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幂函数反函数反比例

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．

(图象关． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．

④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α=

（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若

p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q

p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q

p y x =是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数

,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

反函数

反函数的基本知识点

一．定义：设式子)(x f y =

表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。

（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域，

()图象在点图象上）在（点几何语言：

)(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f

b a f --='?==?=

（3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．

二．求反函数的一般步骤

（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域

（2）由)(x f y =的解析式求出)(y x ?=

（3）将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义

域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）

分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。

三．掌握下列一些结论

（1）单调函数?一一对应?有反函数

（2）周期函数不存在反函数

（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数

（4）证明)(x f y =的图象关于直线x y =对称，只需证)(x f y =的反函数和

)(x f y =相同。

反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如x k y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1-

2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.

⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）

② 描点（有小到大的顺序）

③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

5. 求出k ）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函

数x

k y =中的两个变量必成反比例关系。

幂函数指数函数和对数函数·反函数

幂函数、指数函数和对数函数·反函数教学目标 1．使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法． 2．培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力． 3．使学生思维的深刻性进一步完善．教学重点与难点教学重点是求反函数的技能训练．教学难点是反函数概念的理解．教学过程设计一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——反函数．（板书：反函数 1．反函数的概念）二、讲解新课师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数．师：为什么是个函数呢？一的x与之相对应．师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的．这个反函数的解析式是怎样的呢？

师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以是不是同一函数呢？生：是．师：能具体解释一下吗？和值域，皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数．生：有．就是y=2x+1．那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数．师：能举个例子说明吗？生：如函数y=x2，将y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x，如y=1，则对应x=±1，因此不能构成函数，说明它没有反函数．师：说得非常好．如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1，从图中可看出给出一个y能对应两个x．

对数函数性质及练习(有答案)

对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征：特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ．解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质

(1)图象与性质谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上

幂函数反函数反比例

〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． (图象关． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若 p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数 ,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

反函数反函数的基本知识点一．定义：设式子)(x f y = 表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域， ()图象在点图象上）在（点几何语言： )(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f b a f --='?==?= （3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．二．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2）由)(x f y =的解析式求出)(y x ?= （3）将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。三．掌握下列一些结论

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一）指数与指数函数 1.根式（1）根式的概念（２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义．注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ（ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａｘ a>1 0

图象定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，00时，０d1＞1>a1>b1,∴ｃ>d>１>a>ｂ。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数,记作log N a x=，其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2 对数形式特点记法一般对数底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为1０ lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。（2）对数的重要公式：