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历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）曲线

x x

-渐近线的条数为（）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）设函数

()(1)(2)

x x nx

f x e e e n

=--…（-）

，其中n为正整数，则

(0)

=（

）

（A）

(1)(1)!

n n

（B）

(1)(1)!

n n

（C）

(1)!

n n

（D）

(1)!

n n

（3）设函数

()

f t

连续，则二次积分

02cos

()

d f r rdr

=（）

（A

）

22 0

() dx x y dy

（B

）

22 0

() dx f x y dy

（C

）

22 0

() dx x y dy

（D

）

22 0

() dx f x y dy

（4

）已知级数1

(1)n

nα

∞

∑

绝对收敛，

(1)n

nα

∞

∑

条件收敛，则

α范围为（）

（A）0<α

≤

（B）

2< α≤1

（C）1<α≤

2（D）

2<α<2

（5）设

1234123400110,1,1,1

c c c c αααα-???????? ? ? ? ?

===-= ? ? ? ?

? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（

）（A ）123ααα，，（B ）124ααα，，

（C ）

134ααα，，

（D ）

234ααα，，

（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1

2??

? ?

?，

123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1

=Q AQ -（）

（A ）1

1?? ? ? ???

（B ）1

2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ??

（D ）22

1?? ? ? ??

（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P

X Y ≤2

｛1｝

（

）

（A ）

（B ）

（C ）

8π

（D ）

（8）设1234X X X X ，，，为来自总体

N σσ>2

（1，）（0）的简单随机样本，则统计量

34|+-2|

X X X X -的分布（）（A ）

N （0，1）

（B ）

(1)

（C ）

(1)χ

（D ）

(1,1)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

cos sin 4

lim (tan )x x

x x π

-→

（10

）设函数0

ln1

(),(()),

21,1

f x y f f x

x x

?≥

求

___________.

（11）函数

(,)

z f x y

满足

(,)22

lim0,

f x y x y

→

-+-

则(0,1)

dz=

_______.

（12）由曲线

和直线

y x

及

y x

在第一象限中所围图形的面积为_______.

（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，

11 (),(),

P AB P C

则

P AB

（）=

_________.

解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

计算

222cos

lim

x x x

e e

→

（16）（本题满分10分）

计算二重积分

e xydxdy

，其中D

为由曲线

y y

所围区域.

（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），

设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2

（万

元/件）与6+y（万元/件）.

1）求生产甲乙两种产品的总成本函数

(,)

C x y

（万元）

2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.

（18）（本题满分10分）

证明：

ln cos1,1 1.

x x

x x x

+≥+-<< -

（19）（本题满分10分）已知函数

()

f x

满足方程

()()2()0

f x f x f x

+-=

及

()()2x f x f x e '+=

1）求表达式

() f x

2）求曲线的拐点

()()

y f x f t dt =-

（20）（本题满分10分）

设

1001

0101

0010

A b

????

? ?

- ? ?==

? ?

????

，

（I）求|A|

（II）已知线性方程组Ax b

=有无穷多解，求a，并求Ax b

=的通解.

(21)（本题满分10分）

已知

101

011

，

二次型123

(,,)()

f x x x x x

T T

=A A

的秩为2，

求实数a的值；

求正交变换x=Qy将f化为标准型.

（22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：

求（1）P(X=2Y); （2）

cov(,)XY

X Y Y -ρ与.

（23）（本题满分10分）设随机变量

和

相互独立，且均服从参数为

的指数分布，

m in(,),=m ax(,).

V X Y U X Y =

求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()

E U V +.

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

(1) 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与是k

cx 等价无穷小，则

(A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==-

(2) 已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =,则23

()2()

lim

x x f x f x x

→-=

(A) '2(0)f - (B) '(0)f - (C) '

(0)f (D) 0 (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是

(A) 若

n u

∞

=∑收敛，则

()n n n u

u ∞

-=+∑收敛

(B) 若

21()n n n u

u ∞-=+∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

n u

∞

=∑收敛，则

()n n n u

u ∞

-=-∑收敛

(D) 若

()n n n u

u ∞-=-∑收敛，则1

n n u ∞

=∑收敛

(4) 设40

ln(sin )I x dx π=?

,40

ln(cot )J x dx π=

,40

ln(cos )K x dx π

则I ,J ,K 的大小关

系是

(A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I <<

(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

记为11001

1000

1P ??

?= ? ??

?，210000101

0P ??

= ? ??

，则A = (A)12P P (B)1

12P P - (C)21P P (D) 1

21P P -

(6) 设A 为43?矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，1k ,2

k 为任意常数，则Ax β=的通解为

(A)

121()2

k ηηηη++- (B) 23

221()2

k ηηηη-+-

(C)

131221()()2

k k ηηηηηη++-+- (D)

221331()()2

k k ηηηηηη-+-+-

(7) 设1()F x ,2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x , 1()f x 是连续函数，则必为概率密度的是

(A) 12()()f x f x (B)212()()f x F x

(8) 设总体X 服从参数λ(0)λ>的泊松分布，11,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体的简单随即样

本，则对应的统计量11

i i T X n

∑，1

n i n i T X X n n

-==

-∑

(A)1212,ET ET DT DT >> (B)1212

,ET ET DT DT ><

(9) 设0

()lim (13)x

t t f x x t →=+，则'

()f x =______.

(10) 设函数(1)x

x z y

，则(1,1)|dz =______.

(11) 曲线tan()4

x y e π

=在点(0,0)处的切线方程为______.

(12)

曲线y =2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积

______.

(13) 设二次型123(,,)T

f X X X x Ax =的秩为1，A 中行元素之和为3，则f 在正交变换下

x Q y =的标准型为______.

(14) 设二维随机变量(,)X Y 服从2

(,;,;0)N μμσσ，则2

()E XY =______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限0

1lim

ln(1)

x x x x →-+.

(16) (本题满分10分)

已知函数(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，

[](),

(,)

z f x

y f x y =+。求2

(1,1)

z x y

???.

(17) (本题满分10分)

求

(18) (本题满分10分)

证明44arctan 03

x x π-+

-=恰有2实根。

(19) (本题满分10分)

()f x 在[]0,1有连续的导数，(0)1f =，且

()()

D D f x y dxdy f t dxdy +=

，{(,)|0,0,0}(01)t

x y x t y t x y t t =≤≤≤≤≤+≤<≤，求()f x 的表达式。

(20) (本题满分11分)

设3维向量组11,0,1T

α=（），20,1,1T

α=（），31,3,5T

α=（）不能由11,,1T

a β=（），

21,2,3T β=（），31,3,5T

β=（）线性标出。

求：(Ⅰ)求a ；

(Ⅱ)将1β，2β，3β由1α，2α，3α线性表出. (21) (本题满分11分)

已知A 为三阶实矩阵，()2R A =，且11110

0001111A -????

? ?

= ? ?

? ?-????

，求：(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求A (22) (本题满分11分) 已知X ，Y 的概率分布如下：

且2

P ()1X

Y ==，

求：(Ⅰ)()X Y ，的分布；

(Ⅱ)Z XY =的分布； (Ⅲ)X Y ρ. (23) (本题满分11分)

设(,)X Y 在G 上服从均匀分布，G 由0x y -=，2x y +=与0y =围成。

求：(Ⅰ)边缘密度

()X f x ；

(Ⅱ)

|(|)X Y f x y 。

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若0

11lim

()1x x a e x x →??--=????

，则a 等于（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

(2) 设1y ，2y 是一阶线性非齐次微分方程'

()()y p x y q x x +=的两个特解，若常数λ，u 使

12y uy λ+是该方程的解，12y uy λ-是该方程对应的齐次方程的解，则（）

（A ）1122λμ==，（B ）112

λμ=-=-

，

（C ）213

λμ=

，（D ）223

λμ=

，

(3) 设函数()f x ,()g x 具有二阶导数，且"

()0g x <。若0()=g x a 是()g x 的极值，则[]

()f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是（）

（A ）'

()0f a < （B ）'

()0f a > （C ）"

()0f a < （D ）"

()0f a >

(4) 设10

()ln f x x =，()g x x =,10()x

h x e =,则当x 充分大时有（）

（A ）()()()g x h x f x << （B ）()()()h x g x f x << （C ）()()()f x g x h x << （D ）()()()g x f x h x <<

(5) 设向量组Ⅰ：12r ααα ，，

可由向量组Ⅱ：12s βββ ，，线性表示，下列命题正确的是（A ）若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤ （B ）若向量组Ⅰ线性相关，则r s > （C ）若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤ （D ）若向量组Ⅱ线性相关，则r s > (6) 设A 为4阶实对称矩阵，且2

0A A +=,若A 的秩为3，则A 相似于

（A ）11

0?????

??????? （B ）11

0??

??????-???? （C ）11

0????-?

???-???

? （D ）1

0-????-????-???

(7) 设随机变量的分布函数00

()012

x F x x e

x -

?-≥??，则{}1P X ==

（A ）0 （B ）

（C ）

-- （D ）1

(8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[]1,3-上的均匀分布的概率密度，若

12()

0()(0,0)()

af x x f x a b bf x x ≤?=>>?

>?为概率密度，则,a b 应满足

（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数()y y x =由方程

sin x y x t

dt x t dt +-=

确定，则

x dy dx

==______.

(10)

设位于曲线)y e x =

≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ,则G 绕x 轴

旋转一周所得空间区域的体积是______.

(11) 设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为3

1p +，其中p 为价格，且(1)1R =，则

()R p =______.

(12) 若曲线3

1y x ax bx =+++有拐点(1,0)-,则b =______. (13) 设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，1

B -+=，则1

A B

-+=______.

(14) 设1x ，2x ，n x 为来自整体2

(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量2

i i T X n

∑，则

E T =______.

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分)

求极限1

ln lim (1)

x x

→+∞

(16) (本题满分10分) 计算二重积分

()

x y dxdy +??，其中D 由曲

线x =与直

线0x +=

及

0x -=围成。

(17) (本题满分10分)

求函数2u xy yz =+在约束条件2

10x y z ++=下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较

[]10

ln ln(1)n

t t dt +?

与1

ln n t t dt ?(1,2,)n = 的大小，说明理由

（Ⅱ）设[]1

ln ln(1)n

n u t t dt =

(1,2,)n = ，求极限lim n n u →∞

(19) (本题满分10分)

设函数()f x 在[]0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2

2(0)()(2)+(3)f f x dx f f ==?

，

（Ⅰ）证明：存在(0,2)η∈，使()(0)f f η= （Ⅱ）证明：存在(0,3)ξ∈，使"

()0f ξ= (20) (本题满分11分)

设1

101

A λ

λλ???

?=-??????，11a b ??

??=??

????

已知线性方程组A x b =存在2个不同的解（Ⅰ）求λ，a

（Ⅱ）求方程组A x b =的通解

(21) (本题满分11分)

设0141

0A a a

-??

?=-??????

，正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵，若Q 的第1

2,1)T

,求a ，Q

(22) (本题满分11分) 设二维随机变量

()X Y ，的概率密度为22

22()x xy y

f x y Ae

-+-=，，

x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度()Y

f y x

(23) (本题满分11分)

箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数，

（Ⅰ）求随机变量()X Y ，的概率分布（Ⅱ）求()Cov X Y ，

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

（1）函数3

()sin x x

f x x

π-=的可去间断点的个数为

(A)1.

(B)2. (C)3.

(D)无穷多个.

（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2

()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则 (A)1a =，16

b =-

. （B ）1a =，16

b =

b =-. （D ）1a =-，16

b =

（3）使不等式1

sin ln x

t dt x t

成立的x 的范围是

(A)(0,1).

(B)(1,

π. (C)(

,)2

ππ. (D)(,)π+∞.

（4）设函数()y f

x =在区间[]1,3-上的图形为

则函数()()0

F x f t dt =

的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

（5）设,A B 均为2阶矩阵，*

,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵

O A B O ??

???

的伴随矩阵为 (A)**

32O B A O ??

???.

(B)**

23O

B A

O ??

???. (C)**

32O A B

O ??

???

(D)**

23O

A B

O ??

???

. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T

P 为P 的转置矩阵，且10001000

2T P AP ?? ?=

? ??

，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T

Q AQ 为

(A)2

1011000

2?? ?

? ??

(B)1

1012000

2??

? ??

1000

2?? ?

? ??

(D)1

000

2000

2??

? ? ??

. （7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P A B =.

(B)()()()P AB P A P B =.

(C)()1()P A P B =-.

(D)()1P A B ?=.

（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为

{0}{1}2

P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数

为

(A) 0.

(B)1.

(D)3.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9

）cos 0lim

x x →= .

（10）设()y

z x e =+，则

(1,0)

z x

?=? .

（11）幂级数

(1)

n n

n e x n

∞

=--∑

的收敛半径为 .

（12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.

（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T

αβ相似于3000

0000

0?? ?

? ??

，则k = . (14) 设1X ，2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2

S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2

T X S =-，则E T = .

三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分9分）求二元函数()2

(,)2ln f x y x

y y y =++的极值.

（16）（本题满分10 分）

计算不定积分ln(1dx +

(0)x >.

（17）（本题满分10 分）计算二重积分

()D

x y dxdy -??

，其中22

{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥. （18）（本题满分11 分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，

得证()'

()()()f b f a f b a ξ-=-.

（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'

lim ()x f x A +

→=，

则'

(0)f +存在，且'(0)f

A +

（19）（本题满分10 分）

设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1

y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.

（20）（本题满分11 分）设

11A=1

1104

2--?? ?- ? ?--?

?,1112ξ-?? ?= ? ?-??

. （Ⅰ）求满足21A ξξ=，2

31A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分）设二次型

222

1231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.

（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.

（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2

12y y +，求a 的值. （22）（本题满分11 分）

设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

0(,)0

e y x

f x y -?<<=?

?其他

（Ⅰ）求条件概率密度()Y

f y x ；

（Ⅱ）求条件概率{}

11P X Y ≤≤. （23）（本题满分11分）

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.

（Ⅰ）求{}

10P X Z ==；

（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0

()()x f t dt g x x

的（）

（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.

（C ）无穷间断点.

（D ）振荡间断点.

（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分

()a

xf x dx

等于（）

（A ）曲边梯形A B O D 面积.

（B ）梯形A B O D 面积.

（C ）曲边三角形A C D 面积.

（D ）三角形A C D 面积.

（3）已知(,)f x y =

（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在

（4）设函数f

连续，若22

(,)uv

D F u v dxdy =

，其中u v D 为图中阴影部分，则

F u

?=?（）

（A ）2

()vf u （B ）

()v f u u

（C ）()vf u （D ）

()v f u u

（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若3

0A =，则（）

（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.

（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.

（D ）E A -可逆，E A +不可逆.

（6）设1

1A ??

???则在实数域上域与A 合同的矩阵为（）（A ）211

2-??

?-??.

（B ）211

2-??

?-??.

（C ）2

2??

???

（D ）1

1-??

?-??

. （7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）

（A ）()2

x .

（B ）()()F x F y .

（C ）()2

11F x --????. （D ）()()11F x F

y --????????.

（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1X Y ρ=，则（）

（A ）{}211P Y X =--=.

（B ）{}211P Y X =-=.

（C ）{}211P Y X =-+=. （D ）{}211P Y X =+=.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）设函数21,()2,

x x c f x x c x ?+≤?

=?>??

在(,)-∞+∞内连续，则c = .

（10）设3

1()1x x f x x

，则

()______f x dx =?

（11）设2

{(,)1}D x y x y =+≤，则

()D

x y dxdy -=?? .

（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . （13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则1

4_____A E --=.

（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{

P X EX

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) （本题满分10分）求极限2

1sin lim

x x x

→.

(16) （本题满分10分）

设(,)z z x y =是由方程()2

x y z x y z ?+-=

++所确定的函数，其中?具有2阶导数且

1?'≠-时.

（Ⅰ）求dz （Ⅱ）记()1

,z z u x y x y x y ????=

- ?

-????，求u

x ??. (17) （本题满分11分）计算

m ax(,1),D

xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤

≤.

(18) （本题满分10分）设()f

x 是周期为2的连续函数，

（Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()2

t t

f x dx f x dx +=

；

（Ⅱ）证明()()()20

2x t t

G x f t f s ds dt +??=

???

是周期为2的周期函数．

(19) （本题满分10分）

设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？

(20) （本题满分12分）

设n 元线性方程组A x b =，其中

21212n n a a a A a

a ???

?= ?

，12n x x x x ??????=?????? ，10

0b ??????=????

（Ⅰ）求证行列式()1n

A n a =+;

（Ⅱ）a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。（21）（本题满分10分）

设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，（Ⅰ）证明123,,a a a 线性无关；（Ⅱ）令()123,,P a a a =，求1

P AP -.

（22）（本题满分11分）

设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率分布为{}()11,0,13

P X i i ==

=-，Y 的概率密度为

()101

0Y y f y ≤≤?=??

其它，记Z X Y =+

（Ⅰ）求1

02P Z X ??

≤

=???

；（Ⅱ）求Z 的概率密度()Z f z ．（23）（本题满分11分）

设12,,,n X X X 是总体为2

(,)N μσ的简单随机样本.记1

i i X X n

∑，

1()1

i i S X X n ==

--∑

，2

1T X

S n

（Ⅰ）证明T 是2

μ的无偏估计量. （Ⅱ）当0,1μσ==时，求D T .

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上

(1) 当0x +

→

（A ）1- （B ）ln(1+ （C 1 （D ）1cos -

(2) 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是（）（A ）若0

()lim

x f x x

→存在，则(0)0f =

（B ）若0

()()

lim

x f x f x x →+-存在，则(0)0f =

（C ）若0

()

lim

x f x x

→存在，则'(0)f 存在

（D ）若0

()()

lim

x f x f x x

→--存在，则'(0)f 存在

(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0

()(),x F x f t dt =?

则下列结论正确的

是（）

（A ）3(3)(2)4F F =-- （B ）5(3)(2)4

F F =

（C ）3(3)(2)4

F F -=

（D ）5(3)(2)4F F -=-

(4) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分

1sin 2

(,)x

dx f x y dy π

等于（）

（A ）10arcsin (,)y

dy f x y dx π

π+??

（B ）1

0arcsin (,)y

dy f x y dx π

π-??

（C ）

arcsin 0

(,)y

dy f x y dx ππ

? （D ）1arcsin 0

(,)y

dy f x y dx ππ

-??

(5) 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求