第9讲 圆轴扭转时的变形和刚度条件
第9讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转
§3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p
GI Tdx
d =φ 所以
p l
0p
l
GI Tl
dx GI T d =
==?
?φφ（rad ） （4-17） 式中p GI 称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。p GI 越大，则扭转角φ越小。
让dx
d φ
?=
，为单位长度相对扭角，则有p
GI T
=
?（rad/m ） 扭转的刚度条件：
[]??≤=
P
max GI T
（rad/m ） （4-18） 或
[]?π
?≤?=
180GI T P max （°/m ） （4-19） 例3-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，300
3=N 马力，已知[]70=τMPa ，[]1=?°/m ，80=G GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。
解： 1）计算外力偶矩
70247024
1
==n
N m A （N ·m ） 6.28097024
2
==n
N m B （N ·m ） 4.42147024
3
==n
N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径d AB 段：由强度条件，
[]τπτ≤==
3
1max 16d T W T t
[]
8010
707024
16163
6
3
1≈???=≥πτπT
d （mm ） 由刚度条件
[]?ππ?≤?=
18032
d
G T 4
1
6.841
1080180
702432][G 180T 32d 42
94
21=?????=?≥π?π（mm ） 取 6.841=d mm
BC 段：同理，由扭转强度条件得 672≥d mm 由扭转刚度条件得 5.742≥d mm 取5.742=d mm
例3-4 如图4-14所示等直圆杆，已知
10m 0=KN ·m ，试绘扭矩图。
解：设两端约束扭转力偶为A m ，B m
（1）由静力平衡方程0=∑x m 得
000=-+-B A m m m m
B A m m = （a ） 此题属于一次超静定。
（2）由变形协调方程（可解除B 端约束），用变形叠加法有
03
2
1
B B B B =+-=φφφφ （b ）
（3）物理方程
p 0B GI a m 1
?-=
φ，p 0B GI a 2m 2?+=φ，p
B B GI a
3m 3?-=φ （c ） 由式（c ），（b ）得
0GI a 3m GI a 2m GI a m p
B p 0p 0=?-?+?-
即
0m 3m 2m B 00=-+-
并考虑到（a ），结果
3
m m m 0
B A =
= 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c 所示。
§3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算
螺旋弹簧如图4-15a 所示。当螺旋角
5<α时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内1．弹簧丝横截面上的应力
如图4-15b 以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面
上剪力由Q 引起的剪应力214d P A Q πτ==
，而且认为1
τ均匀分布于横截面上（图4-15c ）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由T 引起的最大剪应力（图4-15d ）332816d PD
d T W T t ππτ=== P Q =，扭矩PD T 2
1
=。，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。
所以在簧丝横截面内侧A 点有
3
321max 8218d
PD
k D d d PD ππτττ=??? ??+=
+= （4-20） 其中 D
2d
1k += （4-21） 当10
1
D
d
<，略去剪应力1τ所引起的误差005<τ，可用近似式
3
max d
PD
8πτ=
（4-22） 对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，D
d
的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还
要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数k 的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是
[]ττ≤max （4-23）
式中：[]τ—弹簧丝材料的许用剪应力
2. 弹簧的变形
设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为λ，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a 、b ，外力对弹簧做功λP 2
1
W =。簧丝横截面上，距圆心为ρ的任意点的扭转剪应力为
4
41632
21
d
PD d PD I T P πρ
πρ
ρτρ=== （a ） 如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是
8
22
2221282d G D P G u πρτρ
=
= （b ） 弹簧的变形能应为
?=V
udV U （c ）
此处ds dA dV ?=，其中ρπρd 2dA ?=，弹簧丝总长为n D S ?=π，n 为弹簧有效圈数。 于是积分式（c ）得
4
322
d
82222Gd n
D P 4d 2d G D P 128Dn U =?=?
ρπρπρπ （d ）
由λP W U 2
1
=
=，则得到 4
343648Gd n PR Gd n PD ==λ （4-24）
式中2D R =是弹簧圈的平均半径。若引入记号n
D Gd c 3
4
8= 则式（4-24）可写成
c
P
=
λ （4-25） c 代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见λ与c 成反比，c 越大则λ越小。
例3-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径mm 5.59=R ，簧丝直径mm 14=d ，有效圈
数5=n 。GPa 80=G 。弹簧工作时受3P max =KN ，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）
解：由变形公式求最大压缩量
4
3933343)
1014(10805)105.59(105.264Gd n PR 64--??????==λ mm m 8.5410543
=?=-
考虑剪切力时
3
33
33max )
1014(105.592105.28)5.594141(d PD 8)D 2d 1(--???????+=+=ππτ MPa 292276059.1=?=
不考虑剪力影响时MPa 276'm ax =τ，相差5.9% 。由于10
1
8.11D
d >= ，还应考虑曲率影
响，此处从略。
§3-7 非圆截面杆的扭转问题
工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a 。
杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b ）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c ）：
1）边缘各点的剪应力τ与周边相切，沿周边方向形成剪流。 2）max τ发生在矩形长边中点处，大小为：
k
max W T
=
τ ， 2k hb W α= （4-26）
次大剪应力发生在短边中点，大小为
max 1v ττ=
四个角点处剪应力0=τ。 3）杆件两端相对扭转角φ k
GI Tl
=
φ ， 2k hb I β= （4-27） 其中系数v ,,βα与
b
h
有关，可查表（见有关参考书）。 注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。
当
10>b
h 时，截面成为狭长矩形，此时31
≈=βα，若以δ
表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为
???
?
??
?
=
=
k k max GI Tl W T φτ （4-28）
其中2k h 31W δ=
，3k h 3
1
I δ=，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d 所示。
在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：
（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；
（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。
例3-6 某柴油机曲轴的曲柄截面Ⅰ—Ⅰ可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若mm 22=b ，mm 102=h ，已知曲柄所受扭矩
为m N 281?=T ，试求这一矩形截面上的最大剪应力。 解：由截面Ⅰ—Ⅰ的尺寸求得
64.422
102==b h 查表，并利用插入法，求出 287.0=a
于是得
()
MPa 8.19102210102287.0281
2
3
32max =???=
=
--ahb T τ
圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的 _______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是 ________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的 _________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用 _________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（） 5、扭矩就是受扭杆件某一横截面在、右两部分在该横截面上相互作用的分布内力系合力偶矩。（）
第四章扭转的强度与刚度计算.
41 一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C B m (d ) (e ) 图19-5 (b )
第9讲 圆轴扭转时的变形和刚度条件
第9讲教学方案——圆轴扭转时的变形和刚度条件非圆截面杆的扭转
§3-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p GI Tdx d =φ 所以 p l 0p l GI Tl dx GI T d = ==? ?φφ（rad ） （4-17） 式中p GI 称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。p GI 越大，则扭转角φ越小。 让dx d φ ?= ，为单位长度相对扭角，则有p GI T = ?（rad/m ） 扭转的刚度条件： []??≤= P max GI T （rad/m ） （4-18） 或 []?π ?≤?= 180GI T P max （°/m ） （4-19） 例3-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，300 3=N 马力，已知[]70=τMPa ，[]1=?°/m ，80=G GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。 解： 1）计算外力偶矩 70247024 1 ==n N m A （N ·m ） 6.28097024 2 ==n N m B （N ·m ） 4.42147024 3 ==n N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径d AB 段：由强度条件，
[]τπτ≤== 3 1max 16d T W T t [] 8010 707024 16163 6 3 1≈???=≥πτπT d （mm ） 由刚度条件 []?ππ?≤?= 18032 d G T 4 1 6.841 1080180 702432][G 180T 32d 42 94 21=?????=?≥π?π（mm ） 取 6.841=d mm BC 段：同理，由扭转强度条件得 672≥d mm 由扭转刚度条件得 5.742≥d mm 取5.742=d mm 例3-4 如图4-14所示等直圆杆，已知 10m 0=KN ·m ，试绘扭矩图。 解：设两端约束扭转力偶为A m ，B m （1）由静力平衡方程0=∑x m 得 000=-+-B A m m m m B A m m = （a ） 此题属于一次超静定。 （2）由变形协调方程（可解除B 端约束），用变形叠加法有
扭转习题解答
第7章圆轴扭转 主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图； （2）圆轴扭转时的应力和强度计算； （3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。 圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图 1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。 解：截面上与T对应的切应力分布图如下： 2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。 图7-2 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-311。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+?-+-T m kN ）（，可得m kN T ?=-322。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-133。 b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-511。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+?+-T m kN ）（ ，可得m kN T ?-=-1022。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+?+-T m kN ）（ ，可得m kN T ?-=-633。 3. 作下图各杆的扭矩图。 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-222。作出扭矩图。 a) b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算 扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。 圆轴扭转时的应力和强度计算 4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小； （2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。 解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩： m N m N n P T ?=??==716100 5.795509550 （1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：
圆轴扭转时的应力与强度计算 许秀兰
教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算学 校 潍坊工商职业学校 执教人许秀兰授课 班级 13机电一、二班 课程名 称工程力学课 时 2节（90分钟） 课题第九章第二节 圆轴扭转时的应 力与强度计算 课 型 新授课 一、教材及教学内容分析 1．使用教材21世纪高职高专规划教材《工程力学》机械工业出版社张秉荣等主编 2．本章教材处理本章共三节：从扭转概念入手，对圆轴扭转时的内力、应力和变形进行分析，并给出扭转变形的强度和刚度的计算与校核方法。根据教学过程以及学生构建知识的思维方式，将本章五节的知识内容融为一体，安排6个课时如下： 第一、二课时扭转的概念、扭矩与扭矩图 第一部分 第三、四课时圆轴扭转时的应力与强度计算 第五、六课时圆轴扭转时的变形与刚度计算 3．教学内容分析第九章第二节圆轴扭转时的应力与强度计算 圆轴扭转时的应力 惯性矩I p和抗扭截面系数W p 圆轴发生扭转时强度计算 (1)教材的缺陷：教材中本节内容中的圆轴扭转时的应力分布规律及切应力公式的推导，理论性较强，且用到高等数学中相关的积分与求导知识，不便于学生理解与学习。 (2)教学内容的处理：为此对本节教学内容进行重新整合，力求以应用为导向，在基础理论的学习上，坚持必需、够用的原则，简化理论推导过程，注重理论应教材本节内容结构
用。 二、教学对象分析 1．学情分析 ①学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱； ②学生分析问题、解决问题能力较差，抽象思维水平较低；但喜欢动手操作，习惯于直观性较强的学习方式； ③该班学生初步形成了民主、平等、互助的学习气氛，有利于老师在课堂上展开形式多样的教学活动。 2．分组方式全班学生分成五个小组。把学习成绩最好及学习积极性高的学生分成两组，其余的学生分为三个小组，每组由成绩中等的学生带领成绩较差的学生进行学习。 三、教学目标 1、知识目标：①掌握圆轴扭转的内力分布规律及切应力的求解； ②掌握圆轴扭转的强度条件； ③能灵活运用圆轴扭转的强度条件进行相关计算。 2、能力目标：①具有将工程实例简化成力学计算模型的能力 ②具有对构件进行承载能力验算的能力 ③具有观察问题、分析问题和解决问题的能力 3、情感目标：①善于思考，具有创新意识 ②具有一定的沟通知识和技巧 ③具有与人合作的精神和认真严谨的学习态度
轴扭转计算
第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。 图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。 图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。 图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。 图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，
范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.
解：1、轴的强度计算M T τ 轴max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 × 10 6 × 2、轴套的强度计算π × 66 3 × 10 ?9 = 3387 N ? m 16 习题 4－6 图τ 套 max = Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ? Wp2 πD ??1 ? ( ? 16 ? 80 ? 6 ?? 17 ? 4 ? π × 80 3 ?9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ?1 ? ??? = 2883 N ? m 16 ??? 20 ??? 3、结论Tmax ≤ T2 = 2883 N ? m = 2.883 kN ? m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。试：习题 4－7 图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6 τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1），于是有习题 4－7 解图Mx = ∫ A D D ? τd A = ? τ ? π Dδ 2 2 由此得到δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式，有3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ?δ δ 2π D τ= 2M x 即：τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应
第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
基础篇之四 第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。 4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算： [][] e kw 9549 [N m]r /min P M n =? 其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s ），则 e [] 7024 [N m][r /min] P M n =?马力 外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。 图4－1 受扭转的圆轴 用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有 M x －M e = 0 由此得到
图4－3 剪应力互等 M x = M e 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。 当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。 【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。试画出扭矩图。 解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得： M x = －2M e 0x l ? ≥≥ 因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。 同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩： M x = +3M e 2l x l + ≥≥ 因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。 建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。 从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。 4－2 剪应力互等定理 剪切胡克定律 4－2－1 剪应力互等定理 考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘 后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡 图4－2 例题4－1图
圆轴扭转时的变形和刚度条件
第10讲教学方案 ——圆轴扭转时的变形和刚度条件 非圆截面杆的扭转 基 本 内 容 圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形 教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。 2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。 3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。 重 点 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。 本节难点：对圆轴变形程度的理解。
§4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p GI Tdx d =φ 所以 p l 0p l GI Tl dx GI T d ===∫ ∫φφ（rad ） （4-17） 式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量p GI 与极惯性矩乘积。越大，则扭转角p GI φ越小。 让dx d φ ?= ，为单位长度相对扭角，则有p GI T = ?（rad/m ） 扭转的刚度条件： []??≤= P max GI T （rad/m ） （4-18） 或 []?π ?≤×= 180GI T P max （°/m ） （4-19） 例4-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，马力，已知[]300 3=N 70=τMPa ，[]1=?°/m ，GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。 80=G 解： 1）计算外力偶矩 70247024 1 ==n N m A （N ·m ） 6.28097024 2 ==n N m B （N ·m ） 4.42147024 3 ==n N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径 d AB 段：由强度条件，
圆轴扭转时的应力与强度计算 许秀兰
教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算
1．学情分析 学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱； 学生分析问题、解决问题能力较差，抽象思维水平较低；但喜欢动手操作，习惯于直观性较强的学习方式； 该班学生初步形成了民主、平等、互助的学习气氛，有利于老师在课堂上展开形式多样的教学活动。 2．分组方式全班学生分成五个小组。把学习成绩最好及学习积极性高的学生分成两组，其余的学生分为三个小组，每组由成绩中等的学生带领成绩较差的学生进行学习。 1、知识目标：掌握圆轴扭转的内力分布规律及切应力的求解； 掌握圆轴扭转的强度条件； 能灵活运用圆轴扭转的强度条件进行相关计算。 2、能力目标：具有将工程实例简化成力学计算模型的能力 具有对构件进行承载能力验算的能力 具有观察问题、分析问题和解决问题的能力 3、情感目标：善于思考，具有创新意识 具有一定的沟通知识和技巧 具有与人合作的精神和认真严谨的学习态度
八、教学程序 阶 段 教学内容教师活动学生活动教学意图 创 设 情 境，导入新课（5分钟）圆轴扭转时横截面上的应力 （模拟薄壁圆筒扭转实验） 教师展示 课件，模拟 薄壁圆筒 扭转实验, 积极引导 学生观 察思考， 学生根 据常识 及上节 课所学 内容回 答问题。 正式教学内容 之前，创设情 境，引起学生 的好奇与思 考，激发学生 的求知欲和内 在动机，产生 学习的愿望和 意向。
模拟练兵 提高技能 技能训练 例1：某一传动轴所传递的功率 P=80kW，其转速n=582r/min， 直径d=55mm，材料的许用切 应力MPa， 试校核该轴的强度。 例2：如图所示的实心传动轴， N k1=50KW，N k2=150KW， N k3=100KW，n=300r/min，许 用应力[τ]=100MPa，试设计此轴 的直径D。 明确提出所 求问题，巡堂 指导学生思 考、分析； ②引导学生逆 向推导所求各 项问题； ③注意根据实 际情况作出及 时的指导或提 出新的要求。 学生在 老师的引 导下，思 考所求问 题及应用 到的原理 与公式 对所求 结果能灵 活分析、 判断。 结合工程实例， 讲解圆轴扭转 强度条件应用， 培养学生分析 问题、解决问题 的能力，提高学 生的职业素养。
圆轴扭转时的应力与强度条件
圆轴扭转时的应力与强度条件 扭转是杆件的基本变形形式之一。工程中有些杆件，因承受作用平面垂直 于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。本讲主要分析圆截面杆的扭转。非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。 图1 圆轴的扭转 扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。 ● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。 ● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 一、圆轴扭转的应力 图2 圆轴扭转的剪应力分布图 图2中， t W T =max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。实心圆轴 16 3 D W n π= ，空心圆轴D d D W n 16) (44-= π。 二、扭转强度分析 为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即 A B m ax m τ
][max ττ≤= t W T （9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。 例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。根据强度确定轴的直径。 解: (1) 计算力偶距m 2 。 m N m m m .3.194312=+= （2）画扭矩图。 （3）根据强度条件计算直径。 从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。 ][163 max max max τπτ≤== D T W T t [] m 0272.010 4014.3155 16163 6 3 max =???= ≥ τπT D 1 2 3 1 m 2 m 3 m 0.3 0.4m x T 155N.m 39.3N.m
圆轴扭转里分析
6．1 圆轴扭转的概念扭转变形Torsion 轴Shaft ——发生扭转变形的杆件。 圆轴扭转Torsional Loads on Circular Shafts 工程背景Background： 力学模型model 扭转变形的特点：
1)受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 2)变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。 6．2 扭矩和扭矩图 首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。 6．2．1外力偶矩的计算 式中，M e 为外力偶矩Torque （N·mm ）； P Power 为功率（kW ）； n为转速Rotational velocity （r／min ）。 主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同； 从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。 6．2．2圆轴扭转时的内力——扭矩torque 截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：
以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 6．2．3扭矩图 例输入一个不变转矩Me1 ，不计摩擦，轴输出的阻力矩为Me2 ＝2Me1 ／3，Me3 ＝Me1 ／3，外力偶矩Me1 、Me2 、Me3 将轴 分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 扭矩图——用平行于杆轴线的x 坐标表示横截面的位置，用垂直于x 轴的坐标M T 表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。 6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6．3．1圆轴扭转时横截面上的应力 ?受扭圆轴横截面上有何应力？ ?应力如何计算？
圆轴的扭转习题+答案
一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。 4、在扭转杆上作用集中外力偶的地方，所对应的扭矩图要发生________,_________值的大小和杆件上集中外力偶之矩相同。 5、圆轴扭转时，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心的距离成___________。 6、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 7、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其剪应变必然_________。 8、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 9、圆轴扭转时，横截面上剪应力的大小沿半径呈______规律分布。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的剪应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。 16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的_________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用_________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（） 5、扭矩就是受扭杆件某一横截面在、右两部分在该横截面上相互作用的分布内力系合力偶矩。（） 7、扭矩的正负号可按如下方法来规定：运用右手螺旋法则，四指表示扭矩的转向，当拇指指向与截面外法线方向相同时规定扭矩为正；反之，规定扭矩为负。（） 9、对于产生扭转变形的圆杆，无论处于弹性变形阶段还是塑性变形阶段，其剪应力总是与庐点到圆心的距离成正比。（） 10、横截面为圆形的直杆在产生扭转变形时作出的平面假设仅在弹性范围内成立。（） 13、一空心圆轴在产生扭转变形时，其危险截面外缘处具有全轴的最大剪应力，而危险截面内缘处的剪应力为零。( ) 14、粗细和长短相同的二圆轴，一为钢轴，另一为铝轴，当受到相同的外力偶作用产生弹性扭转变形时，其横截面上最大剪应力是相同的。（） 17、圆轴横截面上的扭矩为T，按强度条件算得直径为d，若该横截面上的扭矩变为，则按强度条件可算得相应的直径。（） 22、实心圆轴材料和所承受的载荷情况都不改变，若使轴的直径增大一倍，则其单位长度扭转角将减小为原来的1/16。（） 23、两根实心圆轴在产生扭转变形时，其材料、直径及所受外力偶之矩均相同，但由于两轴的长度不同，所以短轴的单位长度扭转角要大一些。（） 三、选择题 1、汽车传动主轴所传递的功率不变，当轴的转速降低为原来的二分之一时，轴所受的外力偶的半偶矩较之转速降低前将（） A、增大一倍数 B、增大三倍数 C、减小一半 D、不改变 2、圆轴AB扭转时，两端面受到力偶矩为m的外力偶作用于，若以一假想截面在轴上C处将其截分为左、右两部分（如图所示），则截面C上扭矩T、Tˊ的正负应是（） A、T为正，Tˊ为负