第50练 关于计算过程的再优化
[题型分析·高考展望] 中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等.《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本,运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.
数学运算,都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的,尤其是概念,它是思维的形式,只有概念明确、理解透彻,才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则是计算方法的程序化和规则化,对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中数学中,对于运算求解能力的培养至关重要.
提高数学解题能力,首先是提高数学的运算求解能力,可以从以下几个方面入手: 1.培养良好的审题习惯. 2.培养认真计算的习惯.
3.培养一些常用结论的记忆的能力,记住一些常用的结论,比如数列求和的公式12+22+32+…+n 2=1
6n (n +1)(2n +1),三角函数中的辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +θ)等
等.
4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径,任何能力都是有计划、有目的地训练出来的,提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练.
5.提高运算基本技能,必须要提高学生在运算中的推理能力,这就首先要清楚运算的定理及相关理论.
6.增强自信是解题的关键,自信才能自强,在数学解题中,自信心是相当重要的.
高考必会题型
题型一 化繁为简,优化计算过程
例1 过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB
的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( ) A.
33 B.-33 C.±3
3
D.-3 答案 B
解析 由y =1-x 2得,x 2+y 2=1(y ≥0), 设直线方程为x =my +2,m <0(m ≥0不合题意), 代入x 2+y 2=1(y ≥0),整理得, (1+m 2)y 2+22my +1=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则y 1+y 2=-22m 1+m 2,y 1y 2=11+m 2
,
则△AOB 的面积为12×2|y 1-y 2|=2
2|y 1-y 2|,
因为|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=(-22m 1+m 2)2-4
1+m 2
=2m 2-11+m 2=2m 2-1
2+m 2-1
=
2
2
m 2-1
+m 2-1≤
2
22
m 2
-1
×m 2-1=22
, 当且仅当
2
m 2
-1
=m 2-1, 即m 2-1=2,m =-3时取等号. 此时直线方程为x =-3y +2, 即y =-
33x +63
, 所以直线的斜率为-
3
3
. 点评 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式,先设出直线方程x =my +2,表示出△AOB 的面积,然后探讨面积最大时m 的取值,得到直线的斜率. 题型二 运用概念、性质等优化计算过程
例2 已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,C 与过原点的直线相交于A ,B 两点,
连接AF ,BF .若|AB |=10,|AF |=6,cos ∠ABF =4
5,则C 的离心率e =________.
答案 57
解析 如图,设|BF |=m ,
由题意知,
m 2+100-2×10m cos ∠ABF =36, 解得m =8,所以△ABF 为直角三角形, 所以|OF |=5,即c =5,
由椭圆的对称性知|AF ′|=|BF |=8(F ′为右焦点), 所以a =7,所以离心率e =5
7
.
点评 熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键. 题型三 代数运算中加强“形”的应用,优化计算过程 例3 设b >0,数列{a n }满足a 1=b ,a n =nba n -1
a n -1+2n -2(n ≥2).
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n ,a n ≤b n +
1
2n +1+1.
(1)解 由a 1=b >0,知a n =nba n -1
a n -1+2n -2
>0,
n a n =1b +2b ·n -1a n -1
. 令A n =n a n ,A 1=1
b ,
当n ≥2时,A n =1b +2
b A n -1
=1b +2
b 2+…+2n -
2b n -1+2n -
1b n -1A 1 =1b +2
b 2+…+2n -
2b n -1+2n -
1b n . ①当b ≠2时,
A n =1b [1-(2b )n ]1-2b =b n -2n b n (b -2);
②当b =2时,A n =n
2
.
综上,a n =?????
nb n
(b -2)b n -2n ,b ≠2,
2, b =2.
(2)证明 当b ≠2时,(2
n +1
+b
n +1
)b n -2n
b -2
=(2n +
1+b n +
1)(b n -
1+2b n -
2+…+2n -
1)
=2n +
1b n -
1+2n +
2b n -
2+…+22n +b 2n +2b 2n -
1+…+2n -
1b n +
1 =2n b n
(2b +22b 2+…+2n b n +b n 2n +b n -
12n -1+…+b 2
)
>2n b n (2+2+…+2), =2n ·2n b n =n ·2n +
1b n , ∴a n =nb n (b -2)b n -2n
2n +1+1.
当b =2时,a n =2=b n +1
2
n +1+1.
综上所述,对于一切正整数n ,a n ≤b n +
1
2
n +1+1.
点评 结合题目中a n 的表达式可知,需要构造a n 新的形式n a n =1b +2b ·n -1
a n -1,得到新的数列,
根据新数列的形式求和;不等式的证明借用放缩完成.
高考题型精练
1.已知函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( ) A.0 解析 根据题意mx 2+mx +1≥0(x ∈R )恒成立, 当m =0时,满足不等式; 当m ≠0时,需满足? ???? m >0, Δ=m 2-4m ≤0, 解得0 2.已知函数f (x -1x )=x 2+1 x 2,则f (3)的值为( ) A.8 B.9 C.11 D.10 答案 C 解析 ∵f (x -1x )=(x -1 x )2+2, ∴f (3)=9+2=11. 3.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <-1或x >1 2},则f (10x )>0的解集为( ) A.{x |x <-1或x >lg 2} B.{x |-1 C.{x |x >-lg 2} D.{x |x <-lg 2} 答案 D 解析 由题意知,一元二次不等式f (x )>0的解集为(-1,12),即-1<10x <1 2?x <-lg 2. 4.设函数f (x )=????? (x -1x )6,x <0, -x ,x ≥0.则当x >0时,f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A.-20 B.20 C.-15 D.15 答案 A 解析 当x >0时,f [f (x )]=(-x +1x )6=(1x -x )6的展开式中,常数项为C 36(1x )3 (-x )3=-20. 5.在△ABC 中,若AC AB =cos B cos C ,则( ) A.A =C B.A =B C.B =C D.以上都不正确 答案 C 解析 ∵AC AB =sin B sin C =cos B cos C , ∴sin B cos C -cos B sin C =0. ∴sin(B -C )=0. 又∵-π 6.已知直线l 与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点,若P (2,2)为AB 的中点,则直线AB 的方程为________. 答案 x -y =0 解析 ∵点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在抛物线y 2=4x 上, ∴? ???? y 21=4x 1,y 22=4x 2,∴y 22-y 21=4x 2-4x 1, 即y 2-y 1x 2-x 1=4 y 2+y 1 . ∵P (2,2)为AB 的中点,所以y 2+y 1=4, ∴直线AB 的斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=4 4=1, ∴直线AB 的方程为x -y =0. 7.抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是________. 答案 [-2,1 2 ] 解析 易知切线方程为:y =2x -1,所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为A (0,0),B (12,0),C (0,-1).易知过C 点时有最小值-2,过B 点时有最大值12 . 8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知A =π4,b sin(π4+C )-c sin(π 4+B )=a . (1)求证:B -C =π 2 ; (2)若a =2,求△ABC 的面积. (1)证明 由b sin(π4+C )-c sin(π 4 +B )=a , 应用正弦定理,得sin B sin(π4+C )-sin C sin(π 4+B )=sin A , sin B ( 22sin C +22cos C )-sin C (22sin B +22cos B )=2 2 , 整理得sin B cos C -cos B sin C =1, 即sin(B -C )=1. 由于0 从而B -C =π 2 . (2)解 由(1)知,B -C =π 2, 又B +C =π-A =3π 4, 因此B =5π8,C =π 8. 由a =2,A =π 4 ,得 b =a sin B sin A =2sin 5π8, c =a sin C sin A =2sin π8 , 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =2sin 5π8sin π8=2cos π8sin π8=12 . 9.在如图所示的多面体ABCDE 中,AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,且AC =AD =CD =DE =2,AB =1. (1)请在线段CE 上找到点F 的位置,使得恰有直线BF ∥平面ACD ,并证明; (2)求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角θ的大小. 解 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ,则各点的坐标为D (0,0,0),A (2,0,0),E (0,0,2),B (2,0,1),C (1,3,0). (1)点F 应是线段CE 的中点,证明如下: 设F 是线段CE 的中点,则点F 的坐标为(12,3 2,1), DE →=(0,0,2),BF → =????-32,32,0, ∴BF →·DE →=0,∴BF →⊥DE → . 而DE → 是平面ACD 的一个法向量. 此即证得BF ∥平面ACD . (2)设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ⊥CB →,且n ⊥CE →, 由CB →=(1,-3,1),CE → =(-1,-3,2), 得??? x -3y +z =0,-x -3y +2z =0, 不妨设y =3, 则? ???? x =1,z =2,即n =(1,3,2), ∴所求角θ满足cos θ=n ·DE → |n |·|DE → |=422×2=2 2, ∴θ=π4 . 10.已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0),O 为坐标原点,离心率e =2,点M (5,3)在双曲线 上. (1)求双曲线方程; (2)若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点,且OP →·OQ → =0,求1|OP |2+1|OQ |2 的值. 解 (1)∵e =2,∴c =2a ,b 2=c 2-a 2=3a 2, ∴双曲线方程为x 2a 2-y 2 3a 2=1, 即3x 2-y 2=3a 2, ∵点M (5,3)在双曲线上, ∴15-3=3a 2,∴a 2=4, ∴所求双曲线方程为x 24-y 2 12=1. (2)设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0), 联立x 2 4-y 2 12=1得??? x 2 =12 3-k 2 , y 2 = 12k 23-k 2 , ∴|OP |2=x 2+y 2=12(k 2+1) 3-k 2 . ∵OP →·OQ → =0, ∴直线OQ 的方程为y =-1 k x , 同理可得|OQ |2 =12(k 2+1) 3k 2-1 , ∴1|OP |2+1|OQ |2=3-k 2+(3k 2-1)12(k 2+1)=2+2k 212(k 2+1)=1 6. 11.已知数列{a n }中,a n =1+ 1 a +2(n -1) (n ∈N *,a ∈R 且a ≠0). (1)若a =-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围. 解 (1)∵a n =1+1 a +2(n -1)(n ∈N *,a ∈R ,且a ≠0), 又a =-7,∴a n =1+ 1 2n -9 (n ∈N *). 结合函数f (x )=1+1 2x -9的单调性, 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4, a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *). ∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0. (2)a n =1+1 a +2(n -1)=1+12n - 2-a 2, 已知对任意的n ∈N *,都有a n ≤a 6成立, 结合函数f (x )=1+12 x - 2-a 2 的单调性, 可知5<2-a 2 <6,即-10<a <-8. 12.若正数x ,y 满足x +2y +4=4xy ,且不等式(x +2y )a 2+2a +2xy -34≥0恒成立,求实数a 的取值范围. 解 ∵正实数x ,y 满足x +2y +4=4xy , 即x +2y =4xy -4. 不等式(x +2y )a 2+2a +2xy -34≥0恒成立, 即(4xy -4)a 2+2a +2xy -34≥0恒成立, 变形得2xy (2a 2+1)≥4a 2-2a +34恒成立, 即xy ≥2a 2-a +17 2a 2+1 恒成立. 又∵x >0,y >0,∴x +2y ≥22xy , ∴4xy =x +2y +4≥4+22xy , 即2(xy )2-2xy -2≥0, ∴xy ≥2或xy ≤- 2 2 (舍去),可得xy ≥2. 要使xy ≥2a 2-a +17 2a 2+1恒成立, 只需2≥2a 2-a +17 2a 2+1恒成立, 化简得2a 2+a -15≥0, 解得a ≤-3或a ≥5 2 . 故a 的取值范围是(-∞,-3]∪[5 2 ,+∞). 专题七 不等式 1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥, 在区间122?????? ,上单调递减,则mn 的最大值为( ) (A )16 (B )18 (C )25 (D )812 【答案】B 【解析】 2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=,所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴,结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件,然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查,检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题,这是高考的一个方向,这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -?? +??? ≤, ≤,≥,则2z x y =+的最大值为( ) A .0 B .1 C . 3 2 D .2 【答案】D 【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y = +,则11 22 y x z =- +,令0Z =,作直线1 2 y x =- ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取 高考前重点知识 第一章?集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性.无序性. 工集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A胃A ; ②空集是任何集合的子集,记为。包A ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题。逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题. 交:A,且x e B} 2、集合运算:交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜:或A o {% £ (/, 且x任A} (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p或q (记作〃pvq〃); p且q (记作〃p 八q〃);mEp(i己作、q〃) o 工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断 种命题的形式及相互关系: 原命题:若P则q;逆命题:若q则p; 否命题:若1 P则1 q ;逆否命题:若1 q则]Po ④、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 i命题为真它的否命题不一定为真。 @、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p=q那么我们说,P是q的充分条件,q是P的必要条 件。 若p=q且q = p,则称p是q的充要条件,记为p<=>q. 一.函数的性质 (工)定义域:(2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:/(—x) = /(x),②奇函数:/(—x) = -/(X) ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点 对称;c.求/(-X);&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。 (4 )函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2, 。语当X1VX2时,都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数; (2语当X1高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
高考数学高考必备知识点总结精华版
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]