2013中考数学试题分类汇编：四边形综合

2013中考全国100份试卷分类汇编

四边形综合

2、（2013陕西）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且BD 平分AC ，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD 的面积为 .（结果保留根号） 考点：三角形面积的求法及特殊角的应用。 解析：BD 平分AC ，所以OA=OC=3，因为∠BOC=120°， 所以∠DOC=∠A0B=60°，过C 作CH ⊥BD 于H ， 过A 作AG ⊥BD 于G ，在△CHO 中，∠C0H=60°，

OC=3，所以CH=323，同理：AG=32

3，

所以四边形ABCD 的面积=31232

3

8=?

=+??CBD ABD S S 。

3、(2013河南省)如图，在等边三角形ABC 中，6BC cm =,射线AG BC ∥，点E 从点A 出发沿射线AG 以1/cm s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s

（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：ADE CDF ? 证明：∵AG BC ∥ ∴EAD ACB ∠=∠ ∵D 是AC 边的中点

A B

D

C

O

H

G

第14题图

∴AD CD =

又∵ADE CDF ∠=∠ ∴ADE CDF ?

（2）填空：

①当为 s 时，四边形ACFE 是菱形；

②当为 s 时，以,,,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。 【解析】①∵当四边形ACFE 是菱形时，∴AE AC CF EF === 由题意可知：,26AE t CF t ==-，∴6t = ②若四边形ACFE 是直角梯形，此时EF AG ⊥

过C 作CM AG ⊥于M ，3AG =，可以得到AE CF AM -=， 即(26)3t t --=，∴3t =，

此时，C F 与重合，不符合题意，舍去。

若四边形若四边形AFCE 是直角梯形，此时AF BC ⊥， ∵△ABC 是等边三角形，F 是BC 中点， ∴23t =，得到32

t =

经检验，符合题意。 【答案】①6t = ②32

t =

4、（2013? 德州）（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ，BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

BD=100

米，

=100

BE=CD=100

5、（2013?绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．

（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．

（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC 上，如图2所示．

①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？

②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．

== =，=，==

==h

×h×h

=，=，==，=

=，

h

MN=GN=GH=HE=

×，时，=

×h=．

边上的高之比是或．

6、（2013?资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD 于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A 出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

t=CM=CD

AB=

，

EC AC=a

t=a

t=a=

，∴，即．

，即

，即=t

t=

，即．

=a

t=a

7、（2013?宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD 的度数．

在

8、(2013年武汉)已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．

（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证CD AD

CF DE =

； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，

使得CD

AD CF DE =

成立？并证明你的结论； （3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CF DE

的值．

E F G A B C D 第24题图①

第24题图②A B C

D F G

E A B C

D F

G E

解析：

（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°，

∵DE ⊥CF ，∴∠ADE ＝∠DCF ，∴△ADE ∽△DCF ，∴DC

AD

CF DE =

． （2）当∠B+∠EGC ＝180°时，DC

AD

CF DE =

成立，证明如下： 在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM ． ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDM ， ∵∠B+∠EGC ＝180°， ∴∠AED ＝∠FCB ，∴∠CMF ＝∠AED ．

∴△ADE ∽△DCM ，

∴DC AD CM DE =

，即DC AD CF DE =． （3）2425=

CF DE ． 9、（2013杭州压轴题）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1． （1）求证：∠APE=∠CFP ；

（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，

．

①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y 的值．

考点：四边形综合题． 分析：（1）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论； （2）本问关键是求出y 与x 之间的函数解析式．

①首先分别用x 表示出S 1与S 2，然后计算出y 与x 的函数解析式．这是一个二次函数，求出其最大值；

②注意中心对称、轴对称的几何性质． 解答：（1）证明：∵∠EPF=45°， ∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°；

M

E

G F D C B A 第24题图②

而在△PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则∠PCF=45°，

则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°，

∴∠APE=∠CFP．

（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，

∴△APE∽△CPF，则．

而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，

又∵P为对称中心，则AP=CP=，

∴AE===．

如图，过点P作PH⊥AB于点H，PG⊥BC于点G，

P为AC中点，则PH∥BC，且PH=BC=2，同理PG=2．

S△APE==×2×=，

∵阴影部分关于直线AC轴对称，

∴△APE与△APN也关于直线AC对称，

则S四边形AEPN=2S△APE=；

而S2=2S△PFC=2×=2x，

∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x，

∴y===+﹣1．

∵E在AB上运动，F在BC上运动，且∠EPF=45°，

∴2≤x≤4．

令=a，则y=﹣8a2+8a﹣1，当a==，即x=2时，y取得最大值．

而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=4﹣2﹣1=1．

∴y关于x的函数解析式为：y=+﹣1（2≤x≤4），y的最大值为1．

②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，

而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EB=BF，即AE=FC，

∴=x，解得x=，

代入x=，得y=﹣2．

点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换（轴对称与中心对称）、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度．本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错．

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