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旋转全等专题

旋转全等专题
旋转全等专题

旋转平移专题出题人:张艳敏

23.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.

(1)求证:△ABD≌△ACE;

(2)求∠ACE的度数;

(3)求证:四边形ABFE是菱形.

⌒24.如图16,△OAB中,OA = OB = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心,6为半径的优弧MN

分别交OA,OB于点M,N.

(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.

求证:AP = BP′;

(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;

25. 平面上,矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图15-1摆放,分别

延长DA 和QP 交于点O ,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1,

让线段OD 及矩形ABCD 位置固定,将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着

点O 按逆时针方向开始旋转,设旋转角为)600(?≤≤?a a .

发现:(1)当?=0a ,即初始位置时,点P 直线AB 上.

(填“在”或“不在”)

求当a 是多少时,OQ 经过点B ?

(2)在OQ 旋转过程中,简要说明a 是多少时,点P ,A 间的距离最小?并指出这个最小值;

25.如图,半圆O 的直径AB=4,以长为2的弦PQ 为直径,向点O 方向作半圆M ,其中P 点在

上且不与A 点重合,但Q 点可与B 点重合. 发现:的长与的长之和为定值l ,求l : 思考:点M 与AB 的最大距离为______,此时点P ,A 间的距离为______;

点M 与AB 的最小距离为______,此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形面积为______;

(注:结果保留π,cos35°=,cos55°=)

图15-1

依据全等三角形的旋转难题

旋转 已知,如图,三角形ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,F是AB的中点,直线l经过点C,分别过点A、B作l 的垂线,即AD⊥CE,BE⊥CE, (1)如图1,当CE位于点F的右侧时,求证:△ADC≌△CEB; (2)如图2,当CE位于点F的左侧时,求证:ED=BE-AD; (3)如图3,当CE在△ABC的外部时,试猜想ED、AD、BE之间的数量关系,并证明你的猜想. 考点:全等三角形的判定与性质.专题:证明题;探究型.分析:(1)利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE,进而根据AAS证明△ADC≌△CEB. (2)根据AAS证明△ADC≌△CEB后,得其对应边相等,进而得到ED=BE-AD. (3)根据AAS证明△ADC≌△CEB后,得DC=BE,AD=CE,又有ED=CE+DC,进而得到ED=AD+BE.解答:(1)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°. ∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等). 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC , ∴△ADC≌△CEB(AAS). (2)证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°. ∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等). 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC , ∴△ADC≌△CEB(AAS). ∴DC=BE,AD=CE. 又∵ED=CD-CE, ∴ED=BE-AD. (3)ED=AD+BE. 证明:∵AD⊥CE,BE⊥CE, ∴∠ADC=∠CEB=90°. ∵∠ACD+∠ECB=90°,∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等). 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC , ∴△ADC≌△CEB(AAS). ∴DC=BE,AD=CE. 又∵ED=CE+DC, ∴ED=AD+BE.点评:本题考查了全等三角形的判定和性质;利用全等三角形的对应边相等进行等量交换,证明线段之间的数量关系,这是一种很重要的方法,注意掌握

全等三角形与旋转问题

板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判 定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质,会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 基本知识 把图形G 绕平面上的一个定点O 旋转一个角度θ,得到图形G ',这样的由图形G 到G '变换叫做旋转变换,点O 叫做旋转中心,θ叫做旋转角,G '叫做G 的象;G 叫做G '的原象,无论是什么图形,在旋转变换下,象与原象是全等形. 很明显,旋转变换具有以下基本性质: ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等; 知识点睛 中考要求 第四讲 全等三角形与旋 转问题

②对应直线的交角等于旋转角. 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件盯对集中,以便于诸条件的综合与推演. 【例1】如图,有四个图案,它们绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是( ). 重点:本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定是整个直角三角形的重点 重、难点 例题精讲

【例2】 如图,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG 可以看成是把 菱形ABCD 以A 为中心( ). A .顺时针旋转60°得到 B .顺时针旋转120°得到 C .逆时针旋转60°得到 D .逆时针旋转120°得到 【例3】 如图,C 是线段BD 上一点,分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE 于F ,BE 交AC 于G ,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( ). A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 K G F E D C B A 【例4】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ?、CBN ?是等边三角形.求证:AN BM =. M D N E C B F A 【例5】 如图,B ,C ,E 三点共线,且ABC ?与DCE ?是等边三角形,连结BD ,AE 分别交AC ,DC 于 M ,N 点.求证:CM CN =. N M E D C B A 【补充】已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ?、CBN ?是等边三角形.求证:CF 平分AFB ∠.

初中数学 八九年级全等与旋转模型归纳 讲义

八九年级全等与旋转模型归纳 考察点1:手拉手模型 手拉手模型,亦称为共顶点等腰型,一定会出现旋转型全等。其衍生模型有等腰对补角模型和等腰旁等角模型 模型回顾: 一 . 绕点旋转

1.如图,已知△ABC为等边三角形,D是BC下方一点,连AD. 若∠BDC=120°,求证: (1)∠ADB=∠ADC=60°(2)DA=DB+DC. 2.如图,已知△ABC为等边三角形,D是BC下方一点,连AD. 若∠ADB=60°,求证: (1)∠ADC=60°(2)DA=DB+DC. 3.如图,已知△ABC,AB=AC,∠ADB=∠ADC=60°,求证:(1)△ABC为等边三角形, (2)DA=DB+DC.

考察点2:”脚拉脚”模型。构造辅助线思路是先中线倍长,再证明旋转全等。 如图AB=AC ,CD=ED ,∠BAC +∠CDE =180°,若P 为BE 中点,求证: P DP A ⊥ 如图,∠A +∠C=180°,E ,F 分别在BC,CD 上,且AB=BE ,AD=DF ,M 为EF 中点,求证:DM ⊥BM BEF BEF=90G DF EG CG EG=CG ABCD Rt ?∠?如图,正方形,等腰,。为中点,连接,,求证:

巩固练习 如图,已知等边△ABC ,D 是BC 上任意一点,以AD 为边作等边△ADE ,连CE ,求证:(1)CD +CE =AC ,(2)CE 是△ABC 的外角平分线. 如图,已知△ABC ,以AB 、AC 为边作正△ABD 和正△ACE ,CD 交BE 于O ,连OA ,求OE OD OC OB OA +++2的值. Rt ABC A=B=60ABC A 060)A'BC',B'C'BC E AC F AEF =______ ααα?∠?∠??<≤??中,90,,将三角形绕逆时针旋转(到与交于,与交于,当为等腰三角形时,则

三角形旋转全等常见模型(1)

1、绕点型(手拉手模型) (1)自旋转:?????? ?,造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角,造旋转 ,造等腰直角 旋遇,造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: (1) △ABE ≌△DBC (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。 (4) △AGB ≌△DFB (5) △EGB ≌△CFB (6) BH 平分∠AHC (7) GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: (1) △ABE ≌△DBC (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。 (4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ,连接AE 与CD ,证明: (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 (4)AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC (1)如图1,点C 是线段AB 上一点,分别以AC ,BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ,连接AN ,BM .分别取BM ,AN 的中点E ,F ,连接CE ,CF ,EF .观察并猜想△CEF 的形状,并说明理由.

(2)若将(1)中的“以AC ,BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ,BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△C BN ,”如图2,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由. 例4、例题讲解: 1. 已知△ABC 为等边三角形,点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与B,C 重合),以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1,当点D 在边BC 上时,求证:①BD=CF ②AC=CF+CD. (2)如图2,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD 是否成立?若不成立,请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系,并说明理由; (3)如图3,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。 例1、如图,正方形ABCD 的边长为1,AB,AD 上各存在一点P 、Q ,若△APQ 的周长为2,求PCQ ∠的度数。 例2、在正方形ABCD 中,若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动,且满足MN=BM +DN ,求证:①∠MAN=45°;② △CMN 的周长=2AB ;③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM 。 例3、在正方形ABCD 中,已知∠MAN=45°,若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动:①试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系;②求证:AB=AH. 例4、在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,AB=AD ,若E 、F 分别在边BC 、CD 且上,满足EF=BE+DF.求证:BAD EAF ∠= ∠2 1 。

全等三角形题型归类及解析

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析 一、角平分线型 角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,常作的辅助线是:一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论:角平分线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图,在ΔABC 中,D 是边BC 上一点,AD 平分∠BAC ,在AB 上截取AE=AC , 连结DE ,已知DE=2cm ,BD=3cm ,求线段BC 的长。 2. 已知:如图所示,BD 为∠ABC 的平分线,AB=BC ,点P 在BD 上,PM ⊥AD 于M , ?PN ⊥CD 于N ,判断PM 与PN 的关系. 3. 已知:如图E 在△ABC 的边AC 上,且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证:∠ABE=∠C ; (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ,FD ∥BC 交AC 于D ,设AB=5, AC=8,求DC 的长。 A B C D E P D A C B M N

二、中点型 由中点应产生以下联想: 1、想到中线,倍长中线 2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形 3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线 4、三角形的中位线 2、已知:如图,ABC △中,45ABC ∠=°,CD AB ⊥于D ,BE 平分ABC ∠,且BE AC ⊥于E ,与CD 相交于点F H ,是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G . (1)求证:BF AC =; (2)求证:1 2 CE BF =

D A E F C H G B 3、如图,△ABC中,D是BC的中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关 系,并证明你的结论。 4、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的

旋转全等专题

旋转平移专题出题人:张艳敏 23.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)求∠ACE的度数; (3)求证:四边形ABFE是菱形. ⌒24.如图16,△OAB中,OA = OB = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心,6为半径的优弧MN 分别交OA,OB于点M,N. (1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′. 求证:AP = BP′; (2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;

25. 平面上,矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图15-1摆放,分别 延长DA 和QP 交于点O ,且∠DOQ=60°,OQ=OD=3,OP=2,OA=AB=1, 让线段OD 及矩形ABCD 位置固定,将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着 点O 按逆时针方向开始旋转,设旋转角为)600(?≤≤?a a . 发现:(1)当?=0a ,即初始位置时,点P 直线AB 上. (填“在”或“不在”) 求当a 是多少时,OQ 经过点B ? (2)在OQ 旋转过程中,简要说明a 是多少时,点P ,A 间的距离最小?并指出这个最小值; 25.如图,半圆O 的直径AB=4,以长为2的弦PQ 为直径,向点O 方向作半圆M ,其中P 点在 上且不与A 点重合,但Q 点可与B 点重合. 发现:的长与的长之和为定值l ,求l : 思考:点M 与AB 的最大距离为______,此时点P ,A 间的距离为______; 点M 与AB 的最小距离为______,此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形面积为______; (注:结果保留π,cos35°=,cos55°=) 图15-1

数学人教版九年级上册旋转法构造全等三角形

典型例题: 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线,∠EMF 的顶点在线段AC 上运动,∠EMF 绕点M 旋转,角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合). (1)当∠EMF=90°时,试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系,并说明理由. 变式1: (2)当点M 在直线AC 上运动,∠EMF 绕点M 旋转,当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变,结论是否成立? 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系,并说明理由.. A A A 变式3: (4)当点M 在直线AC 上,当∠FME=∠ABC,其他条件不变,结论是否成立?并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标: 题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一: 变式2: (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形,当∠FME=120°结论是否成立?并说明理由.

分层练习: (A 层) 1. 把含15°角的三角板ABC ,绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置(如图所示),则sin ∠ADE=_______。 (第1题) (第2题) (第3题) 2. 点p 是等边△ABC 内一点,若PA=13,PB=5,PC=12,∠BPA=_________. 3. 如图所示,把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ,边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗?证明你的猜想.(2)若旋转角为30,HG 的长. (B 层) 1.如图,若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ,那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. (第1题) (第2题) (第3题) 2.已知:如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 上,将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转,与△DAF 重合,那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置,点B ’恰好落在边BC 的中点处,则旋转角_____度.

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ,得到图形G',这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换,点O叫做旋转中心,θ叫做旋转角,G'叫做G的象;G叫做G'的原象,无论是什么图形,在旋转变换下,象与原象是全等形. 很明显,旋转变换具有以下基本性质: ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等; ②对应直线的交角等于旋转角. 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件盯对集中,以便于诸条件的综合与推演. 重、难点 重点:本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点:本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件, 决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化

【例1】 如图,有四个图案,它们绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合, 其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是_____________. 【解析】 A 【例2】 如图,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A .顺时针旋转60°得到 B .顺时针旋转120°得到 C .逆时针旋转60° 120°得到 【解析】 D 【例3】 如图,C 是线段BD 上一点,分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ,BE 交AC 于G ,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ?、CBN ?是等边三角形.求证: AN BM =. M D N E C B F A 例题精讲

旋转型全等模型

旋转型全等模型 如图,ACB DCE ??和都是等腰直角三角形,==90ACB DCE ∠∠o ,D AB 为边上一点, (1)求证:ACD BCE ???; (2)EB AB ⊥ 如图,梯形ABCD ,AD ∥BC ,CE ⊥AB ,BDC ?为等腰直角三角形,CE 与BD 交于F ,连结AF ,G 为BC 中点,连结DG 交CF 于M 。 证明:(1)CM=AB (2)AF AB CF += 如图,在等腰△ABC 中,∠ABC =90?,AC BD ⊥于点D ,在线段BC 上取一点E ,连接AE , 过点B 作AE BF ⊥于点F ,连接DF 、BD ,若△BFD 的面积为1,DF =2,求△ AFD 的面积 如图1,ABC ?是等边三角形,点E 在AC 边上,点D 是BC 边上的一个动点, 以DE 为边作等边DEF ?,连接CF 。 (1)当点D 与点B 重合时,如图2,求证:CE CF CD +=; (2)当点D 运动到如图3的位置时,猜想CE 、CF 、CD 之间的等量 关系,并说明理由; 如图,在ABC ?中,90,ABC D BC ∠=o 为上一点,在ADE ?中,E C ∠=∠, 11902 EDC ∠=-∠o 。 求证:(1)12∠=∠ (2)ED BC BD =+ 如图,△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角 形,A 为公共直角顶点,过A 作AF 垂直CB 交CB A DA E B FA BA CA Ga A · M

的延长线于F (1)若AC=10,求四边形ABCD的面积: (2)求证:CE=2AF 已知:如图,在Rt ABC =,D为AC的中点,过 ∠=?,AB AC ?中,90 CAB 点作CF BD ⊥交BD的延长线于点F,过点作AE AF ⊥于点. (1)求证:ABE ?; ?≌ACF (2)过点作AH BF =. ⊥于点H,求证:CF EH

全等旋转类

旋转类全等中考剖析 课程结构

一、几何变换——共顶点旋转 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 以上给出了各种图形连续变化图形,图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形,此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化。证明的基本思想“SAS”。二、旋转变换的性质: (1)对应线段相等,对应角相等 (2)对应点位置的排列次序相同 (3)任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ. 三、利用旋转思想构造辅助线 (1)根据相等的边先找出被旋转的三角形 (2)根据对应边找出旋转角度,画出旋转三角 模块一简单类旋转与全等 【例1】D是等腰Rt ABC ?内一点,BC是斜边,如果将ABD ?绕点A逆时针方向旋转到' ACD ?的位置,旋转的度数是( ) A.25?B.30?C.35?D.90? D'D C B A 例题精讲

【巩固】如图,P 是正ABC ?内的一点,若将PBC ?绕点B 旋转到P BA '?,则PBP '∠的度 数是( ) A .45? B .60? C .90? D .120? P ' A B C P 【巩固】ABC ?中,108ACB ∠=?,将它绕着C 逆时针旋转30?后得到''A B C ?,则'ACB ∠的度数是多少? B' A'C B A 【例2】 如图,将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90?后,得到矩形'''AB C D ,如果 22CD DA ==,那么'CC =_________. D' C' B' D C B A 【巩固】如图,P 是正三角形ABC 内的一点,且6PA =,8PB =,10PC =.若将PAC ?绕 点A 顺时针旋转后,得到'P AB ?,则点P 与点'P 之间的距离为______,APB ∠= . P' P C B A

全等三角形与旋转问题专题

全等三角形与旋转问题 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ,得到图形G',这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换,点O叫做旋转中心,θ叫做旋转角,G'叫做G的象;G叫做G'的原象,无论是什么图形,在旋转变换下,象与原象是全等形. 很明显,旋转变换具有以下基本性质: ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等; ②对应直线的交角等于旋转角. 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件盯对集中,以便于诸条件的综合与推演. 重、难点 重点:本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点:本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性 质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件, 决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化

【例1】如图,有四个图案,它们绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是_____________. 【解析】A 【例2】如图,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心_____________。 A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到 C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到 G F E D C B A 【解析】D 【例3】如图,C是线段BD上一点,分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A.1对B.2对C.3对D.4对 K G F E D C B A 【解析】C 【例4】已知:如图,点C为线段AB上一点,ACM ?、CBN ?是等边三角形.求证:AN BM =. M D N E C B F A 【解析】∵ACM ?、CBN ?是等边三角形, ∴MC AC =,CN CB =,ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ?? ≌,∴AN BM = 【点评】此题放在例题之前回忆,此题是旋转中的基本图形. 【例5】如图,B,C,E三点共线,且ABC ?与DCE ?是等边三角形,连结BD,AE分别交AC,DC 例题精讲

两个等边三角形之间的旋转全等问题

两个等边三角形之间的旋转全等问题 1、(锦州)如图A ,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C ,连接AF 和BE .(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论; (2)将图A 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图B ,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;(3)若将图A 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画山一个变换后的图形C (草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由; (4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现. (3)此小题图形不惟一,如图第(1)中的结论仍成立.(4) 根据以上证明、说理、画图,归纳如下:如图A ,大小不等的等边三角形ABC 和等边三角形CEF 有且仅有一个公共顶点C ,则以点C 为旋转中心,任意旋转其中一个三角形,都有AF=BE . 2、如图,ADC ?和BCE ?都是等边三角形, 30=∠ABC ,试说明:2 22BC AB BD +=(综合全等和勾股定理) 3、△DAC, △EBC 均是等边三角形,AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证:(1)AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形(4)MN ∥BC 4、已知:如图1,点C 为线段AB 上一点,△ACM ,△CBN 都是等边三角形,AN 交MC 于点E ,BM 交CN 于点F . (1)求证:AN=BM ; (2)求证:△CEF 为等边三角形; (3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90 O ,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明). 5、如图所示,已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形。下列结论:① AE=CD ;②BF=BG ;③BH 平分∠AHD ; ④∠AHC=600,⑤△BFG 是等边三角形;⑥ FG ∥AD 。其中正确的有( ) A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 6、已知,如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ,,在一条直线上,连接BE CD M N ,,,分别为BE CD ,的中点.(1)求证:①BE CD =;②AN AM =;

全等三角形常见的几何模型

1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°,造等腰直角遇等腰旋 顶角,造旋转全等遇中点旋1800,造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE,连接AE与CD,证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE,连接AE与CD,证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转:自旋转构造方法 ABD和厶BCE,连接AE与CD,证明:

3、(1)如图1,点C是线段AB上一点,分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状,并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN,”如图2,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由. B 例4、例题讲解: 1.已知△ ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列),使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时,求证:① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系,并说明理由; ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图,正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P

旋转构全等三角形

勾股定理与旋转 例1:如图所示,在等腰直角ABC ?的斜边AB 上取两点M 、N ,使45MCN ∠=?,记AM m =,MN x =, BN n =,求证:以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是直角三角形. x m n N M C B A 练习:已知:如图1在Rt ABC ?中,90BAC ∠=?,AB AC =,点D 、E 分别为线段BC 上两动点,若 45DAE ∠=?.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. (1)当动点E 在线段BC 上,动点D 运动在线段CB 延长线上时,如图1,写出线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系并给予证明. (2)若AB=2,求DE 的最小值.

练习: 1、如图所示,P 是等边ABC ?中的一点,2PA =,23PB =,4PC =,试求ABC ?的边长.

3、如图所示:ABC AP=,2 ∠ CP=,1 ?内的一点,且3 =,P是ABC ACB ∠=?,AC BC ?中,90 BP=,求BPC 的度数.

4、P 为等边ABC ?内一点,113APB ∠=?,123APC ∠=?,求证:以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形,并确定所构成的三角形的各内角的度数. 5、如图,P 为正方形ABCD 内一点,123PA PD PC ===, ,,将PDC ?绕着D 点按逆时针旋转90?到PQD ? 的位置。 (1)求:PQ PD 的值;(2)求APD ∠的度数。

6、在凸四边形ABCD 中,30ABC ∠=?,60ADC ∠=?,AD CD =,求证:222BD AB BC =+. 例3:如图所示,ABD ?是等边三角形,在ABC ?中,BC a =,CA b =,问:当ACB ∠为何值时,C 、D 两 点的距离最大?最大值是多少? 练习:如图,已知在△ABC 中,AB=m ,AC=n ,以BC 为边向外作正方形BCDE ,连接AE.问:当∠BAC 为何值时?AE 取到最大值,最大值为多少?

完整word版,初中三角形全等之旋转和对称经典模型

初中全等三角形旋转和对称经典模型 一.旋转的定义 在平面内,将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度,就叫做 图形的旋转,定点O称为旋转中心,转动的角称为旋转角; 二.旋转的性质 (1)旋转前后的图形全等;即对应线段相等,对应角相等. (2)对应点到旋转中心的距离相等. (3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. 三.旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称 图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角大于0°,小于360°)四.旋转对称图形 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角大于0°,小于360°) 五.典型模型 1、等线段共点 等边三角形共顶点

2、绕点型(手拉手模型) (1)自旋转: 自旋转构造放方法: ①遇60°旋60°,构造等边三角形; ②遇90°旋90°,构造等腰直角三角形; ③遇等腰旋转顶角,构造旋转全等; ④遇中点180°,构造中心对称。共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形

(2)共旋转模型变形

说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。 3.中点旋转(拓展):

说明:两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶 点连线的中点,证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形 (或者正方形)公旋转顶点,通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三 角形从而得证。 4、半角模型 说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。 5.角分线模型 说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换,产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

三角形旋转全等常见模型

1绕点型(手拉手模型) 遇60°旋60°,造等边二角形 遇900旋900,造等腰直角遇等腰 旋顶角,造旋转全等遇中点旋 1800,造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△AGB2A DFB (5)△EGB2A CFB (6)BH平分/ AHC (7)GF// AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD和△ BCE连接AE与CD证明: (1)△ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC (1自旋转:自旋转构造方法 ABD和△ BCE连接AE与CD 证明: B

变式练习2、如果两个等边三角形厶ABD和厶BCE连接AE与CD,证明: (1)△ABE^A DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC (1)如图1,点C是线段AB上一点,分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶 CBN,连接AN , BM .分别取BM , AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的 形状,并说明理由. (2)若将(1 )中的“以AC, BC为边作等边△ ACM和厶CBN'改为“以AC , BC为腰在AB的同 侧作等腰△ ACM 和厶CBN,”如图2,其他条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,加以证明;若不成 立,请说明理由. 例4、例题讲解: 1.已知△ ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列),使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1) 如图1,当点D在边BC上时,求证:① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2) 如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由; ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 D

全等三角形与旋转问题

A ?钝角三角形 B ?直角三角形 C ?等边三角形 D ?非等腰三角形 七年级数学下---全等三角形 【1】如图,点C 为线段AB 上一点,ACM 、 CBN 是等边三角形. 请你证明:⑴ AN BM ;(2) DE II AB ;(3) CF 平分 AFB . 【 2】如图,点C 为线段AB 上一点,ACM 、 CBN 是等边三角形,D 是AN 中点,E 是BM 中点, 求证: CDE 是等边三角形. 【3】如下图,在线段AE 同侧作两个等边三角形 ABC 和CDE ( ACE 120°,点P 与点M 分别是 线段BE 和AD 的中点,贝U CPM 是 A E A E

【4】如图,等边三角形 ABC 与等边DEC 共顶点于C 点.求证:AE BD . 【5】如图,D 是等边 ABC 内的一点,且 BD AD , BP AB , DBP DBC ,问 BPD 的度数是 否一定,若一定,求它的度数;若不一定,说明理由. 【9】如图所示,ABC 是边长为1的正三角形,BDC 是顶角为120的等腰三角形,以D 为顶点作 【6】如图,等腰直角三角形ABC 中,Z B 90,AB a ,O 为AC 中点,EO OF .求证:BE BF 为定值. 【7】在等腰Rt ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ,使 则以x 、m 、 n 为边长的三角形的形状是( MCN 45,记 AM m ,MN )。A .锐角三角形 B .直角三角形 BN n , C .钝角三角形 D .随 x 、m 、 n 的变化而变化 C

一个60的MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长。 【8】请阅读下列材料:已知:如图1在Rt ABC中,BAC 90 , AB AC ,点D、E分别为线 段BC上两动点,若DAE 45 ?探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系. 小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,得到ABE,连结ED,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,并 对你的猜想给予证明;⑵ 当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其 它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明. 图 1

旋转与全等三角形

旋转与全等三角形 问题一:题中出现什么的时候,我们应该想到旋转?(构造旋转的条件) 1.图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形) 2.这些相等的边中存在共端点。 3.如果旋转(将一条边和另一条边重合),会出现特殊的角:大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。 问题二:旋转都有哪些模型? 构造旋转辅助线模型: 1.大角夹半角 2.手拉手(寻找旋转) 3.被分割的特殊角 旋转使用技巧 1.题干中出现对图形的旋转——现成的全等 2.图形中隐藏着旋转位置关系的全等形——找到并利用 3.题干中没提到旋转,图形中也没有旋转关系存在——通过作辅助线构造旋转! 典型例题 【例1】如图,P是正△ABC内的一点,若将△PBC绕点B旋转 到△P'BA ,则∠PBP'的度数是( ) A.45°B.60° C.90°D.120° 【例2】如图,正方形BAFE与正方形ACGD共点于A,连接BD、CF,求证:BD=CF并求出∠DOH的度数。

【例3】如图,正方形ABCD中,∠F AD=∠F AE。求证:BE+DF=AE。 【例4】已知:如图:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN的两边分别交CB、DC于点M、N。求证:BM+DN=MN。 【例5】如图,正方形ABCD中,∠EAF=45°,连接对角线BD交AE于M,交AF于N,证明:DN2+BM2=MN2

【例6】如图,已知△OAB 和△OCD 是等边三角形,连结AC 和BD ,相交于点E ,AC 和BO 交于点F ,连结BC 。求∠AEB 的大小。 【例7】如图所示:△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,P 是△ABC 内的一点,且AP =3,CP =2, BP =1,求∠BPC 的度数。 课后习题 1.如图,P 是正ABC ?内的一点,且BP 是∠ABC 的角平分线,若将PBC ?绕点P 旋转到P BA '?,则PBP '∠的度数是( ) A .45° B .60° C .90° D .120° 2.如图:△ABC 中,AB =AC ,BC 为最大边,点D 、E 分别在BC 、AC 上,BD =CE ,F 为BA 延长线上一点,BF =CD ,则下列正确的是( ) A .DF =DE B .D C =DF C .EC =EA D .不确定 P ' A B C P C B A F D E

全等三角形的常见类型归纳

全等三角形的常见类型 全等三角形是初中平面几何的一个重要内容,也是中考必考的内容之一。识别两个三角形全等一般有边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、边边边(SSS)四种方法。全等三角形的题目很多,但不外乎以下四种类型: 一、轴对称型全等三角形 把一个图形沿着某一条直线折叠过来,如果它能够与另一个图形重合,那么这两个图形关于这条直线对称。把△ABC沿直线L翻折后,能与△A”B”C”重合,则称它们是轴对称型全等三角形。下图是常见的轴对称型全等三角形,其对称轴L是对称点所连线段的垂直平分线。 识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件,例如有些具有公共边(如图(1)中的AC,图(4)中的AA”),有些具有公共角或对顶角(如图(2)中的∠BAC=∠B”AC”,图(3)中的∠ACB=∠A”CB”)。  例1.如下图,在∠A的两边截取AB=AC,又截取AD=AE,连CD、BE交于F。试说明:AF平分∠A。 二、平移型全等三角形 把△ABC沿着某一条直线L平行移动,所得△A”B”C”与△ABC称为平移型全等三角形。有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线。下图是常见的平移型全等三角形。 图(1)中AB∥A”B”,AB=A”B”,AC∥A”C”,AC=A”C”。 图(2)中AB∥A”B”,AB=A”B”,AC∥A”C”,AC=A”C”,BC∥B”C”,BC=B”C”。 例2. 如下图,△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于D点,∠C的平分线CE交AB、AD于E、F,过F作FG∥ BC交AB于G点。试说明:AE=BG。

三、旋转型全等三角形 将△ABC绕顶点A旋转角后,到达△AB”C”的位置,则称△ABC和△AB”C”为旋转型全等三角形。 如下图所示,这些是常见的旋转型全等三角形。 识别旋转型全等三角形时,要注意图(1)(2)(3)中以点A、B、B”和点A、C、C”为顶点的三角形都是顶角为的等腰三角形,∠BAC和∠B”AC”隐含着一个等量减(加)等量的条件,通常用边角边(SAS)来识别两 个三角形全等。 例3.如下图,C点是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形。试说明:AE=DB 四、中心对称型全等三角形 把果把△ABC绕着一个点O旋转180°,得到△A”B”C”,那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形,点O称为对称中心。中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例()。如图所示是常见的中心对称型全等三角形,对称点连线都经过对称中心O,且被点O平分。 例4.如下图,AD、EF、BC相交于O点,且AO=OD,BO=OC,EO=FO。试说明:△AEB≌△DFC。

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