《常用逻辑用语》、《二次曲线》
《常用逻辑用语》、《二次曲线》
一、填空题
1．【江苏·无锡】11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =u u r u u u r
，则直线AB 的斜率为 ▲
2．【江苏·扬州】6．已知抛物线22y px =的准线与双曲线222x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 ()1,0 .
3．【江苏·扬州】11．已知1F 、
2F 是椭圆22x k ++21
y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ?的周长为8，则椭圆的离心率为
1
2
． 4．【江苏·淮、徐、宿、连】10.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 2
2
13
-=y x .
5．【江苏·南通】8． 以椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的
左焦点(,0)F c -为圆心，c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离
心率的取值范围是
▲ ．
6．【江苏·启东中学模拟】10．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，
的距离小1，则点P 的轨迹方程为 2
4y x =
7．【江苏·启东中学模拟】11．双曲线22
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 1
4
-
8．【江苏·启东中学】6．若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线
段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为
9．【江苏·苏北四市】9.椭圆
2
1
)0,0(12
2
2
2=
>>=+
e b a b
y a
x 的离心率，右焦点F （c,0），
方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是 ▲点P （x 1,x 2）在圆222=+y x 内 .
10．6．【江苏·苏州】椭圆22
14x y m
+
=的一条准线方程为m y =，则=m ___5_____．
11．【江苏·泰州实验】6．若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = -1 ．
12．【江苏·泰州】8、设12F F ，分别是椭圆22221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在
其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是
13?
?????
13．【江苏·盐城】10.在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM PN ?必为定值k ”.类
比于此，对于双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:____▲
若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM PN ?必为定值22
22
a b a b +_ __.
14．【江苏·盐城】12.设,A F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点与右焦点,若在其
右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是____▲1,12??
????
____.
15．【江苏·无锡】5．下列四个命题：
①2n n n ?∈R ，≥； ②2n n n ?∈ ③2n m m n ?∈?∈ 说明：请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号．如果题中的集合R 改成Z ，真命题的序号是①④，如果R 改成复数集C 呢？ 16．【江苏·淮、徐、宿、连】3.若命题“?x ∈R ，x 2+a x+1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是 )2,(--∞ ∪),2(∞+ . 17．【江苏·苏州】直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是__ a ＝－2___． 18．【江苏·盐城】11.现有下列命题:①命题“2,10x R x x ?∈++=”的否定是“2 ,10x R x x ?∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R e=A ；③ 函数()sin()(0)f x x ωφω=+>是偶函数的充要条件是()2 k k Z π φπ=+ ∈；④若非零 向量,a b 满足||||||a b a b ==- ,则()b a b - 与的夹角为 60o .其中正确命题的序号有____▲②③____.(写出所有你认为真命题的序号) 二、计算题 1．【江苏·无锡】18．（本小题满分15分） 已知椭圆22 21(01)y x b b +=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ．过 F 、B 、 C 作⊙P ，其中圆心P 的坐标为（m ，n ）． （Ⅰ）当m ＋n >0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB 与⊙P 能否相切？证明你的结论． 解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为（－c ，0），（0，b ），（1，0），则FC 、BC 的中垂线分别为 12 c x -= ，11 ()22b y x b -=-．………………………………………2分 联立方程组，解出2 1,2 .2c x b c y b -? =???-?=?? …………………………………………分 21022c b c m n b --+=+>，即20b bc b c -+->，即（1＋b ） （b －c ）>0， ∴ b >c ． …………………………………………………………………6分 从而22b c >即有222a c >，∴21 2 e <．…………………………………7分 又0e >，∴0e < < ． ……………………………………………8分 （Ⅱ）直线AB 与⊙P 不能相切．……………………………………………9分 由AB k b =，22102 PB b c b b k c -- =--＝2(1)b c b c +-． ………………………………10分 如果直线AB 与⊙P 相切，则b ·2(1) b c b c +-＝－1． ……………………12分 解出c ＝0或2，与0＜c ＜1矛盾，……………………………………14分 所以直线AB 与⊙P 不能相切． …………………………………………15分 2．【江苏·淮、徐、宿、连】18.(本小题满分16分) 设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 且与AF 垂直的光线经 椭圆的右准线反射，反射光线与直线AF 平行. (1)求椭圆的离心率； (2)设入射光线与右准线的交点为B ，过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线3x 一y+3=0相切，求椭圆的方程. 【解】⑴因为入射光线与反射光线垂直，所以入射光线与准线所成的角为?45，……2分 即?=∠45FAO ，所以b c = ． ………………………………6分 ⑵由⑴知,=b c a ，可得()()0,,2,A c B c c -，又A F A B ⊥，所以过,,A B F 三点的圆的圆心坐标为,22c c ?? - ??? ，半径12r FB == ， ……………………………………………8分 因为过,,A B F 三点的圆恰好与直线330x y -+=相切，…………………………10分 所以圆心到直线330x y -+=的距离等于半径r ， 即=，得 1c =， …………14分 所以1,b a =，所以椭圆的方程为2 212 x y +=． …………………………………16分 3． 4．【江苏·南通】18．（本小题15分） 抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y >><在抛物线上，且存在实数λ，使AF BF λ+= 0，25 ||4 AB = ． （1）求直线AB 的方程； （2）求△AOB 的外接圆的方程． 解：（1）抛物线24y x =的准线方程为1x =-． ∵AF BF λ+=0 ，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++． …1分 设直线AB ：(1)y k x =-，而12 121212 ,,0,0,0.y y k x x y y k x x -= >><∴>- 由2(1),4,y k x y x =-??=?得22222(2)0k x k x k -++=． …………………………3分 ∴212212 2(2),1, k x x k x x ?++=????=?|AB |=122x x ++= 22 2(2)2524k k ++=．∴2169k =．…6分 从而43 k = ，故直线AB 的方程为4 (1)3y x =-，即4340x y --=．…………8分 （2）由24340,4,x y y x --=??=? 求得A （4，4），B （1 4，－1）．………………………10分 设△AOB 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则 0,1616440,11 1()0.164F D E F D E F ??=?++++=???+++-+=?解得29,43,40. D E F ? =-?? ?=-??=?? ? ………………………………14分 故△AOB 的外接圆的方程为22293 044 x y x y +- -=．…………………15分 5．【江苏·启东中学模拟】17．（本小题满分14分）已知双曲线2 2: 1x C y -=，P 为C 上 的任意点。 （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值； 【解】（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点， 该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. 点11(,)P x y ， ?2211|4|4 55x y -==. 点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. （2）设的坐标为(,)x y ，则 222||(3)PA x y =-+ 2 2 (3)14 x x =-+ -25124()455x =-+ ||2x ≥， ∴ 当125x = 时，2 ||PA 的最小值为45 ， 即||PA 的最小值为 5 6．【江苏·启东中学】18．（本题满分15分，第1问5分，第2问5分，第3问5分） 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点． （1）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ （2）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O （3）过M 点作直线2l 与圆相切于点N,设（2）21F NF ?面积． 【解】（1）PQ 为圆周的1 ,.4 POQ π ∴∠= O ∴点到直线l 设1l 的方程为21 (2),.7y k x k =+=∴= 1l ∴的方程为2).y x =+----------------------------------------------------------------5分 （2）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则 2 2.a c = 椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b = ------------------------------6分 当1a =时，222 13,,24 c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；-------------8分 当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= 所求椭圆方程为2 2 1.2 x y +=-------------------------------------------------------------10分 （3）设切点为N ，则由题意得，在Rt MON ?中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠= ， N 点的坐标为)2 3,21(-，------------------- 11分 若椭圆为22 1.2x y +=其焦点F 1,F 2 分别为点A,B 故2 3 2322121= ??= ?F NF S ， 若椭圆为2 2 413y x +=，其焦点为)0,2 1(),0,21(21F F -, 此时4 3 2312121= ??=?F NF S -------------------------------------------15分 7．【江苏·苏北四市】18．(本题满分16分)有如下结论：“圆222r y x =+上一点) ,(00y x P 处 的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆 ),()0(10022 22y x P b a b y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ： 14 22 =+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积 【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33 4( 11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13 3 11=+ty x ①……………………3分 同理可得13 3 22=+ty x ②…………………………5分 由①②知AB 的方程为)1(3,13 3 ty x ty x -==+即…………6分 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）……8分 （2）把AB 的方程0167,14 )1(322 =--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴716 7283631||=+? +=AB ……………………12分 又M 到AB 的距离3323 1| 334|=+= d ∴△ABM 的面积21 3 16||21= ??= d AB S ……………………15分 8．19．【江苏·苏州】（本小题满分16分） 已知点P （4，4），圆C ：2 2 ()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>有一 个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切． （Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程； （Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP AQ ? 的取值范围． 【解】（Ⅰ）点A 代入圆C 方程， 得2(3)15m -+=． ∵m ＜3，∴m ＝1． …… 2分 圆C ：22(1)5x y -+=． 设直线PF 1的斜率为k ， 则PF 1：(4)4y k x =-+， 即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C 相切， = 解得111 ,22 k k ==或． …………………… 4分 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611 ，不合题意，舍去． 当k ＝ 1 2 时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）． …………………… 6分 2a ＝AF 1＋AF 2 ＝ a =，a 2＝18， b 2＝2． 椭圆E 的方程为：22 1182 x y + =． …………………… 8分 （Ⅱ）(1,3)AP = ，设Q （x ，y ），(3,1 )A Q x y =-- ， (3)3(1)36AP AQ x y x y ?=-+-=+- ． …………………… 10分 ∵22 1182 x y + =，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +?≥，∴－18≤6xy ≤18． …………………… 12分 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． ……… 14分 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ?=+- 的取值范围是[－12，0]． …………………… 16分 9．【江苏·泰州实验】17．（本题满分15分）已知动点),(y x C 到点)0,1(-A 的距离是它到点 )0,1(B 的距离的2倍. （Ⅰ） 试求点C 的轨迹方程; （Ⅱ） 试用你探究到的结果求ABC ?面积的最大值. 【解】 (1)CB CA 2= ,2222)1(2)1(y x y x +-=++ 8)3(22=+-∴y x ………………….8分 (2)22max =y ………………….10分 22222 1 )(max =??= ∴?AB S ABC ………………….15分 10．【江苏·盐城】18. (本小题满分15分) 已知 C 过点)1,1(P ,且与 M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求 C 的方程； (Ⅱ)设Q 为 C 上的一个动点,求PQ MQ ? 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与 C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 【解】 (Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则22 2022 212a b b a --?++=???+?=?+? ,解得00a b =??=?……………(3分) 则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得2 2r =,故圆C 的方程为222x y +=……(5分) (Ⅱ)设(,)Q x y ,则2 2 2x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ?=--?++ …………(7分) =2 2 4x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ? 的最小值为4-(可由线性规划或三角代换 求得)…(10分) (Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-, :1(1)PB y k x -=--,由22 1(1) 2y k x x y -=-??+=? ,得 222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= …(11分) 因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22 21 1A k k x k --=+……………(13分) 同理,22 211B k k x k +-=+,所以 (1)(1)2() 1B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+= ===---=OP k 所以,直线AB 和OP 一定平行………………………………………………(15分)