时间序列分析试卷及答案
时间序列分析试卷1
一、 填空题（每小题2分，共计20分）
1. ARMA(p, q)模型_________________________________，其中模型参数为
____________________。 2. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为_________________________。 3. 设ARMA (2, 1)：
1210.50.40.3t t t t t X X X εε---=++-
则所对应的特征方程为_______________________。
4. 对于一阶自回归模型AR(1): 110t t t X X φε-=+＋，其特征根为_________，平稳域是
_______________________。
5. 设ARMA(2, 1):1210.50.1t t t t t X X aX εε---=++-，当a 满足_________时，模型平稳。
6. 对于一阶自回归模型MA(1):
10.3t t t X εε-=-，其自相关函数为
______________________。 7. 对于二阶自回归模型AR(2):
120.50.2t t t t X X X ε--=++
则模型所满足的Yule-Walker 方程是______________________。 8. 设时间序列{}t X 为来自ARMA(p,q)模型：
1111t t p t p t t q t q X X X φφεθεθε----=++++++L L
则预测方差为___________________。
9. 对于时间序列{}t X ，如果___________________，则()~t X I d 。
10. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p ，q)模型，则其模型结构可写为_____________。
二、（10分）设时间序列{}t X 来自()2,1ARMA 过程，满足
()()2
10.510.4t
t
B B X B ε
-+=+,
其中{}t ε是白噪声序列，并且()()2
t t 0,E Var εεσ==。
（1） 判断()2,1ARMA 模型的平稳性。（5分）
（2） 利用递推法计算前三个格林函数012,,G G G 。（5分）
三、（20分）某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数
据经过一阶差分后平稳（N ＝500
），经过计算样本其样本自相关系数
?{}k ρ及样本偏相关系数?{}kk
φ的前10个数值如下表
求
（1） 利用所学知识，对}{t X 所属的模型进行初步的模型识别。（10分） （2） 对所识别的模型参数和白噪声方差2
σ给出其矩估计。（10分） 四、（20分）设}{t X 服从ARMA(1, 1)模型：
110.80.6t t t t X X εε--=+-
其中1001000.3,0.01X ε==。
（1） 给出未来3期的预测值；（10分）
（2） 给出未来3期的预测值的95%的预测区间（0.975 1.96u =）。（10分） 五、（10分）设时间序列}{t X 服从AR(1)模型：
1t t t X X φε-=+，其中{}t ε为白噪声序列，()()2t t 0,E Var εεσ==，
1212,()x x x x ≠为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数2,φσ的极大似然估计。 六、（20分）证明下列两题：
（1） 设时间序列{}t x 来自()1,1ARMA 过程，满足
110.50.25t t t t x x εε---=-,
其中()
2
t ~0,WN εσ, 证明其自相关系数为
11,0
0.27
10.52
k k k k k ρρ
-=??==??≥?
（10分） （2） 若t X ~I(0)，t Y ~I(0)，且{}t X 和{}t Y 不相关，即(,)0,,r s cov X Y r s =?。试
证明对于任意非零实数a 与b ，有~(0)t t t Z aX bY I =+。（10分）
时间序列分析试卷2
七、 填空题（每小题2分，共计20分）
1. 设时间序列{}t X ，当__________________________序列{}t X 为严平稳。
2. AR(p)模型为_____________________________，其中自回归参数为______________。
3. ARMA(p,q)模型_________________________________，其中模型参数为
____________________。 4. 设时间序列{}t X ，则其一阶差分为_________________________。
5. 一阶自回归模型AR(1)所对应的特征方程为_______________________。
6. 对于一阶自回归模型AR(1)，其特征根为_________，平稳域是
_______________________。
7. 对于一阶自回归模型MA(1)，其自相关函数为______________________。
8. 对于二阶自回归模型AR(2):1122t t t t X X X φφε--=++,其模型所满足的Yule-Walker 方程
是___________________________。 9. 设
时
间序列
{}
t X 为来自ARMA(p,q)模型：
1111t t p
t
p t t q t q X X X
φφεθεθε-
---
=+
+++++L L ，则预测方差为
___________________。
10. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p, q)模型，则其模型结构可写为_____________。
八、（20分）设{}t X 是二阶移动平均模型MA(2)，即满足
t t t-2X εθε=+,
其中{}t ε是白噪声序列，并且()()2t 0,t E Var εεσ== （1） 当1θ=0.8时，试求{}t X 的自协方差函数和自相关函数。 （2） 当1θ=0.8时，计算样本均值1234(X X X X )4+++的方差。
九、（20分）设}{t X 的长度为10的样本值为0.8，0.2，0.9，0.74，
0.82，
0.92，0.78，0.86，0.72，0.84，试求
（1） 样本均值x 。
（2） 样本的自协方差函数值21?,?γγ
和自相关函数值21?,?ρρ。 （3） 对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。
十、（20分）设}{t X 服从ARMA(1, 1)模型：
110.80.6t t t t X X εε--=+-
其中1001000.3,0.01X ε==。
（1） 给出未来3期的预测值；
（2） 给出未来3期的预测值的95%的预测区间。 十一、 （20分）设平稳时间序列}{t X 服从AR(1)模型：11t t t X X φε-=+，
其中{}t ε为白噪声，()()2
t 0,t E Var εεσ==，证明：
2
2
1()1t Var X σφ=
-
时间序列分析试卷3
十二、 单项选择题（每小题4分，共计20分）
11. t X 的d 阶差分为
（a ）=d t t t k X X X -?- （b ）11=d d d t t t k X X X ---??-? （c ）111=d d d t t t X X X ---??-? （d ）11-12=d d d t t t X X X ---??-? 12. 记B 是延迟算子，则下列错误的是
（a ）0
1B = （b ）()1=t t t B c X c BX c X -??=?
（c ）()11=t t t t B X Y X Y --±± （d ）()=1d
d
t t d t X X B X -?-=-
13. 关于差分方程1244t t t X X X --=-，其通解形式为
（a ）1222t t c c + （b ）()122t
c c t +
（c ）()122t
c c - （
d ）2t
c ?
14. 下列哪些不是MA 模型的统计性质
（a ）()t E X μ= （b ）()()
22
111q t Var X θθσ=+++L
（c ）()(),,0t t t E X E με?≠≠ （d ）1,,0q θθ≠K
15. 上面左图为自相关系数，右图为偏自相关系数，由此给出初步的模型识别
（a ）MA （1） （b ）ARMA （1, 1） （c ）AR （2） （d ）ARMA （2, 1）
十三、 填空题（每小题2分，共计20分）
1. 在下列表中填上选择的的模型类别
2. 时间序列模型建立后，将要对模型进行显著性检验，那么检验的对象为___________，
检验的假设是___________。
3. 时间序列模型参数的显著性检验的目的是____________________。
4. 根据下表，利用AIC 和BIC 准则评判两个模型的相对优劣，你认为______模型优于
______模型。
_______检验和_______检验。
十四、（10分）设{}
t
ε为正态白噪声序列，
()()2
t t
0,
E Var
εεσ
==，时间序列}
{
t
X来自
11
0.8
t t t t
X Xεε
--
=+-
问模型是否平稳？为什么？
十五、（20分）设}
{
t
X服从ARMA(1, 1)模型：
11
0.80.6
t t t t
X Xεε
--
=+-
其中
100100
0.3,0.01
Xε
==。
（3）给出未来3期的预测值；（10分）
（4）给出未来3期的预测值的95%的预测区间（
0.975
1.96
u=）。（10分）
十六、（20分）下列样本的自相关系数和偏自相关系数是基于零均值的平稳序列样本量为500计算得到的（样本方差为2.997）
ACF: 0:340; 0:321; 0:370; 0:106; 0:139; 0:171; 0:081; 0:049; 0:124; 0:088; 0:009; 0:077 PACF: 0:340; 0:494; 0:058; 0:086; 0:040; 0:008; 0:063; 0:025; 0:030; 0:032; 0:038; 0:030
根据所给的信息，给出模型的初步确定，并且根据自己得到的模型给出相应的参数估计，要求写出计算过程。
十七、（10分）设}
{
t
X服从AR (2)模型：
1121
t t t t
X X X
ααε
--
=++
其中{}
t
ε为正态白噪声序列，()()2
t t
0,
E Var
εεσ
==，假设模型是平稳的，证明其偏自相关系数满足
2
2
03
kk
k
k
α
φ
=
?
=?
≥
?