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九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版

九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版

2.4.2二次函数的应用

预习案

一、预习目标及范围:

1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.

2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值.

预习范围:P48-49

二、预习要点

二次函数的最值问题和增减性:

增减性

三、预习检测

1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956,则获利最多为______元

2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400,要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.

3.(兰州·中考)如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为米.

探究案

一、合作探究

活动内容1:

活动1:小组合作

二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0),顶点坐标为(h,k),则

(1)a>0时,y有最小值();

(2)当a<0时,y有最大值()

【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.

请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?

【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么

销售量可以表示为 : 件;

每件T恤衫的利润为: 元;

所获总利润可以表示为: 元;

即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5

∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,

最大利润是元.

活动2:探究归纳

先将实际问题转化为数学问题,再将所求的问题用二次函数关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值,有时必须考虑其自变量的取值范围,根据图象求出最值.

活动内容2:典例精析

例题2(武汉·中考)某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍).

(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式.

(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?

【解析】

例题3(青海·中考)某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.

(1)现该商场要保证每天盈利1 500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多?

二、随堂检测

1.(株洲·中考)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )

A.4米

B.3米

C.2米

D.1米

2.(德州·中考)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5 000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次性购买100个以上,则购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个.乙商家一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元.

(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式.

(2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?

3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.

如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?

4.(青岛·中考)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:

(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?

(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元?

(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元?

(成本=进价×销售量)

参考答案

预习检测:

1.3100

2.20

3.0.5

随堂检测

1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为(2,4),所以水喷出的最大高度是4米.

2. 【解析】(1)由题意可知,

当x≤100时,购买一个需5 000元,故y1=5 000x

当x>100时,因为购买个数每增加一个,其价格减少10元但售价不得低于3 500元/

个,所以x≤5 000 3 500

100250 10

-

+=

即100250时,购买一个需3 500元,故y1=3 500x;

21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,??=-???所以 0x 100100x 250x 250

≤≤<≤> 2500080%4000.y x x =?=

(2) 当0≤x ≤100时,y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000;

当100

y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000;

∴由35001400000x = 得到x=400

由40001400000x = 得到350400x =<

故选择甲商家,最多能购买400个太阳能路灯

3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据

题意得,点A(0,1.25),顶点

B(1,2.25).

设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.

当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).

根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,

才能使喷出的水流不致落到池外.

4.解析:(1)由题意,得:w = (x -20)·y

=(x -20)·(-10x+500)

=-10x 2+700x-10 000 当352b x a

=-= 时,w 有最大值. 答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.

(2)由题意,得:2

1070010 000 2 000.x x -+-=

解这个方程得:x1 = 30,x2 = 40.

答:李明想要每月获得2 000元的利润,销售单价应定为30元或40元. (3)∵10

a=-<0

∴抛物线开口向下.

∴当30≤x≤40时,w≥2 000.

∵x≤32,

∴当30≤x≤32时,w≥2 000.

设成本为P(元),由题意,得:P=20(-10x+500)=

-200x+10 000, ∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.

∴当x = 32时,P最小=3 600.

答:想要每月获得的利润不低于2 000元,每月的成本最少需要3 600元.

(完整版)初三数学二次函数所有经典题型

初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -=

12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1-m D . 2->m 16、函数2 21y x x =--的图象经过点( ) A 、(-1,1) B 、(1 ,1) C 、(0 , 1) D 、(1 , 0 ) 17、抛物线23y x =向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得到的抛物线是( ) A 、2 3(1)2y x =-- B 、23(1)2y x =+-C 、23(1)2y x =++ D 、2 3(1)2y x =-+ 18、已知h 关于t 的函数关系式2 12 h gt = ( g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为 ( ) 19、下列四个函数中, 图象的顶点在y 轴上的函数是( ) A 、2 32y x x =-+ B 、25y x =- C 、2 2y x x = -+ D 、2 44y x x =-+ 20、已知二次函数2 y ax bx c =++,若0a <,0c >,那么它的图象大致是( ) 21、根据所给条件求抛物线的解析式: (1)、抛物线过点(0,2)、(1,1)、(3,5) (2)、抛物线关于y 轴对称,且过点(1,-2)和(-2,0) 22.已知二次函数c bx x y ++=2 的图像经过A (0,1),B (2,-1)两点. (1)求b 和c 的值; (2)试判断点P (-1,2)是否在此函数图像上? 23、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边

九年级二次函数的实际应用(教师版)

二次函数的实际应用 1、(2013元调第8题)收入培增计划是2012年11月中国共产党第十八次全国代表大会报告中提出的,“2020年实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”,假设2010提某地城乡居民人均收入为3万元,到2020年该地城乡居民人均收入达到6万元,设每五年的平均增长率为a%,下列所列方程中正确的是( ) 6%)1(3=+a B .6%)1(32=+a C .6%)1(%)1(32=++-+a a D .6%)21(3=++a 2、(2013元调第12题)为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n 个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮转播后,共有111人参加了传播活动,则n= 。 3、(2013元调第23题)如图,利用一面墙(墙EF 最长可利用25米),围成一个矩形花圆ABCD ,与围墙平行的一边BC 上要预留3米宽的入口(图中MN 所示,不用砌墙),用砌46米长的墙的材料,当矩形的长BC 为多少米时,矩形花圆的面积为299平方米。 【答案】1、B ;2、10;3、23米,299x 3x -462 1 =+)(,x 1=26(舍去),x 2=23 2014年元调: 1、(2014元调第7题)有一人患了流感,经过两轮传染后共有49人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了人,则的值为( ) A .5 B .6 C .7 D .8 2、(2014元调第13题)2013年12月,有关报告显示近几年江城写字楼价格的增幅远远高于住宅价格增幅,与住宅的价差越来越大。如2011年某写字楼与住宅均价价差为614元/平方米,2013年上升至2401元/平方米。设这两年该写字楼与住宅均价价差的年平均增长率为,根据题意,所列方程为______________。 3、(2014元调第23题)如图1,某小区的平面图是一个占地400×300平方米的矩形,正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形.如果要使四周的空地所占面积是小区面积的36%,南北空地等宽,东西空地等宽。 x x x

九年级数学《二次函数》综合练习题及答案

九年级数学《二次函数》综合练习题 一、基础练习 1把抛物线y=2x 2向上平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-2x 2?向下平移3个单位,得到 抛物线 _________ . 2 ?抛物线y=3x 2-1的对称轴是 ______ ,顶点坐标为 ________ ,它是由抛物线 y=3x 2?向 _________ 平移 _____ 个单位得到的. 3 .把抛物线y=J 2x 2向左平移1个单位,得到抛物线 _____________ ,把抛物线y=-J2x 2?向右平移3个单位, 得到抛物线 __________ . 4. _____________________________________ 抛物线y=j 3 ( x-1 ) 2的开口向 _____________ ,对称轴为 ,顶点坐标为 __________________________________ , ?它是由抛物线 y=乔x 2向 _______ 平移 _______ 个单位得到的. 1 1 1 5 .把抛物线y=- 1 (X+1) 2向 __________ 平移 _______ 个单位,就得到抛物线 y=-」x 2. 3 2 3 6. _____________________________ 把抛物线y=4 (x-2 ) 2向 平移 个单位,就得到函数 y=4 (x+2) 2的图象. 1 2 1 7. ____________________________________ 函数y=- (x- 1) 2的最大值为 ________ ,函数y=-x 2- 1的最大值为 _________________________________________ . 3 3 &若抛物线y=a (x+m ) 2的对称轴为x=-3,且它与抛物线y=-2 x 2的形状相同,?开口方向相同,则点(a , m )关于原点的对称点为 __________________ . 9. ___________________________________________________________________ 已知抛物线y=a (x-3 ) 2过点(2, -5 ),则该函数y=a (x-3 ) 2当x= _______________________________________?时,?有最 __ 值 _______ . 10. ________________________________________________________________________________________ 若二次函数y=ax 2+b ,当x 取X 1, X 2 (X 1^x)时,函数值相等,则x 取x 什X 2时,函数的值为 ___________________ . 11. 一台机器原价50万元.如果每年的折旧率是 x ,两年后这台机器的价格为 y?万元,则y 与x 的函数 关系式为( ) A . y=50 (1-x ) 2 B . y=50 (1-x ) 2 C . y=50-x 2 D . y=50 (1+x ) 2 12. 下列命题中,错误的是( ) 13 .顶点为(-5 , 0)且开口方向、形状与函数 1 1 A . y=- (x-5) 2 B . y=- x 2-5 C 3 3 .抛物线 y=- J 3X 2-1不与 x 轴相交; 2 .抛物线 尸孚2-1与 y= 3 (x-1 ) 2 2 形状相同,位置不同 .抛物线 .抛物线 1 y=-- 2 1 y= 2 (x- 1) 2 1 (x+ —) 2 2 的顶点坐标为 2 的对称轴是直线 1 , 0); 2 1 x=— 2 1 y=- =x 2的图象相同的抛物线是( ) 3 1 1 y=- (x+5) 2 D . y= (x+5) 2 3 3

九年级数学下册二次函数

九年级数学下册《二次函数》复习课教学设计及反思 知识目标:1、了解二次函数解析式的三种表示方法,抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等; 2、一元二次方程与抛物线的关系. 3、利用二次函数解决实际问题。 技能目标:培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。 情感目标:1、通过问题情境和探索活动的创设,激发学生的学习兴趣; 2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系,体会到学习数学的乐趣。 复习重点:二次函数的应用 复习难点:函数综合题型 复习方法:自主探究、分组合作交流 复习过程: 一、知识梳理(学生独立练习,分小组批改) 1、二次函数解析式的三种表示方法:

(1)顶点式:(2)交点 式:(3)一般 式: 2、填表:(屏幕显示) 抛物线对称轴顶点坐标开口方向当a>0时开口方向当a<0时 y=ax2 Y=ax2+k Y=a(x-h)2 y=a(x-h)2 +k Y=ax2 +bx2 +c 3、二次函数y=ax2+bx+c,当a>0时,在对称轴右侧,y随x的增大而___,在对称轴左侧,y随x的增大而___;当a<0时,在对称轴右侧,y随x的增大而____, 在对称轴左侧,y随x的增大而_____ 4、抛物线y=ax2 +bx+c,当a>0时图象有最____点,此时函数有最_____值;当a<0时图象有最______点,此时函数有最_______ 值。 二、探究、讨论、练习(先独立思考,再分小组讨论,最后反馈信息)(屏幕显示) 1、已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象如图所示,试判断下面各式的符号:(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4) a+b+c

(精)人教版数学九年级上册《二次函数》全章教案(最新)

22.1二次函数的图像和性质(一) 一、学习目标 1.知识与技能目标: (1)理解并掌握二次函数的概念; (2)能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式; (3)能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 2.难点:理解二次函数的概念。 三、教学过程 (一)创设情境、导入新课: 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数?它们的一般形式是怎样的? (二)自主探究、合作交流: 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。问题2:n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 问题4:观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论:经化简后都具有的形式。 问题5:什么是二次函数? 形如。 问题6:函数y=ax2+bx+c,当a、b、c满足什么条件时,(1)它是二次函数? (2)它是一次函数?(3)它是正比例函数?

(三)尝试应用: 例1. 关于x 的函数 是二次函数, 求m 的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2. 已知关于x 的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7。求这个二次函数的解析式.(待定系数法) (四)巩固提高: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x -1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x - 2+x . 2.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径R之间的关系式。 3、n 支球队参加比赛,每两支队之间进行一场比赛。写出比赛的场数m 与球队数n 之间的关系式。 4、已知二次函数y=x2+px+q ,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. (五)小结: 1.二次函数的一般形式是 。2.会用 法求二次函数解析式。 (六)作业设计 22.1二次函数 y=ax 2的图像和性质(二) 一.学习目标: m m 2 21)x (m y --=

初三数学二次函数单元测试题及答案

远航教育初三寒假第一次诊断试题 (测试时间:120分钟,满分:150分) 姓名: 成绩: 一、选择题(每题5分,共50分) 1. sin30°值为( ) A.1/3 B.1/2 C.1 D. 0 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是() A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的 横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()

9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线 x=-1,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是抛物线上的点,P 3(x 3,y 3)是直线 上的点,且-1

华师大版九年级下册二次函数单元测试及答案

华师大版九年级(下)二次函数学习评价 (时间90分钟, 满分100) 一、精心选一选(每题4分,共16分) 1.抛物线y=2 1x 2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式 为( ) A .y=2 1x 2+2x -2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=2 1x 2-2x -1 D .y=21x 2-2x+1 2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示,则一次函数y=ax+bc 的图象不经过( ) A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.直线y=ax+b 与抛物线y=ax 2+bx+c 中,a 、b 异号 ,b c<0, 那么 它们在同一坐标系中的图象大致为( ) 4.已知h 关于t 函数关系式为h=2 1gt 2(g 为正常数,t 为时间)如图,则函数图象为( ) 二、耐心填一填(每题4分,共40分) 5.函数y=(m+3)4 2 -+m m x ,当m= 时,它的图象是抛物线. 6.抛物线y=2 1(x -3)2-1开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 . 7.已知以x 为自变量的二次函数y=(m -2)x 2+m 2-m -2的图象经过原点,则m= ,当 x 时y 随x 增大而减小. 8.函数y=2x 2-7x+3顶点坐标为 . 9.抛物线y=x 2+bx+c ,经过A (-1,0)、B (3,0)两点,则这条抛物线的解析式为 ,它的对称轴为 . 10.抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为(2,3),则b= ,c= . 11.如果抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=—2,且开口方向,形状与抛物线y=—2 3x 2 相同,且过原点,那么a= ,b= ,c= . 12.直线y=-3x+2与抛物线y=x 2-x+3的交点有 个,交点坐标为 13.抛物线的顶点是C(2,3),它与x 轴交于A 、B 两点,它们的横坐标是方程x 2-4x+3=0

初三数学二次函数知识点总结

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.

(教师版)九年级下册《二次函数》的应用培优提高

九年级下册《二次函数》的应用培优提高 2013.12.7 【基础知识回顾】 一、二次函数与一元二次方程: 二次函数y= ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根,它们都由根的判别式决定 抛物线x轴有个交点<=b2-4ac>0=>一元二次方程有实数根 抛物线x轴有个交点<=b2-4ac=0=>一元二次方程有实数根 抛物线x轴有个交点<=b2-4ac<0=>一元二次方程有实数根 【教师提醒:若抛物线与x轴有两交点为A(x1,0)B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】 二、二次函数解析式的确定: 1、设顶点式,即:设 当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时,除代入这一点外,再知道一个点的坐标即可求函数解析式 2、设一般式,即:设 知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式,从而列三元一次方程组求的函数解析式 【教师提醒:求二次函数解析式,根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外,还有:如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴,可设顶点在x轴上,可设抛物线过原点等】 三、二次函数的应用 1、实际问题中解决最值问题: 步骤:1、分析数量关系建立模型 2、设自变量建立函数关系 3、确定自变量的取值范围 4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值 2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题 一般步骤:1、求一些特殊点的坐标 2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式 3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题 【教师提醒:1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围 2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现,解决此类问题时要将题目分解开来,讨论过程中要尽量将问题】 【重点考点例析】 考点一:二次函数的最值 例1.已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线 1 2 y x =上,点N在直线y=x+3 上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x() A.有最大值,最大值为 9 2 -B.有最大值,最大值为 9 2

人教版九年级数学二次函数应用题(含答案)

人教版九年级数学二次函数实际问题(含答案) 一、单选题 2+2t,则当t=4t(米)与时间(秒)的关系式为s=5t时,该物体所经1.在一定条件下,若物体运动的路程s过的路程为][ A.28米 B.48米 C. 68米 米.88 D2 +bx+c的图象过点(1,0)……2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=ax 求证这个二次函数的,题中的二次函数确定具有的性质是图象关于直线x=2对称.][ A.过点(3,0) B.顶点是(2,-1) C.在x轴上截得的线段的长是3 3)(0,D.与y轴的交点是3.某幢建筑物,从10 m高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面 是离墙的距离OB1m,离地面m,则水流落地点BM垂直),如图,如果抛物线的最高点离墙 A.2m B.3m C .4 m m5 D. 之间的函数关系式是,则该运与水平距离4.如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)x(m)页9共,页1第 动员此次掷铅球的成绩是

][ A.6 m B.8m C. 10 m m.12 D 2,若滑到间的关系为S=l0t+2t的斜坡笔直滑下,滑下的距离S(m)与时间5.某人乘雪橇沿坡度为1t(s):4s,则此人下降的高度为坡底的时间为][ A.72 m 36 .m BC.36 m m.18D2 +50x-500,则要想满足关系y=-x与销售单价x(元))6.童装专卖店销售一种童装,若这种童装每天获利y(元获得最大利润,销售单价为][ A.25元 B.20元 C.30元 元40D.7.中国足球队在某次训练中,一队员在距离球门12米处的挑射,正好从2.4米高(球门距横梁底侧高)入2 +bx+c所示,则下列结论正确的是网.若足球运行的路线是抛物线y=ax -12a00;④③;;①a<②

人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结 一、相关概念及定义 1 二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: (1)等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. (2)a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数各种形式之间的变换 1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 2 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2; ③()2 h x a y -=;④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法 1 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 4 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c , 、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 2 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2ax y =的性质 六、二次函数2y ax c =+的性质

人教版九年级上册数学九年级二次函数综合测试题及答案

二次函数单元测评 一、选择题(每题3分,共30分) 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x=-1,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3, y3)是直线上的点,且-1

九年级数学二次函数测试题及答案

二次函数 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点) ,(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2,且0+-c b a , 则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是 532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示,则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( ) x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )

D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线() A. 2- = x B. 2 = x C. 1- = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是() A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示,若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =,b a P- =4,则 () A. 0 > M,0 > N,0 > P B. 0 < M,0 > N,0 > P C. 0 > M,0 < N,0 > P D. 0 < M,0 > N,0 < P 二、填空题: 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成 k h x y+ - =2) (的形式,则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点,那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -,则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质:_______________. 14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点: 甲:对称轴是直线4 = x; 乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:

初中数学九年级《二次函数》公开课教学设计

22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.知识与技能目标: (1).使学生理解并掌握二次函数的概念 (2).能判断一个给定的函数是否为二次函数,并会用待定系数法求函数解析式 (3).能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式,体会函数的模型思想 2.过程与方法目标; 通过“探究----感悟----练习”,采用探究、讨论等方法进行。 3.情感态度与价值观: 通过对几个特殊的二次函数的讲解,向学生进行一般与特殊的辩证唯物主义教育 二、教学重、难点 1.重点:理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式 2.难点:理解二次函数的概念. 三、教学过程 1、知识回顾 (1).什么是变量,常量? (2).函数的定义是什么,有什么表现形式? (3) 函数的图象怎么构成,如何作函数的图象? 2、合作学习,探索新知 : 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为? y=6x 2 问题2: n 个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系? m=21122 n n 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果

每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示? y=20x 2+40x+20 观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?引导学生从自变量最高次数思考。 经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,(a,b,c 是常数, a≠0 ). 我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做二次函数 称:a 为二次项系数,ax 2叫做二次项;b 为一次项系数,bx 叫做一次项;c 为常数项. 又例:y=x2 + 2x – 3 满足什么条件时 当,是常数其中函数c b,a,)c b,a,c(bx ax y 2++= (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? 3、巩固练习: 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x. 2.做一做: (1)正方形边长为x (cm ),它的面积y (cm2)是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长增加x 厘米,宽增加2x 厘米,则面积增加到y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式. 4、例题讲解: 例1: 关于x 的函数是二次函数, 求m 的值. 解: 由题意可得 注意:二次函数的二次项系数不能为零 m m x m y -+=2)1(012 2≠+=-m m m 时,函数为二次函数。当解得,22 =∴=m m

【教案】九年级数学《二次函数的应用》教学设计

《二次函数的应用》教学设计 一、教学目标: 1、通过数形结合,由二次函数的图象,进一步熟练二次函数解析式的求法; 2、能利用二次函数的性质去解决实际问题,初步掌握运用数学知识解决问题的基本方法; 3、感知各知识之间的联系,增强学生对二次函数本质的理解,提高学生提出问题及解决问题的能力。 二、教学重点、难点: 1、重点:培养学生的问题意识和利用二次函数知识解决综合问题; 2、难点:熟练掌握知识之间的关联与转化,提升思维的灵活性与深刻性; 三、教学手段:多媒体教学、探究式教学 四、教学过程: (一)知识回顾 师:前面我们已经学习了二次函数解析式的解法,包括一般式2y ax bx c =++、顶点式2()y a x h k =-+、交点式12()()y a x x x x =--,对于各类题型,同学们要能够选择恰当的方法,进行解题。 (1)一般式:y = ,顶点( ), 对称轴是直线x = ;当x = ,y =最大(小)值 . (2)顶点式:y = ,顶点( ), 对称轴是直线x = ;当x = ,y =最大(小)值 . 它可以对二次函数2(0)y ax a =?通过 而得到. (3)交点式:若抛物线与x 轴交于点)0,(1x 、)0,(2x ,则它的解析式还可以写成: y = . 说明:由于二次函数(或说抛物线)的解析式有一般式、顶点式和交点式这三种表示形式,因此,在求二次函数(或说抛物线)的解析式时,要根据已知条件,设适当的解析式的形式再求解.

(二)例题讲解: 例1、如图,抛物线232 y x bx c =++与x 轴交于A (-1,0),B (2,0)两点,与y 轴交于点C . (1)求该抛物线的解析式; (2)若直线y x n =-+与线段BC 交于点E ,且BE =4EC ,求n 的值. 2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++?的图象经过A (﹣1,0)、B (4,0)、C (0,2)三点. (1)求该二次函数的解析式; (2)点D 是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO (O 是坐标原点),求点D 的坐标;

全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0

九年级上册《二次函数的应用》导学案.doc

九年级上册《二次函数的应用》导学案 第 49 课时 6.4二次函数的应用(1)一、自主尝试预习课本p25—26页,尝试解决下列问题:问题1:某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划多承租100—150亩稻田.预计原360亩稻田今年每亩可收益440元,新增稻田x今年每亩的收益为元.试问:该种粮大户今年要多承租多少亩稻田,才能使总收益最大?最大收益是多少? 二、例题讲评例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个.已知这时商品每涨价一元,其销售数就要减少20个.为了获得最大利益,售价应定为多少? 例2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积.如果计划用一段长m的铝合金型材,制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框(如图),那么当矩形的长、宽分别为多少时,才能使该窗户的透光面积最大(精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度)? 例3 如图,在矩形abcd中,ab=6cm,bc=cm,点p从点a出发,沿ab 边向点b以1cm/s的速度移动,同时点q从点b出发沿bc边向点c以2cm/s 的速度移动,如果p、q两点同时出发,分别到达b、c两点后停止移动.(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形apqcd的面积为s,写出s与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.(2)t为何值时,s最小?最小值是多少? 巩固练习:1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适

当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。问:每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多? 2.如图,已知△abc,矩形gdef的de边在bc边上.g、f分别在ab、ac边上,bc=5cm,s△ab c为30cm2,ah为△abc在bc边上的高,求△abc 的内接长方形的最大面积。 智者加速:1.有一经销商,按市场价收购了一种活蟹1000千克,放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后每千克活蟹的市场价,每天可上升1元,但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元(放养期间蟹的重量不变)。⑴设x天后每千克活蟹市场价为p元,写出p关于x的函数关系式.⑵如果放养x天将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为q元,写出q关于x的函数关系式。⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润,(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少? 2.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:x(元)152030…y(件)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数。(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元? 三、我的心得 第 49 课时 6.4二次函数的应用(1)一、自主尝试预习课本p25—26页,尝试解决下列问题:问题1:某种粮大户去年种植优质水稻360亩,

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