南通市2010届高三数学附加题考前指导

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一.矩阵变换

1. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠,n

M MM M = ,a b c d ??????e f g h ??????=ae bg af bh ce dg cf dh ++??

??++??

2. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠,n

M MM M =

a b c d ??????e f g h ??????=ae bg af bh ce dg cf dh ++????++?

?。cos sin sin cos A θθθθ-??=????,n

A 表示几何意义是什么?

3.几种常见的平面变换 (1) 恒等变换阵(即单位矩阵): (2) 伸压变换: (3) 反射变换:

(4)旋转变换:(5)投影变换: (6)切变换:

4.逆矩阵常见的方法:AB=BA=E

(1)用待定系数法求逆矩阵:设A是一个二阶可逆矩阵a b c d ??????

,AB=BA=E ; (2)公式法:a b

c d =ad bc -,记为:detA ,有1det det det det d

b A A A c

a A A --????=??-??????

,当且仅当detA=ad bc -≠0;

(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵; (4)(AB)-1=B -1A -

1 。 5利用逆矩阵解方程组 ax b m cx dy n

+=??

+=?可以表示成a b c d ??????x y ??????=m n ????

??,简写成AX B =,111

A AX A

B X A B ---=?= 6.求特征向量和特征值的步骤: (1)() -() ()a b f c d λλλ-=

--=0;(2)解()0

()0

a x by cx d y λλ--=??-+-=?()0a x by λ?--=;(3)取1x

=或者1y =,写出相应的向量;

7.如何求n

M β的步骤: (1)求M αλα=,即M 的特征值λ和特征向量α;

(2)用特征向量12,αα线性表示向量x y β??

=????,即12,,m n m n β

αα=+是常数,但一般不是12,λλ;

(3)代入12()M M m n β

αα=+=12mM nM αα+,因为111M αλα=222M αλα=,12mM nM αα+=

1122m n λαλα+,依此,n M β=1122n n

m n λαλα+;

例1.求矩阵M=????251- ????

32的特征值和特征向量

解:M=????251- ?

???

32 有两个特征值λ1

=4,λ2

=-2,属于λ

1

=4的一个特征向量为??

?

?

??52,属于λ2

=-2的一个特征向量为

??

????12-。

例2. 例18. 已知M=1 -23,-2 11α????

=?

???????

,试计算20M α 解:2020

20

2020113232(1)1132M α??+????=+-=??????--+???????

?

二.参数方程、极坐标

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1. 常见的曲线的极坐标方程

(1)直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系:

正弦定理

sin sin OP OM

OMP OPM

=

∠∠,0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-; (2)圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系:勾股定理或余弦定理

2.参数方程化为直角坐标:消去参数

(1)圆222

()()x a x b r -+-=的参数方程:cos ,sin x a r x b r θθ-=-=

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(2)椭圆22

221x y a b

+=的参数方程:cos ,sin x a x b θθ==

(3)直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程:00tan y y x x α-=-即00

cos sin x x y y t θθ

--==,

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