高三数学余弦定理
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
(完整word)高中数学二项式定理练习题
选修2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2(n ＋1) 2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n B ． C r ＋1n C ．C r －1n D ．(－1)r －1C r －1n 3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27 C 410 C ．－9C 610 D ．9C 410 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 5．在? ?? ??2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10 6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 7．(2009·北京)在? ?? ??x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2
9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ( ) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25 10．在? ????32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 二、填空题 11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． 12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． 13．若? ?? ??x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________． 三、解答题 15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． 16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数． 17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．
高三数学 二项式定理
二项式定理 1． 知识精讲： （1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ） 其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ） 其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． （2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果
高中数学 2二项式定理(带答案)
二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
(推荐)高中数学二项式定理
二项式定理 【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第
3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）． 【方法技巧提炼】
(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246
答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .
答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（）
高考数学 《二项式定理》
二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．
知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.
高一数学 余弦定理公式
正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 1．1.2 余弦定理(一) 课时目标 1．熟记余弦定理及其推论； 2．能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C . 2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B 解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ＝72＋(43)2－(13)2 2×7×43 ＝32.∴C ＝π6 . 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C 解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2 2a ＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B 解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， 10.3二项式定理强化训练 【基础精练】 1．在二项式(x 2－1 x )5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 3．在( 1x ＋ 51 x 3 )n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数 是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 4．如果? ?? ?? 3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 5．在? ? ??? 2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( ) A ．第2n ＋1项 B ．第2n ＋2项 C ．第2n 项 D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项 7．若(x 2＋1 x 3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 8．（ x ＋2 x 2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用 数字作答) 9．若? ? ? ??2x － 229 的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x － 124 x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列． (1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项． 11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 【拓展提高】 1．在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． 二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ， 是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为 0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11 222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项 式系数1 2n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?， 2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 二项式定理展开的特殊项 例 在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数． 题型二 求参数的值 例 若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值． 题型三 展开项的系数和 例 已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B 【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解 【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型 题型四 二项式定理中的赋值 二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值 【巩固训练】 题型一 二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A 高中数学知识点总结---二项式定理 1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项； ② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a ) +（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第 12 +n 项，它的二项式系数2 n n C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第2 1+n 项和第 12 1++n 项，它们的二项式系数212 1+-=n n n n C C 最大. ③系数和： 1 314 201 2 2-=+ +=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．． 时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组1 111 1(,+-+-+???≤≤???≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数 的绝对值）的办法来求解. ⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中 , ,,N r q p ∈且 n r q p =++把 n n c b a c b a ] )[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+) (中含有q b 的项为 q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为 r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --== ---?-= ! !!!)! (!)! ()!(!! . 2. 近似计算的处理方法. 高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案 教学目标： 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． 3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题． 教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、基础回顾 1、正余弦定理 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bccosA ， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 2、变形式 ①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径) ②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB ③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab . 3、三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π. (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式 ① S ＝12 a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ； ③ S ＝12 r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12 (a ＋b ＋c)． 二、基础自测 1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________． 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形． 4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________． 第十一讲二项式定理 课程类型：□复习□预习□习题 针对学员基础：□基础□中等□优秀 本章主要内容： 1?二项式定理的定义； 2?二项式定理的通项公式； 3?二项式定理的应用? 本章教学目标： 1?能用计数原理证明二项式定理（重点）； 2?能记住二项式定理和二项展开式的通项公式（重点）； 3?能解决与二项式定理有关的简单问题（重点、难点）? 课外拓展 __________________________________________________________________________________________ 杨辉三角历史 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。 13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪 前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 布莱士?帕斯卡的著作Trait e du triangle arithm e tique （1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集 了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort （1708 年）和亚伯拉罕?棣?美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。 同与例題牆讲 【知识与方法】 一?二项式定理的定义 在（a b）^（a ]b）（a「b）；：（a「b）中，每个括号都能拿出a或b，所以每个括号有2种选择，n个括号 n个 就是2n种情况.a2b n J这一项，表达的意思是________________________________ ；所以，a2b n"共有____________ 个. 三垂线定理及其逆定理 一、单选题(共8道，每道12分) 1.如图，BC是的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 2.如图，在正方体中，E为的中点，则下列与直线CE垂直的是( ) A.直线AC B.直线 C.直线 D.直线 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数( ) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 4.已知三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的( ) A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 5.四面体ABCD中，棱AB，AC，AD两两垂直，则顶点A在底面BCD上的正投影H为△BCD 的( ) A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三垂线定理 6.已知二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内一点（点C不在棱AB上），D是点C 在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点，那么( ) A.∠CEB＞∠DEB B.∠CEB=∠DEB C.∠CEB<∠DEB D.∠CEB和∠DEB的大小关系不能确定 答案：A 解题思路： 第十一讲 二项式定理 课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 1.二项式定理的定义； 2.二项式定理的通项公式； 3.二项式定理的应用. 1.能用计数原理证明二项式定理(重点)； 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点). 【知识与方法】 一．二项式定理的定义 在44443 444421个 n n b a b a b a b a )())(()(+???++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号 就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个. (a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数． 二．二项展开式的通项 (a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________.. 注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4n C ； 2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的； 3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n ； 4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质 四．展开式的二项式系数和 1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝_______. 五．展开式的系数和 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋ a 2＋a 4＋…= 2 ) 1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】 题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用 【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2 ＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【例2】（2018?滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018?濮阳一模）82017 )11(++ x x 的展开式中，x 3 的系数为________. 【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式4)21 1(x x -+ ，则展开式的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-47 D ．49 类型二 单括号型 【例4】（2018?内江三模）4)2 (x x -展开式中的常数项为（ ） 2018高三数学全国二模汇编(理科)专题12排列组合、二项式定理 【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】 一、选择题 1．【2018陕西咸阳高三二模】有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ） A. 8种 B. 16种 C. 32种 D. 48种 【答案】B 2．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】若12n x x ? ? ? ? ?展开式中 含x 项的系数为-80，则n 等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 由二项式 12n x x ? ? ? ? ?的展开式为 () ()32 11212r n r n r r r n r r r n n T C x C x x ---+??=-=-? ??? ， 令 32 123 n r n r --=?=，即() 2222 3 33 1280,n n n n C n N +--+ -?=-∈， 经验证可得5n =，故选A. 点睛：根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等. 3．【2018河南商丘高三二模】高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】先确定选择日月湖景区两名同学，有种选法；其他4名学生游览我市不包括日月湖在内的5个景区，共有种选法，故方案有 种，选D. 4．【2018上海黄浦高三二模】二项式的展开式中，其 中是有理项的项数共有 （ ） A. 4项 B. 7项 C. 5项 D. 6项 【答案】B 二项式定理 知识点归纳 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -* +=+++++∈ ， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ 2．二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， = 3．常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ， 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=） 直线2 n r = 是图象的对称轴 （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12 n n C -，1 2n n C +取得最大值 （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ 题型讲解 例1 如果在（x + 4 21x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项 解：展开式中前三项的系数分别为1， 2 n ， 8 )1(-n n ，由题意得2× 2 n =1+ 8)1(-n n ，得n =8设第r +1项为有理项， T 1 +r =C r 8· r 2 1 ·x 4 316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8，有理项为T 1=x 4，T 5= 8 35x ，T 9= 2 2561 x 点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r 例2 求式子（｜x ｜+| |1x －2）3的展开式中的常数项 解法一：（｜x ｜+ | |1x －2）3=（｜x ｜+ | |1x －2）（｜x ｜+ | |1x －2）（｜x ｜+ | |1x －2）得到常数项的情况有：①三个括号 中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x ｜，一个括号取 | |1x ，一个括号取－2，得C 1 3C 1 2（－2）=－12，∴常数项为（－2） 3 +（－12）=－20解法二：（|x |+ | |1x －2）3=（||x － | |1x ）6设第r +1项为常数项，则T 1+r =C r 6·（－1）r ·（ | |1x ）r ·|x | r -6= （－1）6·C r 6·|x | r 26-，得6－2r =0，r =3∴T 3+1=（－1）3·C 3 6=－20 例3 ⑴求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；⑵求（x +x 4－4）4的展开式中的常数项； ⑶求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3 的系数 解：⑴原式= x x --114 （1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 4 6 －1=14⑵（x + x 4－4） 4 = 4 4 2 ) 44(x x x +-= 4 8 )2(x x -，展开式中的常数项为C 4 48 2 ·（－1）4=1120 ⑶方法一：原式2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
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