概率论习题册答案中国地质大学

概率论习题册答案

第一章 随机事件及其概率

§1.1 样本空间与随机事件

一、

计算下列各题

1.写出下列随机实验样本空间：

(1) 同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和；

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数；

(3) 一只口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中抽取4只，观察它们具有哪种颜色；

(4) 有C B A ,,三只盒子，c b a ,,三只球，将三只球，装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球情况；

(5) 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解 1（1）}18,,5,4,3{ ； （2）}10,,5,4,3{ ；

（3）},,,,,,{RW B

W B RB RW B W R ；其中B W R ,,分别表示红色，白色和蓝色； （4）{,,;,,;,,;,,;,,,,,}Aa Bb Cc Aa Bc Cb Ab Ba Cc Ab Bc Ca Ac Bb Ca Ac Ba Cb 其中Aa 表示a 求放在盒子A 中，可类推；

（5）}1,0,0,0|),,{(=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示三段之长。 2. 设C B A ,,为三事件，用C B A ,,运算关系表示下列事件：

（1）A 发生,B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生, 而C 不发生； （3）C B A ,,均发生； （4）C B A ,,至少一个不发生； （5）C B A ,,都不发生； （6）C B A ,,最多一个发生； （7）C B A ,,中不多于二个发生； （8）C B A ,,中至少二个发生。 解 （1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）A B C ++；（5）C B A ； （6）C B A C B A C B A C B A +++；（7）ABC ；（8）BC AC AB ++

3．下面各式说明什么包含关系？

(1) A AB = ； (2) A B A =+； (3) A C B A =++ 解 （1）B A ?； （2）B A ?； （3）C B A +?

4. 设}7,6,5{ },5,4,3{ },4,3,2{A },10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{====ΩC B 具体写出下列各事件： (1) B A ， (2) B A +， (3) B A ， (4) BC A ， (5))(C B A +. 解 （1）{5}； (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10}； (3) {2,3,4,5}；

(4) {1,5,6,7,8,9,10}； (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}。

5．如下图，令i A 表示“第i 个开关闭合”, 6,5,4,3,2,1=i ，试用621, , ,A A A 表示下列事件，（1）系统Ⅰ为通路，（2）系统Ⅱ为通路。

系统Ⅰ 系统 Ⅱ

1 5

2

3 1 2 3

4 1L 4 1R 2L 6 2R

解 (1) 4321A A A A ++ (2) 526436432151A A A A A A A A A A A A +++。

§1.2 事件的频率与概率

一．填空题

1．设事件B A ,的概率分别为0.5，0.6，且互不相容，则积事件AB 的概率=)(AB P 0 ； 2．设随机事件B A ,及其和事件B A +的概率分别是0.4、0.3和0.6，若B 表示B 对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P 0.3 ；

3. 已知P (A )=0.4, P(B )=0.3,

(1) 当A ,B 互不相容时, P (A+B )== 0.7; P(AB )= 0 . (2) 当B +A 时, P(A+B )== 0.4 ; P (AB )= 0.3 ； 4. 若γ=β=α=)(,)(,)(AB P B P A P ,=

+)(B A P 1g -;=)(B A P b g -;

)(B A P +=

1αγ

-+。

二、选择题

1. 若二事件A 和B 同时出现的概率P(AB )=0则（C ） （A ）A 和B 不相容； （B ）AB 是不可能事件； （C ）AB 未必是不可能事件； （D ）P(A )=0或P(B )=0.

2. 对于任意二事件A 和B 有=-)(B A P (C ) (A) )()(B P A P -; （B ）)()()(AB P B P A P +-; （C ）)()(AB P A P -; （D ）)()()()(B A P B P B P A P -++.

3. 设A , B 是任意两个概率不为0的不相容的事件,则下列事件肯定正确的（D ） (A) B A 与不相容; (B)B A 与相容; (C) P(AB)=P(A)P(B); (D) P(A-B)=P(A).

4. 当事件A 、B 同时发生时，事件C 必发生则（B ）

()()()()1;()()()()1;

()()(); ()()().

A P C P A P

B B P

C P A P B C P C P AB

D P C P A B ≤+-≥+-==+

三、计算下列各题

1. 已知16

1

)()(,0)(,41)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P ，求事件C B A ,,全不发生的概率。

83

81431)]()()()()()()([1 )

(1)()(=

??????--=+---++-=++-=++=ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 解

2 某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，14%读丙报，其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率。

解 报纸分别表示读甲，乙，丙，，设C B A

35

.002.004.005.008.014.016.02.0)()()()()()()()

(=+---++=+---++=++ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P

3. 某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业. 某学生通过口试概率为80%，通过笔试的概率为65%，至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性有多大？

解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70

即该学生这门课结业的可能性为70%。

4. 向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余二个各为0.1. 只要炸中一个，另两个也要爆炸. 求军火库发生爆炸的概率。

解 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示军火库爆炸这个事件，则

P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.

四、证明题

试证）（）（）（）（AB P B P A P B A B A P 2-+=+.

证)()()()() A B P B A P B A B A P B A P B A P B A B A P -+-=-+=+（）（ )(2)()()()()()( AB P B P A P AB P B P AB P A P -+=-+-= 。

§1.3 古典概型与几何概型

一、填空题

1．一部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为1、2、3、4概率为

12

1

； 2．一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概

率是 n N m n M n m M C C C /-- ；

3．某地铁车站, 每5分钟有一趟列车到站，乘客到达车站的时刻是任意的，则乘客侯车时间不超过3分钟的概率为 0.6 ；

4．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

5

6

”的概率为 0.68 ； 5. 将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 七个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 1/1260 ；

6.在区间()0,1中随机取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34

。 二、选择题

1. n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是

（B ）

(A) k n C m ; (B) k n k m n C C --1; (C) k

n

k m

n m C C C 1

1-- ; (D) ∑=k

r k n r

m

C C 1. 2. 掷两枚均匀硬币,出现一正一反的概率是（B ）

1113

; () ; () ; ().3244

A

B C D （） 三、计算下列各题

1．已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品 ；（2）两只都是次品 ；（3）一只是正品，一只是次品；（4）至少一只是正品。

解 （1） ;45

28

210281=

=C C p 45

1)2(210222==C C p

.454445111 (4) ;4516)

3(242

10

12183=-=-===p p C C C p 2. 把10本书任意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。 解 .42

1

!10!5!6=?=

p 所求概率

3. 某学生宿舍有8名学生，问（1）8人生日都在星期天的概率是多少？（2）8人生日都不在星期天的概率是多少？（3）8人生日不都在星期天的概率是多少？

解 ;7171)

1(8

81??

?

??==p

;7676)

2(8882??

?

??==p 8

3811(3)

1177p ??

=-=- ???

。

4．从0 ~ 9中任取4个数构成电话号码（可重复取）求： （1）有2个电话号码相同，另2个电话号码不同的概率p ； （2）取的至少有3个电话号码相同的概率q 。 解 432.010)

1(4

2

92

4110==

A C C p ；

1311104910

4

(2)0.03710

C C A C q +==

5. 某工厂生产过程中每批出现次品的概率为0.05,每100个产品为一批,检查产品质量时,在每一批任取一半来检查,如果发现次品不多于一个,则这批产品可以认为是合格的.,求一批产品被认为是合格的概率p 。

解 ,5100 个次品个产品中有可以认为一批

505149

100955955149

95595

50

100

, C C C C C C C p C ==++=基本事件总数有利的基本事件数所求概率 。

6. 随机地将15名新生平均分配到三个班中，这15名新生有3名优秀生.求（1）每个班各分一名优秀生的概率p （2）3名优秀生在同一个班的概率q 。

解 基本事件总数有

！

！！！

5 5 515种 (1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为！！！！4 4 412种, 所以共有！

！！！！4 4 412 3种分法. 所以 p =91255 5 5154 4 4

12 3=！

！！！！！！！！. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中

分法总数为！！！！5 5 212, 共有！

！！！5 5 2123?种, 所以 q =9165 5 5155 5 2

123=?！

！！！！！！！

。 7. 随机的向半圆220x ax y -<<（a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点连线与X 轴的夹角小于

4

π

的概率。 解 这是几何概型, 样本空间占有面积为2 2

1

a π,

所求事件占有面积为222

1

41a a +π

所以, 所求概率πππ121 2

121

4122

2+=+=a a a p 。

8. 设点),(q p 随机地落在平面区域D: |p |≤1, |q |≤1上, 试求一元二次方程

02=++q px x 两个根 (1) 都是实数的概率, (2) 都是正数的概率。

.

24

13

4)141( ,4

1 ,04 )1( 1

12

2

2=+=≤

≥-??-dp p p q q p 率方程两根都是实数的概即方程两根都是实数解 .

48

1441 ,0 ,0 ,04 )2(012

2==><≥-??-dp p q p q p 率方程两根都是正数的概方程两根都是正数

§1.4 条件概率

三、计算下列各题

1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率。

解 “任取一件是一等品，“任取一件是合格品”令==B A 72.075.0)04.01()|()()(=?-==A B P A P AB P 。

2. 设某种动物由出生而活到20岁的概率为 0.8，活到25岁的概率为0.4，求年龄为20 岁的这种动物活到25岁的概率。

解 岁”“该动物活到岁”，“该动物活到设2520==B A 5.08

.04

.0)()()|(===

A P A

B P A B P 。 3. 在100个次品中有10 个次品 ，每次从任取一个（不放回），求直到第4次才取到正品的概率。

解 i A =“第i 次取到正品” i =1，2，3，4.

00069.097

9098899910010)

|()|()|()()(32142131214321=???=

=A A A A P A A A P A A P A P A A A A P

4. 比赛规定5局比赛中先胜3局为胜，设甲、乙两人在每局中获胜的概率分别为0.6和0.4，若比赛进行了两局，甲以2︰0领先，求最终甲为胜利者的概率。

解 设 B =“最终甲胜”，A i =“第i 局甲胜”

936

.06.04

.06.04.06.06.0 )

()()

()()()()()|(22

3

3

3

21543214321321212121=?+?+=++=

=A P A P A A A A A P A A A A P A A A P A A P A BA P A A B P

四、证明题

1. 若0)(,0)(>>B P A P ，且)()|(A P B A P >证明)()|(B P A B P >。

证 )()()()()

()( ),()|( B P A P AB P A P B P AB P A P B A P >?>>则

因为 )()

()

()()()()|( B P A P B P A P A P AB P A B P =>=

所以 。 2. 证明事件A 与B 互不相容，且0<)(B P <1,则）

（）

（）（B P A P B A P -=1|。

证 )(1)

()

()()|B P A P B P B A P B A P -=

=

（。

§1.5 全概率公式和贝叶斯公式

三、 计算下列各题

1. 三个箱子, 第一个箱子里有4个黑球1个白球, 第二个箱子里有3个黑球3个白球, 第三个箱子里有3个黑球5个白球, 求（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子取出一球为白球的概率; （2）已知取出的一个球为白球, 此球属于第二个箱子的概率。

解 i A =“在第i 箱取球” i =1，2，3，B =“取出一球为白球”

3

1

11131553

(1)()()(|)353638120i i i P B P A P B A ===?+?+?=

∑ 22211()(|)20

32(2)(|)53()53120

P A P B A P A B P B ?

===

2. 设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品，求取得正品的概率。

解 设A =｛取得的产品为正品｝， 3,2,1,=i B i 分别为甲、乙、丙三厂的产品

)(1B P =5.0 ，)(2B P =3.0，)(3B P =2.0， 9. 0)|(1=B A P ，7.0)|(, 8. 0)|(32==B A P B A P

所以 ()()∑===3

1

i i i B A P B P A P ）

（0.83。 3. 一群人中有37.5 %的为A 型血型，20.9 %为B 型，7.9 %为 AB 型，33.7 %为 O 型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再选一人为需要输血者，问输血者能成功的概率是多少？

解 设A =｛输血成功｝ ,1,2,3,4i B i =分别表示O AB B A ,,,型血型

则1()0.375P B = 2()0.209P B = 3()0.079P B = 4()0.337P B =

114(|) ()()0.712P A B P B P B =+=

同理可求出 234(|)0.288 (|)0.663 (|)1P A B P A B P A B ===，， 则 ()()

4

1

i

i

i P A P B P AB ==

??（）0.717。

4. 已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有0.25 %的色盲患者，今从男女人数中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 B =｛从人群中任取一人是男性｝， A =｛色盲患者｝

因为 ()

5.0==B P B P ）（ %25.0 )|( %5 )|(==B A P B A P ， 02625.00025.05.005.05.0)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P 所以 21

20

02625.005.05.0)()|()( )|(=?==

A P

B A P B P A B P 。

5. 某一工厂有C B A ,,三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的5 %、4 %、2 %，如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是C B A ,,车间生产的概率。

解 C B A 、、分别表示C B A 、、三车间生产的螺钉，D =“表示次品螺钉”

%25=）（A P %35=）（B P %45=）（C P

%5|=）（A D P %4|=）（B D P %2|=）（C D P

()()()()

D P A D P A P D A P =

=

()()

()()()()()()

C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P ++=

69

25240435525525=?+?+??

同理 ）（D B P |=6928 ； ）（D C P |=69

16。

6. 某高校甲系二年级一、二、三班学生人数分别为16人，25人和25人，其中参加义务献血的人数分别为12人，15人和20人，从这三个班中随机地抽取一个班，再从该班学生中任取2人.（1）求第一次取的是已献血的学生的概率p . （2）如果第二次抽到的是未参加献血的学生，求第一次取的是已献血的学生的概率q .

,

2,1 ,"" ,3,2,1 ,"" ====j j B i i A j i 次抽到未献血的第班的抽取的学生是设解 ,

5

1

)|( ,52)|( ,41)|( .3,2,1 ,31)( 312111=====A B P A B P A B P i A P i 则

,6

12452520)|( ,4124102515)|( ,

51

1541612)|( ,51)|( ,52)|( ,41)|( )2(.

6043

)545343(31)|()()( )1(3212211213222123

1

1=?==?==?=====++===∑=A B B P A B B P A B B P A B P A B P A B P A B P A P B P p i i i i

3

12121

111137

()()(|)().3546180i i i P B B P A P B B A ===++=∑

.60

17)515241(31)|()()( 3

122=++=

=∑=i i i A B P A P B P 所以 12122()37(|)()51

P B B q P B B P B ==

=。

§1.6 事件的独立性

三、计算下列各题

1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。

解 A 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上

2.0=）（A P

P ｛三灯泡中最多有一个坏｝=P ｛三个全好｝+P ｛只有一个坏｝

= 33C (0.2)3+2

3C (0.2)2(1–0.2)=0.104。

2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为81

80

, 求该射手的命中率。

解 4

4480121( 0 11), (1)8133P p p p ??=-=---=?= ???

命中次）（。

3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？

解 设需要配置n 门高射炮

A =“高炮击中飞机”

， 则 6.0=）（A P P ｛飞机被击中｝=P ｛n 门高射炮中至少有一门击中｝

=1–P ｛n 门高射炮全不命中｝ %994.01|)|1(1≥-=--n n A P ?01.04.0≤n ?02654

0lg 01

0lg ?=??≥n 至少配备6门炮。

4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。

解 设A =｛目标一次射击中被击毁｝i B =｛目标被击中的发数｝，（=i 0，1，2，3，）

则28.05.07.08.0)(0=??=B P

)(1B P =0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47

)(2B P =0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22 )(3B P =0.2×0.3×0.5=0.03

2.0)|( 0)|(10==B A P B A P 9.0)|( 6. 0)|(32==B A P B A P

所以 ()()∑===3

)(i i i B A P B P A P 0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。

5. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.

解 A =“正好在第6次后停止”，B =“第5次也正面朝上”.

4.02

1)21()21(2121)21(21)

()()|(322531

4=?

???

???

=

=C C A P AB P A B P 四、证明题

设)|()|(, ,10,,A B P A B P A B A =证明和的概率不等于其中是任意二事件是事件B A 与独立的充分必要条件。

证 ，和的概率不等于所以和的概率不等于因为10,10A A

()()

(|)(|)

()()

[1()]()()[()()] ()()(),P AB P AB P B A P B A P A P A P A P AB P A P B P AB P AB P A P B A B =?=?-=-?=即和独立.

第二章 随机变量及其函数的概率分布

§2.1 随机变量与分布函数

§2.2 离散型随机变量及其概率分布

三、 计算下列各题

1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X 表示取出5个球的最大号码，试求X 的分布列。

解 X 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5

10

41

===-k C C k X P k

所以X 的分布列为

2. 一批元件的正品率为4，次品率为4

，现对这批元件进行有放回的测试，设第

X 次首次测到正品，试求X 的分布列。

解 X 的取值为1，2，3，… 且 ,3,2,1 ,434341)(k

1

==?

?

?

?

??==-k k X P k . 此即为X 的分布列。

3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X 为取出的球的号码，试求X 的分布列及分布函数。 解 X 的分布列为

由分布函数的计算公式得X 的分布函数为 ????

?????≥<≤<≤<=3 ,132 ,3

221 ,6

1

1

,0)(x x x x x F

4. 设随机变量X 的分布律为5,4,3,2,1 15

)(==

=k k

k X P 。 求 ).3( )3( ),31( )2( ),2

5

21( )1(>≤≤<

解 ,5

1

152151)2()1()2521( )1(=+==+==<

.

5

3

155154)5()4()3( )3(,5

2

153152151)3()2()1()31( )2(=+==+==>=++=

=+=+==≤≤X P X P X P X P X P X P x P

5. （1）设随机变量X 的分布律为0 ;,2,1 !

)(>λ=λ== k k a k X P k

为常数，试

确定a 。（2）设随机变量Y 只取正整数值N ，且)(N Y P =与2N 成反比，求Y 的分布律。 解 （1）因为

∑∞===1

,1)(k k X P 及0 ,1!

1

>-=∑∞

=λλλe k k k

，所以.1

1

-=

λ

e a （2）令

;,2,1N )(2

===N k

a

N Y P 类似上题可得 26π=k 。 所以Y 的分布律为 ,2,1,6

)(2

2=π=

=N N N Y P

6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X 的概率分布

解 X =0, 1, 2, 3, i A =“汽车在第i 个路口遇到红灯.”，i =1，2，3.

)()0(1A P X P ===

21, )1(=X P =412

1221==）（A A P )2(=X P

113321==

）（A A A P ，)3(=X P =8

1

2133

21==）（A A A P

为所求概率分布

7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X 的概率分布律.

,2,1 ,36

11

)36111()()( ,,2,1 ,36

11

)( ,"6" 1121=?-=====

=--k A P k X P X i A P i A k k k i i 的概率分布为所以点次出现第设解

四、证明题

，是两个常数，且都是分布函数，又和设1 ,0 ,0)()(21=+>>b a b a x F x F 试证明： .)()()(21也是分布函数x bF x aF x F +=

1112220)1, 0)

1 0))1;0)1,0)F x aF x a aF x bF x a b F x bF x b ≤≤≤≤??≤+≤+=?≤≤≤≤?（（解（）因为（（（（

[]111212212211121221221212))

(2) , ))

()))))(),(). 3 lim ()lim ))lim )lim )1

x x x x aF x aF x x x bF x bF x F x aF x bF x aF x bF x F x F x F x aF x bF x a F x b F x a b →+∞

→+∞

→+∞

→+∞

≤??

≤??=+≤+==+=+=+=（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（[]1212 lim ()lim ))lim )lim )000

x x x x F x aF x bF x a F x b F x a b →-∞

→-∞

→-∞

→-∞

=+=+=?+?=（（（（ .

)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于x F x F x F x bF x aF x bF x aF x F =+=+++=+

§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数

三、计算下列各题

1. 设连续型随机变量X 的密度函数为??

?

??≤<-≤<=其它 ,021 ,21

0 ,)(x x x x x f ；求X 的分布函数。

解 ?

∞

-=x

dx x f x F )()( ， ?

????

????>≤<--≤<≤=2

,121 ,12210 ,20 ,0)(2

2

x x x x x x x x F 2. 设随机变量X 的分布函数为???<≥+-=-0 ,00

,)1(1)(x x e x x F x ；求X

X P )2( );1( )1(≥的密度函数。

解 ;2)21(1)1()()1( )1(11--=--=-+∞=≥e e F F X P

???<≥='=-0 ,00

,)()( )2(x

x xe x F x f x

3. 设连续型随机变量X 的密度函数为?

??<<=其它 ,01

0 ,4)(3x x x f ；

（1） 求常数a ，使)()(a X P a X P <=>； （2）求常数b ，使05.0)(=>b X P 。 解 （1）因为 )()(a X P a X P <=>，所以),()(1a X P a X P <=<-故

44032

1

,214)(==

==

所以。 （2） 因为 ,20

19

)(,05.0)(1,05.0)(4=

=≤=≤-=>b b X P b X P b X P

4

19

,0.987220

b b =

=≈所以即 4. 在半径为R ，球心为O 的球内任取一点P ，X 为点O 与P 的距离，求X 的分布函数及概率密度。

解 当R x ≤≤0时，设x OP =，则点P 落到以O 为球心，x 为半径的球面上时，它到O 点的距离均为x ，因此

333

3434)(??

? ??=ππ==

≤R x R

x

V V x X P OR

OP ，

所以，X 的分布函数为30, 0

(), 01, x x F x x R R x R

X 的密度函数为 ??

?

??><≤≤='=R x x R x R x x F x f ,0 ,00 ,3)()(3

2

5. 设随机变量X 的分布函数为x B A x F arctan )(+=,–∞

(2) P (–1

解 ,12112021)(0)( 1 ???

????=

=????????

=+=-????=+∞=-∞πππB A B A B A F F ）（

+∞

<<∞-+='==-+-+=--=<<-x x x F x f F F x P ,)

1(1

)()( )3( ,

2

1

))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11( )2( 2πππ

6. 设随机变量X 的概率密度为?

?

?<<=其它，

）（ ,010 2x x x f , 以Y 表示对X 进行三次独立观察中{X ≤

2

1

}出现的次数,求概率P (Y =2). 解 p = P (X ≤21)=41221

0 21

==??∞-xdx dx x f ）（, 由已知 Y ~B (3, 4

1

)

所以 64

943412223

===）（）（C Y P 7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从)100,50(N ；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从)16,60(N ，问

（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？ （2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？ 解 （1）因为 .9938.0)4

60

70()70(,9772.0)105070(

)70(21=-Φ=≤=-Φ=≤X P X P 所以走第二条。 （2）类似的走第一条。

§2.4 随机变量函数的分布

三、计算下列各题

1. 设随机变量X 的分布律如下，求12+=X Y 的分布律。

解

2. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，求X Z e Y X ln 2 )2( ; )1(-==的密度函数。 解 X 的密度函数为 1, 01

()0, 0,1

x f x x x <

≤≥?

（1）

设X

e Y =，则有 ?∞

-=

≤=≤=≤=x

X

X

Y dt t f

x X P x e P x Y P x F ln )()ln ()()()(。

所以 )(ln 1

)(x f x

x f X Y =

，因此当1≤x 及e x ≥时，由0)(=x f X 知0)(=x f Y ； 当e x <<0时，由1)(=x f X 知x x f Y 1)(=，所以所求密度函数为??

???≥≤<<=e

x x e

x x x f Y ,1 ,01 ,1

)(

（2） 类似的可得：2

1, 0

()20, 0x

Z e x f x x -?>?=??≤?

3. 设)1,0(~N X ，求(1) ; (2) ||X Y e W X ==的密度函数。

解 （1）X 的密度函数为 )( 21)(2

2+∞<<-∞π

=

-x e

x f x X ，X e Y = 的分布函数为

ln ()()()(ln )(), 0y

X

Y X F y P Y y P e y P X y f t dt y -∞

=≤=

≤=≤=≥?

0 , 0)(<=y y F Y

所以X

e Y = 的密度函数为 2

()21

., 0()0, 0Iny Y y f y y

y -?>=≤?

（2）|| X W =的分布函数为 )|(|)()(y X P y W P y F W ≤=≤= 0 221)(0

2

2

22≥π

=

π

=

≤≤-=??-

--

y dt e

dt e

y X y P y

t y

y

t

0 , 0)(<=y y F W

所以|| X W =的密度函数为 ??

???<≥π=-0 ,00

,2)(22

y y e y f y W

4. 设随机变量X 的概率密度为??

???π

<<π=其它 ,00 ,2)(2x x

x f ；求X Y sin =的概率密度。

解 01()()(sin ) Y y F y P Y y P x y <<=≤=≤当时，

arcsin 2

2

2

arcsin (0arcsin )(arcsin )

222arcsin ,

y

y

P X y P y X x

x

y

dx dx π

ππππππ-=<≤+-≤≤=

+

=

?

?

所以 ?

????

><

≤≤-π=1,0 ,010 ,12)(2

y y y y y f Y

5. 若球的直径D 的测量值在],[b a 上均匀分布，求球的体积V 的概率密度。 ?

??

??≤≤??? ??-='?

??? ?????? ??=???

? ??=???? ??≤=≤==??

?

??≤≤-=-其它

所以其它

解 ,066 ,92166)( ,66)61()( ,

61V , ,0 ,1

)( 3

332

31

33

3333b v a v a b v v f v f v F v D P v D P v F D b d a a b d f D V D V D πππππππππ 6. 将长度为2a 的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于2

2

a 的

概率。

22

122

2221 "222" "220"2)2(0)20()

2( , ,020 ,21

)( ]2,0[ , 2 , 2 22-=???

? ?

?-+-=

???

? ??<<++-<<=???? ??<-<=<<-=??

???≤≤=-a a a a a a X a a a a X P a X a X P a Y P X a X Y a

x a x f a X X a X a X 面积其它上均匀分布在两部分的直线分成长为解 四、证明题

1. 设的密度函数为试证若是取正值的随机变量， ),,(~ln 2X N X X σμ . ,0 ,00,)(l n 21e x p 21)(22这称为对数正态分布??

???≤>??

?

???--=x x x x x p μσπσ 证 的密度为所以X x e x e X N X Y y Y ,0,,),,(~ln 2>='==σμ

??

???≤>??????-=?????≤>=0 ,00,)(l n 21e x p 210 ,00,1)(l n )( 22x x x x x x x

x f x p Y μσπσ 2. 设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布, 证明x e Y 21--=在区间(0,1)服从均匀分布。

证 X 服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 ???≤>=-0 ,00

22x x e x f x X ，）

（ x e Y 21--=, ,022>='-x e y 函数y 单调可导,其反函数为 ）

（y x --=1ln 2

1

由公式 ?

??<<='----

=其它）（））（（）（ ,010 ,1|1ln 21

(|1ln 21y y y f y f X Y

所以 x e Y 21--=在区间(0,1)服从均匀分布。

第三章 多维随机变量及其分布

§3.1 二维随机变量的概率分布

三、计算下列各题

1. 已知随机变量Y X 和的联合密度为?

??≤≤≤≤=其它，，，

），（ 01010 4y x xy y x f , 求Y X 和的联合分布函数),(y x F 。

解 因为 ()?

?

∞-∞

-=x y

dxdy y x f Y X F ),(,

22

12

(1)00(,)0,(,)0(2) 01 01, (,)4(3) 1, 01, (,)4x

y

y

x y f x y F x y x y F x y dx xydy x y x y F x y dx xydy y <<==≤≤≤<==>≤≤==????或时，由得，时时

1

2

(4) 01, 1, (,)4(5) 1, 1, (,)1

x x y F x y dx xydy x x y F x y ≤≤>==>>=??时时

????

?

????>>>≤≤≤≤><≤≤≤<<=1 ,1 ,11 ,10

,10 ,1 ,10 10

,00

,0),( 2

22

2y x y x x y x y y x y x y x y x F ，或所以

2. 一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以Y X 和分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出Y X 和的概率分布律。

解. ,.6610

)0,1( ,6645)0,0( 1

11

1121101211111219110========C C C C Y X P C C C C Y X P 66

1

)1,1( ,6610)1,0( 1111121

11211111212110=

=======C C C C Y X P C C C C Y X P

3. 给定非负函数????

???∞<<++==?∞+其它

又设它满足 ,0,0 ,)

(2),(,1)(),(22220

y x y x y x g y x f dx x g x g π,

问),(y x f 是否是随机变量Y X 和的联合概率密度?说明理由。

解 ),(y x f 是Y X 和的联合概率密度只要满足),(y x f ≥0与

(,)1f x y dxdy +∞+∞

-∞

-∞

=??

,0),( ,0)( ,)( ,0 ,,02222≥≥+>+∞<

2

2

()

(,)1g r f x y dxdy d rdr r

π

θπ

+∞+∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

-∞

==

=??

?

?

?

?

所以),(y x f 是随机变量Y X 和的联合概率密度。

4. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为()6, 02,24

0, k x y x y f x y --<<<

??（，）其它

，求：

（1）系数k ； （2）{}1,3P X Y <<； （3）{}1.5P X <； （4）{}4P X Y +≤。

解：（1）4

2

20

1

(,)(6)81.8

f x y dxdy dy k x y dx k k +∞

+∞

-∞-∞=--==?=???? （2）{}312013

1,3(6).88P X Y dy x y dx <<=--=??

（3）{}4 1.520127

1.5(6).832

P X dy x y dx <=--=?? （4）{}4P X Y +≤={}442012

1.5(6).83

y P X dy x y dx -<=--=?? 5. 设随机变量 (Y X ,) 的联合密度为?????<++-=其它

），（ ,01 ),1(2222y x y x a y x f , 求 (1) 系数a , (2) 概率）（4

1

22≤+Y X P 。

解 .313)1(),( )1( 1

20

π

=?=π=

-θ=???

?π+∞∞-+∞∞

-a a rdr r a d dxdy y x f ?

???

=-πθ==

≤+π

≤

+21

20

4

12

2

.2

1)1(3),()4

1

( )2( 22

rdr r d dxdy y x f Y X P Y X