空间几何量的计算.板块五.证明与计算(距离).学生版

【例1】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，

分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．

⑴求证：AP ⊥平面BDE ；

⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；

⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．

F

E

B

D C

A P

【例2】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC

的中点，11AB ==，

⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ；

⑵求点D 到平面11BCC B 的距离．

⑶证明：11AB BC ⊥．

D C

B

A A 1

B 1

C 1

【例3】 （2010年二模·崇文·文·题16） 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点． ⑴求证：直线1B D ∥平面AEC ；

典例分析

板块五.证明与计算（距离）

【例4】 如图，ACD ?和ABC ?都是直角三角形，AB BC =，30CAD ∠=，把三角形ABC

沿AC 边折起，使ABC ?所在的平面与ACD ?所在的平面垂直，若AB ⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．

H

A B

D C

C B A

【例5】 （2010年二模·东城·文·题17）

如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点．

⑴求证：AD PC ⊥；

⑵求三棱锥A PDE -的体积；

⑶AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．

专题三 几何证明

专题三 几何证明 【专题分析】 几何证明题重在训练学生运用数学语言合情推理的能力，在数学学习中占有非常 重要的地位。此类题目经常出现在解答题的第二题，属于中低难度的题，比较基础；最后两题中也有涉及，属于中高难度的综合题. 【考点解析】 考点一：证明线段相等 例1．如图，E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，BE ∥DF ． 求证：BE ＝DF ． 考点二：证明线段平行或垂直 例2. 如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ， ∠A=∠D ，AF=DC ． 求证：BC ∥EF ． 例3. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． 求证：CA 是圆的切线. A B C D E F

A E B C F D 考点三：证明角相等 例4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ． （1）求证：∠ABD ＝∠CBD ； （2）若∠C ＝2∠E ，求证：AB ＝DC . 考点四：证明三角形全等或特殊四边形 例5.在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ． (1)求证：△BEC ≌△DF A ； (2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【基础演练】 1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=-90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F 求证：CE=CF ． 2.如图，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折， 点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G 。 求证：AG ＝C ′G . （第21题）C

如何做几何证明题(方法情况总结)

如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、

空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

【巩固练习】 一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ）

立体几何证明方法汇总

G P A B C D F E A B C D E F ① 中位线定理 例题：已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形 ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ； （２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积． 练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点D 是AB 的中点。 求证：AC 1∥平面CDB 1； 2. 如图，1111D C B A ABCD -是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。（1）求证：//1BD 平面DE C 1；（2）求三棱锥BC D D 1-的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面ABCD ，4,3PD DC ==，E 是PC 的中点。 （1）证明：//PA BDE 平面； （2）求PAD ?以PA 为轴旋转所围成的几何体体积。 例2、 如图, 在矩形ABCD 中,2AB BC = , ,P Q 分别为线段,AB CD 的中点, EP ⊥平 面ABCD .求证: AQ ∥平面CEP ；（利用平行四边形） 练习：①如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，E 、F 分别是AB 、PD 的中 点。求证：AF ∥平面PCE ； ②如图，已知P 是矩形ABCD 所在平面外一点，ABCD 平面PD ⊥，M ，N 分别 是AB ，PC 中点。求证：//PAD MN 平面 ③ 如图，已知AB ?平面ACD ，DE//AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点.⑴求证：AF//平面BCE ； ④、已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： //1O C 面11AB D ． ③比例关系 A 1 C _ H _ G _ D _ A _ B _ C E F

年重庆中考数学几何证明题--(专题练习+答案详解)

2015年重庆中考数学24题专题练习 1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE (1)求证:BＥ=CＥ； （2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD. 2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点． （1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ； （２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长．

3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ. (1)当CE=1时,求△ＢCE的面积; （２）求证：BD＝EF+CE． 4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF． （1)求证：OＦ∥BC； (２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明．

5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6． (1）求线段CＤ的长； （2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC. 6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°． (１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积; (2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF．

几何证明与计算(解析版)

几何证明与计算 考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题 1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D． （1）求证：△OAC≌△ODC； （2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形； ②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°． 【解析】 （1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC； （2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°． 【详解】（1）证明：∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵BD∥OC， ∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，

∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OD，OC＝OC， ∴△OAC≌△ODC（SAS）； （2）①∵四边形BOED是菱形， ∴OB＝D B． 又∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝D B． ∴△OBD为等边三角形， ∴∠OBD＝60°． ∵CO∥DB， ∴∠AOC＝60°， ∵射线AG为⊙O的切线， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°， ②∵四边形OADC是正方形， ∴∠ACD＝90°， ∵∠ACO＝∠DCO， ∴∠OCA＝45°， 故答案30°，45°． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

最新空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解 （一）直线与直线平行的证明 1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2）利用三角形中位线性质 3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4）利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 a II - ' a= a II b -b - 5）利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. -// I _ o（nY = a〉= a // b 6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 a _ ：' b _ = a // b 7）利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另 （二）平面与平面平行的证明 常见证明方法: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 、“垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。 2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。 3） 利用直线与平面垂直的性质： 1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿 利用平面与平面平行的性质推论: 个平面 3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理: 2) 3) // // b = P ：?：〃： 利用某些空间几何体的特性：如 利用定义：两个平面没有公共点 利用定义：直线在平面外,

七年级数学下册几何证明计算简单型复习题

七年级数学下册几何证明计算简单型复习题 1．（2020春?安陆市期中）已知：如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN； （1）判定图中平行的直线，并给予证明； （2）如图2，∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，请判定∠P与∠Q的数量关系，并证明． 2．（2020春?邗江区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． （1）CD与EF平行吗？什么缘故？ （2）假如∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数． 3．（2020春?密云县期末）已知如图：AD∥BC，E、F分别在DC、AB延长线上．∠DCB=∠DAB，AE⊥EF，∠DEA=30°． （1）求证：DC∥AB． （2）求∠AFE的大小． 4．（2020秋?江都市校级期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F． （1）CD与EF平行吗？什么缘故？ （2）假如∠1=∠2，且∠3=105°，求∠ACB的度数．

5．（2020春?沙河市期中）如图，已知直线AB，CD被直线EF，EG，MH所截，直线AB，EG，MH相交于点B，∠EAB=∠BNA，∠FAN=∠FNM，AN∥EG． （1）∠ABE与∠EGF相等吗？ （2）试判定∠AFN与∠EBH之间的数量关系，并说明理由． 6．（2020春?高坪区校级期中）如图，已知∠1=∠BDC，∠2+∠3=180°． （1）请你判定AD与EC的位置关系，并说明理由； （2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1=70°，试求∠FAB的度数． 7．（2020春?东昌府区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F． （1）AD与EF平行吗？什么缘故？ （2）假如∠1=∠2，且∠3=115°，求∠BAC的度数． 8．（2020秋?道外区期末）如图（1），直线AB、CD被直线EF所截，EG平分∠AEF，FG 平分∠CFE，且∠GEF+∠GFE=90°

空间几何证明

立体几何中平行、垂直关系证明的思路 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 线∥线线∥面面∥面 判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面 ←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→? 线面平行的判定： a b b a a ∥，面，∥面???ααα a b α 线面平行的性质： αααβαβ∥面，面，∥?=? b a b 三垂线定理（及逆定理）： PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ? a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥?? α a P O 线面垂直： a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥?=?αα a O α b c 面面垂直： a a ⊥面，面⊥αββα??

a a a l l =?? 面⊥面，，，⊥⊥ αβαβαβ αa l β ⊥面，⊥面∥ αα? a b a b a a? 面⊥，面⊥∥ αβαβ a b α 定理： 1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 作用：判断直线是否在平面内；证明点在平面内；检验平面。 2.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 作用：确定平面；判断两个平面是否重合；证明点线共面。 推论：a.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； b.经过两相交直线，有且只有一个平面； c.经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 作用：a.判定两个不重合平面是否相交； b.判断点在直线上。 4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）。

5.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6.（直线与平面平行的判定定理） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。 条件：a.一条直线在平面外； b.一条直线在平面内； c..这两条直线互相平行。 7.（平面与平面平行的判定定理） 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 条件：a.两条相交直线； b.相交直线在一个平面内； c.对应平行。 8.（直线与平面平行的性质定理） 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 条件：a.一条直线与一个平面平行； b.过这条直线的任一个平面与此平面相交； c.交线与直线平行。 9.（平面与平面平行的性质定理） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 条件：a.两个平行平面：平面1和平面2和第三个平面：平面3 b.平面1与3相交，平面2与3相交 c.交线平行

几何证明专题1

几何证明专题 1、如图，AB是圆O的直径，D,E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD =DC，连结AC,AE,DE . 2、如图，O和e O'相交于A, B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于点，连结DB并延长交eO于点E. 证明：（I）ACeBD二ADUB ； （II）AC=AE C,D两 B

3、选修4 —1几何证明选讲 如图，MBC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (I)证明：MBE sA ADC ； "）若MBC的面积S^AD^AE，求Z BAC的大小. 4、如图，D, E分别为MBC的边AB , AC上的点，且不与心ABC的顶点重合.已 知AE的长为m, AC的长为n, AD , AB的长是关于x的方程Mx + mn-o的 两个根. （I）证明：C, B, D , E四点共圆; (II )若N A=9O。，且m=4, n=6,求C B , D , 所在圆的半径. B

全国名校高中数学优质学案、专题汇编（附详解） 参考答案 1 .【答案】证明：连接AD。 ??? AB是圆O的直径，??? NADB=9O0（直径所对的圆周角是直角）。 ? ?? AD丄BD （垂直的定义）。 又??? BD =DC，二AD是线段BC的中垂线（线段 的中垂线定义）。 AB =AC （线段中垂线上的点到线段两端的距 离相等）。 ? Z B=N C （等腰三角形等边对等角的性质）。 又??? D,E为圆上位于AB异侧的两点, ? ?? N B=N E （同弧所对圆周角相等）。 ? ?? N E =N C （等量代换）。 2.【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题. 证明：（1）由AC与eO相切于A，得N CAB二NADB，同理土ACB^DAB ,

几何计算与证明

几何计算与证明 学校_______ 5别______ 姓名________ 号__________ 一、选择题：(每题3分，共15分) 1、已知三角形两边a=3, b=7,第三边是c且av bvc,则c的取值范 围是( ) (A) 4 v c v 7 (B) 7 v c v 10 (C)4 v c v 10 (D)7 v cv 13 2、若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的 高等于( ) (A)6 3 cm (B)6cm (C)3 2 (D)3cm 3、在RtAABC 中，/ C=90° 若AB=2AC，贝S cosA 等于() (A)、3 (B)1 (C) 2 2 3 4、已知：等圆O O和O O'外切，过O作O O'的两条切线OA OB A、B是切点，则/ AOB等于( ) -.A 5、如果圆柱的母线长为6cm,侧面积是48n cm2，B 那么这个圆柱的底面直径为( ) (A)4cm (B)4 n cm (C)8cm (D)8 n cm 二、填空题：(每题4分，共24分) 1、三角形三内角的度数之比为1:2:3，最大边约长是8cm

则最小边的长是_______ cm 2、一个n边形的内角和等于外角和的3倍，则n二_________ 。

r 「 2 2 3、 _______________________________________ 若 tan a +cot a =3,贝y tan a +cot a - _______ 4、 已知：如图，O O 的弦AB 平分弦CD AB=1Q CD=8 且 PA < PB 贝S PB-PA 二 _____ 如图,在厶 ABC 中,/ BAC=9Q , AB=AC=2 以AB 为直径的圆交BC 于D,则图中阴影部分 面积为 6、 AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 梯上点D 距墙1.4米，BD 长Q.55米。 则梯子等于 ______ 。 三、解答题：（每题7分，共35分） 1、已知：如图，D E 是厶ABC 的边AB 上 的点，/ A=35°, / C=85 , / AED=60，求证：ADAB=AEAC 5、 C B O D C

立体几何空间计算

教学过程 一、新课导入 我们已经学习了平面向量的内容，本节课就把平面向量及其线性运算推广到空间向量，并运用空间向量解决立体几何问题.

三、知识讲解 考点1 空间向量基本知识点及运算 1.向量的直角坐标运算 设a ＝ 123(,,) a a a ， b ＝ 123(,,) b b b 则 (1) a ＋b ＝ 112233(,,) a b a b a b +++； (2) a －b ＝ 112233(,,) a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 2.设A 111(,,) x y z ，B 222(,,) x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 3、设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则 a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ； a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=. 4.夹角公式 ： 设a ＝ 123(,,) a a a ， b ＝ 123(,,) b b b ，则 cos ,a b <>=

5．异面直线所成角： cos |cos ,|a b θ=r r =|| |||| a b a b ?= ?r r r r 6．平面外一点p 到平面α的距离： 已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法 向量，A 到平面α的距离为：|| || AB n d n ?= . 7．线线夹角θ（共面与异面）[0,90]???两线的方向向量12,n n →→的夹角或夹角的补角，12cos cos ,n n θ→→ =<>. 8．线面夹角θ[0,90]??：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin cos ,AP n θ→→ =<>. 9．面面夹角（二面角）θ[0,180]??：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量12,n n →→ 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 12cos cos ,n n θ→ → =±<>. B A α n

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。 2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二．知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直 线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线，而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α 结论l⊥αl⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线” 不同（线线垂直线面垂直） 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

2019年中考数学几何证明、计算题汇编及解析

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形 状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. 所以3BF k = = 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ． （2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形． E B F C D A

高中数学立体几何空间距离问题

立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

高一数学常考立体几何证明题及答案

高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F

求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD

专题十一—几何证明.docx

辅导讲义 基础概念回顾( 一) 全等三角形的判定定理： “SAS"： ________________________________________________________ “ASA"：________________________________________________________ “AAS"：________________________________________________________ “SSS"：________________________________________________________ “HL"：_______________________________________________________ 通过观察和探索发现全等的三角形和全等成立的相关要素 1.(2015?常州)如图,在0ABCD中，ZBCD=120°,分别延长DC、BC到点E, F,使得△ BCE和厶CDF都是正三角形. (1)求证：AE=AF； (2)求ZEAF的度数. 技巧：挖掘隐含条件，构造全等三角形证明线段等几何关系成立

2.（2014*重庆）如图，AABC 中，ZBAC=90°, AB=AC, AD±BC,垂足是D, AE 平分ZBAD,交BC 于点E.在AABC 外有一点F,使FA丄AE, FC丄BC. （1）求证：BE=CF； （2）在AB±.取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME. 求证：①ME丄BC；②DE=DN. 3.（2015*重庆）如图1,在Z^ABC中，ZACB=90°, ZBAC=60°,点E是ZBAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点，DH丄AC,垂足为H,连接EF, HF. （1）如图1,若点H是AC的屮点，AC=2>/E，求AB, BD的长； （2）如图1,求证：HF=EF； （3）如图2,连接CF, CE.猜想：ACEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由. 对全等判定的进一步探究 4 （南京2015）【问题提出】

2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练有答案

2018届初三数学中考复习几何证明与计算专题复习训练题 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC 的中点． (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长． 2. 如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．

3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E. (1)求证：AG＝CG； (2)求证：AG2＝GE·GF. 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3. (1)求AD的长； (2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

5. 如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由． 6. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于点H ，交CD 于点G. (1)求证：BG ＝DE ； (2)若点G 为CD 的中点，求HG GF 的值．

7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ACD∽△BFD；

高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离 【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3 2BE =33 2332= ?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312 22=??? ? ??- =-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 例1题图 例2题图 例3题图