()0,(+∞--∞a
. (2)432
113)42
(g a x x x x =++有且仅有3个极值点
?223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根,则0x =或210x ax ++=,2a <-
方程2
10x ax ++=有两个非零实根,所以2
40,a ?=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
其它例题:
1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在R 上的函数3
2
()2f x ax ax b =-+)
(0>a 在区间[]2,1-1
上的最大值是5,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ)若]1,1[-∈t 时,0(≤+'tx x f )恒成立,求实数x 的取值范围. 解:(Ⅰ)
32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-
令'
()f x =0,得[]124
0,2,13
x x ==
?- 因为0>a ,所以可得下表:
x
[)2,0-
0 (]0,1
'()f x
+ 0 - ()f x
↗
极大
↘
因此)0(f 必为最大值,∴50=)(f 因此5=b , (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-,
即11516)2(-=+-=-a f ,∴1=a ,∴ .52(2
3+-=x x x f )
(Ⅱ)∵x x x f 43)(2
-=',∴0(≤+'tx x f )等价于0432≤+-tx x x ,
令x x xt t g 43)(2
-+=,则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时,求实数x 的取值范围,
为此只需???≤≤-0)10)1((g g ,即???≤-≤-0
05322x x x x ,
解得10≤≤x ,所以所求实数x 的取值范围是[0,1]. 2、(根分布与线性规划例子) 已知函数3
22()3
f x x ax bx c =
+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求
)(x f 的解析式;
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面
区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
解: (Ⅰ). 由2
()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,
∴ 220a b ++=
∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1
2
a = ∴ 32
21()3132
f x x x x =
+-+ ……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴ (0)0
(1)0(2)0f f f '>??
'?'>? 即
0220480b a b a b >??
++?++>?
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-??
=+? ∴ 12a y b x =-??=+?
∴
20
220460x y x y x +>??
++?++>?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ?=
四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为: 0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G, 则 0k >, 1S =四边形DEGF
由 220
y kx y x =??
++=? 得点F 的横坐标为: 2
21F x k =-+
由 460y kx y x =??
++=?
得点G 的横坐标为: 6
41G x k =-+
∴OGE OFD S S S ??=-四边形DEGF 61311222214121
k k =??
-?+?=+即 216250k k +-=
解得: 12k =
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为: 1
2
y x = 综上,所求直线方程为: 0x =或1
2
y x = .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由2
()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值
,
∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>??
'?'>? 即
0220480b a b a b >??
++?++>?
令(,)M x y , 则 2
1x b y a =-??
=+?
∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20
220460
x y x y x +>??++?++>?
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC,
易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ?=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC
ABED S S ?=四边形 ∴所求一条直线L 的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 1
2
y x =
, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12
220
y x y x ?=???++=? 得直线L 与AC 交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ?=, 111
2222
DEC S ?=
??=, 11222211122H ABO AOH S S S ???=-=??-??=AB
∴ 所求直线方程为: 0x = 或1
2
y x =
3、(根的个数问题)已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
(Ⅰ)求c d 、的值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=,求函数f ( x )的解析式;
(Ⅲ)若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根,求实数a 的取值范围。 解:由题知:2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
(Ⅰ)由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =??
++--=????
?==0
3
c d (Ⅱ)依题意
()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b a b a b +--=-??
+--+=? 解得a = 1 , b = – 6
所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3
(Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a >0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b
由()5f '= 0?b = – 9a
①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a <f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3<8a <7a + 3?11
1
<a <3
所以 当
11
1
<a <3时,方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12分 4、(根的个数问题)已知函数32
1()1()3
f x x ax x a R =--+∈
(1)若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值,且122x x -=,求a 的值及()f x 的单调区间; (2)若12a <
,讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数. 解:(1)2
()21f'x x ax =--
12122,1x x a x x ∴+=?=-
22121212()4442x x x x x x a ∴-=+-=+=
0a ∴=………………………………………………………………………2分
22()211f x x ax x '=--=-
令()0f x '>得1,1x x <->或 令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-,(1,)+∞,单调递减区间为(1,1)-…………5分 (2)由题()()f x g x =得
322115
1(21)326
x ax x x a x --+=-++ 即32111
()20326
x a x ax -+++= 令32111
()()2(21)326
x x a x ax x ?=-+++-≤≤……………………6分
2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ?'∴=-++=--
令()0x ?'=得2x a =或1x =……………………………………………7分
12
a <
当22a ≤-即1a ≤-时
x
2-
(2,1)-
1
此时,9
802
a --
>,0a <,有一个交点;…………………………9分 当22a ≥-即1
12
a -<<时,
x
2-
(2,2)a - 2a
(2,1)a 1
()x ?'
+
— ()x ?
9
82
a --
221(32)36
a a -+
a
221
(32)036
a a -+>, ∴当9802a -->即9
116a -<<-时,有一个交点;
当98002a a --≤≤,且即9
016a -≤≤时,有两个交点;
当102a <<时,9
802
a --<,有一个交点.………………………13分
综上可知,当9
16a <-或102a <<时,有一个交点;
当9
016
a -≤≤时,有两个交点.…………………………………14分
5、(简单切线问题)已知函数23
)(a
x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102,函数
2
3()()3bx
g x f x a
=-
+. (Ⅰ) 若函数)(x g 在1=x 处有极值,求)(x g 的解析式;
(Ⅱ) 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数,且)(42
x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立,求实数m 的取值范围.
(1)∵f ′(x)= 3/a2 ?x2, ∴由 3/a2 ?x2=3得x=±a , 即切点坐标为(a ,a ),(-a ,-a )
∴切线方程为y-a=3(x-a ),或y+a=3(x+a )(2分)
()x ?'
-
()x ?
982
a --
a
整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0
解得a=±1,
∴f(x)=x3.
∴g(x)=x3-3bx+3(4分)
∵g′(x)=3x2-3b,g(x)在x=1处有极值,
∴g′(1)=0,
即3×12-3b=0,解得b=1
∴g(x)=x3-3x+3(6分)
(2)∵函数g(x)在区间[-1,1]上为增函数,
∴g′(x)=3x2-3b≥0在区间[-1,1]上恒成立,
∴b≤0,
又∵b2-mb+4≥g(x)在区间[-1,1]上恒成立,
∴b2-mb+4≥g(1)(8分)
即b2-mb+4≥4-3b,若b=0,则不等式显然成立,若b≠0,则m≥b+3在b∈(-∞,0)上恒成立
∴m≥3.
故m的取值范围是[3,+∞)