分数阶电路阶跃响应特性研究
分数阶电路阶跃响应特性研究
王志兰
（山西大学电力工程系，太原,030013）
摘要：针对分数阶动态电路，基于分数阶微分方程的解析解，研究0~2阶分数阶动态电路的阶跃响应。利用MATLAB软件，得到不同阶次分数阶电路的阶跃响应曲线，并与整数一阶电路和二阶电路的阶跃响应作了对比研究，为今后分数阶电路的研究奠定了基础。
关键词：分数阶电路；解析解；阶跃响应
Research on the Step Response Characteristics of Fractional Order
Circuit
Wang Zhilan
(Department of Power Engineering,Shanxi University,Taiyuan,030013,China) Abstract：Based on the analytic solution of fractional differential equations,the paper investigates the step responses of fractional circuit with the order between zero and two.The simulation results are compared with the step responses of integer order circuit.This paper lays the foundation for the future research of the fractional order circuit.
Keywords：fractional circuit;analytic solution;step response
0 引言
分数阶微积分是指阶次为分数的微积分，当阶次为整数时，
等同于常规定义下的微积分运算。学者们认为，当前对电容和电
感的整数阶物理描述是理想模型，分数阶的描述才是更真实的，
本文将基于分数阶来研究动态电路的响应。
求解分数阶系统，解析算法有拉氏变换法和傅里叶变换法，
数值算法有Zhang and Shimizu法，L-1法和池田法等。数值算
法虽然编程简单，但计算精度取决于时间步长，若时间步长太小，
计算时间过长。本文采用解析算法，精度较高，且所选系统为两项
分数阶系统，大大降低了解析算法公式的复杂度。
1 两项分数阶微分方程的解析解
初值为零的两项分数阶微分方程为
：
根据Podlubny的理论[4]和文献[5]和[6]对两项分数阶
微分方程的研究，给出上式的解析解
：
其中，，为Mittage-Leffler
函数。
2 分数阶动态电路
2.1 含一个分数阶元件的动态电路
以RC串联电路为例，研究分数阶电抗的阶跃响应。设分数阶
电容的阶次为α∈(0,1)，以u
c
(t)为待求量，
对应的微分方程为：
设电容初始储能为零，即u
c
(0-)=0；为简化方程，令R=1Ω，
C=1F，当
u(t)=时，利用MATLAB编程仿真，
求得不同时电容
电压的单位阶跃响应，如图1。α=1时为整数阶电路。
由仿真结果可以看出，随着分数阶电容阶次的增大，稳定输
出增大，响应时间也增大。阶次低于1时，
响应曲线未出现振荡，
图1不同阶次分数阶动态电路的单位阶跃响应
DOI:10.16520/https://www.wendangku.net/doc/0915472837.html,ki.1000-8519.2016.24.020
与一阶系统的阶跃响应曲线走向一致，但稳定输出小于1。
2.2 含两个分数阶元件的动态电路
用分数阶电感和分数阶电容元件并联形成含两个分数阶元件的动态电路，电容和电感的阶次分别为
α∈(0,1)和β∈(0,1)。以i L (t)为待求量，
对应的方程为：
求解上式，得到不同阶次的分数阶电感和分数阶电容组成
的无阻尼电路的单位阶跃响应，α+β<1时同上分析，只分析α+β>1的情况，结果如图2。
可以看出，当阶次大于1时，阶跃响应开始出现振荡，且随着阶次增大，振荡加剧，直至2阶系统的等幅振荡阶跃响应；同时，阶次增大，达到稳态的时间变长，最大超调量变大。
3 结论
本文从拉氏变换的角度给出了分数阶微分方程的解析解，分析了阶次在0-2之间的分数阶电路的单位阶跃响应，
与传统整数图2阶次为1-2阶电路的阶跃响应
阶电路作了对比研究。研究表明分数阶系统可取得比整数阶系统
更灵活的响应输出和响应时间，可利用分数阶元件实现对整数阶系统的改进。
参考文献
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Diego ：Academic Press，1999．[5]王学彬．两项分数阶微分方程在控制系统的应用[J]．南平师
专学报，2005，24(2)：16-19．
[6]Yizheng Hu，Yong Luo，Zhengyi Lu．Analytical solution
of the linear fractional differential equation by Adomian decomposition method[J]．Computational and Applied Methematics，2008，215(1)：220-229．
（上接22页）
1600KV 的要求，对于不同阀门的运作活动，和不同电压的运作活动，要相合结合设计，避免阀门的电压过高，影响整体的运作活动。
3.2 平波的感应装置
平波的感应装置是进行特高压直流换流站系统设计活动的重要环节，因此要给予足够重视。在进行平波的感应装置设计活动时，要注意利用干式的设计手段，利用不断的电力线路关联形成。其中对于关联的线路体系的电力运作数值在75mH，对于每个电力运作平台，设置四部主要的平波运作装置。在建立点播装置活动后，保证其电力数值为75mH。在进行完毕简单的筹划工作后，进行不同的母线和避雷装置的设计，包括对平波的感应装置的绝缘和避雷的设计，考察平波装置的耐热能力，利于转换电流工作的有效进行。预测同时，对于特高的电压和电流的装置其他开关设置，涵盖隔离的体系和其它设备的装置开关设计，要构建在阀门之外侧。
4 结论
电力运作活动在我国社会中具有作用，良好的电力运作活动，极大的促进了社会的生产和发展，方便了人们的运电形式。特高压直流换流站系统设计是我国电力运作活动安全性和稳定运
作的保证，也是我国电力工程良好运作的基础。因此要给予特高压直流换流站系统设计极大重视。对于特高压直流换流站系统设计要整合来规划，包括对于直接电流体系和滤波装置的设计、直接电流的主要连接线设计、电压体系和绝缘体系的优化设计、晶闸运作阀门、平波的感应装置等等不同环节的优化设计。依据相关调查显示，2005年我国的电力直流运作项目的开展以来，我国的电力运作活动得到了极大的发展。
参考文献
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