函数零点问题探讨

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函数零点问题探讨

作者:赵霞

来源:《理科考试研究·高中》2015年第05期

函数零点的本质是一个坐标,也就是一个点.在高中阶段,函数的零点求解常见有三种方式:1.利用函数零点存在性定理求解;2.将函数转化成方程求解;3.利用所提供函数的性质求解.以上这三种方法都是函数零点求解中切实可行的方法,不同的方法适用于不同的题目类

型,包含不同的数学思想.通过对函数零点这一典型问题的教学,可以帮助学生们以此类推,

在一类问题的求解中得到普遍适用的数学规律.只有深入分析函数零点问题背后的内涵实质,

我们才能进一步提升学生的思维能力,帮助学生更好地解决数学问题.

一、探本溯源,利用性质求解零点

函数性质是解决数学问题的核心手段,只有学生们熟悉掌握了函数的性质内容,他们才能有效地解决函数零点问题.在函数章节中,与函数的根相关的定理有零点存在性定理、周期性

定理、单调性定理等.其中,零点存在性定理有着最为广泛的运用,在函数值范围的确定、函

数根值存在性证明等方面有着重要的作用.

分析对于本题,我们只要利用函数零点定理(如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)f(b)0,f(1)=13>0,f(e)=e3-1

二、灵活变通,利用方程求解零点

在遇到一些特殊的高阶函数的零点个数确定、零点值求解的问题上,将函数转化成方程进行函数零点求解是最简单可行的方法之一.对于特殊类型的函数零点求解,我们可以通过分析

函数形式的方法,先简化,再转化,最后在求解.

例2 求函数f(x)=(5x+3)5+x5+6x+3的零点.

分析初步研究发现,无论是零点存在性定理,还是将函数转化成方程求解,都难以实施.对此,不妨先分析所给函数的形式,进行初次化简再进行求解.将原函数转化成方程,进行移

项拼凑后可得 .在发现等式两端的相似性之后,不妨尝试设函数g(x)=x5+x.于是,将等式转化成等价形式:g(5x+3)=g(-x).从函数g(x)的表达式不难得出,g(-x)=g(x),于是可

得-x=5x+3,得到函数的零点为(-12,y).值得注意的是这里的方程根只是函数零点的一部分,还必须将对应的函数值计算出来所形成的坐标才是完整的函数零点表达.通过本题的讲解,我希望学生们能够活跃自身的思维,灵活变通,将函数与方程、方程与因式的使用实现综合和统一.

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