任意奇数阶幻方的罗伯移步法
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
学习心得
范贤荣2016.2.25
在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere）法。读后，我有心得如下：
1、罗伯（loubere）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步地填写就可以了。
2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。
3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。
4、罗伯法的口诀，对“1居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨论一下：
这个口诀，只适用于“1居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。
罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。
因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1还可以在其他点格上。
5、1还可以在那些点格上呢？
我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）那么，各阶数方阵有几个幻方，1点在何处，可见下表：
我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到1的位置。
5阶幻方的1点在幻和为65的格子内。
方法是：
1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如，5阶
2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5阶幻和65。
3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图
4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到1在那些点格了。
5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完5阶，我就知道7阶了。因此，就少画了许多方阵。
6）其他不等于“幻和”的对角线之和，就是将“幻和”向两边逐步加减“阶2”。
例如5阶，52=25 65+25=90、90+25=115、65-25=40、40-25=15
心得汇报完毕。方阵附后：
7阶方阵
幻方的1点在175幻和的格子内
请大家注意图H和图1，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1；
2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；
3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）
4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3
的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；
5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图1，与左边的图H完全相同。
这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”
为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的口诀：
1居上行正中央，
依次斜排且莫忘；
上出框时往下写，
右出框时左边放；
重叠就在下格填，
右上出框也一样。
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
任意奇数阶幻方的罗伯移步法 学习心得 范贤荣2016.2.25 在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere ）法。读后，我有心得如下： 1、罗伯（loubere ）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步 地填写就可以了。 2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因 此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现 了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。 3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。 4、罗伯法的口诀，对“1 居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨 论一下： 这个口诀，只适用于“1 居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。 罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。 因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1 居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1 还可以在其他点格上。 5、1 还可以在那些点格上呢？ 我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）
那么，各阶数方阵有几个幻方， 1 点在何处，可见下表： 我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到 1 的位置。 5 阶幻方的1 点在幻和为65 的格子内。 方法是： 1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如， 5 阶 2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5 阶幻和65。 3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图 4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到 1 在那些点格了。5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完5 阶，我就知道7 阶了。因此，就少画了许多方阵。
幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六
简单易学的两种还原魔方的口诀及公式图解详解
图解简单易学的两种还原魔方的常用口诀公式 前言 我们常见的魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： （图1） 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 （见图2）注：（这里以白色为底面，因为以后的教程都将以白色为底面， 为了方便教学，请都统一以白色为准）。 （图 2）
认识公式 （图3）（图4）公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示 （图5）
（图6） （图7）
（图8） 三阶魔方入门玩法教程（一） 步骤一、完成一层 首先要做的是区分一层和一面：很多初学者对于“一面”与“一层”缺乏清楚的认识，所以在这里特别解释一下。所谓一层,就是在完成一面(如图2的白色面)的基础上,白色面的四条边,每条边的侧面只有一种颜色,图(2). 如图（1）中心块是蓝色，则它所在面的角和棱全都是蓝色，是图(2)的反方向 图（3）和（4）则是仅仅是一面的状态,而不是一层! （1）（2） （3）（4） 注：图（2）和（4）分别是图（1）和（3）的底面状态 想完成魔方，基础是最重要的，就像建筑一样，魔方也如此，基础是最重要的。
由于上文提到过中心块的固定性，这一性质，在魔方上实质起着定位的作用，简单的说就是中心块的颜色就代表它所在的面的颜色。 一、十字（就是快速法中的CROSS ） 第一种情况如图所示： 公式为R2 第二种情况如图所示： （白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色） 橙白块要移到上右的位置，现在橙白块在目标位置的下面。但其橙色片没有和橙色的中心块贴在 一起。为此我们先做D’ F’ 即把橙色粘在一起，接着 R 还原到顶层,， F 是把蓝白橙还原到正确的位置(上面的F’ 使蓝白块向左移了九十度)。 公式为D’ F’ R F 图解： 当然，架十字不只只有上面两种情况，现我们在分析下其它的一些情况吧！ 如下图： 橙白块的位置己对好，但颜色反了，我就先做R2化成第二种情况，然后用还原第二种情况的 （橙色下面颜色为白色，为方便观察，特意翻出颜色）
(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法 ——对杨辉口诀的讨论 范贤荣2016.3.8 关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。见图1。 图1 杨辉口诀的画法 可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。 图2 菱中取方的画法 现在,我们很多人用的是“取方框”画法。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易，左右相更”了。所以，就不需要“四维挺出”了。因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。 所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成： 各子斜排为菱形，中间取方当作城， 城外有子城内空，四围都往城中进。 挺进多少方可止，几阶就挺几步深。 注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。 注2：“几阶就挺几步深”。如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。见图2。
下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。 图3 5阶菱方阵与幻方 图4 7阶菱方阵与幻方
图5 9阶菱方阵与幻方 图6 11阶菱方阵与幻方
图7 11阶幻方 图8 13阶菱方阵
图9 13阶幻方
幻方填入规律
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方
方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 (2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。 单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
三阶魔方公式口诀图解(新手快速入门)
三阶魔方公式口诀图解(新 手快速入门) 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
三阶魔方玩法与口诀 目录 一、前言 ________________________________________________ - 2 - 二、认识公式 ____________________________________________ - 2 - 三、拧魔方的步骤与口诀___________________________________ - 4 - 步骤一、完成一层 ______________________________________ - 4 - （一）完成第一层十字 _______________________________ - 4 - （二）完成第一层角块 _______________________________ - 5 - 步骤二、完成第二层 ____________________________________ - 6 - 步骤三、完成顶层 ______________________________________ - 8 - （一）顶层十字 _____________________________________ - 8 - （二）顶层平面 _____________________________________ - 9 - （三）顶层角块 ____________________________________ - 10 - （四）顶层棱块 ____________________________________ - 11 -
数据结构 第5章 魔方阵
数据结构 实验报告第五章 实验名称：魔方阵 实验类型：设计性实验 班级： 学号： 姓名： 实验日期：2014年6月7日 1.问题描述 魔方阵是一个古老的智力问题，它要求在一个m×m的矩阵中填入1～m2的数字（m为奇数），使得每一行、每一列、每条对角线的累加和都相等，如图1所示。 基本要求 ●输入魔方阵的行数m，要求m为奇数，程序对所输入的m作简单的判 断，如m有错，能给出适当的提示信息。 ●实现魔方阵。 ●输出魔方阵。 2.数据结构设计 这个问题的数据结构使用数组就可以解决。 3.算法设计 ●由1开始填数，将1放在第0行的中间位置。 ●将魔方阵想象成上下、左右相接，每次往左上角走一步，会有下列情况： ?左上角超出上方边界，则在最下边相对应的位置填入下一个数字； ?左上角超出左边边界，则在最右边相应的位置填入下一个数字； ?如果按上述方法找到的位置已填入数据，则在同一列下一行填入下 一个数字。 以3×3魔方阵为例，说明其填数过程，如图2所示。
图2 三阶魔方阵的生成过程 由三阶魔方阵的生成过程可知，某一位置(x,y)的左上角的位置是(x-1,y-1),如果x-1≥0，不用调整，否则将其调整为x-1+m；同理，如果y-1≥0，不用调整，否则将其调整为y-1+m。所以，位置(x,y)的左上角的位置可以用求模的方法获得，即： x=(x-1+m)%m y=(y-1+m)%m 如果所求的位置已经有数据了，将该数据填入同一列下一行的位置。这里需要注意的是。此时的x和y已经变成之前的上一行上一列了，如果想变回之前位置的下一行同一列，x需要跨越两行，y需要跨越一列，即： x=(x+2)%m y=(y+1)%m 4.运行、测试与分析 (1)程序开始运行并输入。 （2）输出结果。 （3）容错检验。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按
幻方最优填法
如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64
三阶魔方公式口诀图解
三阶魔方玩法与口诀 目录 一、前言_____________________________________ 错误!未定义书签。 二、认识公式 _________________________________ 错误!未定义书签。 三、拧魔方的步骤与口诀 _______________________ 错误!未定义书签。 步骤一、完成一层___________________________ 错误!未定义书签。 （一）完成第一层十字____________________ 错误!未定义书签。 （二）完成第一层角块____________________ 错误!未定义书签。 步骤二、完成第二层_________________________ 错误!未定义书签。 步骤三、完成顶层___________________________ 错误!未定义书签。 （一）顶层十字__________________________ 错误!未定义书签。 （二）顶层平面__________________________ 错误!未定义书签。 （三）顶层角块__________________________ 错误!未定义书签。 （四）顶层棱块__________________________ 错误!未定义书签。 一、前言 魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正 6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 二、认识公式 公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示
偶数阶幻方
偶数阶幻方的一种制作方法－双偶阶、单偶阶幻方 1. 双偶阶幻方（对称交换法） n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n×n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法） n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2 （1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k 格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这
数阶幻方的
数阶幻方的编排方法． 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。 利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。 二、罗伯法 请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1； 2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边； 3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1） 4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把 5、6依次按斜上方向填入方格内； 5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。 重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H 完全相同。 这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？” 为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话： 1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。 罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。 三、巴舍法
数阶幻方的编排方法
精心整理 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。 先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我 1 2 3 图1） 4 然后把5 5 1 下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。步骤如下： ①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1） ②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）； ③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形； ④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。 这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。 需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。 练习（一定要完成的哦） 1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。 2、用“罗伯法”将21、31、32、41、4 3、61、121、125、12 7编成一个三阶幻方。 3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。 双偶数阶幻方的编排方法 一、中心对称交换法 例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。 【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格 34。 是3412＋16＝40（即2与3，＋14＋16＝58（即8与12例如2又如，9称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。 由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下： ①把1～16按顺序排成四阶自然方阵； ②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数； ③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。 运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。 例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。 【分析与解答】编排步骤如下: ①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图） ②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角
三阶魔方公式口诀图解简版
步骤一、完成一层 （一）完成第一层十字 第一种情况如图所示：公式为R2 第二种情况如图所示：公式为D’F’R F 其它的一些情况 先做R2化成第二种情况，然后用第二种情况公式 前右要移到上后。R’D’ R D2。两种情况分别化为上面第一、二种情况。 如果刚开始时橙白块也还没对好，直接R’ D移到后下！ （二）完成第一层角块 依然把十字放在顶层，还原角块时，我们首先在底层找有没有我们要还原的角，没有的话再到顶层去找！基本的两种情况为： 公式：D’R’ D R公式：R’D’ R 白色在底面！先做R’ D或D2 R就是上面第二种情况了！ 最后还有两种情况，角块的位置已经对好，但颜色没对好，如下图：：先做R’ D R化成第一种情况。 ：先做R’D’R D化成第二种情况即可！ 步骤二、完成第二层 开始还原第二层，把魔方倒过来，把做好的第一层放到底层 首先在顶层找有哪些块是可还原的。在顶层见到没有黄色的棱块均是要还原到第二层的。只有两种情况而已。 y’ R U R U R U' R' U' R' U’五顺五逆 R' U' R' U' R' U R U R U 五逆五顺 还有的情况就是位置正确但颜色没对好，或者已经在第二层但位置不对。先从顶层随便找个块“还原”到前右的位置 步骤三、完成顶层 （一）顶层十字 完成第二层后顶层会有以下三种情况：
针对上述三种情况，我们只需记住一个公式即：MUMUMUUM’UM’UM’UU：上顺上顺上顺顺下顺下顺下顺顺 我们最终的目的是使得顶面变成这样，如果你的魔方顶面已经是这样了，那这一步就可以直接跳过 状态1公式 状态2RB—公式—B’R’ 状态3公式整体转动魔方公式 （二）顶层平面 顶层拧完十字以后，只需学习以下两种左右公式： 第一种公式（左手公式）： 经过公式L’U’LU’L’ U2L（上逆下逆上顺顺下）就变为第二种公式（右手公式）： 经过公式RUR’URU2R’（上顺下顺上顺顺下）就变为7种情况 第一种：左手公式 第二种：右手公式 第三种：左手公式左手公式
(纯c语言运行通过)任意阶魔阵算法及规律
任意阶魔方阵算法 20012-05-30 22:51:00| 分类：魔阶作者：王狼杰 我一直就对魔方阵很感兴趣，特别是知道了奇数阶魔方阵的罗伯特算法后，就特别想知道偶数阶魔方阵应有什么算法。当时书上说偶数阶魔方阵比较复杂。都没有什么说明。因此这个问题一直搁在我心里很久，已差不多快忘记了。今天突然又想到了这个问题。于是我开始在网上搜寻，看能不能找到什么好的算法。记得在高中的时候，我就做过魔方阵，当时我从三阶一直做到过八阶方阵，不过用的是人工的方法。到大学的时候我知道了罗伯特算法后，我就用程序将算法写了出来。于是我今天准备把偶数阶的魔方阵也写出来。在网上终于找到了一个比较好的算法。将该算法用C写了出来。供大家分亨。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数： (1)、每一个数放在前一个数的右上一格； (2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义： 互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。 这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17； 把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 1 5 1 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。下面是8阶幻方的作法：(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
c语言奇数魔方阵
魔方阵，古代又称“纵横图”，是指组成元素为自然数1、2…n的平方的n×n 的方阵，其中每个元素值都不相等，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。 如3×3的魔方阵： 8 1 6 =15 3 5 7 =15 4 9 2 =15 || || || 15 15 15 15（对角线） 魔方阵的排列规律(奇数阵)： 1.将1放在第一行中间一列。 2.从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1。 3.如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n，列数加1。如果上一个数的列数的n时，下一个数的列数为1，行数减1。 4.如果按上面的规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。 #include
j=j+1; if((i<1)&&(j>n)) /*上一个数是第一行第n列时,则把下一个数放在上一个数的下面*/ { i=i+2; j=j-1; } else { if(i<1) i=n; /*上一个数的行数为1,则下一个数的行数为n,上一个数的列数的n时,下一个数的列数为1*/ if(j>n) j=1; } if(a[i][j]==0) a[i][j]=k; else { i=i+2; /*如果按上面的规则确定的位置上已有数,则把下一个数放在上一个数的下面*/ j=j-1; a[i][j]=k; } } for(i=1;i<=n;i++) /*输出魔方阵*/ { for(j=1;j<=n;j++) printf("%4d",a[i][j]); printf("\n"); } } n=5:
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标
双偶数阶幻方的 V字型对称交换法
双偶数阶幻方的V字型中心对称交换法 范贤荣2016.5.30 所谓双偶数（即4m式）幻方，就是阶数N能被4整除的幻方，比如4阶、8阶、12阶……。下面介绍的V字型中心对称交换法，适用于所有4m式偶阶幻方。 V字型中心对称交换法有两种具体的填写法 一是：V区内数字的中心对称交换，二是：V区外数字的中心对称交换 一、V区内数字的中心对称交换 该法的步骤是： 第一步，把双偶数这些数字按照顺序填写在N×N的表格中。 第二步，把这个表格平均分成四个小方阵。 第三步，选取方阵的上部二小方阵的V形两对角线及其与它们相间隔又平行的那些数，组成V区内数字。 第四步，将这些V区内数字与方阵的下部中心对称的那些数，进行交换。交换完毕，幻方即成。 例如：4阶幻方 第一步，把1-16这些数字按照顺序填写在4×4的表格中。 第二步，把这个表格平分成四个小方阵。如图1中粗线。 第三步，在4×4方阵的上部的二小方阵中，取两对角线1、6和7、4组成V形两对角线。因为，4阶无与V形两对角线“相间隔又平行的那些数”。所以，无另外的那部分。因此，4阶幻方用此法是特例，其结果如同“对角线中心对称交换法”。 图1 第四步，将这些数字与方阵的下部中心对称的那些数，即1、16，6、11，4、13， 7、10进行交换。如图2即4阶幻方 图2
例如：8阶幻方 第一步，把1-61这些数字按照顺序填写在8×8的表格中。 第二步，把这个表格平分成四个小方阵。如图3中粗线。 第三步，在8×8方阵的上部的二小方阵中，取两对角线1、10、19、28和8、15、 22、29组成V形两对角线（红色）。还有，与V形两对角线“相间隔又 平行的那些数”，例如3、12，17、26和6、13，24、31等（黄色）组 成V区数字。 图3 第四步，将这些数字与方阵的下部中心对称的那些数，即1、10、19、28与64， 55、46、37等进行交换。如图4即8阶幻方 图4
魔方阵解答
P141 5.求Sn=a+aa+aaa+…+aa ….a 之值，其中a 是一个数字。如：2+22+222+2222(n=4),n 由键盘输入。 7.求 ∑∑∑===++100 150110 1 2 1k k k k k k
P168 7.输出魔方阵，所谓魔方阵是指这样的方阵，它的每一行、每一列和对角线之和均相等。
解：魔方阵中各数的排列规律如下： 1.）将1放在第一行中间的一列。 2.) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规律存放:每一个数存放的行比前一个数的行数减 1，列数加1（如三阶魔方阵，5在4的上一行，后一列）。 3）如果上一数的行数为一，则下一个数的行数为n（指最下一行）。例如，1在第一行，则2应放在最下一行，列数加1。 4）当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减1。例如，2在第3行最后一列，则3应放在第2行第1列。 5）如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。例：4应放在第一行第二列，但位置已被1占据，所以4就放在3的下面。由于6是第一行第三列（即最后一列），故7放在6下面。 N-S图：
10.有一篇文章，共有3行文字，每行80个字符。要求分别统计出其中英文大写字母、小写 字母、数字、空格，以及其他字符个数。
解:N-S图 程序：
P218 4.编写一个函数，使给定的一个二维数组（3×3）转置（行列互换） 10.写一个函数，输入一行字符，将此字符串中最长的单词输出。 分析：单词是由全字母组成的字符串，程序中设longest函数的作用是找最长单词的位置。此函数的返回值是该行字符中最长函数单词的起始位置。Longest N-S图
奇数阶幻方
三阶幻方的解法 第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。 1 2 4 3 5 7 6 8 9 2 9 4 7 5 3 6 1 8 第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。7在左中，3在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下，正中央5） 第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样 8 1 6 3 5 7 4 9 2 四阶幻方的解法 1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵 2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换 （6，11）（7，10）互换 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 1 5 1 另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 （在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行, 所以1的右上方应该是第五行的第四个, 接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右