湖北省监利县第一中学高二数学选修4-5导学案32一般形式的柯西不等式
3.2一般形式的柯西不等式
【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。
2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。
【重点难点】 一般形式的柯西不等式
一、自主学习
要点1：三维形式的柯西不等式
设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a ＋a ＋a )·(b ＋b ＋b )≥ .当且仅当 时，等号成立．
要点2：一般形式的柯西不等式
，当且仅当 时，等 号成立。
二、合作，探究，展示，点评
题型一 利用柯西不等式证明不等式
【例1】 设a ，b ，c 为正数且互不相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9
a ＋
b ＋
c .
【变式1】 已知a 1，a 2，a 3为实数，b 1，b 2，b 3为正实数．求证：a 21b 1＋a 22b 2＋a 2
3
b 3≥(a 1＋a 2＋a 3)2
b 1＋b 2＋b 3
题型二 利用三维柯西不等式求函数的最值
【例2】 已知a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，求4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值．
【变式2】 已知x ＋4y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．
题型三 一般形式柯西不等式的应用
【例3】 设a 1，a 2，…，a n 为正整数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1
≥a 1＋a 2＋…＋a n .
【变式3】 已知a 、b 、c 、d ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥14
.
方法技巧 利用柯西不等式求最值
【示例1】 已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817
，求3x ＋2y ＋z 的最大值
【示例2】 “数学史与不等式选讲”模块已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.
(1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13
；(2)求4x ＋4y ＋4z 的最小值．
三、知识小结
《一般形式的柯西不等式》课时作业
一、选择题
1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为
( )．
A ．9
B ．3 C.3 D ．1 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为
( )． A ．1
B ．n C.n D ．2
3．已知a ，b ，c 为正数，则? ????a b ＋b c ＋c a ? ??
??b a ＋c b ＋a c 有 ( )． A ．最大值9
B ．最小值9
C ．最大值3
D ．最小值3
二、填空题 4．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取
(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 专题04 不等式的证明 知识通关 1．基本不等式 （1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么 2 a b ab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么 3 3 a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??，当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时，等号成立. 2．柯西不等式 （1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当 ad=bc 时，等号成立. （2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||?≥?αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立. （3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- （4）一般形式的柯西不等式：设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时，等号成立. 3．不等式证明的方法 （1）比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种. 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2 (b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当p ab =（常数），当且仅当 时， ； 当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号） 三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：?+<+||||||b a b a ； ?+=+||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?-<-||||||b a b a ；?-=-||||||b a b a ； 四、常用的基本不等式： （1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号） （2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号） （3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+； （4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222 （5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ （6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤? （7）b a ab b a 110,>；?R m b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：①作差比较：B A B A ≤?≤-0；②作商比较： B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 一、基础达标 1.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2 n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大 值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1. 当且仅当a i ＝x i ＝n n (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. 故a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 答案 A 2.n 个正数的和与这n 个正数的倒数的和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2 D.1n 解析 设n 个正数是x 1，x 2，…，x n ， 由柯西不等式，得 (x 1＋x 2＋…＋x n )? ????1x 1＋1 x 2＋…＋1x n ≥? ? ???x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2 ＝(1＋1＋…＋1)2＝n 2. 当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时，等号成立. 答案 C 3.若则a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝5，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1的最小值为( ) A.－25 B.－5 C.5 D.25 解析 由柯西不等式，得(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(a 22＋a 23＋…＋a 2n ＋a 21)≥(a 1a 2＋a 2a 3 ＋…＋a n －1a n ＋a n a 1)2， ∴|a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1|≤5. ∴－5≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a 1≤5， 高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法： 知道a>b ?a －b>0，ab 只要证明a －b>0即可，这种方法称为求差比较法． (2)求商比较法： 由a>b>0?a b >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b ，只要证明a b >1即可，这种方法称为求商比较法． 二、综合法与分析法 1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． 2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 3．平均值不等式 定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3 abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称 a ＋ b ＋ c 3 为正数a ，b ，c 的算术平均值，3 abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an 为n 个正数，则a1＋a2＋…＋an n ≥n a1a2…an ，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立． 【高考考纲突破】 澜沧拉祜族自治县第一中学教案 【一般形式的柯西不等式】 学科：数学 年级：高三 班级：202、203 主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清 一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。 二、教学目标： 1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美; 3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法. 三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法． 四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式． 五、教学准备 1、课时安排：1课时 2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处. 3、教具选择：多媒体 实物展台 六、教学方法：启发引导、讲练结合法 七、教学过程 1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况： 问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？ 定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++， 等号当且仅当bc ad =时成立． 定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ? ≥，其中等号当且仅 当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立． 定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则： 231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？ （１）222a b ab +≥ （２）2221()2 a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥ 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 课 题：§3.2一般形式的柯西不等式 教学目标：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并 应用其解决一些不等式的问题.. 教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程： 一、复习引入： 1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 思考：如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？四维呢？ 答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++。。。。。。 二、讲授新课： 1. 一般形式的柯西不等式： ① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ?≤ ，如何得到空间向量的三维形式的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？ 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，222 12n A a a a =++ ，22212n C b b b =+++ ，则有 20B AC -≥，可联想到一些什么？ ③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？（注意分类） 要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++???++++???+（）（222 12()n b b b +++???+ ，则 22 21122 ()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++???+≥+（. 又222120n a a a ++???+>，从而结合二次函数的图像可知， []2 2221122122()4()n n n a b a b a b a a a ?=+++-++? 22212()n b b b +++ ≤0 即有要证明的结论成立. ④分析什么时候等号成立？ 二次函数f x （）有唯一零点时，判别式0?=，这时不等式取等号； 00i i a x b ?=?+=0i b ?=或i i a kb =（1,2,,i n = ） 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则： 21 1 2 1 2)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a ，当且仅当0=i b （=i 1，2，…，n ）或存在 一个数k ，使得i i a kb =（1,2,,i n = ）时等号成立。 ⑤探究：一般形式的三角不等式是怎样的？（可以让学生课后去探究） 利用一般形式的柯西不等式，容易推导出一般形式的三角不等式： (,,1,2,,)i i x y R i n ∈= 具体证法为：展开2 ，然后由柯西不等式推出展开式中的，进而完成全部证明。教学中可由学生探究具体证明过程，以加强其对一般形式柯西不等式与一般形式三角不等式之间联系的认识。 ⑤ 变式：222212121()n n a a a a a a n ++≥++???+ . （讨论如何证明） 2. 柯西不等式的应用： 柯西不等式（原始版）的习题分类 柯西不等式已经成为高考当中的新贵，去年全国卷II 的选修4-5不等式选讲，已经出现了柯西不等式命题，因此对柯西不等式几种典型习题加以分类，有助于知识的掌握。 一、柯西不等式（原始版） 1、()()()22211222 1222 1b a b a b b a a +≥++，当且仅当向量()21,a a a = ，()21,b b b = 同向时候成立，如果0,21≠b b 时，那么当且仅当2 211b a b a =时成立。 2、()() ()2 332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++，当且仅当321321::::b b b a a a =时等号成立。 3、2 11212 ??? ??≥?∑∑∑===n k k k n k k n k k b a b a ，当且仅当n n b b b b a a a a :...::::...:::321321=时等号成立。 由以上柯西不等式（原始版）来看，柯西不等式是齐次，不等式左右两边的式子的次数相等，因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。 二、常见题型 1、()常数次次≥-?11。 例1、已知1=+b a ，且0,>b a ，求b a 11+的最小值。 解析：这道题的方法非常多，利用二元的均值定理可以求解，但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是k b a ≥+11，k 为某个常数，那么不等式左边1-次，右边为0次，并不相等，所以左边要乘以 b a +，这样左边变成了()??? ? ?++b a b a 11，次数就成为了0，就可以应用柯西不等式。 ()41111112=??? ? ???+?≥+??? ??+=+b b a a b a b a b a ，当且仅当21==b a 时等号成立，所以b a 11+的最小值为4。 显然以上对例1的求解，柯西不等式比均值定理更为简单，有些优势，而且柯西不等式的应用范围更加广泛。 例2、若0,,>c b a ，求证()9111≥++??? ? ?++c b a c b a 。 解析：可以直接应用柯西不等式 ()91111112=??? ? ???+?+?≥++??? ??++c c b b a a c b a c b a ，当且仅当1===c b a 时等号成立。 练习： 1、已知0,,>c b a ，证明： c b a c b a ++≥++9111。 2、已知0,,>c b a ，证明：() c b a a c c b b a ++≥+++++29111。 提示：()()()()a c c b b a c b a +++++=++2。 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 第48课时：第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题：不等式的证明（二） 一．复习目标： 1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式． 二．知识要点： 1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）； 2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性； 3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）． 三．课前预习： 1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是 （ ） () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 ．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 ． 四．例题分析： 例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤． 例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21 211a a =+ +， （1介于1a 与2a 之间； （2）证明：2a 比1a 更接近于3； （3的有理近似值的方法． 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -< ． 例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<． 五．课后作业： 1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ） ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 ． 一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：及几种变式。 (0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…= 22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法） 222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。 （要点：展开→配方） 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。 ∴ …。。 m n ac bd ?=+u r r ||||cos ,m n m n m n ?=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ?≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则 22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。 22()()()f x ax c bx d =-+- 高中数学 典型例题一 例1 若10< 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快． 典型例题二 例2 设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a > 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式． 证明：b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ，∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a ， ∴.a b b a b a b a >. 说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ，求证 444 ()22 a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：2 2 2a b ab +≥出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22 a b =时取等号） 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+， 即： 44222 ()22 a b a b ++≥ （1） 又：∵ 2 2 2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 三角形不等式的应用举例 根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用. 类型一：证明形如a b c +>型的不等式 例1、已知x y z 、、 > 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理： == 又OA OB OC,+>所以原不等式成立. 例2、已知x y z 、、 > 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,， 则BC C A == 又AB BC C,A +>所以原不等式成立. 类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式 例3、已知x y z 、、 y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形， ).BC CD AB x y z =++≥++ D A x y z x y z 类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式 例4、设01,01x y <<<<求证： ≥ 证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部. 由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立. 应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等. 例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥ 分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝ 这个条件进行化简. 证明：2, 只要证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++≥x 即证22224,x y y ++++x 即证22[()2]x y xy x y +-+++ 注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++ 即证14,xy ≥+ 即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++ 即证287,xy -≥-1,4 xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14 xy ≤成立. 所以原不等式成立. 如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式： 证明：左边== 一般形式的柯西不等式 【教学目标】 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。 【教学重点】 会证明二维柯西不等式及三角不等式。 【教学难点】 理解几何意义。 【教学过程】 一、复习准备： 1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2a b a b +>>及几种变式。 2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=…=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1． 柯西不等式： ① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+。 → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+。 （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n ?=<>，则||||||m n m n ?≤。 ∴ …。。 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立。 ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即…。。 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-=备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理
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