第五节 二次函数的图像及性质
五年中考真题及模拟
二次函数的图像及性质
1.
(2017河北中考)如图,若抛物线y =-x 2
+3与x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)
的个数为k ,则反比例函数y =k x (x >0)的图像是( D )
,A ) ,B )
,C ) ,D )
2.(2017石家庄中考模拟)二次函数y =-2(x -3)2-6图像的对称轴和最值分别为( B )
A .直线x =-3,6
B .直线x =3,6
C .直线x =-3,-6
D .直线x =3,-6
3.(2017保定中考模拟)已知两点A(-5,y 1),B(3,y 2)均在抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)上,点C(x 0,y 0)是
该抛物线的顶点.若y 1>y 2≥y 0,则x 0的取值范围是( B )
A .x 0>-5
B .x 0>-1
C .-5<x 0<-1
D .-2<x 0<3
4.(2016石家庄四十三中一模)已知二次函数y =2(x -3)2+1.下列说法:①其图像的开口向下;②其图像的
对称轴为直线x =-3;③其图像顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y 随x 的增大而减小.其中说法正确的有( A ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
5.(2017唐山中考模拟)某同学在用描点法画二次函数y =ax 2+bx +c 的图像时,列出了下面的表格:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -11 -2 1 -2 -5 …
A .-11
B .-2
C .1
D .-5
二次函数表达式的确定
6.(2016保定十七中模拟)如图,正方形ABCD 的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直.若小正方形的边长为x ,且0<x≤10,阴影部分的面积为y ,则能反映y 与x 之间函数关系的大致图像是( D )
,A ),B ),C ),D )
7.(2017保定中考模拟)若将抛物线y =2x 2向左平移1个单位长度,则所得的抛物线是( C )
A .y =2x 2+1
B .y =2x 2-1
C .y =2(x +1)2
D .y =2(x -1)2 8.(2016保定十七中一模)已知抛物线y =x 2-x -1与x 轴的一个交点为(m ,0),则代数式m 2-m +2 015的值
为__2__016__.
9.(2015河北中考)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l :y =-(x -h)2+1(h 为常数)与y
轴的交点为C.
(1)l 经过点B ,求它的表达式,并写出此时l 的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C 的纵坐标为y C ,求y C 的最大值,此时l 上有两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),其中x 1>x 2≥0,比较y 1与y 2的大小;
(3)当线段OA 被l 只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h 的值.
解:(1)把x =2,y =1代入y =-(x -h)2
+1,得h =2.∴表达式为y =-(x -2)2+1(或y =-x 2+4x -3).对
称轴为直线x =2,顶点B(2,1);
(2)点C 的横坐标为0,则y C =-h 2+1,∴当h =0时,y C 有最大值为1.此时,l 为y =-x 2+1,对称轴为y 轴,
当x≥0时,y 随着x 的增大而减小,∴x 1>x 2≥0时,y 1<y 2;
(3)把OA 分1∶4两部分的点为(-1,0)或(-4,0).把x =-1,y =0代入y =-(x -h)2+1,得h =0或h =
-2.但h =-2时,OA 被分为三部分,不合题意,舍去.同样,把x =-4,y =0代入y =-(x -h)2+1,得h =-5
或h =-3(舍去).∴h 的值为0或-5.
10.(2014河北中考)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H ,O 九个格点.抛
物线l 的表达式为y =(-1)n x 2+bx +c(n 为整数).
(1)n 为奇数,且l 经过点H(0,1)和C(2,1),求b ,c 的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;
(2)n 为偶数,且l 经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;
(3)若l 经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
解:(1)n 为奇数时,y =-x 2+bx +c.
∵l 经过点H(0,1)和C(2,1),
∴?????c =1,-4+2b +c =1,解得?
????b =2,c =1, ∴抛物线的表达式为y =-x 2+2x +1,
∴y =-(x -1)2+2,
∴顶点为格点E(1,2);
(2)n 为偶数时,y =x 2+bx +c ,
∵l 经过点A(1,0)和B(2,0).
∴?????1+b +c =0,4+2b +c =0,解得?
????b =-3,c =2. ∴抛物线的表达式为y =x 2-3x +2,
当x =0时,y =2,
∴点F(0,2)在抛物线y =x 2-3x +2的图像上,点H(0,1)不在抛物线y =x 2-3x +2的图像上;(3)所有满足
条件的抛物线共有8条.
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数得基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数得概念:一般地,形如(就是常数,)得函数,叫做二次函数。这里需要强调:与一元二次 方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数得定义域就是全体实数. 2、二次函数得结构特征: ⑴等号左边就是函数,右边就是关于自变量得二次式,得最高次数就是2. ⑵就是常数,就是二次项系数,就是一次项系数,就是常数项. 二、二次函数得基本形式 1、二次函数基本形式:得性质: a 得绝对值越大,抛物线得开口越小。 2、得性质:上加下减。 3、得性质:左加右减。 4、得性质: 三、二次函数图象得平移 在原有函数得基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成 (或) ⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或) 四、二次函数与得比较 从解析式上瞧,与就是两种不同得表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中. 五、二次函数图象得画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取得五点为:顶点、与轴得交点、以及关于对称轴对称得点、与轴得交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称得点)、 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴得交点,与轴得交点、 六、二次函数得性质 1、当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为. 当时,随得增大而减小;当时,随得增大而增大;当时,有最小值. 2、当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随得增大而增大;当时,随得增大而减小;当时,有最大值. 七、二次函数解析式得表示方法 1、一般式:(,,为常数,); 2、顶点式:(,,为常数,); 3、两根式:(,,就是抛物线与轴两交点得横坐标)、 注意:任何二次函数得解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有得二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线得解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式得这三种形式可以互化、 八、二次函数得图象与各项系数之间得关系 1、二次项系数 二次函数中,作为二次项系数,显然. ⑴当时,抛物线开口向上,得值越大,开口越小,反之得值越小,开口越大; ⑵当时,抛物线开口向下,得值越小,开口越小,反之得值越大,开口越大. 总结起来,决定了抛物线开口得大小与方向,得正负决定开口方向,得大小决定开口得大小. 2、一次项系数 在二次项系数确定得前提下,决定了抛物线得对称轴. ⑴在得前提下, 当时,,即抛物线得对称轴在轴左侧; 当时,,即抛物线得对称轴就就是轴; 当时,,即抛物线对称轴在轴得右侧. ⑵在得前提下,结论刚好与上述相反,即 当时,,即抛物线得对称轴在轴右侧; 当时,,即抛物线得对称轴就就是轴; 当时,,即抛物线对称轴在轴得左侧. 总结起来,在确定得前提下,决定了抛物线对称轴得位置. 得符号得判定:对称轴在轴左边则,在轴得右侧则,概括得说就就是“左同右异” 总结: 3、常数项 ⑴当时,抛物线与轴得交点在轴上方,即抛物线与轴交点得纵坐标为正; 二次函数知识点整理: 1.二次函数的图象特征与a ,b ,c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 (1)字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值. a >0时开口向上,函数有最小值; a <0时开口向下,函数有最大值; a 相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a 越大,开口越小. (2)字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a ≠0,b=0), 对称轴为y 轴; ab >0(a 与b 同号),对称轴在y 轴左侧; ab <0(a 与b 异号),对称轴在y 轴右侧. (3)字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0, 抛物线经过原点; c >0,抛物线与y 轴正半轴相交; c <0,抛物线与y 轴负半轴相交. (4)ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0,抛物线与x 轴有唯一交点(顶点); ac b 42->0抛物线与x 轴有两个不同的交点; ac b 42-<0抛物线与x 轴无交点. 2.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到,具体平移方法如 下: 【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法 (1)设一般式:c bx ax y ++=2 (a ,b ,c 为常数、a ≠0) 若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般式,求出a,b,c 的值 (2)设顶点式:()k h x a y +-=2 (a,h,k 为常数,a ≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. (3)设两点式:()()21x x x x a y --=(a ≠0,a 、1x 、2x 为常数) 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ,将第三点(m,n ) 的坐标(其中m ,n 为已知数)或其他已知条件代入所设交点式,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般形式. 4. 二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 (1)二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程02=++c bx ax (2)一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. (3)二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. (4)在它俩的关系中,判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面 (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系; (2)用二次函数解决最大化问题即最值问题. 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2 沿 y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者, 即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点梳理
二次函数知识点整理
二次函数知识点总结及典型题目
二次函数知识点汇总(全)
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结