高考数学专家系统——详尽数学知识点
140个知识点
高中数学知识点汇集
第1章 集合和命题
【知识网络图】
【知识要点】
1. 集合及其表示法 （1）集合概念
若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。我们把集合的对
象叫做元素。
（2）元素与集合之间的关系
集合是若干个确定对象的全体，集合中的元素应该具有确定性，即一个元素a 与一
个集合A 之间的关系：要么a 属于A ，记作a A ∈；要么a 不属于A ，记作a A ?。
集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。 （3）集合表示法
1）列举法：通过列举出集合的全部元素来表示一个集合。 2）描述法：通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合 （4）特殊的集合的符号
N 自然数集 Z 整数集 R 实数集 *
N 正整数集 ?空集 2. 集合之间的关系
（1）子集：若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，即任意x A x B ∈?
∈，
则称集合A 是集合B 的子集，记为A B ?
如：{}1,2,3A = {}1,2B = B A ?
（2）真子集：对于两个集合,A B ，如果A B ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做B 的真子集，记作A B
（3）相等：集合A 与集合B 中的元素相同，那么我们称集合A 与集合B 相等，记作A B =
例：{}{}22101A x x x A B B ?=-+=??=?
=?? {}
{}111A x x A B B y y ?=≤??=?=-≤≤??
（4）有限集子集的个数
集合A 中有n 个元素，那么A 的子集的个数是2n
，那么A 的真子集的个数是21n
- 3. 集合的运算
（1）交集：由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作
A B ，即{}A B x x A x B =∈∈ 且
例题：设集合{}{}
14,,25,A x x x Z B x x x Z =-<<∈=-≤≤∈，求A B （2）并集：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并
集，记作A B ，即{}
A B x x A x B =∈∈ 或
（3）补集：设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫
做集合A 在全集U 中的补集，记作U C A ，即：{}
,U C A x x U x A =∈?
4. 命题与推出关系
（1）什么是命题？可以判断真假的语句
（2）如何判断命题的真假？真命题需证明，假命题通过举反例说明即可
（3）推出关系：如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由α可以推出β，
记作αβ?，说明以α为条件，β为结论的命题是真命题
如：:2x α> ， :1x β> 则βα? 但
αβ
5. 四种命题形式
（1）命题 ：如果α，那么β
以该命题为原命题，还可以得到以下命题： 逆命题：如果β，那么α 否命题：如果α，那么β
逆否命题：如果β，那么α
（2）四种命题形式之间的关系：
原命题与逆命题是互为逆命题，原命题与否命题是互为否命题，原命题与逆否命题
是互为逆否命题，逆命题与否命题是互为逆否命题，逆命题与逆否命题是互为否命题。
原命题 逆命题
互逆互否 否互否
命题 互逆 逆否命题
例题：写出命题：“等腰三角形的两个底角相等”其它三种命题，并指出其真假
6. 等价命题
如果,A B 是两个命题，,A B B A ??，那么,A B 叫做等价命题
因为互为逆否命题的两个命题是同真同假的，所以互为逆否命题的两个命题是等价命题 7. 充分条件与必要条件
（1）一般地，用,αβ表示条件（或结论），如果αβ?，那么α叫做β的充分条件，
β叫做α的必要条件。
如：
00 "00x xy x y >?
?>∴>?>?
且0"y >是"0"xy >的充分不必要条件 （2）若αβ?，βα?则称α是β的充分必要条件
例：判断"0"ac <是“方程2
0ax bx c ++=有一正一负两根”的什么条件？并证明 8. 子集与推出关系
（1）子集与推出关系的联系 推出关系“αβ?”
设}{
A x x α=具有性质 }{
B y y β=具有性质
则可以证明A B αβ???
所以我们可以用子集的知识来理解和处理推出关系
A αβαβ??
???
B α是β的充分非必要条件A ?B
α是β的必要非充分条件?B
A α是β的充要条件A
B ?=
例：设221
:12,:210(0)3
x q x x m m ?--
≤-+-≤>，若q 是?的充分不必要条件
求实数m的取值范围
第2章 不等式
【知识网络图】
【知识要点】
1. 不等式的基本性质 （1）不等关系的定义
若a b -是正数 则a 大于b 记作a b > 若a b -是负数 则a 小于b 记作a b < 若a b -是0 则a 等于b 记作a b =
00
a b a b a b a b a b a b >?->
（2）不等式的性质
1）传递性：如果,,a b b c a >>>那么c 2）加法性质：如果,a b a c b c >+>+那么 3）乘法性质；如果,0a b c ac bc >>>，那么
如果,0a b c ><，那么ac bc <
推论：1.如果,a b c d >>那么a c b d +>+ 2.如果,a b c d >>那么a d b c ->- 3.如果0,0a b c d >>>>那么ac bd >
4.如果0a b >>那么
11a b
< 5.如果0,0a b d c >>>>那么
a b c d
> 6.如果0a b >>那么*()n n a b n N >∈ 7.如果0a b >>
*,1)n N n >∈>
例1：已知0,0,a b a b >>≠比较1
1k k a b +++与k k a b ab +的大小
2. 一元二次不等式的解法
设一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根()1212x x x x < ，
判断式2
4b ac ?=-，则0a >时，一元二次不等式的解集是：
例1：解关于x 的不等式2
(2)20mx m x +-->，并写出解集。 3. 分式不等式的解法
（1）定义：一般地，分式不等式是指分母上带有未知数的不等式。 （2）一般地，形如
()
()
()()00f x f x g x g x >??>
()()()()()0
00
f x
g x f x g x g x ?≥??≥??
≠?? 例题：解不等式
21
32x x
->-
4. 含绝对值的不等式的解法
（1）定义：一般指绝对值符号中含有未知数的不等式 （2）一般地，形如()()()0f x a a a f x a <>?-<< ()()()()0f x a a f x a f x a >>?<->或 例1：解不等式
21
32x x
->- 5. 基本不等式及其应用
（1）基本不等式1 2
2
2a b ab +≥ (,)a b R ∈ 基本不等式
2
2
a b
+≥(,)a b R +∈ （2）基本不等式的应用 1）比较数（式）大小 2）证明不等式 3）求函数的最值
例1：已知,,a b c R ∈，求证：2
2
2
a b c ab bc ac ++≥++
例2：已知直角三角形的周长为l （定值），求该直角三角形的面积的最大值？ 6. （理）不等式的证明---比较法
（1）要证明a b >，只要证明0a b ->；同样要证明a b <，只要证明0a b -<； 这种证明不等式的方法叫做比较法。 （2）作差法（作商法） 例1：已知,a b R +∈
≥7. （理）不等式的证明---分析法
分析法（执果索因）
例2：已知,,a b c R +
∈满足1ab bc ac ++=
，求证：a b c ++≥8. （理）不等式的证明---综合法 从已知条件出发，利用各种已知的结论和运算性质作为依据，推导出所要求证的结论，
这种方法叫做综合法。（执因索果）
例3：已知,a b 是不相等的正数，且3
3
2
2
a b a b -=-，求证：4
13
a b <+<
第3章 函数的基本性质
【知识网络图】
【知识要点】 1. 函数的概念
（1）定义：在某一变化过程中有两个变量x 、y ，对于x 在某个实数集D 中的每一个确
定的值，y 都有唯一的值与之对应，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的值与之对应，则称y 为x 的函数，记作(),y f x x D =∈，x 称为自变量，x 的取值范围D 称作定义域，y 称为因变量，
与x 对应的y 的值称为函数值，把函数值的集合称为值域。
（2）函数的三要素
1）定义域 2）对应法则 3）值域 例1：指出函数0y
=
求函数定义域有以下几点注意： 1）分母不为零
2）偶次根式中的被开方数不小于0 3）0次幂的底数不等于0
例2：判断下列两个函数是否是同一个函数？
1）{}2
1,0,1y x x =+∈ 2）{}2,0,1x
y x =∈
2. 函数关系的建立
（1）明确问题中的变量与常量 （2）建立变量之间的等量关系 （3）转化为所要求的函数关系
（4）明确函数的定义域
例1：周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，
若矩形底边之长为2x ，求此框架所围成图形的面积y 与
x 的函数关系式()y f x =，并写出它的定义域。
3. 函数的运算
（1）函数的和运算
一般地，两个函数12()(),()()y f x x D y g x x D =∈=∈，设12D D D = ，若D φ≠，
则称()(),f x g x x D +∈是()f x 与()g x 的和。 （2）两个函数的积
一般地，对于两个函数12()(),()()y f x x D y g x x D =∈=∈，设12D D D = ，若
D φ≠，则称()(),f x g x x D ?∈是函数()y f x =1()x D ∈与()y g x =2()x D ∈的积。 例1：已知2()1,()f x x g x x
==()()f x g x + 例2：已知2
1
()2,()f x x g x x
==，()2G x x =，判断()G x 与()()f x g x ?是不是同一个函数？
4. 奇偶性
（1）定义：对函数(),y f x x D =∈
若对x D ?∈有()()f x f x -=，则把(),y f x x D =∈ 叫做偶函数 若对x D ?∈有()()f x f x -=-，则把(),y f x x D =∈叫做奇函数
（2）偶函数与奇函数图像的性质：
1）偶函数图像关于y 轴成轴对称，反之若一个函数的图像关于y 轴成轴对称， 那么这个函数是偶函数.
2）奇函数图像关于原点成中心对称，反之若一个函数的图像关于原点成中心对称，
那么这个函数是奇函数.
（3）如何判断一个函数是奇函数（还是偶函数）？
1）定义域是否关于原点对称？ 2）()f x -与()f x 之间的关系 （4）奇偶性的应用
已知部分，推理全体
例： 1.判断函数3()f x x = (1,1)x ∈-的奇偶性
2.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，3()f x x =，求()f x 的解析式 5. 单调性
（1）定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =，如果对于属于I 的自变量的任
意一两个值12,x x ，当12x x <时都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间，如果对于属于区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为函数的单调减区间。
（2）如何判断函数的单调性
1）定义法：12,x x I ?∈，设12x x <，判断12()()f x f x -的符号
2）复合函数：如果函数(),y f t t A =∈及函数(),,t g x x D t A =∈∈分别是单调函数，
那么(()),y f g x x D =∈也是单调函数，其单调性遵守以下规律：
例：写出函数21
23
y x x =
++的单调区间，并证明
6. 最大值（或最小值）
（1）定义：一般地，设函数(),y f x x D =∈，在0x 处的函数值是0()f x ，如果对x D ?∈
有0()()f x f x ≤，那么0()f x 称为(),y f x
x D =∈的最大值，记作
max 0()()f x f x =。
如果x D ?∈有0()()f x f x ≥，那么称0()f x 是()y f x =
的最小值，记作min 0()()f x f x =
（2）如何求函数的最大值
1）转化为熟悉的函数（如一次函数，二次函数，反比例函数，1y x x
=+等 2）利用不等式的性质 3）利用基本不等式 4）利用单调性
例：求下列函数的最大值（或最小值）
（1）y x =+（2）1(2)1x y x x +=
≥- （3）2
(0)1x y x x
=≤- （4）3y x x =- [)2,8x ∈
第4章 幂函数、指数函数和对数函数
【知识网络图】
【知识要点】
1. 二次函数的性质与图像
（1）定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数称为二次函数，可以有三种表达形式： 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ 顶点式：2()y a x h k =-+ 零点式：12()()y a x x x x =-- （2）二次函数的图像与性质
1）图像
2
4b ac ?=-的符号确定函数图像与x 轴的交点情况
2）性质
①奇偶性：当0b =时，2()f x ax c =+是偶函数 ②单调性：当0a >时，,,,22b b x x a a ????
∈-∞-
↓∈-+∞↑ ??????? 当0a <时，,,,22b b x x a a ????∈-∞-
↑∈-+∞↓ ????
??? ③最大（小）值：当0a >时，2min
4()24b ac b y f a a
-=-=
当0a <时，2
max
4()24b ac b y f a a
-=-=
（3）常见题型：①确定解析式 ②求最值（值域） ③确定单调区间
④解二次方程、二次不等式问题 例：已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3) 1）若方程()60f x a +=有两个相等的正根，求()f x 的解析式 2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围
2. 幂函数的性质与图像
（1）形如a
y x =（a 为有理数）的函数称为幂函数。 （2）幂函数的性质：
1）奇偶性：与a 有关，设(,,0)n a m n Z m m =
∈≠，n
m
是既约分数，当n 为偶数时，a y x =是偶函数；当n 是奇数时，若m 是偶数，则a
y x =非奇非偶，若m 是奇数，则a
y x =是奇函数。
2）单调性（先考虑0x >的情形）
当0a >，a y x =在(0,)+∞↑ 当0a <，a
y x =在(0,)+∞↓
其它区间可以根据其奇偶性推理得到。 3）值域或最值（视a 的取值）
（3）幂函数的图像（先考虑第一象限情况）
例：已知幂函数21
(732)3
5
(1)()t t y t t x
t Z +-=-+∈是偶函数，且在区间(0,)+∞是增函
数，求整数t 的值，并作出相应的幂函数的图像。
3. 指数函数的图像与性质
（1）定义：形如(0x y a a =>且0)a ≠的函数称为指数函数 （2）指数函数的图像
（3）指数函数的性质
1）x R ∈（定义域） 2）奇偶性（非奇非偶）
3）单调性 1a >↑ 01a <<↓ 4）图像特点：经过定点(0,1) 5）值域y R +
∈ （4）常见问题： 1）求形如()f x y a
=或()x
f a 的值域
2）比较指数幂大小 3）确定复合函数()
f x y a =单调区间
4）图像变换中的原型 例：设函数1
()2
1,x f x x R -=-∈，1）分别作出函数()y f x =和()y f x =的图像；
2）求实数a 的取值范围，使方程()f x a =与()f x a =都有且仅有两个根
4. 借助计算器观察函数递增的快慢
（1）函数递增的快慢，我们可以通过此值
00()()
f x t f x t
+-表示从0x 到0x t +函数图
像变化情况
（2）当t 取一个确定的值时，我们可以观察当0x 变大时，函数图像增长的快慢 （3）我们用计算器来观察3y x =与3x y =两个函数值增长的快慢，
令3()f x x =，()3x g x =
我们通过比较发现，当x 足够大时，3x y =比3y x =增长的速度快 通过这样的比较：我们可以得到一下结论：
对(0)y ax b a =+>，(1)a y x a =>，(1)x y a a =>这几个增函数，有一下结论： (0)x >
当x 足够大时 (01)y ax b a =+<<比a y x =增长快 (1)y ax b a =+>比a y x =增长慢 (1)x y a a =>比a y x =增长快
5. 对数概念及其运算
（1）对数的概念
一般地，如果a （0a >且1a ≠）的b 次幂等于N ，即b
a N =，那么
b 叫做以a
为底的N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
由定义①log b
a a N
b N =?=（其中0a >且1a ≠，0N >），②log 1a 0=，
③log 1a a =，④log a N
a
N =，以10为底的对数10log N 简记为lg N ，以e 为底
的对数叫做自然对数，记作ln N （2）对数的运算性质：
如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么：①l o g ()l o g l o g a a a M
N M N =+②
log log log a
a a M
M N N
=-③log log N a a M N M =三个运算法则都可以从对数的定义出发证明（在记忆时要注意,0,0M N a >>且1a ≠）如
2l o g 2l o g a a x x =
（3）换底公式 log log log b a b N
N a
=
（其中0a >且1a ≠，0b >且1b ≠，0N >）
于是有以下公式：log log m n
a a n
b b m =
，1log log a b b a
= 常见题型：1）对数的计算 2）用已知对数表示另外的对数
例：设3436a
b
==，求21
a b
+的值 6. 反函数的概念
（1）什么是反函数？
一般地，对于函数()y f x =，设它的定义域为D ，值域是A ，如果对于值域A 中
的每一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 的值与它对应，且满足()y f x =，这
样得到的x 关于y 的函数叫做(),(,)y f x x D y A =∈∈的
反函数，记作1()x f y -=，习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示，所以把它改写成1()()y f x x A -=∈
函数(),y f x x D =∈存在反函数的条件是：(),y f x x D =∈所反映的对应关系
是一一对应
若()(,)y f x x D y A =∈∈的反函数是1
()(,)y f x x A y D -=∈∈，
则()1
(),,y f
x x A y D -=∈∈的反函数是()(),,y f x x D y A =∈∈
1
(),()y f x x D x f y -=∈?=
（2）如何求一个函数的反函数？
1
判断(),y f x x D =∈是否存在反函数？
2 若存在，求出其值域A
3 用y 表示x ，即得到1()x f y -=
4 写出反函数1(),y f x x A -=∈
（3）互为反函数的两个函数的性质与图像的关系
①(),,y f x x D y A =∈∈与1(),,y f x x A y D -=∈∈图像关于直线y x =对称 ②若(),y f x x D =∈是奇函数，那么1(),y f x x A -=∈也是奇函数
③若(),y f x x D =∈是单调函数，那么1(),y f x x A -=∈也是单调函数，且
(),y f x x D =∈与1(),y f x x A -=∈同为增函数或同为减函数
例：已知函数2()21f x x x =++，1）若函数的定义域是R ，这个函数有无反函数？2）
若函数的定义域为(],1-∞-，求其反函数。3）若定义域为[)0,+∞，求其反函数。
7. 对数函数
（1）定义：函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义
域为(0,)+∞
（2）是指数函数的反函数
（3）对数函数的图像与性质（可从反函数的角度去识别与记忆）
性质：1
定义域(0,)+∞，值域(,)-∞+∞ 2 非奇非偶
3
1a >↑ 01a <<↓ 4 图像过(1,0)定点
（4）对数函数中的常见问题：
①对数表示的函数的定义域（真数大于0，底数0>且1≠） ②求log ()a y f x =或(log )a y f x =的值域
③比较式或数的大小（对数式） ④复合函数的单调性 log ()a y f x =
例：求函数212
()log (68)f x x x =-+的定义域，值域与单调区间
8. 简单的指数方程
（1）概念：指数里含有未知数的方程称为指数方程 （2）常见的几类指数方程的解法
1）()
f x a
b =转化为()log a f x b =
2）()0x f a =（换元法） 例：解下列方程： 1）1
5
3x x -= 2）462160x x -?-= 3）4629x x x +=?
9. 简单的对数方程
（1）对数符号后面含有未知数的方程称为对数方程 （2）几类简单的对数方程的解法
1）log ()log ()a a f x g x = 2）(log )0a f x =
例：解下列对数方程
1）lg lg()lg 3lg(2)4
x x x π
+-
=++
2）42log 2log 45x x += 3）lg 2
1000x x
+=
10. 函数的应用
（1）主要指用函数的思想方法及知识处理相关问题 （2）常见题型
1）用函数方法分析处理方程与不等式问题 2）建立函数模型帮助作出正确的决策或判断
例1.求实数a 的取值范围，使方程2
(2)(5)0x a x a --+-=的两个根都大于2 例2.甲、乙两地相距100千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/
小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分与固定部分组成，可变部分与速度v 千米/小时的平方成正比，并且比例系数为2，固定部分为5000元，为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
第5章 三角比
【知识网络图】
【知识要点】
1. 任意角及其度量
（1）正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的。 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的。 零角：一条射线没有旋转所成的角。
（2）象限角：角的终边所在的象限，就称该角为第几象限角，当角的终边在坐标轴上时，
认为这些角不属于任何象限。 （3）与角α终边重合的角的集合：{
}
360,k k Z ββα=?+∈ 例1：（1）角215-
属于第____象限
（2）与角130
终边相同的角的集合____
2. 弧度制
（1）定义：把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度角。用“弧度”作为单位度量
角的单位制叫做弧度制。 （2）弧度与角度的转换：1180
π
=
（弧度），1弧度'18057.305718π
=
≈=
（3）弧长公式，扇形面积公式：设半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，则l r α=?
扇形面积2
12
S r α=
例２：（1）2230'=
__________弧度； 54
π
-=________ （2）已知扇形的圆心角为
23
π
，半径为6，则扇形的弧长l =______，扇形的面积S =______。
（3）终边在x 轴负半轴上的角的集合（用弧度表示）________。
3. 任意角的三角比
（1）任意角的三角比定义：设(),P x y 为角α终边上任一点，0OP r => 则sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r r r r x y x y
αααααα=
===== （2）三角比的符号：
sin ,csc αα cos ,sec αα tan ,cot αα 例3（1）已知角α的终边上一点(4,3)P -，求角α的六个三角比的值。
（2）求
56
π
的六个三角比的值。 （3）若sin 0θ<且cos 0θ>，则θ是第_________象限角。
4. 同角三角比的关系
倒数关系：sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=，tan cot 1αα?= 商数关系：sin cos tan (cos 0),cot (sin 0)cos sin αα
αααααα
=≠=≠ 平方关系：2
22222sin
cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=
例4（1）已知1
sin 3
α=-，并且α是第四象限角，则α的其他三角比的值分别是____________ （2）已知1
cot 3
α=
，则sin ________,tan ________αα== 5. 诱导公式（共六组）：
高考数学高考必备知识点总结精华版
高考前重点知识 第一章?集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性. 工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集，记为。包A ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. ［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交：A,且x e B} 2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/, 且x任A} （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题：若P则q；逆命题：若q则p； 否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。
@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域：(2)值域: (3)奇偶性：(在整个定义域内考虑) ①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点 对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数； (2语当X1
高三数学知识点总结
高中数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 3． 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== (３）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？(排除法、间接法) 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f:Ａ→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? （一对一,多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ (定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 1０． 如何求复合函数的定义域? [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是＿____＿_____＿_。 [] （答：，）a a - 1１． 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? （一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、ｙ；③注明定义域) () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---
高中数学知识点总结(精华版)
高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
高考数学高考必备知识点总结
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高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：偶函数： )()(x f x f =-，奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求 )(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
高中数学知识点总结超全
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
高中数学知识点完全总结(绝对全)
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 2019年高考数学主要考查哪些知识点 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师” 为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧 原命题 若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否 互 互逆 否 互 高中数学必修+选修知识点归纳必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 1、集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 3、并集.记作：B A Y .交集.记作：B A I . 全集、补集{|,}U C A x x U x A =∈?且 (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 简易逻辑： 或：有真为真，全假为假。 且：有假为假，全真为真。 非：真假相反 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 常用变换： ①) () ()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-?=+. 证)()(])[()() () ()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=?= - ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=??-= 证：)()()()(y f y x f y y x f x f +=?= 4、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 5、定义域1?? ??? 分母不等于零被开方大于等于零对数的幂大于零，底大于零不等于 值域：利用函数单调性求出所给区间的最 大值和最小值， 6、函数单调性： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若 0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则) (x f 为减函数. 7、奇偶性 ()x f 为偶函数：()()x f x f =-图象关于y 轴对称. 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2019年高考数学必备知识点总结 1、混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p 的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。 2、忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 3、判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。 4、函数零点定理使用不当致误 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，但f（a）f（b）0时，不能否定函数y=f（x）在（a，b）内有零点。函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题。 5、函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函 数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。 6、三角函数的单调性判断致误 对于函数y=Asin（ωx+φ）的单调性，当ω0时，由于内层函数u=ωx+φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x的单调区间解决；但当ω0时，内层函数u=ωx+φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y=sinx的单调性相反，就不能再按照函数 y=sinx的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决。对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断。 7、向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题。数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ=π的情况。 8、忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线。它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视。 2020高考数学知识点归纳分享 高三数学是一个新的起点，高三一轮复习从零开始，完整涵盖高中所有的知识点，第一轮复习是高考复习的关键，是基础复习阶段。下面就是给大家带来的数学高考知识点总结，希望能帮助到大家! 数学高考知识点总结1 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a 为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于 0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 数学高考知识点总结2 1.等差数列的定义 高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=??????? {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 高考前数学知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3.已知集合A 、B ，当A B ?=?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?； 4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-， n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。 5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 6.可以判断真假的语句叫做命题。 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 整理全面《高中数学知识点归纳总结》 教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 高考前重点知识回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n －1个. n 个元素的非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数：)()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -；d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 （4）函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高中数学知识点回顾 第一章-集合 （一）、集合：集合元素嘚特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合嘚性质：①任何一个集合是它本身嘚子集，记为A A ?； ②空集是任何集合嘚子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合嘚真子集； ①n 个元素嘚子集有2n 个. n 个元素嘚真子集有2n －1个. n 个元素嘚非空真子集有2n －2个. [注]①一个命题嘚否命题为真，它嘚逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它嘚逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交：且并：或补：且C （三）简易逻辑 构成复合命题嘚形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”嘚真假判断 4、四种命题嘚形式及相互关系： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它嘚逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它嘚否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它嘚逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 嘚充分条件，q 是p 嘚必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 嘚充要条件，记为p ?q. 第二章-函数 一、函数嘚性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：①偶函数： )()(x f x f =-，②奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -； d.比较 )()(x f x f 与-或)()(x f x f --与嘚关系。 （4）函数嘚单调性 定义：对于函数f(x)嘚定义域I 内某个区间上嘚任意两个自变量嘚值x 1,x 2, ⑴若当x 1 高考数学必考知识点总结归纳 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().? 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真 ∨ p q p q ?p p 若为真，当且仅当为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 0义域是_。 >->=+- f x a b b a F(x f x f x 如：函数的定义域是，，，则函数的定 ())()() [] - a a （答：，） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？高考数学主要考查哪些知识点
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