高等数学第六版下册复习纲要

第八章:空间解析几何与向量代数

一、向量 ),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a ===

1.向量)

,,(a a a z y x a =

与),,(b b b z y x b = 的数量积:b a b b b a z z y x x x b a b a ++==??cos

2. 向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积:b

b b a a a z y x z y x k j i b a

=?.

?sin b a b a =?的几何意义为以b a

,为邻边的平行四边形的面积. 3. 向量),,(z y x r

=

的方向余弦:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos ,cos ,cos z

y x y z

y x y z

y x x ++=

++=

++=

γβα,

1cos cos cos 222=++γβα;2sin sin sin 222=++γβα. 4. 向量)

,,(a a a z y x a =

与),,(b b b z y x b =

垂直的判定:

00=++?=??⊥b a b b b a z z y x x x b a b a

.

5. 向量)

,,(a a a z y x a =

与),,(b b b z y x b =

平行的判定:

k z z y x x x k b k a b a b a b

a b b b a ===?≠=?=??0,0//

.

6. 三向量共面的判定: ?=++0 c n b m a k c b a

,,共面.

7. 向量),,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影:222Pr a

a a b

a b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=?= .

二、平面

1. 过点),,(000z y x P ,以),,(C B A n

=

为法向量的平面的点法式方程:

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .

2. 以向量),,(C B A n

=

为法向量的平面的一般式方程:0=+++D Cz By Ax .

3. 点),,(111z y x M 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离2

2

2

111C

B A D cz By Ax d +++++=

错误!未找到引用源。.

4. 平面0:11111=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏平行的判定:

2

1

2121212121////D D C C B B A A n n ≠==?

?

∏∏.

5. 平面0:11111

=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏垂直的判定:

021********=++?⊥?⊥C C B B A A n n

∏∏.

6. 平面0:11111

=+++D z C y B x A ∏与0:22222=+++D z C y B x A ∏的夹角:

22

22

22

21

21

21

2

12121cos C

B A

C B A C C B B A A ++?++++=

θ

三、直线

1. 过点),,(000z y x P ,以),,(p n m s

=

为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程:

p

z z n y y m x x 0

00-=-=-.

2. 过点),,(000z y x P ,以),,(p n m s = 为方向向量的直线的参数式方程:??

?

??=-=-=-tp

z z tn y y tm x x 000.

3. 直线的一般式方程:???=+++=+++0

022221111D z C y B x A D z C y B x A .方向向量为21n n s

?=.

4.直线方程之间的转化: i) 点向式?参数式 ii) 一般式→点向式 第一步:找点 第二步:找方向向量21n n s

?=

5. 直线1111111:

p z z n y y m x x L -=-=-与2

2

22222:p z z n y y m x x L -=

-=-平行的判定:

2

1

21212121

////p p

n n m m s s L L ==?? .

6. 直线1111111:

p z z n y y m x x L -=-=-与2

2

22222:p z z n y y m x x L -=-=-垂直的判定:

021********=++?⊥?⊥p p n n m m s s L L

.

7. 直线1111111:

p z z n y y m x x L -=-=-与2

2

22222:p z z n y y m x x L -=

-=-的夹角:

22

22

22

21

21

2

1

212121cos p

n m p n m p p n n m m ++?++++=

?.

8. 直线n

z z m y y l x x L 0

00:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏垂直的判定: C

n

B m A l N S L ==??⊥ //∏.

9. 直线n

z z m y y l x x L 0

00:-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏平行的判定: 0//=++?⊥?Cn Bm Al N S L

∏.

10. 直线n

z z m y y l x x L 0

00:

-=-=-与平面0:=+++D Cz By Ax ∏的夹角: 2

2

2

2

2

2

sin p

n m C B A Cp Bn Am ++?++++=

?.

11.点),,(000z y x P 到直线???=+++=+++00

22221111D z C y B x A D z C y B x A 的距离:s s PM d

?=,其中

M

是直线上任意一点,

21n n s

?=.

四、曲线、曲面 1.

yoz 平面上的曲线C :0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面为

S

0),(22=+±z y x f .

2.空间曲线C :???==0

),,(0),,(z y x G z y x F 关于xoy 平面上的投影柱面方程为:0),(=y x H ;

在xoy 平面上的投影曲线为C :??

?==0

),(z y x H .

第九章:多元函数微分法及其应用

一、平面点集

1.内点一定在点集内,但点集内的点未必是点集的内点,还有孤立点;

2.聚点可以是点集的边界点,也可以是点集的内点,但不可以是点集的外点和点集内的孤立点;

3.开集和闭集内的所有点都是聚点. 二、二元函数的极限、连续性的相关知识点

1.二元函数),(y x f 在),(00y x 点的二重极限:A y x f y x y x =→),(lim )

,(),(00.

2.二元函数

),(y x f 在),(00y x 点的连续性:

),(),(lim

00)

,(),(00y x f y x f y x y x =→.

3.二元初等函数在其定义区域内连续. 二、二元函数的偏导数的相关知识点 1.函数),(y x f z

= 对自变量y x ,的偏导数:

x z ??及y

z ??错误!未找到引用源。. 2. 函数),(y x f z = 对自变量y x ,的二阶偏导数:

22x z

??、

22y z ??错误!未找到引用源。、y x z ???2、x

y z

???2

注:若二阶混合偏导数y x z ???2与x

y z

???2连续,则二者相等.

三、二元函数的全微分:dy y

z dx x z dz ??+??=

四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系 1. 函数连续性与偏导数存在性的关系:二者没有任何的蕴涵关系. 2. 偏导数存在性与全微分存在性的关系:

全微分存在,偏导数存在;反之未必.(偏导数不存在,全微分一定不存在) 偏导数连续,全微分存在,反之未必. 3. 连续性与全微分存在性的关系:

全微分存在,函数一定连续;(函数不连续,全微分一定不存在) 函数连续,全微分未必存在. 五、二元复合函数的偏(全)导数

1.中间变量为两个,自变量为一个的复合函数的全导数:

))(),((),(),(),,(t t f z t v t u v u f z ψ?ψ?====, dt

dv

v z dt du u z dt dz ??+

??=

2.中间变量为两个,自变量为两个的复合函数的偏导数:

)),(),,((),,(),,(),,(y x y x f z y x v y x u v u f z ψ?ψ?====,

x

v v z x u u z y z x v v z x u u z x z ????+????=??????+????=??, 六、隐函数微分法

1.由一个方程确定的隐函数微分法:0),,(=z y x F 确定隐函数),(y x f z

=,

直接对方程左右两端关于自变量求偏导数,即

0=????+??+??x

z

z F dx dy y F dx dx x F ,即

001=????+???+???x z z F y F x F ,解得''z

x F F x z

-=??

2.由方程组确定的隐函数组微分法:???==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定隐函数?

??==),()

,(y x v v y x u u ,

直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数,即????

???=????+????+??+??=????+????+??+??00x

v v G x u u G dx dy y G dx dx x G x v

v F x u u F dx dy y F dx dx x F ,即

??????

?=????+????+??=????+????+??0

0x

v v G x u u G x G x

v

v F x u u F x F ,可以解出x v x u ????,. 七、偏导数的几何应用

1.曲线的切线方程和法平面方程

1). 以参数式方程??

?

??===)(),(),

(t z t y t x χψ?表示的曲线在0t t =对应的点),,(000z y x M 的

切线方程:

)

()()(0'

0'00'

0t z z t y y t x x χψ?-=-=- 法平面方程:0))(())(())((00'00'00'

=-+-+-z z t y y t x x t χψ?

2). 以一般式方程?

?

?==0),,(0

),,(z y x G z y x F 表示的曲线在点),,(000z y x M 的切线和法平面方程:

先用方程组

??

?==0

),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数组

??

?==)

()(x g z x f y 微分法求出dx dz

dx dy ,,然后得到切线的方向向量

??

? ??===00,

,

1x x x x dx

dz dx

dy

n

切线方程:

)

()(10'00'00x g z

z x f y y x x -=-=- 法平面方程:0))(())((00'00'0

=-+-+-z z x g y y x f x x

2.曲面的切平面方程和法线方程

1).以一般式方程0),,(=z y x F 表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程: 切平面线方程:0))(())(())((0'0'

0'

=-+-

+-z z M F y y M F x x M F z y x

法方程:

)

()()('0

'0'0M F z z M F y y M F x x z x x -=

-=- 2).以特殊式方程),(y x f z =表示的曲面在点),,(000z y x M 的切平面和法线方程:

令0),(),,(=-=

z y x f z y x F ,有曲面在点),,(000z y x M 的切平面的法向量

)1),,(),,(())(),(),((00'00''''-==y x f y x f M F M F M F N y x z y x

切平面线方程:

0)())(,())(,(0000'000'=---+-z z y y y x f x x y x f y x

法方程:

1)

,(),(0

00'000'0--=

-=-z z y x f y y y x f x x x x .

3.方向导数与梯度:

1). 方向导数:

ρ

??ρ)

.(),(lim 0y x f y y x x f l f -++=??→ 2). 方向导数存在条件:可微分函数),(y x f z

=在一点沿任意方向l 的方向导数都存在,并且

βαcos cos y

z

x z l f ??+??=??,其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦. 3). 梯度:函数

),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处的梯度

k z y x f j z y x f i z y x f z y x f grad z y x ),,(),,(),,(),,(000000000000++=( ).

4). 方向导数与梯度的关系: ①.函数

),,(z y x f 在点),,(000z y x M 处增加最快的方向是其梯度),,(000z y x f grad 的方向,减小最快的方向是

),,(000z y x f grad -的方向.

②. 函数

),,(z y x f 在点),,(000z y x M 沿任意方向的方向导数的最大值为)

,,(000z y x f grad .

八、极值、条件极值 1. 函数),(y x f z

=的极值点和驻点的关系:函数),(y x f z =的极值在其驻点或不可偏导点取得.

2.求函数极值的步骤:

(1).对函数),(y x f z =求偏导数,解方程组?????==0

),(0

),(''y x f y x f y x ,得所有驻点),(i i y x .

(2).对每一个驻点),(i i y x ,求出二阶偏导数的值),(),,(),,('

'''''i i yy i i xy i i xx y x f C y x f B y x f A ===.

(3).计算AC B -2

,根据AC B -2以及A 的符号判定),(i i y x f 是否是极值:

若0,02

><-A AC B ,则),(i i y x f 是极小值; 若0,02

<<-A AC B ,则),(i i y x f 是极大值; 若,02

>-AC B ,则),(i i y x f 不是极小值;

若,02

=-AC B

,则),(i i y x f 是否是极值不能判定,需其他方法验证.

3.求函数),(y x f z

=在附加条件0),(=y x ?下的条件极值的方法:

做拉格朗日函数),(),(),

(y x y x f y x F λ?+=,对自变量y x ,求偏导,建立方程组

?????=+==+=0),(),(),(0

),(),(),('

'''

''y x y x f y x F y x y x f y x F y y y

x x x λ?λ? 与附加条件联立的方程组?

????==+==+=0

),(0),(),(),(0),(),(),('

''

'

''y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ?λ?λ?,解出的y x ,就是函数),(y x f z =的可能极值点.

第十章:重积分

一、二重积分的相关性质 1.有界闭区域上的连续函数),(y x f 在该区域D 上二重积分??D

d y x f σ),(存在;

2.若函数

),(y x f 在有界闭区域D 上二重积分存在??D

d y x f σ),(,则),(y x f 在该区域上有界;

3.中值性:若函数

),(y x f 在有界闭区域D 上连续,区域D 的面积为σ

,则在

D 上至少存在一点),(ηξ,使得

σσ?=??

),(),(y x f d y x f D

.

4.

σσ=??D

d 1,区域D 的面积为σ.

二、二重积分的计算

1.利用平面直角坐标计算二重积分 1).先对

y 后对x 积分,

由于积分区域:D b x a <<;)()(21x y x ??<<,有

????=b

a

x x D

dy y x f dx d y x f )

()

(21),(),(??

σ.

2).先对x 后对y 积分,

由于积分区域:D d

y c <<;)()(21y x y ψψ<<,有

??

??

=d

c

y y D

dx y x f dy d y x f )

()

(21),(),(ψψσ.

3).积分换序:

??

????==d

c

y y D

b

a

x x dx y x f dy d y x f dy y x f dx )

()

()

()

(2121),(),(),(ψψ??

σ.

2.利用极坐标计算二重积分

令??

?==θ

ρθ

ρsin cos y x ,由于积分区域:D βθα<<;)()(21θρθρ<

??

??

α

θρθρρρθρθρθσ)

()

(21)sin ,cos (),(d f d d y x f D

.

三、三重积分的相关性质:V dV =???Ω

1,区域Ω的体积为V . 四、三重积分的计算

1.利用直角坐标计算三重积分 积分区域V :b x a

<<;)()(21x y y x y <<;),(),(21y x z z y x z <<,有

?

?????=)

,()

,()

()

(2121),,(),,(y x z y x z b

a

x y x y dz z y x f dy dx dV x y x f Ω

第十一章:曲线积分 曲面积分

一、曲线积分的计算 1.第一型曲线积分的计算: 若曲线C 的参数方程是:10),

(),

(t t t t y t x ≤≤??

?==ψ?,则第一型曲线积分

?

?+=C

t t dt t t t t f ds y x f 10

)()()](),([),(2'2'ψ?ψ?

2.第二型曲线积分的计算: 若曲线C 的参数方程是:10),(),

(t t t t y t x ≤≤?

?

?==ψ?,B A t t t t ==10,分别对应曲线的两个端点,则第一型曲线积分

??+=+1

)())(),(()())(),((),(),('

'

t t C

dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P ψψ??ψ?

3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)

设有界闭区域D 由分段光滑曲线C 所围成,C 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则有格林公式

?

=

+C

Qdy Pdx dxdy y P x Q D ?????

? ????-??.

注:1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积:设有界闭区域D 由取正向的光滑曲线C 所围成,则区域D 的面积为???+-=

=C

D

xdy ydx dxdy 21

σ

. 2. 函数),(),,(y x Q y x P 在区域D 上连续. 二、曲面积分的计算 1.第一型曲面积分的计算: 若曲面S 的方程是:),(y x z z =具有连续偏导数,且在xoy 平面上的投影区域为xy D ,函数),,(z y x f 在S

上连续,

则第一型曲面积分

dxdy z z y z z y z f dS z y x f xy

D y x S

?

?

++=2'2

'1)],(,,[),,(

2.第二型曲面积分的计算: 若正向曲面S 的方程是:),(y x z z =,且在xoy 平面上的投影区域为xy D ,函数),,(z y x R 在S

上连续,则第二型曲

面积分

dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy

D S

?

?=)],(,,[),,(, 同理可得

dydz z y z y x R dydz z y x P yz

D S ?

?=)],),,([),,(;

dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q zx

D S

?

?=)]),,(,[),,(

3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)

若函数),,(),,,(z y x Q z y x P 在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S 上具有连续偏导数,则

有高斯公式:

?????????

?

???+??+??=++S dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz Ω.

注:设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S 所围成,则区域Ω的体积为

??++=

S

zdxdy ydzdx xdydz V 31

.

4.斯托克斯公式(联系曲面积分和三重积分) 若函数

),,(),,,(z y x Q z y x P 在光滑曲面

S 及其光滑的边界曲线C 上具有连续偏导数,则有斯托克斯公式

????

??

? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=++L D dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R Rdz Qdy Pdx . 三、曲线积分与路径无关的条件 (1). 曲线积分

?

+)

,(),(),(B A C dy y x Q dx y x P 与路径无关;

(2).

0),(),(=+?C

dy y x Q dx y x P ;

(3). 存在函数),(y x u ,使得dy y x Q dx y x P du ),(),(+=;

(4).

y

P

x Q ??=

?? 第十二章:无穷级数

一、级数敛散性的相关性质

1.∑∞

=1n n a 敛散??

??

???=∑=n k k n a S 1}{敛散 2.

∑∞

=1n n

a

收敛?0lim =∞

→n

n a

3. 0lim ≠∞

→n

n a ?∑∞

=1n n

a 发散

4. 正项级数∑=n

i n a 1的部分和数列}{n S 有界?级数∑=n

i n a 1收敛

5.

∑=n

i n

a 1收敛?

=n

i n

a 1

收敛.

二、级数敛散性判别 1.正项级数敛散性判别 (1).比较判别法; (2).比值判别法; (3).根值判别法.

2.交错级数收敛性判别法:莱布尼兹判别法

3.任意项级数敛性判别法:绝对收敛判别法

4.两种常用级数收敛和发散的条件

(1). 等比级数

∑∞

=-11

n n aq 收敛条件是1

(2). p 级数

∑=n

i p

n

1

1

收敛条件是

1>p ;发散条件是1≤p .

二、幂级数的相关概念 1.收敛域的求法 (1).对标准幂级数

∑∞

=0

n n

n x

a ,先求其收敛半径n

n n a a R 1lim

11

+∞

→==

ρ

,再判断级数

∑∞

=0

n n

n R

a 以及

∑∞

=-0

)

(n n

n R a 的敛散

性,最后确定收敛域是),(R R -、R],(R -、)R ,[R -以及]R ,[R -中的哪一个.

(2). 对非标准幂级数

∑∞

=0)(n n

x a

,先求极限)()

()(lim

1x x a x a n n n ?=+∞

→,当1)(

=0

)(n n x a 绝对收敛,解出

),(b a x ∈,再判断级数∑∞

=0

n n

n a

a 以及

∑∞

=0

n n

n b

a 的敛散性,最后确定收敛域是),(

b a 、],(b a 、),[b a 以及],[b a 中

的哪一个.

2.和函数的求法:利用和函数的性质(1).连续性;(2).逐项可微分;(1).逐项可积分.

3.函数的幂级数展开式.

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