湖北省监利县第一中学高二数学选修4-5导学案32一般形式的柯西不等式

3.2一般形式的柯西不等式

【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。

2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。

【重点难点】 一般形式的柯西不等式

一、自主学习

要点1:三维形式的柯西不等式

设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ,则(a +a +a )·(b +b +b )≥ .当且仅当 时,等号成立.

要点2:一般形式的柯西不等式

,当且仅当 时,等 号成立。

二、合作,探究,展示,点评

题型一 利用柯西不等式证明不等式

【例1】 设a ,b ,c 为正数且互不相等,求证:2a +b +2b +c +2c +a >9

a +

b +

c .

【变式1】 已知a 1,a 2,a 3为实数,b 1,b 2,b 3为正实数.求证:a 21b 1+a 22b 2+a 2

3

b 3≥(a 1+a 2+a 3)2

b 1+b 2+b 3

题型二 利用三维柯西不等式求函数的最值

【例2】 已知a ,b ,c ∈R +且a +b +c =1,求4a +1+4b +1+4c +1的最大值.

【变式2】 已知x +4y +3z =2,求x 2+y 2+z 2的最小值.

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