2015年高考数学试题-解析几何,解析版

1.（15北京文科）圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）

A ．()()2

2

111x y -+-= B ．()()2

2

111x y +++= C ．()()2

2

112x y +++= D ．()()2

2

112x y -+-= 【答案】D 【解析】

试题分析：由题意可得圆的半径为r =()()22

112x y -+-=.

考点：圆的标准方程.

2.（15年广东理科）平行于直线012=++y x 且与圆52

2

=+y x 相切的直线的方程是 A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x 【答案】D ．

【考

点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．

3.（15年新课标2文科）已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）

5A.3 B.3 C.3

4D.3 【答案】B

考

点：直线与圆的方程.

4.（15年新课标2文科）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2

,点(在C 上.

（I ）求C 的方程；

（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.

【答案】（I ）22

22184

x y +=（II ）见试题解析

考

点：直线与椭圆

5.（15年陕西理科）设曲线x

y e =在点（0,1）处的切线与曲线1

(0)y x x

=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标

为 ． 【答案】()1,1 【解析】

试题分析：因为x

y e =，所以x

y e '=，所以曲线x

y e =在点()0,1处的切线的斜率010

1x k y e ='

===，设P 的

坐标为()00,x y （00x >），则00

1

y x =

，因为1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x =在点P 处的切线的斜率

2201x x k y x ='

==-

，因为121k k ?=-，所以20

11x -=-，即2

01x =，解得01x =±，因为00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．

6.（15年天津理科）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若

2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为

（A ）

83 （B ）3 （C ）10

3

（D ）52

【答案】A 【解析】

试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ?=??=?，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ?=?∴?=?，所以248

33

CM MD NE CN ??=

==，故选A.

考点：相交弦定理.

7.（15年天津文科）如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A)

83 (B) 3 (C) 103

(D) 52

【答案】A

【解析】

试题分析：由相交弦定理可

18,33

CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ??=?=

??== 故选A. 考点：相交弦定理

8.（15年天津文科）已知椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,

（I ）求直线BF 的斜率；

（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . （i ）求l 的值； （ii

）若||sin PM BQP D求椭圆的方程. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）7

8 ；（ii ）

22 1.54

x y += 【解析】

试题分析：（I

）先由

c a =

及222

,a b c =+

得,2a b c ==,直线BF 的斜率()020b b k c c

-===--；（II ）先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQ

λ=

7

.8M P P

Q M

Q x x x x x x -==

=-（ii

）先由||sin PM BQP D得=||sin BP PQ BQP D

=15

||sin 7PM BQP ?,由此求出c =1,故椭圆方程为22

1.54

x y += 试题解析：（I ）(),0F c - ,

由已知

5

c a =

及222

,a b c =+

可得,2a b c == ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b b

k c c

-=

==-- .

（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22

221,54x y c c

+= 直线BF 的方程为

22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53

P c

x =-

.因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q c

x = .又因为PM MQ

λ= ,及0M x = 得

7

.8

M P P

Q M

Q x x x x x x λ-=

=

=- （ii ）由（i ）得

78PM MQ

=

,所以77

7815

PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,

又因为||sin PM BQP D,所以=||sin BP PQ BQP D

=

15

||sin 7

PM BQP ?又因为4223P P y x c c =+=-,

所以BP ==,

因此1,c == 所以椭圆方程为22

1.54

x y += 考点：直线与椭圆.

9.（15年湖南理科）

10.（15年山东理科）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆2

2

(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为

(A)53-或35- (B) 32-

或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34

- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=

，则

1,|55|d k =

=+=43

k =-或3

4-，答案选(D)

11.（15年江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】22(1) 2.x y -+=

考点：直线与圆位置关系

专题十七 圆锥曲线与方程

1.（15北京理科）已知双曲线()2

2210x y a a

-=>0y +=，则a =

．

【答案】

3

考点：双曲线的几何性质

2.（15北京理科）已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>，点()01P ，

和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；

（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】 【解析】

试题分析：椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>()01P ，

在椭圆上，利用条件列方程组，解

出待定系数2

22,1a

b ==，写出椭圆方程；由点()01P ，

和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求

出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠求出tan OQM ∠

和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出0y =，则存在点Q （0，±

使得OQM ONQ ∠=∠.

试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()01P ，，2

211,1,b b

==

22

2c e a =2222

1112a b a a

-==-=，2

2a =，椭圆C 的方程为2212x y +=. (0,1),(,)P A m n ,直线PA 的方程为：11n y x m -=

+，令0,1m y x n ==-，(,0)1m

M n

∴-；

考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.

3.（15北京文科）已知()2,0是双曲线2

2

21y x b

-=（0b >）的一个焦点，则b = ．

【解析】

试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 考点：双曲线的焦点.

4.（15北京文科）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；

（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c

e a

=

计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.

试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2

213

x y +=.

所以a =1b =，c =

所以椭圆C 的离心率c e a =

=

. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11

2131

BM y y k -+=

=-.

（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线DE 的斜率10

121

DE k -=

=-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为111

1(2)2

y y x x --=

--. 令3x =，得点1113

(3,

)2

y x M x +--.

由2233(1)x y y k x ?+=?=-?，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，2122

33

13k x x k

-=+

.

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.

5.（15年广东理科）已知双曲线C ：122

22=-b

y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程

为

A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14

32

2=-y x 【答案】B ．

【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为5

4

c e a =

=，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为

22

1169

x y -=，故选B ． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．

6.（15年广东理科）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （1）求圆1C 的圆心坐标；

（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；

（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ????-+=<≤ ? ?????；（3

）3325,,447

7k ???∈--???????．

【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2

234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则

∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ?=-即

13y y

x x

?=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为2

23953243x y x ????

-+=<≤ ? ?????

；

（3）由（2）知点M 的轨迹是以

3

,02C ?? ???

为圆心3

2

r =

为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），

且53E ? ??，5,3F ? ??

，又直线L ：()4y k x

=-过定点()4,0D ，

L

当直线L 与圆C

3

2

=

得34k =±

，又0543

DE DF

k k ?- ??=-=-

=-，结合上图

可知当3325,,44k ???∈--???????

时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．

【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题．

6.（15年广东文科）已知椭圆22

2125x y m

+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）

A ．9

B ．4

C ．3

D ．2 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．

7.（15年安徽理科）设椭圆E 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点

B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10

. （I ）求E 的离心率e ；

（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为7

2

，求E 的方程.

8.（15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )

（A ）22

14y x -= （B ）2

214

x y -= （C ）22

12y x -= （D ）2

212

x y -= 【答案】A 【解析】

试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 考点：渐近线方程.

9.（15年安徽文科）设椭圆E 的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的

坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM [学优高考网]

（1）求E 的离心率e;

(2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。

【答案】（1）

5

（2）详见解析.

∴

a b 3

231＝5525451511052

2

22222=?=?=-?=?e a c a c a a b

（Ⅱ）由题意可知N 点的坐标为（2

,2b

a -）

∴a b a b a a b

b K MN 56652322131==-+= a

b

K AB -=

∴1522

-=-=?a

b K K AB MN

∴MN ⊥AB

考点：1椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系.

10.（15年福建理科）若双曲线22

:

1916

x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）

A ．11

B ．9

C ．5

D ．3 【答案】B 【解析】

试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．

考点：双曲线的标准方程和定义．

11.（15年福建理科）已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b +=>>

过点

，且离心率为2

．

(Ⅰ)求椭圆E 的方程；

(Ⅱ)设直线1x my m R =- ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9

(4

-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【答案】(Ⅰ)

22

142

x y +=；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．

G 在圆上．

试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得

2222,b c

a

a b c ì=???=í

??=+??

解得2a b c ì=??=í???所以椭圆E 的方程为

22

142

x y +=．

故22222

2

012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)

m m y +-=++=-+=>+++ 所以|AB||GH|>

2，故G 9

(4

-,0)在以AB 为直径的圆外． 解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则11229

9GA (,),GB (,).4

4

x y x y =+=+

由22221(m 2)y 230,1

42

x my my x y ì=-?+--=í?+=??得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ++，

从而121212129

955GA GB ()()(my )(my )4444

x x y y y y =+++=+++

222

121222

52553(m +1)25

(m +1)y (y )4162(m 2)m 216

m y m y =+++=-+++ 22172016(m 2)m +=>+ 所以cos GA,GB 0,GAGB 狁>又，不共线，所以AGB D为锐角. 故点G 9

(4

-,0)在以AB 为直径的圆外．

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．

12.（15年福建文科）已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线

:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4

5

，则椭圆E 的离心率

的取值范围是（ ）

A ． (0,

]2 B ．3(0,]4 C ．2

D ．3[,1)4

【答案】A

考

点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．

13.（15年福建文科）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；

（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线

GB 相切．

【答案】（Ⅰ）2

4y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF =可得

232

p

+

=，可求p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线

GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ∠A =∠B ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．

试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22

p

A =+． 因为F 3A =，即232

p

+

=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，

所以m =±

(2,A ．

由(2,A ，()F 1,0可得直线F A

的方程为)1y x =-．

由)

214y x y x

?=-??

=??，得2

2520x x -+=，

解得2x =或12x =

，从而1,2?B ?． 又()G 1,0-，

所以(

)G 0213k A =

=

--，(

)G 12

k B ==--， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．

（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，

所以m =±

(2,A ．

由(2,A ，()F 1,0可得直线F A

的方程为)1y x =-．

由)214y x y x

?=-??=??，得22520x x -+=，

解得2x =或12x =

，从而1,2?B ?． 又()G 1,0-，故直线G A

的方程为30y -+=，

从而r =

=

． 又直线G B

的方程为30y ++=，

所以点F 到直线G B

的距离d r =

=

=． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 14.（15年新课标1理科）一个圆经过椭圆

的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准

方程为 。

【答案】22325

()24

x y ±+=

【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4||a -，则222(4||)||2a a -=+，解得3

2

a =±，故圆的方程

为22325

()24

x y ±+=.

15.（15年新课标2理科）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =

（A ）26 （B ）8 （C ）46 （D ）10 【答案】

C

16.（15年新课标2理科）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为

（A ）√5 （B ）2 （C ）√3 （D ）√2

【答案】D

17.（15年新课标2理科）已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（2）若l 过点(,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的

斜率；若不能，说明理由。

18.（15年新课标2文科）已知双曲线过点(,且渐近线方程为1

2

y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．

【答案】2

214

x y -=

考点：双曲线几何性质

19.（15年陕西理科）若抛物线2

2(0)y px p =>的准线经过双曲线2

2

1x y -=的一个焦点，则p= ．