b ξ∈，有

lim ()()x f x f ξ

ξ→=，从而应选（Ｂ）

⑵ 设幂级数1n

n n a x ∞

=∑与1n

n n b x ∞

=∑

1

3，则幂级数221n n n n

a x

b ∞

=∑的收敛半

径为

（Ａ）5

（Ｃ）13 （Ｄ）15

【分析】本题借用加强法来完成，即假设1lim

n n n a a +→∞

与1lim n n n

b

b +→∞都存在。 【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：

111lim n n n n n a x x a x +-+→∞=， 11

11lim ()3

n n n n n b x x b x +-+→∞=

从而2

1

122222221111

22222112lim lim lim lim ((3)53

n n n n n n n n n n n n n n n n n n

a x

b a b a b x x x x a a b a b x b ++---+++→∞→∞→∞→∞++====

⑶ 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组

（Ａ）当

n m >时仅有零解 （Ｂ） 当n m >时必有非零解 （Ｃ）当m n >时仅有零解 （D ）当m n >时必有非零解

【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。

【详解】齐次线性方程组0ABx =有非零解的充要条件是()r AB m <。而当m n >时 ()()r AB r A n m ≤≤<

0ABx =⑷ 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵1()T

P AP -属于特征值λ的特征向量是

（A ） 1P α- （B ）T P α （C ） P α （D ）1()T

P α-

【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。利用特征值的定义检验。

【详解】由已知A αλα=，于是

T T P A P αλα=， 1()T T T T P A P P P αλα-=

又由T

A A =，可得1()T T T P AP P P αλα-=，可见矩阵1()T P AP -属于特征值λ的特征向量是T

P α。

故应选（B)

⑸ 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则

（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22

X Y +服从2χ分布

（C ）2

X 和2

Y 都服从2

χ分布 （D ）2

2X Y

服从F 分布

【分析】主要考查正态分布的性质及2χ分布、F 分布的定义。利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从2χ分布、F 分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。

【详解】由于X 和Y 不一定相互独立，故（A ）、（B ）、（D ）不一定成立。由于随机变量

X 和Y 都服从标准正态分布，所以2X 和2Y 都服从2χ分布。故应选（C ）。

三、（本题满分5分）

求极限2

[arctan(1)]lim

(1cos )

x

u x t dt du x x →+-??

【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。

【详解】法一：2

2

2

[arctan(1)][arctan(1)]lim

lim

1

(1cos )

2

x

u x

u x x t dt du t dt du x x x x →→++=-?????

2

20

02

arctan(1)2arctan(1)lim

lim 336

2

x x x t dt x x x x π→→++===? 法二：2

2

[arctan(1)]arctan(1)lim

lim

(1cos )

1cos sin x

u x x x t dt du t dt

x x x x x

→→++=--+???

22002arctan(1)2arctan(1)lim

lim sin 2sin cos 62cos x x x x x x

x x x x x

π→→++===++ 四、（本题满分7分）

设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du

【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。 【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得

(1)(1)(1)x y z x y z

du f dx f dy f dz

x e dx y e dy z e dz

'''=++???+-+=+??

从而 (1)(1)(1)x y x y z z x e dx y e dy

du f dx f dy f z e +-+'''=?+?+?+

(1)(1)()()(1)(1)x y

x z y z z z

x e y e f f dx f f dy z e z e

++''''=+?+-?++

五、（本题满分6分）

设2

(sin )sin x f x

x =

，求()x dx 【分析】先求出()f x 的表达式，再计算不等积分。

【详解】法一：令2

sin u x =，

则s i n x =x

=，从而()f u

=

于是

()2x dx ==-?

=-

C =-

法二;令2

sin x t

=，则

22sin ()(sin )2sin cos 2sin cos sin t t x dx f t t tdt t dt t t =??=???

2sin 2cos 2cos 2sin t tdt td t t t t C ==-=-++??

、

C =-

设1D 是由抛物线2

2y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物

线2

2y x =和直线0,y x a ==所围成的平面区域，其中02a <<

（Ⅰ）试求1D 绕x 轴旋转而成旋转体的体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成旋转体的体积2V ；

（Ⅱ）当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值。

【分析】这类求旋转体体积应用题正确做出草图，明确平面域12,D D 对于问题的分析求解非常重要，然后利用公式求出12,V V ；第二问利用导数便可解决。

【详解】 做出12,D D 草图 如右图所示 （Ⅰ）由旋转体体积公式可得

52

22

14(32)(2)5

a a V x dx ππ-==?

2420

2(2)a

V x x dx a ππ=??=?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：54124(32)

5

a V V V a ππ-=+=+，（02a <<） 则34(1)V a a π'=-，从而V 在(0,2)内有唯一驻点1a =，且(1)40V π''=-<。因此当1

a =时，12V V +取得最大值，此时最大值为1295

π

。 七、（本题满分7分）

（Ⅰ）验证函数3631()3!6!(3)!

n

x x x y x n =+++++-∞<<+∞ 满足微分方程

x

y y y e '''++=

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果求幂级数30(3)!

n

n x n ∞

=∑的和函数

【分析】考查幂级数的运算、x

e 的麦克劳林级数及求解二阶常系数非齐次微分方程。

【详解】（Ⅰ） 由于∑∞

==0

3)!3()(n n

n x x y ，所以

311()(31)!n n x y x n -∞

='=-∑

， 32

1()(32)!

n n x y x n -∞

=''=-∑ 从而y y y '''++=323131100(32)!(31)!(3)!!

n n n n

x n n n n x x x x e n n n n --∞

∞∞∞

====++==--∑∑∑∑

（Ⅱ）特征方程为2

10λλ++=

，特征根为1,212

λ-±=

。

从而对应的齐次方程的通解为：12

12(cos

sin )22x Y e

C x C x -=+ 设*x y Ae =是原方程的通解，代入原方程得：13A =

，于是*

13

x y e =

所以非齐次方程通解为1

2

121(cos

sin )223

x x y e

C x C x e -=++。 又因为和函数满足(0)1,(0)0y y '==，代入上式得12

3

C =

，20C =。故所求幂级数的

和函数为1221

cos 323

x x y e x e -=+（x -∞<<+∞）

。 八、（本题满分6分）

设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使

()()()()

b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=?

? 【分析】本题主要考查闭区间上连续函数的介值定理、最大最小值定理及定积分的保号

性定理．本题只要证明

()()()b

a

b

a

f x

g x dx

g x dx

???

介于()f x 在[,]a b 上的最大、最小值之间即可。

【详解】由于()f x 在[,]a b 上连续，所以在该区间上存在最大、最小值，不妨分别记为,M m ．

从而对任意的[,]x a b ∈，恒有()m f x M ≤≤． 又因为()0g x >，因此()()()()m g x f x g x M g x ?≤?≤? 根据积分的保号性可得

()()()()b

b b

a

a

a

m g x dx f x g x dx M g x dx ?≤?≤??

??，所以有

()()()b a

b

a

f x

g x dx

m M g x dx

?≤

≤??

根据闭区间上连续函数的介值定理可得，存在一点[,]a b ξ∈，使得

()()()()b

a

b

a

f x

g x dx

f g x dx

ξ?=?

?

从而命题成立． 九、（本题满分8分） 设齐次线性方程组

123123123000

n n

n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=??++++=??

??++++=?

其中0,0a b ≠≠，2n ≥。试讨论,a b 为何值时，方程仅有零解、无穷多组解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。

【分析】设A 是系数矩阵，则A 是n 阶方阵，从而()r A n =，即0A ≠时方程组只有零解；当()r A n <，即0A =时方程组有无穷多组解，利用初等行变换求出通解。 【详解】设A 是方程组的系数矩阵，则

1111

[(1)]a b b b b a b b b a b b

A a n b b

b b b b b b b b

b

b

a b b

b

a

==+-

11

1

1

1

000

[(1)][(1)]()0

0000

n a b a n b a n b a b a b

--=+-=+---

⑴ 当a b ≠且(1)a n b ≠-时，0A ≠，方程组有唯一解——零解； ⑵ 当a b =时，方程组有无穷多组解，此时对A 进行初等行变换,有

111000000A ????

?

?→??????

从而原方程组的同解方程组为

1230n x x x x ++++= 其基础解系为

1(1,1,0,,0)T η=- ，2(1,0,1,,0)T η=- ， ，1(1,0,0,,1)T n η-=-

方程组的全部解为

112211n n x k k k ηηη--=++ （121,,,n k k k - 为任意常数） ⑶ 当(1)a n b =-时，方程组有无穷多组解，此时对A 进行初等行变换,有

111

11

001111101011

111001*********n

n A n n --????

????--???

?????→→?

??

?

--????????-????

从而原方程组的同解方程组为

121n

n

n n

x x x x x x -=??=????=?

其基础解系为

(1,1,1,,1)T β= 方程组的全部解为

x k β=（其中k 为任意常数） 十、（本题满分8分）

设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件2

20A A +=，已知A 的秩()2r A =

（Ⅰ）求A 的全部特征值；

（Ⅱ）当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵。 【分析】本题考查特征值与特征向量的性质及正定矩阵与特征值之间关系。（Ⅰ）A 的特征值λ必须满足,(0)A αλαα=≠，利用特设条件2

20A A +=可求得λ的值，但所求的是否是全部特征值呢？是几重特征根？这须利用条件A 的秩()2r A =来解决；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果写出A kE +的全部特征值，当其全部特征值都大于零时，矩阵A kE +为正定矩阵。 【详解】（Ⅰ）设λ是矩阵A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则

A αλα=， 22A αλα=

于是22(2)(2)A A αλλα+=+，由条件2

20A A +=可得，2

(2)0λλ+=，解得

0λ=，2λ=-

因为实对称矩阵必可对角化，且()2r A =，从而200020000A -????-??????

从而矩阵A 的全部特征值为：2,2,0--；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知矩阵A 的全部特征值为：2,2,0--，从而矩阵A kE +的全部特征值为2,

2,k k k --。

于是当2k >时，矩阵A kE +为正定矩阵。

十一、（本题满分8分）

假设随机变量U 在区间[2,2]-上服从均匀分布，随机变量 1,11,1

U X U -≤-?=?

>-?若若， 1,11,1

U Y U -≤?=?

>?若若

试求：（Ⅰ） X 和Y 的联合分布；（Ⅱ）()D X Y +

【分析】首先通过所给的X 和Y 的取值，判断出(,)X Y 的几种可能取值，以及取这些可能值的条件，计算(,)X Y 的各组值的概率，确定X 和Y 的联合分布；（Ⅱ）利用方差公

式算出()D X Y +或通过X 和Y 的联合分布，写出X Y +和2

()X Y +的概率分布，从而利

用公式算出()D X Y +。

【详解】（Ⅰ）随机变量(,)X Y 的可能取值为(1,1)、(1,1)-、(1,1)-、(1,1)--，而

{}{}{}1

2

11

1,11,1144

P X Y P U U P U du --=-=-=≤-≤=≤-==?

{}{}{}1,11,10P X Y P U U P =-==≤->=?=

{}{}{}1

1111,11,11142P X Y P U U P U du -==-=>-≤=-<≤==?

{}{}{}2111

1,11,1144

P X Y P U U P U du ===>->=>==?

于是X 和Y 的联合分布

（Ⅱ）法一：由于22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+

而111()[1(1)][(1)1]0[1(1)][11]0424

E X Y +=-+-?+-+?++-?++?= 222

22111()[1(1)][(1)1]0[1(1)][11]2

424

E X Y +=-+-?+-

+?++-?++?= 所以()2D X Y +=

法二：由（I ）可知X Y +和2()X Y +的概率分布为：

20

211

1424X Y -?? ?+

??? ， 20

4()1122X Y ??

?+ ???

可见()0E X Y +=，2()2E X Y +=，从而()2D X Y +=。 十二、（本题满分8分）

假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y 。 【分析】X 服从指数分布，而指数分布由参数λ确定，且1

EX λ

=，有已知条件可以确

定λ的值。根据题意{}min ,2Y X =

【详解】设X 服从参数为λ的指数分布，由于1

5EX λ

==，可见参数15

λ=

。 因此1()5

X E ，其概率密度为

1

51,0

()50,0x e x f x x -?>?=??≤?

根据题意{}min ,2Y X =，所以

{}{}

()min ,2F y P X y =≤

当0y <时，{}{}

{}()min ,20F y P X y P X y =≤=≤=； 当02y ≤<时，{}{}

{}1

1

550

1()min ,215

x y y

F y P X y P X y e dx e --=≤=≤==-?

； 当2y ≥时，{}{}

()min ,21F y P X y =≤=；

于是Y 的分布函数()F y 为：1

50,0()1,021,2y y F y e y y -

=-≤

。