于是由（1），（3），（4）式有
ε
εηεξεηεηηξηξ3)(|(|)()}
|(|])({[)(2222--≥≥----<≥
<-?-<--+≥-<-+a x F a P a x P a x a P a x a P n n n n n n n n
（6）
由（5），（6）两式可得
ε
ηξ3|)()(|<---<-+a x F a x a P n n
由ε的任意性即知n
n
ηξ+按分布收敛于a +ξ
，结论得证。
4.12设随机变量序列}{n ξ按分布收敛于ξ，随机变量序列}{n η依概率收敛于0，证明
P
n n →ηξ.
证：记n ξξ,的分布函数分别为)(),(x F x F n ，对任给的0
>ε，取0
,0>>b a 足够大，使b a ,-是)(x F 的连续点且
ε
ε<-<-)(,)(1a F b F
因为)()(x F x F W
n →，故存在1N ，当1N n ≥
时有
ε
ε2)(,2)(1<-<-a F b F n n
令),max(b a M
=，因为0P
n →η，故存在2N ，当2N n ≥时有
ε
ε
η<>
)|(|M
P n
而
2
1)]}|(|)([)|{(|)]}
|(|)[()|{(|)|(|I I M
b a P M
b a P P n n n n n n n n n n +=>
?<≤-?>+≤?<≤-?>=>ε
ηξεηξε
ηξεηξεηξ
其中01=I ，当),max(21N N n ≥时有
ε
ξξξξεηξ4)](1[)()}(){(})({})()|{(|<-+-=≥?-<=<≤-≤<≤-?>b F a F b a P b a P b a P n n n n n n n n
因而ε
εηξ5)|(|2<=>I P n
n ，由ε的任意性知0P
n n →ηξ，结论为真。
4.13 设随机变量n ξ服从柯西分布，其密度函数为
)
1()(2
2x n n
x p n +=
π 证明∞
→→n P
n ,0ξ。 证：对任意的0
>ε
，有
∞
→→+=
+=
≤?
?--
n dt
t dx x n
n
P n n n ,1)1(1
)
1()|(|2
2
2
ε
ε
ε
εππεξ
故∞
→
→n P
n ,0ξ。
4.14 设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，其密度函数为
????
?<<=其它
01)(β
β
x x p
其中0>β
为常数，令),,,max(21n n ξξξη =，证明β
ηP
n →。
证：对任意的n ，β
η<0为显然，这时有
β
β
β
ξη<<==
<=
<∏?
∏
==x x
dx x P x P n
n
i x
n
i i n 0,)(
1
)()(1
1
β
ηη≥=<≤=对任意的)(0βεε<>，有
∞
→→-=-<=>-n P P n
n n ,0)(
)()|(|β
εβεβηεβη
故βηP
n →成立，结论得证。
4.15 设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，其密度函数为
??
?<≥=--a
x a x e x p a x 0
)()
(
令)
,,,min(21n n
ξξξη =，证明a P
n →η。
证：设i ξ的分布函数为)(x F ，有
??
?≤>-=--a
x a x e x F a x 0
1)()
(
这时有
a
x e
x F P x P a x n n n
i i
n >=-=≥=
≥--=∏,)](1[)()()
(1
ξ
η
对任意的0
>ε
，有
∞
→→=≥-=≥--n e
a P a P n n n ,0)()|(|ε
εηεη
故a P
n →η成立，结论得证。
4.17设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，都服从)1,0(上的均匀分布，
若
n
n
k k n 1
1
)(∏==ξη，证明c
c c P
n 为常数），并求出
(→η。
证：这时}{ln n ξ也是独立同分布随机变量序列，且
?
-==
1
1
ln xdx E n ξ
由辛钦大数定律知
}
{ln n ξ服从大数定理，即有
1
ln 1
1
-→∑=P
n
i i
n
ξ，令
x
e
x f =)(，则)(x f 是直线上的连续函数，由4.8题知
c
e
e
P
n
n
n
i i n
i i
=→∑=-==∏1
ln 1
11
1
)
(ξξ
结论成立。
4.18设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为a ，且方差存在，证明a
k n n P
n
k k
→+∑=1
)
1(2
ξ。
证：已知
a
E n =ξ，记
2
σ
ξ=n D ，令
∑=+=
n
k k
n k n n 1
)
1(2ξ
η，则
1
4)
1(4)
1(22
2
1
2
2
2
1
+≤
+=
=+=∑∑==n k
n n D a
ka
n n E n k n n
k n σ
σηη
对任给的0
>ε
，由契贝晓夫不等式有
∞
→→+≤
≤
≥-n n D a P n n ,01
411
)|(|2
2
2
σ
ε
ηε
εη
故a P
n →η，结论得证。 4.19设
}
{n ξ为一列独立同分布随机变量，且
2
σ
ξ=n D 存在，数学期望
为零，证明2
1
2
1
σ
ξP
n
k k
n
→∑=。
证：这时
}
{2
n ξ仍独立同分布，且
∞
<==2
2
σ
ξξn n D E ，由辛钦大数定律
知结论成立。
4.21 设随机变量序列}{n ξ按分布收敛于随机变量ξ，又随机变量序列
}
{n η依概率收敛于常数
),0(≠≠n a a η，则
}
{
n
n
ηξ按分布收敛于
a
ξ
。
证：由4.7题知0
11?→?-P
n
a
η，于是由4.12题有
)11
(
?→?-
P
n
n a
ηξ，而a
n
ξ按分布收敛于a ξ
（见4.10题的证明），因而由4.11题知
a a n
n n n
n ξηξηξ+???
? ??-=11
按分布收敛于a ξ
，结论成立。
4.22设}
{2
n
ξ
为独立同)1,0(N 分布的随机变量序列，证明
∑=+n
k k
n n 1
2
1
ξ
ξ的分
布函数弱收敛于)1,0(N 分布。 证：这时
}
{2
n ξ也为独立同分布随机变量序列，且
1
2
=n E ξ，由辛钦大数
定律知
1
11
2?→?∑=P
n
i i n
ξ
，又1+n ξ服从)1,0(N 分布，当然弱收敛于)1,0(N 分布，
由4.21题即知n η按分布收敛于)1,0(N 分布，结论得证。
4.23 如果随机变量序列
}
{n ξ，当∞→n 时有01
12
→??
?
??∑=n k k D n
ξ，证明}
{n ξ服从大数定律（马尔柯夫大数定律） 证：由契贝晓夫不等式即得。 4.26 在贝努里试验中，事件
A
出现的概率为
p
，令
??
?+=，其它
出现
次实验中次及第若在第01,
1A n n n ξ
证明}{n ξ服从大数定律。 证：
}
{n ξ为同分布随机变量序列，且
2
2p
E E n n ==ξξ，因而
1
)1(2
2≤-=p p D n ξ，又当2||≥-
j i 时，i ξ与j
ξ
独立，由4.24知}{n ξ服从
大数定律，结论得证。
4.28设
}
{n ξ为一列独立同分布随机变量，方差存在，又
∑∞
=1
n n
a
为绝对收
敛级数，令∑==1
i i
n n ξη，则}{n n a η服从大数定律。
证：不妨设
=n E ξ。否则令
n
n n E ξξξ-='
，并讨论
}
{'
n ξ即可。记
2
2σ
ξ=n E ，
又
∑∞
=∞
<=
1
||n n
a
c 。因为)
()(1
1
1
1
∑∑∑∑∑======
=
n
k
i i
i k n
k k
k
n
i i
i
n
i i
a
a a ξξ
η
，故有
∞
→→≤
=
=
∑∑∑∑∑=====n n
c a
n
a E n
a D n
n k n
k
i i
n
k
i i n
k k i n
i i ,0)()]({1
)(12
22
1
2
22
1
2
1
2
σσξη
由4.23知}{n n a η服从大数定律，结论得证。 4.30设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，共同分布为
,2,1,2
1)2(2
==
=
k k
P k
k n ξ
试问}{n ξ是否服从大数定律？
答：因为n E ξ存在，由辛钦大数定律知}{n ξ服从大数定律。 4.31设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，共同分布为
,3,2,log
)(2
2
==
=k k
k c k P n ξ
其中
1
2
2
2
)
log
1(-∞
=∑
=k k
k c ，问}{n ξ是否服从大数定律？
答：因为n E ξ存在，由辛钦大数定律知}{n ξ服从大数定律。 4.32 如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上的概率，为了有95%以上的把握保证所观察到的频率与概率p 的差小于10
p ，问至少应该做多
少次试验？
解：令
??
?=其它上次试验时图钉的尖头朝
第0
1n n
ξ
据题意选取试验次数n 应满足95
.0)10
|(|
1
≥<
-∑=p p n
P n
i i
ξ
，因为n 比较大，
由中心极限定理有
95
.021)
10
1|)
((|
)10
|(|
2
101
10
11
1
2
≥≈
<
-=<--
-==?
∑∑dx e
q
np npq
p P p p n
P x
q
np q
np n
i n
i i
π
ξ
ξ
故应取2
101
=q np ，即p
q n 400
=，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断
有
2
1≥
p ，因而
1
≤p
q ，故可取400
=n 。
4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求在校对后错误不多于15个的概率。 解：令
??
?=其它
对后仍错误
个印刷符号被排错且校
第0
1i i ξ
因为排版与校对是两个独立的工序，因而
p
q P P p i i -====?===-1)0(,10
1.00001.0)1(5
ξξ
}
{i ξ是独立同分布随机变量序列，
p
E i =ξ，令
∑==
n
i i
n 1
ξ
η，其中6
10=n ，
由中心极限定理有
?
∞
--
≈
=-≤
-=≤b
x
n n dx
e
b npq
np npq
np
P P 2
2
21)15(
)15(π
ηη
其中
58
.110
5≈≈
b ，查)1,0(N 分布表即可得94
.0)15(≈≤n
P η，即在校对
后错误不多于15个的概率。
4.34 在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡的概率为0。006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问： （1）保险公司亏本的概率多大？
（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多大？
解：保险公司一年的总收入为120000元，这时 若一年中死亡人数120>，则公司亏本； 若一年中死亡人数80≤，则利润中死亡人数40000
≥
元；
若一年中死亡人数60≤，则利润中死亡人数60000≥元； 若一年中死亡人数40≤，则利润中死亡人数80000≥元； 令
??
?=个人在一年内活着
第个人在一年内死亡第i i i 0
1ξ
则
p
P i ===006.0)1(ξ，记
10000
,1
==
∑=n n
i i
n ξ
η已足够大，于是由中心极限
定理可得欲求事件的概率为 （1）
)
723
.7600211)120(
1)120(2
2
≈
≈-
≈=-≤
--=>?
∞
--
b dx e
b npq
np
npq
np
P P b
x
n n （其中π
ηη
同理可求得 （2）
)59.2(995.0)80(≈≈≤b P n 对应的η
)
0(5.0)60(=≈≤b P n 对应的η
)
59.2(005
.0)40(-≈≈≤b P n 对应的η
4.35 有一批种子，其中良种占61
，从中任取6000粒，问能以0.99
的概率保证其中良种的比例与61
相差多少？ 解：令
??
?=粒不是良种
第粒为良种第i i i 0
1
ξ
则
6
1)1(=
=i P ξ，记
∑==
=
n
i i
n p 1
,6
1ξ
η，其中6000=n ，据题意即要求α使满
足
99
.0)|6
1(|
≥≤-
αηn
P n
。令npq
n b p q α=
-=,1，因为n 很大，由中心极限定
理有
99
.021)()|6
1(|
2
2
≥≈
≤-≤
-=≤-
?
--
b
b
x
n n
dx e
b npq
np
b P n
P π
ηαη
由
)1,0(N 分布表知当60
.2=b
时即能满足上述不等式，于是知
4
10
25.1-?≈=
npq n
b α，即能以0.99的概率保证其中良种的比例与61
相
差不超过4
1025.1-?。
4.36 若某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率等于多少？ 解：令
??
?=件为合格品
第件为不合格品第i i i 0
1ξ
则
005
.0)1(===i P p ξ，记
∑==
-=n
i i
n p q 1
,1ξ
η，其中10000=n ，记n
p q n p b -=
70，
由中心极限定理有
998
.021)(
)70(2
2
≈≈
≤-=≤?
∞
--
dx e
b npq
np
P P b
x
n n π
ηη
即不合格品不多于70件的概率约等于0.998。
4.37 某螺丝钉厂的不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95？ 解：令
??
?=只是不合格品
第只是合格品第i i i 0
1ξ
则
99
.0)1(===i P p ξ，记
∑==
-=
-=n
i i
n npq
np
b p q 1
,100,1ξ
η，其中n 尚待确定，
它应满足05
.0)100(≤P η，由中心极限定理有
05
.021)(
)100(2
2
≤≈
<-=
∞
--
dx e
b npq
np
P P b
x
n n π
ηη
查)1,0(N 分布表可取65.1-=b ，由此求得103=n ，即在一盒中应装103只螺丝钉才能使其中含有100只合格品的概率不小于0.95。 4.39 用特征函数的方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”的普哇松定理。
证：设
n
i n
i ≤≤1}{ξ独立同二项分布，即
n
i p q P p P n n n
i n n
i ≤≤-=====1,1)0(,)1(ξξ
n
i
ξ的特征函数为
)
(it
n n e p q +，记
n
n
i n i
n ηξ
η,1
∑==
的特征函数记作)(t n ?，因
为λ
→n
np ，故
)1(1),1(n
o n q n o n p n n +-=+=
λλ
，于是有
∞
→→+-+=++
-
=+=---n e
n
o e n
o e
n
n
e p q t it
it
it
e e e n
it
n
it
n
it
n n n ,)]
1
()1(11[))
1(1()()()
1()
1()
1(λλλλλ
λ
?
而)
1(-it
e e
λ是参数为λ的普哇松分布的特征函数，由特征函数的逆极限
定理即知定理成立，证毕。
4.40 设随机变量αξ服从Γ---分布，其分布密度为
)
0,0(0
00)
()(1>>??
???≤>Γ=--βααββαααx x e
x x p x
证：当∞→α时，
α
α
βξα-的分布函数弱收敛于)1,0(N 分布。
证：αξ的特征函数为
α
αβ
?--
=)
1()(it
t ，易知
α
α
βξα-的特征函数为
)
1ln()
1()(α
ααα
ααα
it
t i t
i e
it
e
t g -
----=-
=
而
)
)
(
3121)1ln(3
2
2
ααα
αα
α
αt
o it
t
it
it +-
+-
=-
因而有
∞
→-
→++
-
=-
--αα
ααα
α
αα,2
)(
3
12
)1ln(2
3
3
2
t
t
o it t
it t i
故2
2
)(lim t
e
t g -
∞
→=αα，所以相应的分布函数弱收敛于)1,0(N 分布，命题得证。
4.41设}{n ξ为一列独立同分布随机变量，且n ξ服从),(n n -上的均匀分布，证明对}{n ξ成立中心极限定理。 证：易知
3
2,02
2
2
n
dx n
x
E D E n
n
n
n n =
=
==?
-ξ
ξξ，于是
)
12)(1(18
13
1
2
1
2++=
=
=
∑
∑
==n n n k
D B
n
k n
k k n
ξ
故
3
2
3n
B n >
，对任意的0
>τ，存在N ，使当N
n ≥
时有
1
3
>τn
，因而
n
B n >τ，从而当N n ≥
，0
)(||2
=?
>τ
n B x k x dF x ，若n
k
≤，由此知
)(1lim
1
||2
2=∑?
=>∞
→n
k B x k n
n n x dF x B
τ
即林德贝尔格条件满足，所以对}{n ξ成立中心极限定理，结论得证。 4.42 设}{},{n n ηξ皆为独立同分布随机变量序列，且}{}{n n ηξ与独立，其
中
,2,1,2
1)1(;1,0==
±===n P D E n n n ηξξ，证明：
i
n
i i
n n
s η
ξ∑==
1
1的分
布函数弱收敛于正态分布)1,0(N 。
证：这时}{n n ηξ仍是独立同分布随机变量序列，易知有
1
)
()(,0)(2
2
====n n n n n n n E E D E ξηξηξηξ
由林德贝尔格---勒维中心极限定理知：i
n
i i
n n
s η
ξ∑==
1
1的分布函数
弱收敛于正态分布)1,0(N ，结论得证。 4.45 利用中心极限定理证明：
∞→→???? ??-=∑n e k n n n k k ,21!0
证：设}{n ξ是独立同分布随机变量序列，共同分布为1=λ的Poisson
分布，故
n
D B
D E n
k k
n
n n ==
==∑=1
2
,1ξ
ξξ，由林德贝尔格---勒维中心极限定
理知
∞
→=
→
?????
?
?
?<-=
∑∑∞
--
==n dt e
B E P n P t
n
n
k k k n
k k
,2
1210)()(0
2
1
1
2
π
ξξξ
由Poisson 分布的可加性知∑=n
k k
1ξ
服从参数为n 的Poisson 分布，因
而
n
n k k
n
k k e
k n
n P --==∑
∑=
<1
1
!
)(ξ，但)
(0!
∞→→-n e
n n
n
n
，所以
∞→→+<=???? ??∑∑=--=n e n n n P e k n n
k n n k n n k k ,21!)(!10ξ
成立，结论得证。
全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，
概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_
习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-
概率论与数理统计模拟试题
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1
概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解
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第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量
probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律
概率论与数理统计基本知识
概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:
概率论与数理统计课后习题答案
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
自考概率论与数理统计基础知识.
一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的
