第四章中值定理与导数应用习题答案
微积分
—154 —
1．选择题：
(1) 罗尔定理中的三个条件：()
f x在[,]
a b)b，是()
f x在(,)
a b内至少存在一点ξ，使得()0
fξ'=
A.必要条件
B.充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
解：B. 罗尔定理的条件是充分的. 例如2
()
f x x
=
(0)0
f'=. 其中
1,
()
0,
x Q
D x
x R Q
∈
?
=?
∈-
?
，Q为有理数集，R为实数集.
(2) 下列条件不能使函数()
f x在区间[,]
a b上应用拉格朗日中值定理的是( ).
A. ()
f x在[,]
a b上连续，在(,)
a b内可导
B. ()
f x在[],a b上可导
C. ()
f x在(),a b内可导，且在a点左右连续，b点左右连续
D. ()
f x在(),a b内有连续的导数
解：D. 因为()
f x在(),a b内有连续的导数，()
f x在[,]
a b不一定连续；A是拉格朗日中值定理的条件；B，由()
f x在[,]
a b上可导，从而在[,]
a b连续，条件强于拉格朗日中值定理；C，()
f x在(),a b内可导，从而在(),a b连续，又()
f x a点左右连续，b点左右连续，可知其在[,]
a b连续，因此满足拉格朗日中值定理的条件.
(3) 求极限
sin
lim
sin
x
x x
x x
→∞
-
+
，下列解法( )正确。
A.用洛必达法则，原式
1cos sin
lim lim1 1cos sin
x x
x x
x x
→∞→∞
-
==-+-
B.不用洛必达法则，极限不存在
C.不用洛必达法则，原式
sin
1
11 lim1
11
1
x
x
x
x
→∞
-
-
===
+
+
D.不用洛必达法则，原式
sin
1
10 lim1
sin10
1
x
x
x
x
x
→∞
-
-
===
+
+
解：D. A错在
1cos
lim
1cos
x
x
x
→∞
-
+
不是
或
∞
∞
，不能对其分子、分母求导；B，洛必达
条件是充分而非必要的，因此不满足洛必达，极限可能存在；C错在利用
sin
lim1
x
x
x
→∞
=，
此时极限为0.
(4) 设一新产品的需求量是价格P的函数，已知函数关系为(0,0)
Q a bP a b
=->>，则需求量对价格的弹性是( ).
图4-2
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 155 —
A.
b a b -- B. %b a b -- C. bP a bP -
- D. bP
a bP
- 解：D. Q b '=-，弹性为()EQ P bP
b EP Q a bP
=-?=--. (5) 设某商品的需求价格弹性函数为
172EQ P
EP P
=
-。在5P =时，若价格上涨1%，总收益是( ).
A.增加
B.减少
C.不增不减
D.不确定
解：A.
5
5
5
1727
P P EQ P EP
P
===
=
-，因此价格上涨1%，总收益增加，因此A 对. (6) 设在[]0,1上''
()0f x >，则()f x 满足( )
A. ''(1)(0)(1)(0)f f f f >>-
B. ''(1)(1)(0)(0)f f f f >->
C. ''(1)(0)(1)(0)f f f f ->>
D. ''(1)(0)(1)(0)f f f f >->
解：B. 由()f x ''存在，()f x 在[]0,1上满足微分中值定理的条件，因此存在(0,1)ξ∈，使
(1)(0)
()10
f f f ξ-'=-，又因为当[0,1]x ∈时，()0f x ''>，()f x '严格单调增加，
(1)()(0)f f f ξ'''>>，即''(1)(1)(0)(0)f f f f >->.
(7) 设()f x 处处可导，则( )
A.当lim ()x f x →-∞
=-∞，必有'lim ()x f x →-∞
=-∞
B.当'lim ()x f x →-∞
=-∞，必有lim ()x f x →-∞
=-∞
C.当lim ()x f x →+∞
=+∞，必有'lim ()x f x →+∞
=+∞
D.当'
lim ()x f x →+∞
=+∞，必有lim ()x f x →+∞
=+∞
解：D. ()f x 处处可导，在0x ?>，在[0,]x
满足微分中值定理条件，则(0,)x θ?∈，()(0)
()f x f f x x
θ-'=，即()(0)()f x f f x x θ'=+，lim ()lim[(0)()]x x f x f f x x θ→+∞→+∞'=+?=+∞.
(8) 设2
()()
lim
1()x a f x f a x a →-=--，则在点x a =处( ) A. ()f x 的导数存在，且'()0f a ≠ B. ()f x 取得极大值 C. ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在 解：B. 因为2
()()
lim
1()x a
f x f a x a →-=--，由极限保号性，存在0δ>，当0||x a δ<-<时，
2
()()
0()f x f a x a -<-，可得()()f x f a <，因此()f x 在点x a =处取得极大值.
(9) 条件'''0()0f x =是()f x 的图形在点0x x =处有拐点的( )条件. A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.无关条件
解：D. 因为0x x =为()f x 的拐点的定义是()f x 在0x x =的两边凹向改变，因此
'''0()0f x =与0x x =是否是拐点无关.
微积分
— 156 — (10) 设常数0k >，函数()ln x
f x x k e
=-+，在(0,)+∞内零点个数为( ).
A.3
B.2
C.1
D.0
解：B. 11()e x
f x x e ex
-'=-=，令()0f x '=得，x e =. 当x e <时，()0f x '>，()
f x 严格单调增加；当x e >时，()0f x '<，()f x 严格单调减少. ()0f e k =>，0
lim ()x f x +
→=-∞，lim ()x f x →+∞
=-∞，由零点定理知()f x 在(0,)+∞的零点为2个.
(11) 函数()f x 有连续二阶导数，且(0)0f =,(0)1f '=， (0)0f ''=，则 2
0()lim
x f x x
x →-=( )。
A.不存在
B.0
C.-1
D.2
解：B. 由洛必达，2000()()1()
lim lim lim 022x x x f x x f x f x x x →→→'''--===.
(12) 使函数()f x =( ).
A. [0,1]
B. [1,1]-
C.[2,2]-
D. 34
[,55
-
解：A. 对于A ，①(0)(1)0f f ==
；②()f x 在
[0,1]连续；③()f x '=在
(0,1)存在，即在(0,1)可导，满足罗尔定理条件. 对于B 、C 、D 选项，第三条件不满足.
(13) 曲线2
1x
y x =
-的渐近线有( ). A.1条； B.2条； C.3条； D.4条
解：C.，因此2lim lim 01x x x y x →∞→∞==-有一条水平渐近线；2
11lim lim 1x x x
y x →±→±==∞-，因此
两条垂直渐近线; 21lim lim 01x x y k x x →∞→∞===-，因此没有斜渐近线. 21x
y x =-的渐近线共3条.
(14) 已知()f x 在0x =的某个邻域内连续，且(0)0f =，0()
lim 21cos x f x x
→=-，则在点
0x =处()f x ( ).
A.不可导
B.可导且'(0)0f ≠
C.取得最大值
D.取得最小值
解：D. 因为(0)0f =，0()lim 21cos x f x x →=-，可得0()(0)
lim 201cos x f x f x
→-=>-，由极限保号
性，0δ?>，x ?：00||x x δ<-<，()(0)
01cos f x f x
->-，所以()(0)f x f >，即()f x 在点0取
得极小值.
2．填空题：
这是因为函数()f x 在点a 处连续是()f x 在点a 处可导的必要条件，非充分条件.
(1) 在[1,3]上，函数2()1f x x =-满足拉格朗日中值定理中的
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 157 —
ξ= .
解：2.
(3)(1)
()31
f f f ξ-'=-，即822ξ-=-，因此2ξ=.
(2) 若2
3
()1f x x =-，则在(1,1)-内()f x '恒不为0，写出()f x 在[1,1]-上不满足罗尔定理的一个条件是 .
解：在(1,1)-内不可导. 1
32()3
f x x -'=-在0x =不可导.
(3) 函数()x f x e =及2
()F x x =在区间[,]a b 上满足柯西中值定理条件，即存在点(,)a b ξ∈，使 .
解：222b a e e e b a
ξ
ξ-=-.
(4) ()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则方程'()0f x =有 个实根，分别位于区间
内 .
解：有3个实根，分别位于区间(0,1)、(1,2)、(2,3). 因为
(0)(1)(2)(3)0f f f f ====， ()(1)(2)(3)f x x x x x =---(,)-∞+∞可导，因此满足罗尔
在区间(0,1)、(1,2)、(2,3)分别满足罗尔定理的条件，存在1(0,1)ξ∈、
1(1,2)ξ∈、1(2,3)ξ∈. 又()0f x '=至多有三个根.
(5) 函数()x
e f x x
=的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
解：单调递增区间是[1,)+∞；单调递减区间是(,0)(0,1)-∞ .
22
(1)
()x x x e x e e x f x x x --'==
，令()0f x '=得，1x =. 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调增加；但1x <，且0x ≠时，()0f x '<，()f x 单调减少. 因此单调递增区间是[1,)+∞，单
调递减的区间是(,0)(0,1)-∞ .
(6) 33y x x =-在1x = 处有极 值，在2x = 处有极 值. 解：在11x =-处有极大值；在1x =处有极小值. 2333(1)(1)y x x x '=-=+-，令0y '=得11x =-，21x =. 当1x <-或1x >时，0y '>，函数33y x x =-单调增加；当11x -≤≤时，0y '<，函数33y x x =-单调减少.因此在11x =-有极大值，在21x =处有极小值. (7) 方程52cos 0x x x ++=有 个实根.
解：一个实根. 令5()2cos f x x x x =++，则4()52sin 0f x x x '=+->，因此函数单调增加. 又因(1)3cos(1)0f -=-+-<，(1)3cos10f =+>，()f x 在(,)-∞+∞连续，因此方程必有一个实根，而且只有一个实根.
(8) 点(0,1)是曲线32y ax bx c =++的拐点，则b = ，c = . 解：0b =，1c =. 函数32y ax bx c =++的一阶和二阶导数存在，即232y ax bx '=+，62y ax b ''=+. 由0|0x y =''=得0b =；由拐点为(0,1)知，1c =；
(9) 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，则a = ，b = ；该曲线的上凹区间为 ，下凹区间为 .
微积分
— 158 — 解：32a =-，9
2
b =，
上凹区间为(,1]-∞-；下凹区间为(1,)-+∞. 函数的32y ax bx =+一阶和二阶导数存在，即232y ax bx '=+，62y ax b ''=+. 因为(1,3)为曲线32y ax bx =+的
拐点，所以11|(62)|0x x y ax b ==''=+=，即3b a =-；321()|3x y ax bx ==+=，即3a b +=. 因
此32a =-、92b =. 又因为39
6(29(1)22
y x x ''=?-+?=--，所以1x <时，0y ''>，曲线
上凹；1x ≥时，0y ''<，曲线下凹.
(10) 曲线1x
y e -=的渐近线方程有 条，分别是 . 解：两条，分别是0x =，1y =. 1lim 1x
x e
-→+∞
=，因此有渐近线1y =；10lim x
x e
-
→-
=+∞，
因此有垂直渐近线0x =. 有2条渐近线，分别是0x =，1y =.
(11)
设某产品的产量为x 千克时的总成本函数为2002)c x =++元，则产量为100千克时的总成本是 元, 平均成本是 元/千克, 边际成本是 元
/千克，这时的边际成本表明，当产量为100千克时，若再增产1千克，其成本将增加 元.
解：当
100x =时，100100|2002)|460x x c x ===++=元(元). 平均成本：460/100 4.6=(元/
千克).
边际成本：100100|2| 2.3x x c =='==(元/千克).
3．验证函数()ln sin f x x =在区间5,66ππ??
????
上满足罗尔定理，并找出相应点ξ，使
()0f ξ'=.
证明：①()ln sin f x x =在5,66ππ??
????
连续；②()ln sin f x x =在5(,)66ππ；③
1()lnsin ln 662f ππ==，551()lnsin ln 662f ππ==，有5()()66f f ππ=. 存在5(,66
ππξ∈，使得cos ()cot 0sin f ξ
ξξξ
'===，2πξ=.
4．验证函数()ln f x x =在区间[]1,e 上满足拉格朗日定理，并找出相应点ξ，使()(1)
()1
f e f f e ξ-'=-.
证明：()ln f x x =在[]1,e 连续，且()ln f x x =在[]1,e 可导， 存在(1,)e ξ∈，使得
()(1)
()1f e f f e ξ-'=-，即
ln ln111e e ξ-=-，得1e ξ=-. 5．证明不等式：
(1) |sin sin |||x y x y -≤- (2) |arctan arctan |||x y x y -≤-
证明：(1) 令()sin f x x =，对,x y ?()x y <，()f x 在[,]x y 满足拉格朗日定理条件，存在[,]x y ξ∈，使sin sin |
|(sin )||cos |1x x y
x x y
ξξ=-'==≤-，即|sin sin |||x y x y -≤-.
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 159
—
(2) 令()tan f x arc x =对,x y ?()x y <，()f x 在[,]x y 满足拉格朗日定理条件，存在[,]x y ξ∈，使22
arctan arctan 11
|
|(arctan )||111x x x y x x y x ξξ
ξ==-'===≤-++，即|arctan arctan |||x y x y -≤-
6．利用中值定理证明：若0x ≠，则1x e x >+.
证明：令()x f x e =，对x ?，不妨设0x >，()f x 在[0,]x 满足拉格朗日定理条件，存在[0,]x ξ∈，使0
()|10x x x e e e e x ξξ=-'==>-，即1x e x >+.
7．试证不等式 ln b a b b a
b a a
--<<
(0a b <<). 证明：令()ln f x x =， ()f x 在[,]a b 满足拉格朗日定理条件，存在[,]a b ξ∈，使ln ln 1(ln )|x b a x b a ξξ=-'==-. 因为a b ξ<<，1ln ln 11
b a b b a a ξ-<=<-，所以
ln b a b b a
b a a
--<<
. 8．若在区间[],a b 上函数()f x 可导，且'()0f x >，又()()0f a f b ?<，证明方程()
f x 在(,)a b 内有唯一实根.
证明：()f x 在区间[],a b 可导，则在[],a b 连续，又()()0f a f b ?<，由介质性定理，至少存在[,]c a b ∈，使()0f c =. 假设有12,[,]c c a b ∈（不妨设12c c <），使得
12()()0f c f c ==，()f x 在12[,][,]c c a b ?满足罗尔定理条件，存在12[,]c c ξ∈，使得
()0f ξ'=，这与'()0f x >矛盾.
9．已知()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且10f =（）
. 求证在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()
()f f ξξξ
'=-
.
证明：令()()g x x f x =?，因()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，()g x 也在[0,1]上
连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)(1)0g g f ===，满足罗尔中值定理条件，即在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0g ξ'=，即()()0f f ξξξ'?+=，所以()
()f f ξξξ
'=-
.
10．利用洛必达法则求下列极限：
(1) 0ln(1)lim sin x x x →+ (2)3
0sin lim x x x
x →-
(3)0tan 5lim sin 3x x x → (4) 202lim sin x x x e e x
-→+- (5) 0ln cot lim ln x x x
+→ (6) ln lim
n x x
x →+∞ (0n >) (7)2lim x
x e x →+∞ (8)30
lim ln 0x x x +→> (9)2
1
20lim x x x e → (10)lim arctan 2x x x π→+∞
??- ???
微积分
— 160 — (11)11lim 1ln x x
x x →??- ?-?? (12) 2
lim(sec tan )x x x π→- (13)01
1lim 1x x x e →??- ?-?? (14)011lim ln(1)sin x x x →??- ?+??
(15)1
11
lim x
x x
-→ (16)()
12sin 0
lim x
x
x x e
→+
(17)0lim x
x x +→ (18)01lim ln x
x x +→?? ???
解：(1) 0ln(1)
lim sin x x x
→+=00[ln(1)]11lim
lim()1(sin )1cos x x x x x x →→'+=?='+. (2) 3
0sin lim
x x x
x →-= 3200(sin )1cos lim lim ()3x x x x x x x →→'--='=200(1cos )sin 1lim lim 66(3)x x x x x x →→'-==' (3)0tan 5lim sin 3x x
x → =200(tan 5)5sec 55lim
lim (sin 3)3cos33x x x x x x →→'=='. (4) 202
lim sin x x x e e x
-→+-=200(2)lim lim 2sin cos (sin )x x x x x x e e e e x x x --→→'+--='
=00()lim
lim 1(sin 2)2cos 2x x x x
x x e e e e x x
--→→'-+=='. 注：极限存在的项不须参与洛必达的求导运行.
(5) 0ln cot lim ln x x x +→= 22000(ln cot )csc 1sin lim lim lim (ln )cot 1cos 1sin x x x x x x x x x x x x +
+
+
→→→'-??==-?? ?'?? =01lim 1sin cos x x x x +→?
?-?=- ???
(6) ln lim n x x
x
→+∞ (0n >) =1(ln )11lim lim 0()n n x x x x x nx -→+∞→+∞'=?='.
(7)2lim x
x e x
→+∞=2()lim lim 2()x x x x e e x x →+∞→+∞'=' = ()lim
lim (2)2x x x x e e x →+∞→+∞'==+∞'. (8)30lim ln (0)
x x x n +
→>= 03ln lim 1x x x +→=500034
1
(ln )3lim lim lim 13()x x x x x x x x +++→→→'==-=-∞'-
. (9)21
20lim x x x e →21
02lim 1x x e x →== 2
21
1
1200022
1
(
()lim lim lim 11
()()
x x x x x x e e x e x x →→→''====∞''.
(10)lim arctan 2x x x π→+∞??- ???
= arctan 2lim 1x x
x
π
→+∞-
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 161
—
= 222
arctan 12lim
lim lim 11111x x x x x x x x π→+∞→+∞→+∞'
??- ???===+'??+ ???
. (11)11lim 1ln x x
x x →??- ?-??
= 1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+- = 111(ln 1)ln 11ln lim lim lim (ln ln )ln 1
ln 1x x x x x x x x x
x x x x x x x x
→→→'-++-=='-+-+-
11(ln )ln 11
lim lim (ln 1)ln 112
x x x x x x x x x →→'+==='+-++. (12) 2
lim(sec
tan )x x x π
→
-=2
2
1
sin 1sin lim lim cos cos cos x x x x x x x ππ→→-??-= ??? 2
2
(1sin )cos lim
lim 0(cos )sin x x x x
x x
π
π→
→'--==='-. (13)01
1lim 1x x x e →??- ?-?
?= 01lim (1)x x x e x x e →---= 00(1)1lim lim ()1x x x x x x x e x e xe x e xe →→'---='-+-
00(1)1
lim lim 2
(1)x x x
x x x x x x e e e xe e e xe →→'-==='+-++. (14)011lim ln(1)sin x x x →?
?
-
?+?
?= 0sin ln(1)lim sin ln(1)x x x x x →-++=0[sin ln(1)]lim [sin ln(1)]x x x x x →'-+'+ =001
cos (1)cos 11lim lim
sin (1)cos ln(1)sin cos ln(1)1x x x x x x x x x x x x x x
→→-
+-+=+++++
+
0[(1)c o s 1]
l i m [(1)c o s l n (1)s i n ]x x x x x x x →'+-='+++0c o s (1)s i n 1
l i m c o s l n (1)(1)s i n l n (1)
c o s
c o s
2
x x x x x x x x x x x →-+==+-++++
(15) 111
lim x
x x
-→= 1
11ln ln lim
ln 111
1
lim lim x
x x x
x x
x
x x e
e
e
-→--→→==
因为1111
ln (ln )lim lim lim 11(1)1x x x x x x x x →→→'===-'---，所以1
111
lim x x x e --→=. (16)()12sin 0
lim x x x x e →+= ()
()()2212sin 0ln ln lim ln sin sin 0
lim lim x x x x x x e x e x e x x x x e
e e →+++→→== 因为20ln()
lim sin x x x e x
→+= 22200[ln()]112lim
lim 3(sin )cos x x x x x x e e x x x e →→'++=='+，
微积分
— 162
— 所以()
12sin 0
lim x
x
x x e
→+=3e .
(17)0
lim x x x +
→，因为ln 1ln ln x
x
x x x x x
x e e e ===，ln 100lim lim x x x
x x x e
+
+
→→=.
又因为0ln lim 1x x x +→ =002
1
(ln )lim lim 0()x x x x x x
++→→'=='-，所以0lim x x x +
→=01e =. (18)01lim ln x x x +→?? ???，因为1
ln(ln )1(ln )x x x e x
=，001
ln(ln )1lim ln(ln )lim 1x x x x x x
++
→→= = 00011ln ln 11lim lim lim 011111ln ln
x x x x x x x x x x x +
++
→→→''?????? ??? ???????===''???? ? ?????
，所以001lim ln 1x x e x +→??== ???. 11．讨论函数 l n c o s (1),11sin ()21,1x
x x f x x π-?≠??
-=??
=??
在1x =处是否连续？若不连续，修改
()f x 在1x =处的定义，使之连续.
解：因为11ln cos(1)
lim ()lim
1sin
2
x x x f x x
π→→-=-
= 11[ln cos(1)]sin(1)1
lim
lim 0(1)1cos(1)(1sin )cos
222
x x x x f x x
x πππ→→'---==≠=-'-- 因此，()f x 在1x =处不连续，需要修改为，当1x =时，()0f x =.
12．试问下面的运算正确吗？
(1)25tan 55cos 5lim
lim sin 33cos33
x x x x x x ππ→→== (2)22
2
2
5tan 55
cos 5lim lim lim sin 33cos33cos 5cos3x x x x x x x x x πππ→→→
===∞ (3) 2220001111
2sin (cos )()
sin
1lim
lim lim cos sin cos x x x x x x x x x x x x x
→→→+-==-，所以极限不存在
.
(4) lim lim lim
x x x →+∞→+∞=
=lim x →+∞.
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 163 —
解：(1) 不正确. 因为255cos 5lim
3cos33x x x π→≠. (2) 不正确. 2
tan 5lim sin 3x x x π→不是0
0型，也不是∞∞，因此不能用洛必达. (3) 不正确. 洛必达只是充分条件. (4) 不正确. 洛必达只是充分条件.
13．判定函数()arctan f x x x =-的单调性.
解：2
22
1()(arctan )1011x f x x x x x -''=-=-=<++，x R ∈，因此()f x 为减函数.
14．确定下列函数的单调区间：
(1)3226187y x x x =--- (2)8
2y x x
=+(0x >)
(3)21x
y x
=+ (4)22ln y x x =-
解：(1) 因为2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+，所以当(1,3)x ∈-时，0y '<，()f x 单调减少；当(1)(3,)x ∈-∞-+∞ 时，0y '>，()f x 单调增加.
(2) 222282(4)2
2(2)(2)x y x x x x x
-'=-==+-，
因为0x >，所以当(0,2)x ∈时，0y '<，()f x 单调减少；当(2,)x ∈+∞时，0y '>，()f x 单调增加.
(3) 222
2(1)(2)
(1)(1)x x x x x y x x +-+'==++（1x ≠-），当(2,1)(1,0)x ∈--- 时，0y '<，()
f x 的单调减少；当(,2)(0,)x ∈-∞-+∞ 时，0y '>，()f x 的单调增加.
(4) 21414x y x x x -'=-=，ln x 的定义域是{|0}x x >. 当10,2x ??
∈ ???时，0y '<，()
f x 单调减少；当1,2x ??
∈+∞ ???
时，0y '>，()f x 单调减少.
15．求下列函数的极值：
(1)3237y x x =-+ (2)2
21x
y x =+
(3)2x y x e -= (4)()()2
2
315y x x =+- (5)()2
2ln 4y x x =- (6)2x x y e e -=+
解：(1) 2363(2)y x x x x '=-=-，令0y '=，得0,2x x ==.
又因为666(1)y x x ''=-=-，(0)60y ''=-<，(0)7y f ==极大值；(2)60y ''=>，
(2)3y f ==极小值.
微积分
— 164 —
(2) 22222
22(1)2(2)2(1)(1)
()1(1)(1)x x x x x x y x x x +--+''===+++，令0y '=，1x =±. 根据一阶导数的正负号，判断函数的增减性，由下表可知，(1)1y f =-=-极小值，
(1)1y f ==极大值.
(3) 根据一阶导数的正负号，判断函数的增减性，由下表可知，(0)0y f ==极小值，2(2)4y f e
-==极大值.
(4) 2333281(1)(5)2(1)(5)(1)(5)(332
y x x x x x x x --'=+-++-=+--，令0y '=，12x =，
5x =. 当1x =-时，y '不存在.
根据一阶导数的正负号，判断函数的增减性，由下表可知，(1)0y f =-=极小值1，，(5)0y f ==极小值2，1()
y f =极大值
(5) 2[2ln((4)]y x x x
''=-=，令0y '=，1x =. 当0x =时，y '不存在，y 也不
存在. 22
0y x
''=>，(1)24ln 2y f ==-极小值.
(6) 221[2]2x x x x x
x e
y e e e e e ---''=+=-==，令0y '=，1ln 22x =-.
(2)20x x x x y e e e e --'''=-=+>，1ln 22y f ??
=-= ???
极小值16．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：
(1)4225y x x =-+，[2,2]- (2)()2ln 1y x =+，[1,2]-
(3)2
1x y x
=+，1[,1]2- (4)y x =[0,4]
解：(1) 3
444(1)(1)y x x x x x '=-=+-，令0y '=，得到稳定点10x =、11x =、11x =-.
用稳定点和区间端点的函数值进行比较
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 165 —
(0)5f =，(1)4f =，(1)4f -=，(2)13f =，(2)13f -=
因此，(2)(2)13y f f ==-=最大值，(1)(1)4y f f ==-=最小值.
(2) 22
2[ln(1)]1
x
y x x ''=+=
+，令0y '=，得到稳定点10x =. 用稳定点和区间端点的函数值进行比较
(0)0f =，(1)ln 2f -=，(2)ln 5f = 因此，(2)ln5y f ==最大值，(0)0y f ==最小值.
(3) 22(2)[1(1)x x x y x x +''==++，令0y '=，在区间1[,1]2
-上有稳定点0x =. 用稳定点和区间端点的函数值进行比较
(0)0f =，11(22f -=，1
(1)2f =
因此，11
((1)22
y f f =-==最大值，(0)0y f ==
最小值.
(4) [1y x ''==0y '=，在区间[0,4]上无有稳定点，用区间两端点
的函数值进行比较
(0)0f =，(4)6f =
因此，(4)6y f ==最大值，(0)0y f ==最小值.
17．试问a 为何值时，函数1()sin sin33f x a x x =+在3
x π
=处取得极值？它是极大
值还是极小值？并求此极值.
解：因为1()sin sin 3cos cos33f x a x x a x x '??
'=+=+ ???
，()f x 且在3x π=处取得极值，
所以(03
f π'=，即cos cos(3033a ππ
+?=，得到2a =.
又因为3
((2sin 3sin 3)|03x f x x ππ=''=--=，所以()f x 在3x
π
=处取极大值，
()3
f π
18．试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么此函数没有极值.
证明：函数32y ax bx cx d =+++在(,)-∞∞可导，232y ax bx c '=++，令0y '=
，得
到x =. 因为230b ac -<，函数y 无稳点，原函数没有极值.
19．证明不等式：
(1)当0
x >时，1
12
x +(2)当0
x >
时，(1ln x x +>
微积分
— 166 — (3)当4x >时，22x x >
证明：(1) 令1()12f x x =+
则1()2f x '=. 当0x
>1
2
<，
有()0f x '>，()f x 为增函数，()(0)f x f
>
，即11
110022
x ++?=
.
所以1
12
x +
.
(2)
设()1ln(f x x x =+
()ln(ln(f x x x '=+=
当0
x >时，1x >，()0f x '>，()f x 为增函数. ()(0)f x f
>，即
1ln(10ln(00x x ++?
=
所以，(1ln x x +>.
(3) 所证明命题等价于：4x >时，222log 2log x x x >=. 令2()2log f x x x =-，则
2()1ln 2f x x '=-. 因为4x >，有114x <，2111ln 22ln 2ln 4
x <=<，因此2
()10ln 2f x x '=->. 即当4x >时，()f x 为增函数，()(4)0f x f >=，222log 2log x x x >=成立，亦即22x x >.
20．确定下列函数的凹向区间及拐点：
(1) 34y x x =- (2)1
y x x
=+(0x >)
(3)x y xe -= (4)x y e -= 解：(1) y 的一阶和二阶导数都存在，243y x '=-，6y x ''=-. 令0y ''=，得到0x =.
(2) 0x >，y 的一阶导数和二阶导数都存在，21y x '=-，30y x
''=>，函数y 是
上凹的.
(3) y 的一阶导数和二阶导数都存在，x x y e xe --'=-，2x x y e xe --''=-+，令0y ''=，得到2x =.
(4) x R ∈y y e =-0y e =>，函数y 是
上凹的.
21．试确定曲线32y ax bx cx d =+++中的a 、b 、c 、d ，使得点2x =-为驻点，
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 167
—
110-（，）为拐点，且点(2,44)-在曲线上.
解：函数y 的一阶和二阶导数都存在，232y ax bx c '=++，62y ax b ''=+.
① 2x =-为驻点，有(2)0y '-=；
② 110-（，）为拐点，有(1)0y ''=； ③ (2)44y -=； ④ (1)10y =-.
①-④组成方程组，
232
323(2)2(2)06120
(2)(2)(2)4411110a b c a b a b c d a b c d ?-+-+=?
?+=???-+?-+?-+=?
??+?+?+=-?
解之得，1a =，3b =-，24c =-，16d =.
22．某厂每批生产某种商品x 单位的费用为()5200C x x =+(元)，得到的收益为
2()100.01R x x x =-(元).问每批应生产多少单位时才能使利润最大？
解：设利润为()L x ，则()()()L x R x C x =-=250.01200x x --. ()50.02L x x '=-，令()0L x '=，得到250x =. 所以，每批应生产250个单位时才能使利润最大.
23．某工厂产生某产品，日总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元.该商品的需求函数为502Q P =-，求Q 为多少时工厂日总利润L 最大？
解：由题意知10200C Q =+，收益502
Q
R PQ Q -==?. 所以，
2
152002
Q L R C Q =-=--, ()L Q '15Q =-，令()0L Q '=，得到15Q =.
所以，15Q =时，总利润L 最大.
24．已知某厂生产x 件产品的成本为21
2500020040
C x x =++(元)，问：
(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：(1) 2500020040C x C x x ==++，21
()2500040C x x -=-+
，令0C '=，得1000x =. 31
50000C x
''=>.
(2) 利润2()5003002500040
x L x x C x =-=--，()30020x
L x '=-，令()0L x '=，得
6000x =. 1
020
L ''=-<. 因此，生产1000件时，平均成本最小，生产6000件时，利
润最大.
25．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元，问锅炉的底面直径与高的比为多少时，造价最低？
微积分
— 168
— 解：设底面半径为r ，高为h ，则2r h v π=，所以2V
h r π=
. 造价 222()222Vb
S r r a rhb r a r
πππ=+=+ 22()4Vb S r ar r π'=-，令()0S r
'=，r =此时34()40Vb
S r a r
π''=+>. 故
3
222222r r r Vb b V h V V a a r
ππππ====. 26．求下列曲线的渐近线：
(1)1
1
y x =- (2)2x y e -=
(3)2
1x y x =+ (4)1x y e -=
(5)1x
e y x
=+ (6)x y x e -=+
(7)()ln 1x
y e =+ (8)()2
31
x y x -=-
解：(1) 因为1
lim 01
x x →∞=-，有水平渐近线0y =.
垂直渐近线：111
lim lim 1x x y x →→==∞-，因此有垂直渐近线1x =.
(2) 因为21
lim 0x x e →∞
=，有水平渐0y =.
2
x y e -=在(,)-∞+∞上连续，因此无垂直渐近线.
(3) 水平或斜渐近线：y kx b =+. 2
lim lim
1(1)
x x y x k x x x →∞→∞===+， 2
lim()lim()11
x x x b y kx x x →∞→∞=-=-=-+，有斜渐近线1y x =-.
垂直渐近线：2
11lim lim 1
x x x y x →-→-==∞+，因此有垂直渐近线1x =-.
(4) 水平或斜渐近线：y kx b =+. 1
lim
lim 0x
x x y e
k x x
-
→∞→∞===，11lim()lim
1x x x
b y kx e
→∞
→∞
=-==，有水平渐近线1y =.
垂直渐近线：10
lim lim x
x x y e --
-→→==+∞，因此有垂直渐近线0x =.
(5) 水平或斜渐近线：y kx b =+. lim lim
0(1)x
x x y e k x x x
→-∞→-∞===+，
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
lim ()lim 01x
x x e b y kx x
→-∞→-∞=-==+，有水平渐近线0y =.
垂直渐近线：11lim lim 1x
x x e y x
→-→-==∞+，因此有垂直渐近线1x =-.
(6) 水平或斜渐近线：y kx b =+. lim lim 1x
x x y x e k x x
-→+∞→+∞+===，
lim ()lim[]0x x x b y kx x e x -→+∞
→+∞
=-=+-=，有斜渐近线y x =.
垂直渐近线：因为函数x y x e -=+在(,)-∞∞上连续，因此无垂直渐近线. (7) 水平或斜渐近线：y kx b =+. ln(1)lim lim x x x y e k x x
→+∞→+∞+==（∞∞型）=lim 11x
x x e e →+∞=+，
lim ()lim[ln(1)]0x
x x b y kx e x →+∞→+∞=-=+-=. 因为ln(1)lim x x e x →+∞+∞∞型）=lim 11x x x e e →+∞=+，因此
ln(1)~()x e x x +→+∞.曲线有斜渐近线y x =.
又因为ln(1)
lim lim 0x x x y e k x x
→-∞→-∞+===，
lim ()lim ln(1)0x x x b y kx e →-∞→-∞=-=+=，因此曲线还有水平渐近线0y =.
垂直渐近线：因为函数ln(1)x y e =+在(,)-∞∞上连续，因此无垂直渐近线.
(8) 水平或斜渐近线：y kx b =+. 2
(3)lim lim
1(1)x x y x k x x x
→+∞→+∞-===-，2
(3)lim ()lim[]51
x x x b y kx x x →+∞→+∞-=-=-=--，有斜渐近线5y x =-. 垂直渐近线：3
11(3)lim lim
4(1)
x x x y x →→-==∞-，因此有垂直渐近线1x =. 27．作下列函数的图形：
(1)33y x x =- (2)()2ln 1y x =+
(3)2
1
x y x =+ (4)()2
31x y x -=-
解：(1) 32y x '=-，令0y '=，得到32x =. 3
2
x <
时，0y '>，函数单调增加；3
2x >时，0y '<，函
数单调减少. 因此函数在3
2
x =取极大值，极大值为
39()24
f =. 20y ''=-<，图像是下凹的.
(2) 2
21x
y x '=
+，222(1)(1)(1)x x y x +-''=+，函数
一阶和二阶可导，令0y '=，0x =. 令0y ''=，
图4-3
图 4-4
微积分
—
— 1x =±，函数的图像讨论如下：
(3) 定义域为{|,1}x x R x ∈≠-，1
lim x y -→-=-∞，
1lim x y +
→-=+∞，2
lim lim
1(1)x x y x k x x x →∞→∞===+，2lim[]lim[]lim 111x x x x x
b y kx x x x →∞→∞→∞-=-=-==-++，有写渐
近线1y x =-.
2(2)(1)x x y x +'=
+,3
2
(1)y x ''=+. 令0y '=，
2x =-0x =，0y ''=无解. 图像讨论如下：
(4) 定义域为{|,1}x x R x ∈≠，1
lim x y -→=-∞，1
lim x y +
→=+∞，有垂直渐近线1x =；2
(3)lim lim
1(1)
x x y x x x x →∞→∞-==-，2
(3)lim[]lim[]5(1)x x x y kx x x →∞→∞--=-=--，有斜渐近线5y x =-. 2(3)(1)(1)x x y x -+'=
-，3
8
(1)y x ''=-. 令0y '=，1x =-，3x =；
令0y ''=，无解. 函数图像讨论如下：
图4-5
图 4-6
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 171
—
28．求下列极限:
(1) 22lim (arctan )x
x x π→+∞ (2) 100111
231001lim 100
n
n n
n n →∞??++++???
?????
解：(1) 2
2ln arctan 22
(arctan )x x
x
x e
π
π
=，2
2(ln
ln arctan )2
lim (2ln
arctan )lim
1
x x x x x x
π
π
→+∞
→+∞
+=(
00
型)= 2
11
2
22(ln
ln arctan )14arctan 1lim
lim
211(2x x x x x x
x
π
ππ→+∞
→+∞
'++==-=-'-，
所以422
lim (arctan )x
x x e π
π
-
→+∞=.
(2) 令1
x n
=，1
111
100[ln(231001)ln100]100231001(100x x x n
n
n
n x
e ++++-++++= ，0ln(231001)ln100lim100
x x x x x
→++++- (0
0型)= 0[ln(231001)ln100]lim100()x x x x x →'
++++-'
=02ln 23ln3100ln100ln 2ln3ln100lim 100ln(23100)ln100!100231001
x x x x x x x →++++++==???=++++ ， 100111
231001lim 100n
n n n n →∞??++++????????
=ln100!100!e =.
29．讨论方程的根:
(1) 3520,(0,)x x x --=∈+∞
(2) 010,(0,1)n n a a x a
x x +++=∈ ，其中
1
0021
n a a a n +
+=+ .
解：(1) 设3()52f x x x =--，则2()35f x x '=-
. 令()0f
x '=，得到x =
x =(舍去). 当x ?∈ ?时，()0f x '<，函数单调减少，且2(0)()2f f x f -=>>=，所以，方程3520x x --=无实根.
微积分
— 172 —
当)x ∈+∞时，()0f x
'>
，函数单调增加，且20f =<，lim ()x f x →+∞
=+∞，方程3520x x --=有唯一的实根.
(2) 令201010()()2n
x
n
n n x x F x a a t a t dt a x a a n
=+++=+++? ，(0,1)x ∈，则
10(0)(1)021
n a a
F F a n ==++=+ ，()F x 在区间[0,1]可导，满足罗尔定理条件，至少存
在一点(0,1)ξ∈，使()0F ξ'=，即010n n a a a ξξ+++= . 方程010n n a a x a x +++= 在
区间(0,1)至少有一个根.
30．用中值定理证明下列各题：
(1)设()f x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得3()()0f f ξξξ'+=．
(2)设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()1f a f b ==，试证明存在(,)a b ξη∈、，使得[]()()1e f f ηξηη-'+=．
(3) 若函数()f x 在00[,]x x δ-上连续，在00(,)x x δ-内可导，且0
lim ()x x f x -→'存在，证
明0
0lim ()()x x f x f x -
-→''=. 证明：(1) 令3
()()F x x f x =，因为()f x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，所以()
F x 在[0,]a 连续，在(0,)a 内可导，且3
(0)()()0F F a a f a ==?=，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点(0,)a ξ∈，使得23
()3()()0F f f ξξξξξ''=+=，即3()()0f f ξξξ'+=.
(2) 令()()x F x e f x =，()x H x e =，则()F x 、()H x 在在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可
导，满足柯西中值定理的条件，因此存在,(,)a b ξη∈，使()()()
()()()
F b F a F H b H a H ηξ'-='-，即
[()]()()()x
b a x b a x x e f x e f b e f a e e e η
ξ
=='-='-，得到()()1e f e f e ηηηη'-=，[]()()1e f f ηξηη-'+=. (3) 函数()f x 在00[,]x x δ-上连续，在00(,)x x δ-内可导，满足拉格朗日中值定理
条件，存在ξ∈00(,)x x δ-，使
0000()()
()()
f x f x f x x δξδ--'=--，所以 0
0000
()()
lim ()lim lim ()()x x x f x f x f x f f x δξδξδ
-
-
-→→→--'''===
31．已知需求量Q 与价格p 有下列关系，在产量与需求量相同的条件下，求边际收入与需求价格弹性，并分别计算边际收入为零的价格和使需求弹性为-1的价格．
(1) 1002Q p =-；(2) 0.02100p Q e -=；(3) 230000Q p =-．
解：(1) 因为2()1002R P P Q P P =?=-，所以边际收入()1004R P P '=-. 需求弹性：2(1002)10021002P P P P E Q P Q P P
-''=?
=-?=--.
第四章 中值定理与导数应用辅导材料
— 173 —
当()0R P '=时，10040P -=，25P =.
当1P E =-时，
211002P
P
-=--，25P =.
(2) 因为收入0.02()100p R P P Q P e -=?=?，所以边际收入
0.020.020.02()(100)100[(0.02)]P P P R P Pe e P e ---''==+??-=0.022(50)P e P --
需求弹性：0.020.02(100)50
100P P P P P P E Q e Q e ---''=?
=?=. 当()0R P '=时，0.022(50)0P e P --=，50P =. 当1P E =-时，150
P
-=-，50P =.
(3) 因为收入23()(30000)30000R P P Q P P P P =?=?-=-，所以边际收入
2()300003R P P '=-
需求弹性：22
22
2(30000)3000030000P P P P E Q P Q P P -''=?=-?=--.
当()0R P '=时，23000030P -=，100P =.
当1P E =-时，2
2
2130000P P -=--，100P =.
32．设某厂生产某产品的总成本是20.2484900C Q Q =++万元，该产品的市场需
求量Q (吨)与价格p (万元)有关系3628Q p =-，在产量与需求量相同的条件下，求出边际利润．
解：由3628Q P =-得到，6283P Q =-，所以收入
2()(6283)6283R Q P Q Q Q Q Q =?=-=-
利润：2()()() 3.246204900L Q R Q C Q Q Q =-=-+- 边际利润：2()( 3.246204900) 6.48620L Q Q Q Q ''=-+-=-+.
中值定理与导数习题
习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则；
11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是;
22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在内可导,且 是在内至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ).
; ; ; 5. 函数,它在内( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间内可导,且是内任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是内的可导函数,是内的任意两点,则( ) .
完备版版高职专升本第二章导数及其应用习题及答案.docx
应用数学习题集 第二章导数及其应用 一. 选择题 1．若 f ( x) 在x0处可导，则以下结论错误的是（D）。 A f ( x) 在x0处有极限； B f ( x) 在x0处连续； C f ( x) 在x0处可微； D f '( x )lim f (x) 必成立。 x x 2．若 f ( x) 在x0处可导，则（B）是错误的。(02-03 电大试题 ) A 函数f ( x)在点 x 0处有定义； B lim f ( x) A ，但A f (x0 ) ； x x0 C 函数f ( x)在 x 0处连续；D函数 f ( x) 在x0处可微。 3． f (x) 在x0处不连续，则 f (x) 在x0处（A） A 必不可导； B 有时可导； C 必无定义； D 必无极限。 4．函数 f ( x) =|2x|在x=0处的导数（D）。 A等于 0 ；B等于 2 ； C 等于 -2 ；D不存在。 5．函数 f ( x) =|sinx|在点 x=0处的导数（D）。 A等于 -1 ；B等于 0 ； C 等于 1；D不存在。 6 ．y ln | x |，则 y ’= （ B）。 A1；B 1 ；C 1 ；D 1 。 | x |x x| x | 7．曲线 y=sinx在点 (0,0)处的切线方程是（C）。 A y=2x B y 1 x C y=x D y=-x 2 8． f (x)x cos x，则 f " ( x) =（D）。 (02-03电大试题 ) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx 9．函数中在 [1 ， e] 上满足 Lagrange定理条件的函数是（B）。 A y=ln(lnx)； B y=lnx； C y=1； D y=ln(2-x)。 ln x 10 ．若f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
高考数学 导数及其应用的典型例题
第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ
可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax
高二数学导数及其应用练习题及答案
（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==
高中数学第三章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修1_417
习题课导数的应用 学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用． 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x) f′(x)的正负f(x)的单调性 f′(x)>0单调递________ f′(x)<0单调递________ 知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值． 知识点三函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． 2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值． 类型一数形结合思想的应用 例 1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________． 反思与感悟解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：
(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点． 跟踪训练1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是________． 类型二 构造函数求解 命题角度1 比较函数值的大小 例2 已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋ f x x <0，若a ＝12f (12)，b ＝－2f (－2)，c ＝(ln 12)f (ln 1 2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g (x )＝xf (x )，通过g ′(x )确定g (x )的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数． 跟踪训练2 设a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5，则a ，b ，c 的大小关系是________． 命题角度2 求解不等式 例3 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )，满足f (x )
导数及其应用同步练习及答案
第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1. 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，函数的改变量y ?为【 】 A .()x x f ?+0 B .()x x f ?+0 C .()x x f ??0 D .()()00x f x x f -?+ 2. 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为【 】 A .－4 B .－8 C .6 D . －6 3. 曲线=y x x 32+在2x =处的切线的斜率为【 】 A . 7 B . 6 C . 5 D . 4 4. 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1，2）及附近一点()y x ?+?+2,1，则x y ??为 【 】 A .21+?+ ?x x B .21-?- ?x x C .2+?x D .x x ?- ?+12 5. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球体积的平均变化率为【 】 A .()()2 3 24 443R R R R R πππ??+??+? B .()2 24443 R R R R πππ+??+? C .24R R π?? D .24R π 6.某质点的运动方程是2(21)s t t =--，则在t=1s 时的瞬时速度为 【 】 A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．13 7.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，则在4s 附近的平均变化率为 . 8.已知物体的运动方程是23(s t t t =+秒,s 米)，则物体在时刻t = 4时的速度v = . 9.求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 10． 求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1，2)处的切线方程. 11.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 1.2 导数的运算 1. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 【 】 A .0 B .1 C .3 D .6 2.函数y =x 2co sx 的导数为 【 】 A . y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C . y ′=x 2co sx －2xs i nx D . y ′=x co sx －x 2s i nx 3. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ，且(1)f '=2 ， 则a 的值为 【 】
微分中值定理与导数的应用总结
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，
微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题 § 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且 )()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分 也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间
C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06 213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1 )2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点 存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在) ,(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02 112>++ηη矛盾．故方程0 62132=+++x x x 只有一个实根．
导数及其应用的习题(教师版)
导数及其应用的习题 一．要点梳理 1．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立解出的参数的取值范围确定． 2．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 二．疑点清源 1．运用导数不仅可以求解曲线的斜率，研究函数的单调性，确定函数的极值与最值，还可利用导数研究参数的取值范围，来讨论方程根的分布与证明不等式． 2．用导数研究参数的取值范围，确定方程根的个数，证明不等式，其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题，运用导数进行研究． 3．函数的极值与函数的最值是有区别与联系的：函数的极值是一个局部性概念，而最值是某个区间的整体性概念；函数的极值可以有多个，而函数的最大(小)值最多只有一个 4．极值点不一定是最值点，最值也不一定是极值点，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值点，则极大值就是最大值，极小值就是最小值． 5．在求可导函数的最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可． 6．对于一般函数而言，函数的最值必在下列各种点中取得：导数为零的点，导数不存在的点，端点． 三．典例精析 题型一：利用导数求函数的单调区间 例1：已知函数f (x )＝x 3－ax 2 －3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导，得 f ′(x )＝3x 2－2ax －3.由 f ′(x )≥0，得a ≤32? ????x －1x .记t (x )＝32? ? ???x －1x ， 当x ≥1时，t (x )是增函数，t (x )min ＝3 2(1－1)＝0.∴a ≤0. (2)由题意，f ′(3)＝0，即27－6a －3 ＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1 3，x 2＝3. 当x 增 减 增
导数的应用(习题课)优秀教学设计
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
第四章----中值定理与导数的应用--习题及答案(1)
第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> 习题课（二） 导数及其应用 1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函 数f (x )的图象可能是( ) 解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0 高二数学《导数及其应用》 一、选择题 1.0()0f x '=是可导函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2 1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老 习题3 一、填空题 i 设孑心 好 m ，则yw=o 有 _________________________ 根，它们分别位于 区间； 2. 函数「'在〔?-上满足 拉格朗日定理条件的-■ ---------- 3 .函数了（兀2*与削+ *在区间卩总］上满足柯西定理条件的 4. 函数y = 在皿］上满足拉格朗日中值定理条件的 貝 In sin 3z hi ll ---- --- = ____________ 5. In sin 5x / W = -y 8.函数 的单调减区间是 ----------- 9.设」八在"可导，则「是在点心处取得极值的 ------------------------ 条 件； 2 10?函数■…亠：—二在工「及"=-取得极值，贝F ——? jf （尤）—工—2冒 6. hm (1 — x) tan ——= y ' 2 7. lim r-j-0 i (cos 1 11.函数」一二的极小值是 __________ ; /⑴二邑壬 12?函数'?1的单调增区间为_____________ 13. 函数的极小值点是" ----------------------- ; 14. 函数，二」——'?在一「一上的最大值为 ---------- ,最小值为------ 14. 函数他"-"+5在［-H］的最小值为------------------- ; 15. 设点」■是曲线2心：的拐点,则”-…八; 16. 曲线- J的下凹区间为------------- ,曲线的拐点为--------- ； 17. 曲线」一一‘-的上凹区间为 --------- ; 18. 曲线」一一?-的拐点为-------------- ； 19. 若/八是工的四次多项式函数，它有两个拐点' ''：■ ■,并且在点 :二处的切线平行于艺轴,那么函数」八‘的表达式是----------------- ; 《2 20. 曲线“二玄+户任卩叔）的拐点为 -------------- ; y —----- 21. 曲线：「的水平渐近线的方程是 ------------------ ,垂直渐近线的方程是------------ ；北师大高中数学选修22培优新方案习题课二 导数及其应用 含解析
导数及其应用周练练习题(有详细答案)
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