浙江省永嘉县楠江中学数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程教案

浙江省永嘉县楠江中学2015届数学一轮复习 第八章 第三节 圆的

方程教案

一、教学目标：

1、知识与技能：掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。

2、过程与方法：本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主。

3、情感态度与价值观：在高考考点要求中是C 级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容。

二、教学重难点：

教学重点：

根据已知条件求出圆的标准方程与一般方程。

教学难点：

运用几何法和待定系数法求圆的标准方程。

三、2014年高考会这样考

1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程。

2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题。

四、复习指导

1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程。

2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题。

五、基础梳理

1.圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.

2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.

3.圆的标准方程

(x －a)2＋(y －b)2＝r2(r>0)，其中(a ，b)为圆心，r 为半径.

4.圆的一般方程

x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为? ????－D 2

，－E 2，半径r ＝D2＋E2－4F 2

.

6.

点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种.

圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2，点M(x0，y0)

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2

六、学法指导

一种方法

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；

(3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程．

两个防范

(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．

(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．

三个性质

确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

例1 写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.

例2.一个圆经过A(3,- 2),B(1,2)两点，求分别满足下列条件的圆的方程：

(1)圆心在直线x-y-2=0上； (2)经过点C(3,2)；

变式1：求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。

变式2：求圆心是C（2，-3）且经过原点的圆的方程。

变式3：圆心在直线2x-3y+5=0上且与两坐标轴均相切，求该圆的方程。

练习1.（2011年高考辽宁卷文科13)已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上．则C的方程为______ _____.

练习2、圆心在点

)2,1

(-，与y轴相切的圆的方程为___________________，与x轴相切的

圆的方程为____________________，过原点的圆的方程为_____________________ 例3 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

⑴

22

4441290

x y x y

+-++=；

⑵

22

44412110

x y x y

+-++=.

变式1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)

A B C的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

例4（圆过定点问题）.已知m为实数，圆C：x2+y2-2mx-2m2y+4m-4=0.

(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程；

(2)圆C是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

七、要点归纳与方法小结

新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计

高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套

人教版高中数学《直线和圆的方程》教案全套 直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想． 二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫． 2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？ 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习． 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上． 初中我们是这样解答的：

∵A(1，2)的坐标满足函数式， ∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上． 现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程 引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？ 一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是． 一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应． 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线． 上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的． 显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如 y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)圆的方程教学案

高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）圆的方程 教学案 [知识能否忆起] 1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 (r >0) 圆心：(a ，b )，半径：r 一般 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2 ＋E 2 －4F >0) 圆心：? ???? －D 2，－E 2， 半径：12 D 2＋ E 2 －4F 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 >r 2 . (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＝r 2 . (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

圆的标准方程优秀教案

第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知

高中数学复习教案：圆的方程

第三节圆的方程 [考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．圆的定义及方程 定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r＞0) 圆心(a,b),半径r 一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0, (D2＋E2－4F＞0) 圆心 ? ? ? ? ? － D 2，－ E 2, 半径 1 2D 2＋E2－4F 点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. [常用结论] 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线． 2．两个圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),其中a,b为定值,r是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),其中r为定值,a,b是参数． [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()

(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆． () (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0,B＝0,D2＋E2－4AF>0. () (4)若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. () [答案](1)√(2)×(3)√(4)√ 2．(教材改编)已知点A(1,－1),B(－1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝ 2 C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 A[AB的中点坐标为(0,0),|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22,所以圆的方程为x2＋y2＝2.] 3．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是() A．点在圆外B．点在圆内 C．点在圆上D．不能确定 A[将点(m2,5)代入圆方程,得m4＋25>24.故点在圆外,故选A.] 4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是() A．R B．(－∞,1) C．(－∞,1] D．[1,＋∞) B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k,此方程表示圆,则5－5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞,1)．故选B.] 5．若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切,则该圆的标准方程是() A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 A[由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为(a,1)(a>0),又圆与直线4x－3y＝0相 切,∴|4a－3| 5＝1,解得a＝2或a＝－ 1 2(舍去)． ∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.] 求圆的方程

高二数学圆的一般方程 人教版

高二数学圆的一般方程人教版 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径、掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件、 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程、 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题、 教学重点和难点 重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数， D、E、F、 难点：圆系的理解和应用、 教学过程设计 (一)教师讲授： 请同学们看出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r、 把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0、 我们把它看成下面的形式： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ① 这个方程是圆的方程、

反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆、 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示 (2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示 (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形 ∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、 做圆的一般方程、 现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0、 ②没有xy这样的二次项、 同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0、且没有xy 这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件、但不是充分条件、 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了、 (二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标、 [解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0、 把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组

《圆的方程》教学设计

《圆的方程》教学设计 栖霞一中数学组：张红菊 【教材分析】 本节是这一章的基础和重点，圆的标准方程的推导和求解，为判断“直线和圆的位置关系”以及“圆和圆的位置关系”作了铺垫和引导，几何条件和代数条件的转换也是平面几何的能力之一。 【教学目标】 1.知识与技能： （1）使学生掌握圆的标准方程，能够根据圆心的坐标、圆的半径熟练地写出圆的标准方程，能够从圆的标准方程中熟练地求出圆 心坐标和半径； （2）能够根据构成圆的几何条件判断出点和圆的位置关系，并能转化成代数条件。 （3）能够根据圆的性质，求解圆的标准方程。 2.过程与方法： （1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。 （2）体会数形结合思想，能够熟练的实现几何条件和代数条件的相互转化，养成代数方法处理几何问题能力，。 （3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3.情感、态度与价值观： 通过求解圆的标准方程，培养学生自主解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生积极向上的良好学习品质。

【教学重点】 圆的标准方程的理解和掌握。 【教学难点】 圆的标准方程的应用。 【教学方法】 利用探究式、启发式教学。 【教学手段】 借助于多媒体，通过《几何画板》的演示让学生直观形象地观察理解、解决问题，并能够归纳出结论。 【教学过程】 一．复习引入 1.提出问题:在平面直角坐标系中，确定直线的几何条件有哪两种？设计意图:复习旧知，引入新课程。 问题答案:第一种：已知一个点和倾斜角（斜率）； 第二种：已知两个点。 师生活动:教师提问，学生回答问题。 2.问题思考:在平面直角坐标系中，确定圆的几何条件是什么？ 设计意图:通过问题思考，从几何方面探究确定圆的条件。在《几何画板》中，通过动态演示和数据的变化，使学生体会 到确定圆的两个条件。 问题答案:圆心的位置和圆半径的大小。

圆的标准方程与一般方程教案

圆的标准方程 【自主预习】 1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？ 2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？ ②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？ ③若一个圆的圆心是（a ，b ），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？ 3、分析圆的标准方程有何特点？ 4、写出下列圆的方程 ⑴圆心在原点，半径为3 ⑵圆心在点C(3,4),半径为5 ⑶经过点P （5，1），圆心在点C(8，-3) ⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB 为直径的圆的方程。 特殊的：过直径两端点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0 5、根据圆的方程写出圆心和半径 ⑴ 5)3()222=-+-y x （ ⑵2 222()2）（-=++y x 【典例探究】 （点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判 断点)4,3(),1,1(),0,1(321---p p p 和圆的位置关系。

的条件呢？的条件是什么？在圆外内 在圆（思考：点)0()()),(22200>=-+-r r b y a x y x M 判定方法 1、几何法 2、代数法 （三角形外接圆）例题2、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求 它的外接圆的方程。 变式：已知四点A （0,1）、B （2,1）、C （3,4）、D （-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什 么？ （圆的标准方程）例题3 已知一个圆C 经过两个点A （2，-3），B （-2，-5），且圆心在直线 032:=--y x l 上，求此圆的方程。

人教A版高中数学必修2《四章 圆与方程 4.1圆的方程 习题4.1》教案_15

课题：圆的方程复习 课 型：复习课 教学目标： 1、知识与技能：了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识；会求圆的轨迹方程. 2、过程与方法 ：通过本节的复习，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观 ：激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。 教学重点：圆的标准方程的理解和应用 教学难点：求轨迹方程 学情分析：学习基础：学生在初中时对圆有了初步的认识，学生通过必修二的第三章“直线的方程”的学习，对解析法有了初步认识，但是对于解析几何的解题方法，学生接触不多； 学习障碍：对同一问题的不同分析方法形成思维的多样性较弱。 教学过程： 一．基础知识回顾: 1、圆的标准方程：（x －a ）2+（y －b ）2=r 2 圆心（a , b ）,半径r 2、圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+ Ey+F=0 圆心（2,2E D --）,半径2422F E D -+ 二．典例示范： 题型一、求圆的圆心和半径 例1.求下列各圆的圆心坐标和半径长 052)1(22=--+x y x 02)2(22=++ax y x 解：(1)圆 的圆心坐标是，半径长，图略； (2)圆的圆心坐标是，半径长，图略； 题型二、求圆的方程 例2.求下列各圆的方程，并画出图形： （1）圆心为点C(8,-3)，且过点A(5,1)； 解： （2）过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三点. )3-8(，圆心C 25)3()8(22=++-∴y x 5 )13()58(22=--+-==CA r

人教版高中数学必修二圆与方程题库完整

（数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。

教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》(Word版)

教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的 一般方程》 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 一、教学目标 【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程表示圆的条件。 【过程与方法】通过对方程表示圆的条件的探究，学生探索发现

及分析解决问题的实际能力得到提高 【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 二、教学重难点 【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。 【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。 三、教学过程 (一)复习旧知，引出课题 1.复习圆的标准方程，圆心、半径。 2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么? (二)交流讨论，探究新知 1.提问2：方程是什么图形?方程表示什么图形?任何圆的方程都

是这样的二元二次方程吗?(通过此例分析引导学生使用配方法) 2.方程什么条件下表示圆?(配方和展开由学生相互讨论交流完成，教师最后展示结果) 将配方得： 3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。从而得出圆的一般方程式： 4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。 (三)例题讲解，深化新知 例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是，请求出圆的圆心及半径。 (1)(2) 例2.求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

圆的方程复习教案

课题圆的方程复习课 针对性授课 关于圆与方程的知识点整理 一、标准方程 ()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件方程形式 圆心在原点() 2220 x y r r +=≠ 过原点()()() 2222220 x a y b a b a b -+-=++≠圆心在x轴上()() 2220 x a y r r -+=≠ 圆心在y轴上()() 2 220 x y b r r +-=≠ 圆心在x轴上且过原点()() 2220 x a y a a -+=≠ 圆心在y轴上且过原点()() 2 220 x y b b b +-=≠ 与x轴相切()()() 2220 x a y b b b -+-=≠ 与y轴相切()()() 2220 x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切()()() 2220 x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材 122 P例r4 3.2240 D E F +->常可用来求相关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+

高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学 高中数学圆的方程专题（四个课时） 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

圆的标准方程 优秀教案

圆的标准方程 【教学目标】 （1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； （2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； （3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。 【教学重难点】 圆的标准方程及其运用。 圆的标准方程的推导和运用。 【教学过程】 一、问题情境 1．情境： 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？ 2．问题： 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？ 二、学生活动 回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 三、建构数学 1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程： 一般地，设点(,)P x y 是以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上的

任意一点，则||CP r =r 即 222()()x a y b r -+-=（1） ； 反过来，若点Q 的坐标00(,)x y 是方程(1)的解，则222 00()()x a y b r -+-=， r =，这说明点00(,)Q x y 到点C (,)a b 的距离为r 即点Q 在以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上； 2．方程222()()(0)x a y b r r -+-=>叫做以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为222(0)x y r r +=>； 特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为221x y += 四、数学运用 1．例题： 例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： （2）22(2)(3)7x y -+-=； （2）22(5)(4)18x y +++= （3）22(1)3x y ++= （4）22144x y += （5）22(4)4x y -+= 解：（如下表） 例2．（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(1)N - 是否在这个圆上； （2）求圆心是(2,3)C ，且经过原点的圆的方程。 解：（1）∵圆心为(2,3)A -，半径长为5 ∴该圆的标准方程为22(2)(3)25x y -++= 把点(5,7)M -代入方程的左边2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边即点(5,7)M -的坐标适合方程，∴点(5,7)M -是这个圆上的点；

高考一轮复习教案九(1)圆的方程(学生)理科用

模块： 九、二次曲线 课题： 1、圆的方程 教学目标： 掌握圆的定义，掌握圆在直角坐标系中的标准方程的推导过程，理解圆的有关 概念及简单的几何特性，掌握求圆的方法，并能够根据曲线与方程的关系解决简单的直线与圆有两个交点情况下的有关问题； 能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系， 并能利用解析法解决相应的几何问题． 重难点： 圆的轨迹定义、标准方程、一般方程；用代数方法研究几何问题的方法． 一、 知识要点 1、圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆． 2、圆的标准方程：圆心为(),a b ，半径为r 的圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+- 方程中有三个参量a b r 、、，因此三个独立条件可以确定一个圆． 3、圆的一般方程：二次方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=（*）配方得： 22 224224D E D E F x y +-????+++= ? ?? ???，其中22 40D E F +->，其中，半径是2422F E D r -+= ，圆心坐标是??? ??--22 E D ， 叫做圆的一般方程． （1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：2 2 x y 、项系数相等且不为零，没有xy 项 （2）当2 2 40D E F +-=时，方程（*）表示点,22D E ?? - - ?? ?； 当2 2 40D E F +-<时，方程（*）不表示任何图形． （3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程． 4、二元二次方程2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件 若二元二次方程2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆，则有0A C =≠，0B =，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分． 在0A C =≠，0B =时，二元二次方程化为22 0D E F x y x y A A A ++++=， 仅当22 40D E AF +->时表示圆． 故2 20Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是： ①0A C =≠，②0B =，③22 40D E AF +->． 5、经过两个圆交点的圆系方程 经过01112 2 =++++F y E x D y x ，02222 2 =++++F y E x D y x 的交点的圆系方

2021圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 教学案 高三数学一轮复习

圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 [典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8. (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由??? y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2 . 由题设知4k2＋4k2 ＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)． 因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)， 所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，

即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则? ?? y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得??? x0＝3，y0＝2或??? x0＝11，y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有3个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用

高二数学圆的方程练习

高二数学圆的方程练习 【同步达纲练习】 A 级 一、选择题 1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2 -12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( ) A.-3＜a ＜7 B.-6＜a ＜4 C.-7＜a ＜3 D.-21＜a ＜19 2.圆(x-3)2+(y-3)2 =9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.使圆(x-2)2+(y+3)2 =2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2) C.(4，1) D.(2 +2，2-3) 4.若直线x+y=r 与圆x 2 +y 2 =r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A. 2 2 B.1 C.2 D.2 5.直线x-y+4=0被圆x 2 +y 2 +4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8 B.4 C.22 D.42 二、填空题 6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2 -2x+2y+1=0相切的直线的方程为 . 7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2 ≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 . 8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2 -8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 . 三、解答题 9.已知圆x 2+y 2 +x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值. 10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+2 4x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围. AA 级 一、选择题 1.圆(x-3)2+(y+4)2 =2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2 =2 C.(x+4)2+(y-3)=2 D.(x-3)2+(y-4)2 =2 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2 =1的内部，则实数a 的取值范围是( )

高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)

专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y = 的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。

4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2x a y b r -+-=外，即()()2 2 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。