《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、 晶体的结构
1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，
6π; （2）体心立方, ;8
3π （3）面心立方，
;62π （4）六角密积，;62
π （5）金刚石结构，
;16
3
π [解答]
设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，
设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体
积，则致密度ρ=V
r n 3
34π
（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，
如图1.2所示，中心在1，2，3，4
处的原子球将依次相切，因为
,,433a V r a ==
面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以
ρ=
6
)
(3
3
23
4π
π=
a
a
（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如
图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以
ρ=
ππ8
3)
(
*23
3
4
334=
a a
图1.3 体心立方晶胞
（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为
3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以
ρ=
6
2)
(
*43
3
4
234ππ=
a a .
图1.4面心立方晶胞
（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体
晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高
h =2
23
2
32c r a == 晶胞体积 V = 2
22
360sin ca ca =
, 一个晶胞内包含两个原子，所以
ρ=
ππ6
2)(*22
2
3
3
234=
ca a .
（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为
,83r a =
晶胞体积 3a V =,
图1.7金刚石结构
一个晶胞内包含8个原子，所以
ρ=
163)
83(
*83
3
34ππ=a
a . 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-
）晶面。 [解答]
图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。
3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml ）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为
,,,321m
a k a h a 在C 轴上的截距为 l c
证明：m k h -=+求出 O 5522133131,,,A B B A B B A A A A 和A 531A A 四个面的面指数。
图1.9六角晶胞对称画法
[解答]
设 d 是晶面族（hkml ）的面间距， n 是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm ）中最靠近原点的晶面在a c a a ,321 轴上的截距分别为 l c m a k a h a /,/,/,/321 所以有
1a ?n =hd , 2a ?n =kd ,
3a ?n =md .
因为
),(323a a a +-= 所以
3a ?)(32a a n +-=?n 。 由上式得到
md =)(kd hd +-.
即
),(k h m +-=
由图可得到： 31'A A O 晶面的面指数为(11-
21) 1331B B A A 面的面指数为(11-
20)
5522A B B A 晶面的面指数为(1-
100)
531A A A 晶面的面指数为(0001)
4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 321,,a a a 的末端分别落在离原点的距离为d h 1,d h d h 32,的晶面上，试用反证法证明：321,,h h h 是互质的。 [解答]
设该晶面族的单位法量为 321,,a a a 由已知条件可得
1a ?21,a d h n =?,2d h n =3a ?,3d h n =
假定321,,h h h 不是互质数，且公约数 1≠p 即
332211,,pk h pk h pk h ===
321,,k k k 是互质的整数，则有 1a ?21,a d pk n =?32,a d pk n =?d pk n 3=
今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为
,332211a l a l a l r ++= 由于 心定是整数，而且
r ?11a l d n ==?22a l n +?33a l n +?n 于是得到
1332211=++l pk l pk l pk 由上式可得
p
l k l k l k 1332211=
++ 上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假定。也就是说，p 只能等于1，即321,,h h h 一定是互质数。
5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交，并求晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h )的夹角。
[解答]
设d 是为晶面族（hkl ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl ）将 a,b, c 分别截为l k h ,, 等份，即
a?n =a cos(a,n )=hd, b?n =b cos(b,n )=kd,
c?n =c cos(c,n )=ld 于是有
n =a d h i +a
d k j +a d l k
=a
d
(h i +k j +l k )
其,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列[hkl ]
的方向矢量为
R =ha i +ka j +la k =a(h i +k j +l k ) 由（1），（2）两式得
n =2a
d R 即n 与R 平行，因此晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交。
对于立方晶系，晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h ) 的夹角，就是晶列 R 1
=1h a +1k b +1l c
与晶列
R 2=2h a +2k b +2l c
的夹角，设晶面 (111l k h )与晶面 (122l k h ) 的夹角为 ? 由
R 1?R 2=??cos cos 2222222
21212
121a l k h l k h R R ++++= =221221221a l l a k k a h h ++ 得
})(({
cos 22
22
22
21
21
2
1
2121211l
k h l k h l l k k h h ++++++=-?
6．如图1.10所示，B,C 两点是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求 ABC 面的密勒指数；
（2） 求 AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
图1.10 面心立方晶胞
[解答]
（1） 矢量A B 与矢量C B
的叉乘即是 ABC 面的法矢量
A B =),2(2
1
)(21)(c b a c b b a B O A O -+=+-+=-
),(2
1
)(21)](21[c a c b b a c B O C O C B +=+-++=-=
A B ?).3(4
)(21)2(21c b a a
c a c b a C B --=+?-+=
因为对立方晶系，晶列[hkl ]与晶面族（hkl ）正交，所以ABC 面的密勒指数为
(-
131).
（2）).2(2
1
)()](21[c b a b a b a c A O C O C A -+-=+-++=-=
可见 C A
与晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指数为[11-2].
由《固体物理教程》（1?3）式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系
,321a a a a ++-= ,321a a a b +-= 321a a a c -+=
晶列 (a+b-2c) 可化为 (a+b-2c)=-2(3212a a a -+) 由上式可知，AC 晶列在原胞坐标系中的指数为[11-
2]
7．试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 [解答]
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k 面心立方正格子的原胞基矢可取为
),(2
1k j a
a +=
).
(2
),(2
32j i a
a j k a
a +=+=
由倒格矢公式
Ω
?=Ω?=Ω?=
]
[2,][2,][2213132321a a b a a b a a b πππ, 可得其倒格矢为
).
(2),(2),(2321k j i a b k j i a b k j i a b -+=+-=++-=
πππ
设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为
).
(2),(2),(2321k j i a
a k j i a
a k j i a
a -+=+-=++-=
以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。
将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 .]
[2,][2,][2213132321Ω
?=Ω?=Ω?=
a a
b a a b a a b πππ 则得其倒格子基矢为
).
(2),(2),(2321j i a
b i k a b k i a b +=+=+=
ππ
π
可见体心立方的倒格子是面心立方。 8．六角晶胞的基矢
ck C j a
ai b j a ai a =+-=+=
,223,223
求其倒格基矢。 [解答]
晶胞体积为 ][c b a ??=Ω
.2
3)]()2
23([)223(
2c a ck j a ai j a ai =?+-?+=
其倒格矢为
k c
c
a j a ai j a ai
b a
c j i a c a j a ai ck a c b j i a c a ck j a ai c b a πππππππππ232
)]223()223[(2][2).33
(232
)]223()[(2][2).3
3
(232
)]()223[(2][2222=?
+-?+=Ω?=
+-=
?
+?=Ω
?=
+=
?
?+-=Ω?=
***
9．证明以下结构晶面族的面间距：
（1） 立方晶系:,][2
1
22
2
-++=l k h a d hkl
（2） 正交晶系:1
])()()[(222-++=c
l b k a h d hkl
（3） 六角晶系:1])()(34[22
22-+++=c l a
hk k h d hkl
（4） 简单单斜:1])cos 2(sin 1[2222222-+-+=b
k ac hl c l a h d hkl
ββ.
[解答]
（1）设沿立方晶系轴a,b,c 的单位矢量分别为i,j,k ,则正格子基矢为
,,,ak c bj b ai a ===
图1.11立方晶胞
倒格子晶矢为
.2,2,2k a c j a b i a a πππ===***
与晶面族(hkl )正交的倒格为
.***++=lc kb ha K hkl
由晶面间距 hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式
得，
.
22
2
2
l
k h a d K d hkl hkl
hkl ++=
=π
（2）对于正交晶系，晶胞基矢c b a ,,相互垂直，但晶格常数.c b a ≠≠设沿晶轴
c b a ,,的单位矢量分别为i,j,k 则正格子基矢为 ,,,ck c bj b ai a ===
图1.12正交晶胞倒
倒格子基矢为
.2,2,2k c c j b b i a a πππ===***
与晶面族 (hkl ) 正交的倒格为
.***++=lc kb ha K hkl
由晶面间距 hkl d 与倒格矢hkl K 的关系式
hkl
hkl K d π
2= 得
21
])()()[(222-++=c
l b k a h d hkl
（2） 对于六角晶系，,120,90, ===≠=γβαc b a 晶面族 (hkl ) 的面间距
图 1.13 六角晶胞
.2222
****
**++=++==lc
kb hk lc
kb ha K d hkl hkl ππ
π
也即
)].(2)(2)(2[4112
222222
2
*
********?+?+?+++=
c a hl c b kl b a hk c l b k a h
d hkl
π
由图1.13可得六角晶胞的体积
.2
3120sin sin )(2
22c a c a c a b a a c =
==??=Ω γ 倒格基矢的模
(
)
()(
)
.223sin 22,
3423sin 2222
2
c
c
a a
b a
c c a
c
a ac c
b a b a πγ
ππ
πα
ππ=
=Ω
?===
=
Ω
?===*****
倒格基矢的点积
()()(){()()()()[]().38cos cos cos 44]}
[4][422
2
22222
22
22a
c a c c a b a c c b c b a c a c c b b a πγβαππππ=-Ω=??-??Ω
=???Ω=???Ω=?*
*
其中利用了矢量混合的循环关系
()()()B A C A C B C B A ??=??=?? 及关系式
()()().B A C C A B C B A ?-?=?? 因为()b a ? 矢量平行于 c 所以
()()[]()()[].
04,
0422
22
=???Ω
=?=???Ω
=?***
*
b a a
c c b b a c b c a π
π 将以上诸式代入（1）式得
hkl
d ,3)(4222
222
c
l a hk k h +++=- 即
hkl d =122
22])()(34[-+++c l a
hk k h （4）单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足c b a ≠≠ 和
90==γα, 90≠β 晶胞体积
βs
i n )(a b c a c b =??=Ω 由
a []Ω?=
*c b π2
b []Ω?=*a
c π2 c []Ω
?=*b a π2 得其倒格子基矢长度
a ,sin 2sin 2β
π
βπa abc bc a ==*=*
及 b b
b π2==**
c β
π
sin 2ac c =
*=*
倒格基矢间的点积
()()c b b a a c ???Ω
=?*
*
22
4π
=()()()()[]b b c a c b b a ??-??Ω
22
4π
=β
βγαπ2
22sin )
cos cos (cos 4abc c ab -
因为)(a c ?矢量平行于b 所以
()()[]042
2
=???=
?*
*
a c c
b b a ππ
()()[]b a a c c b ???Ω
=?*
*
22
4π
将以上诸式代入
()()(
)[
]
*******
**?+?+?+++=c a hl c b kl b a hk c l b k a h d a hkl 2224112222222
π
得到
β
βββ2
222222222s i n c o s
2s i n s i n 1ac hl c l b k a h d hkl -++= =+???
? ??++ac hl c l a h 2sin 1
22222
β22b k 即 2
122
22
22
2c o s 2s i n 1-??
????+???? ??-+=b k ac hl c l a h d hkl
ββ
10．求晶格常数为 a 的面心立方和体立方晶体晶面族()321h h h 的面间距 [解答]
面心立方正格子的原胞基矢为
a ()k j a
+=21
()i k a
a +=22
()j i a
a +=2
3
由 [][][],2,2,2213132321Ω
?=Ω?=Ω?=
a a
b a a b a a b πππ
可得其倒格基矢为 (),21k j i a b ++-=π
(),22k j i a b +-=π
(),23k j i a
b -+=π
倒格矢
.332211b h b h b h K h ++= 根据《固体物理教程》（1。16）式 ,2321h
h h h K d π
=
得面心立方晶体面族 ()321h h h 的面间距 h
h h h K d π2321= =
()()()
[]
2
123212
3212
32
1
h h h h h h h h
h a
-+++-+++-
体心立方正格子原胞基矢可取为
()k j i a
a ++-=21
()k j i a
a +-=22
()k j i a
a -+=2
3
其倒格子基矢为
()k j a b +=π
21 ()i k a b +=π
22 ()j i a b +=π
23 则晶面族()321h h h 的面间距为 ()()()[]
2
12
212132322321h h h h h h a
K d h h h h +++++==
π
11．试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。
[解答]
由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族 ()321h h h 的面间距 ()
()()
2
212
132
32321h h h h h h a
d h h h +++++=
可以看出，面间距最大的晶面族就是{}001
，将该晶面指数代入《固体物理教程》（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为{
}110 面间距最大的晶面上的格点
最密，所以密勒指数 {}110 晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在格点最密的面上，由图1.14虚线标出的(110)晶面容易算出，最密的线上格点的周期为
图 1.14 体心立方晶胞
2
3a 由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族()321h h h 的面间距
()
()()
2
3212
3212
321321h h h h h h h h h a
d h h h -+++-+++-=
可以看出，面间距最大的晶面族是{}111
。由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数 ()321h h h 与晶面指数(hkl )的转换关系为
()()()(){},1321321321h h h h h h h h h p
hkl -++-++-=
将晶面指数 {}111 代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为{}111.面间距最大晶面上的格点最密，所以密勒指数{}111
晶面族是格点最密的面,格点最密的线一定分布在格点最密的面上,由图1.15虚线标出的(111) 晶面上的格点容易算出,
最密的线上格点的周期为
2
2a
图1.15面心立方晶胞
12．证明晶面 ()()'3'2'1321,h h h h h h 及 ()
"
3"2"1h h h 属于同一晶带的条件
0"3
"2
"1'3'
2'
132
1=h h h h h h h h h
[解答]
设原胞坐标系中的倒格子基矢为,,,321b b b 则晶面()321h h h ，()'3'2'1h h h 及 ()
"
3"2"1h h h
的倒格矢分别为
.
,,
3"32"21"13'32'
21'1332211"'b h b h b h K b h b h b h K b h b h b h K h h h ++=++=++=
当三个晶面共晶带时,它们的交线相互平行,这些交线都垂直于倒格矢h K 'h K "h K 即h K 'h K "h K 位于同一平面上,于是有
()
0"'=??h h h K K K 利用正倒格子的关系
[][][]*
**Ω?=Ω?=Ω?=
213
13221`2,2,2b b b b b b b b a πππ得
()()()],[22"1
"3'
1'
31"3"2'3'23
"2"
1'
2
'
113"3'1"1'332"
2
'3"3'221"1'2"2'1"'a h h h h a h h h h a h h h h b b h h h h b b h h h h b b h h h h K K h h ++Ω=?-+?-+?-==?*π
式中*Ω为倒格原胞体积,于是得到
(). 1
"3
"2
"
1'3'2'
1321"
1"3'
1'
32"3"2'3'21"
2"1'
2
'13"'h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h K K K h h h =++=??Ω*
代入(1)式,得
="3
"2
"
1'3'2'132
1h h h h h h 0
13.晶面 ()()
'
3'2'1321,h h h h h h 的交线与晶列
,332211a l a l a l R l ++= 平行,证明
.,,'
2
'
12
13'
1
'
3132'
3'
2
32
1h h h h l h h h h l h h h h l ==
=
[解答]
与晶面()()
'
3'2'1321,h h h h h h 垂直的倒格矢分别为
,
,3
'32
'21
'
1332211'b h b h b h K b h b h b h K h h ++=++=
晶面的交线应同时与h K 和'h K 垂直,即与'h h K K ?平行,而
,221'
313
1'3'2
32
3'2'1
2
1131
'3
1
3
32'3'23221
'2'
12
1
'??
?
???++
Ω=?+?+?=?*
a h h h h a h h h h a h h h h
b b h h h h b b h h h h b b h h h h K K h h π
式中 ()321b b b ??=Ω* 为倒格原胞体积 ,321,,a a a 为正格原胞基矢
已知晶面()()
'
3'2'1321,h h h h h h 的交线与晶列332211a l a l a l R l ++=平行,即l R 和
"'h h K K ?平行,因此321,,l l l 可取为 '2
'1
213'1
'3
132'3
'
2
321,,h
h
h h l h
h
h h l h
h
h h l =
=
=
.
14．今有正格矢 .
,,
3"2"1"3'2'1'321a n a m a l w a n a m a l v na m a la u ++=++=++= 其中n m l ,,; ''',,n m l 及""",,n m l 均为整数,试证w v u ,, 可选作基矢的充分条件是
.1"
'
"'
±=n n n
m m m [解答] 解法一:
固体物理原胞的选取方法有无数种,但它们有一个无同的特点,即它们的体积都相等,是晶体的最小重复单元。因此 w v u ,, 可选作基矢的充分条件是，由基矢
w v u ,, 构成的原胞体积一定等于由基矢321,,a a a 构成的原胞体积，即
()()Ω=??=??321a a a w v u 将
3
"2"1"3'2'1'321,,
a n a m a l w a n a m a l v na m a la u ++=++=++= 代入()w v u ??得
()w v u ??
(
)
()(
)
()()()[]
(
)
(
)()
."
'
"'
"
'"'"
'"
'
"'"'"'32"'"'32"'"'21"'"'Ω=Ω
-+Ω-+Ω-=?-+?-+?-?=n n n m m m l l l n l l
n m m n n m l l m m l n a a n l l n a a m n n m a a l m m l u
将上式代入（1）得
.1"
'
"'
"
'±=n n n
m m m l l l
解法二：
设zw yv xu a ++=1，当w v u ,,为基矢时，z y x ,,应取整数值，将
.
,,3"2"1"3'2'1'321a n a m a l w a n a m a l v na m a la u ++=++=++= 代入zw yv xu a ++=1 得
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.3"'2"'1"'1a zn yn xn a zm ym xm a zl yl xl zw yv xu a ++++++++=++= 由此得方程组???
??=++=++=++001"'"'"'zn yn xn zm ym xm zl yl xl
解方程得
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=
由于z y x ,,的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，z y x ,,为整数，因此
w v u ,,可选作基矢的充分条件是
1"
'
"'
"
'±=n n n
m m m l l l 15．对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为()hkl ，求对应的原胞坐标中的面指数()321h h h 若已知()321h h h 求对应的密勒指数()hkl 。
[解答]
由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢321,,b b b 与晶胞坐标系中的倒格基矢***c b a ,,的关系为
()()()()()().2,2,2321*********-+=-+=+-=+-=++-=++-=c b a k j i a b c b a k j i a b c b a k j i a b π
π
π
也即
()()().
212,212,21
2211332b b k a c b b j a b b b i a a +==+==+==
***πππ
与晶面族()hkl 垂直的倒格矢
()()()[](),2
1
212
1
332211321321b h b h b h p pK b k h b h l b l k lc kb ha K h h h hkl ++==+++++=
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321h h h K 与晶面族 ()321h h h 正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl )则原胞坐标系中的面指数
()()(){}k h h l l k p
h h h +++=)(1321
其中 p 是()()k h h l l k +++,),(的公约数 同样
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hkl K 与晶面族 (hkl ) 正交，因此，若已知晶面族的面指数 ()321h h h 则晶胞坐标系中的面指数 (hkl )()()(){},1
321321321'h h h h h h h h h p
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其中 'p 是 ()()()321321321,,h h h h h h h h h -++-++- 的公约数。 16．证明不存在5度旋转对称轴。 [解答]
第一章+金属的晶体结构作业+答案
第一章金属的晶体结构 1、试用金属键的结合方式，解释金属具有良好的导电性、正的电阻温度系数、导热性、塑性和金属光泽等基本特性. 答：(1)导电性：在外电场的作用下，自由电子沿电场方向作定向运动。 (2)正的电阻温度系数：随着温度升高，正离子振动的振幅要加大，对自由电子通过的阻碍作用也加大，即金属的电阻是随温度的升高而增加的。 (3)导热性：自由电子的运动和正离子的振动可以传递热能。 (4) 延展性：金属键没有饱和性和方向性，经变形不断裂。 (5)金属光泽：自由电子易吸收可见光能量，被激发到较高能量级，当跳回到原位时辐射所吸收能量，从而使金属不透明具有金属光泽。 2、填空： 1)金属常见的晶格类型是面心立方、体心立方、密排六方。 2)金属具有良好的导电性、导热性、塑性和金属光泽主要是因为金属原子具有金属键的结合方式。 3)物质的原子间结合键主要包括金属键、离子键和共价键三种。 4)大部分陶瓷材料的结合键为共价键。 5)高分子材料的结合键是范德瓦尔键。 6)在立方晶系中，某晶面在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为1/2；与z轴平行，则该晶面指数为（（ 140 ））. 7)在立方晶格中，各点坐标为：A (1，0，1)，B (0，1，1)，C (1，1，1/2)，D(1/2，1，1/2)，那么AB晶向指数为（ī10），OC晶向指数为（221），OD晶向指数为（121）。 8)铜是（面心）结构的金属，它的最密排面是（111 ）。 9) α-Fe、γ-Fe、Al、Cu、Ni、Cr、V、Mg、Zn中属于体心立方晶格的有（α-Fe 、 Cr、V ），属于面心立方晶格的有（γ-Fe、Al、Cu、Ni ），属于密排六方晶格的有（ Mg、Zn ）。 3、判断 1)正的电阻温度系数就是指电阻随温度的升高而增大。（√） 2)金属具有美丽的金属光泽，而非金属则无此光泽，这是金属与非金属的根本区别。（×） 3) 晶体中原子偏离平衡位置，就会使晶体的能量升高，因此能增加晶体的强度。(× ) 4) 在室温下,金属的晶粒越细,则其强度愈高和塑性愈低。(×) 5) 实际金属中存在着点、线和面缺陷，从而使得金属的强度和硬度均下降。 (×) 6)体心立方晶格中最密原子面是｛110｝，原子排列最密的方向也是<111> .（对） 7)面心立方晶格中最密的原子面是｛111}，原子排列最密的方向是<110>。 ( 对 ) 8)纯铁加热到912℃时将发生α-Fe向γ-Fe的转变，体积会发生膨胀。 ( 错 ) 9)晶胞是从晶格中任意截取的一个小单元。(错) 10)纯铁只可能是体心立方结构，而铜只可能是面心立方结构。 (错) 4、选择题 1)金属原子的结合方式是（ C ）
金属学及热处理习题参考答案(1-9章)
第一章金属及合金的晶体结构 一、名词解释: 1 ?晶体：原子（分子、离子或原子集团）在三维空间做有规则的周期性重复排列的物质。 2?非晶体：指原子呈不规则排列的固态物质。 3 ?晶格：一个能反映原子排列规律的空间格架。 4?晶胞：构成晶格的最基本单元。 5. 单晶体：只有一个晶粒组成的晶体。 6?多晶体：由许多取向不同，形状和大小甚至成分不同的单晶体（晶粒）通过晶界结合在一起的聚合体。 7?晶界：晶粒和晶粒之间的界面。 8. 合金：是以一种金属为基础，加入其他金属或非金属，经过熔合而获得的具有金属特性的材料。 9. 组元：组成合金最基本的、独立的物质称为组元。 10. 相：金属中具有同一化学成分、同一晶格形式并以界面分开的各个均匀组成部分称为相。 11. 组织：用肉眼观察到或借助于放大镜、显微镜观察到的相的形态及分布的图象统称为组织。 12. 固溶体：合金组元通过溶解形成成分和性能均匀的、结构上与组元之一相同的固相 、填空题: 1 .晶体与非晶体的根本区别在于原子（分子、离子或原子集团）是否在三维空间做有规则的周期性重复排列。 2?常见金属的晶体结构有体心立方晶格、面心立方晶格、密排六方晶格三种。 3?实际金属的晶体缺陷有点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷。 4?根据溶质原子在溶剂晶格中占据的位置不同，固溶体可分为置换固溶体和间隙固溶体两种。 5?置换固溶体按照溶解度不同，又分为无限固溶体和有限固溶体。 6 ?合金相的种类繁多，根据相的晶体结构特点可将其分为固溶体和金属化合物两种。 7. 同非金属相比，金属的主要特征是良好的导电性、导热性，良好的塑性，不透明，有光—泽，正的电阻温度系数。 8. 金属晶体中最主要的面缺陷是晶界和亚晶界。 9. 位错两种基本类型是刃型位错和螺型位错，多余半原子面是刃型位错所特有的 10. 在立方晶系中，｛120｝晶面族包括(120)、(120)、(102)、(102)、(210)、(210)> (201)、
固体物理题库 第一章 晶体的结构
第一章晶体的结构 一、填空体（每空1分） 1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。 2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间 ，原胞与晶胞的体积比1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a a2/，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：2 ，配位数为8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a 邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：4 ，配位数为12 。 5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。 6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。 9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。 10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素：1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ，m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32 个点群。 11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。 12. 晶体原胞中含有 1 个格点。 13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。 二、基本概念 1. 原胞 原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞 结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子 原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子 原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射
晶体学基础知识点及思维导图教学内容
晶体学基础知识点及 思维导图
HOMEWORKS 知识点 晶体结构Crystal structure 点阵结构Lattice 晶胞Unit cells 晶系Crystal systems 布拉菲格子The Bravais lattices 点群 point group 空间群space group
关系Relationships/思维导图Mind mapping
具体中文解释 粒子抽象成点，形成了点阵结构，而这些点连接起来就形成了晶格，可以说点阵和晶格具有同一性，但区别于点阵具有唯一性，晶格不具有。同样我们需要区别“lattice”的意义 它在这应该准确的代表点阵结构而不是单单的点阵，点阵结构是具体的客观存在的而点阵是人为抽象出来的，相比于点阵对应的点阵点，点阵结构对应的就是结构基元。 晶胞堆砌成了点阵结构，晶胞又具有晶胞参数和晶胞内容两方面，也就是说可以这么表示晶胞=点阵格子+结构基元。根据晶胞的晶胞参数我们可以把晶体的结构从宏观上分为七个方面，也就是七大晶系.七大晶系结合晶胞类型产生了14种Bravais晶格 点群表示的是晶体中所包含所有点对称操作的（旋转、反应、反演）的集合。（晶体的宏观性质不变)。点群描述了分子结构和晶体的宏观对称性（后来老师讲点群只是对于结构基元里的原子的对称排布，我个人后来查阅思考了一下，这是局限的，点群所描述的对称性正是可以描述宏观的晶格以及肉眼可见 的晶体的对称性，所以它才被 引为宏观对称性。） 微观对称元素：点阵、滑移面、旋转轴（无数阶次） 而晶体的宏观对称元素和微观对称元素在内的全部对称元素的一种组合就构成晶体的一种微观对称类型也就是空间群，它反应的是内部微观结构的对称性（结构基元内部原子）或者是微观的晶胞堆积方式的不同。 晶体的宏观对称性就是晶体微观对称性的宏观表现。 晶系与对称的关系：七种晶系从宏观的对称操作来看，有旋转、反射、反演，这些构成的是32种点群。而晶系必须符合平移操作（晶体对称定律的要求），结合平移我们限定了它有14种Bravais 格子。再结合微观对称元素，就会得到230种空间群。
第一章晶体结构和倒格子
第一章 晶体结构和倒格子 1. 画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂 2. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为 → 1a =→→+j i a 3(2 →→→+-=j i a a 3(22 求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。 3．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。 4. 若轴矢→→→c b a 、、构成简单正交系，证明。晶面族（h 、k 、l ）的面间距为 2222) ()()(1c l b k a h hkl d ++= 5．用X 光衍射对Al 作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为1.54?反射角为θ=19.20 求面间距d 111。 6．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程； 7．在图1－49（b ）中，写出反射球面P 、Q 两点的倒格矢表达式以及所对应的晶面指数和衍射面指数。 8．求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 9．说明几何结构因子S h 和坐标原点选取有关，但衍射谱线强度和坐标选择无关。 10. 能量为150eV 的电子束射到镍粉末上，镍是面心立方晶格，晶格常数为3.25×10-10m,求最小的布拉格衍射角。 附：1eV=1.602×10-19J, h=6.262×10-34J ·s, c=2.9979×108m/s 第二章 晶体结合 1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m r b r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离； (2) 平衡时的二原子间的互作用能； (3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3?,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值； （4） 若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作 用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。 2. N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ??????-=R e R B N R U n 024)(πεα
第一章-晶体结构
第一章 P4 问题 对14种布拉菲点阵中的体心立方，说明其中每一个阵点周围环境完全相同 答：①单看一个结晶学单胞可知，各个顶点上的阵点等价，周围环境相同。 ②将单个结晶学单胞做周期性平移后可知，该结晶学单胞中的体心阵点亦可作为其他结晶学原胞的顶点阵点，即体心阵点与顶点阵点也等价，周围环境也相同。 综上所述，体心立方中每一个阵点周围环境完全相同。 问题 在二维布拉菲点阵中，具体说明正方点阵的对称性高于长方点阵。 答：对称轴作为一种对称要素，是评判对称性高低的一种依据。正方点阵有4条对称轴而长方点阵只有两条对称轴，故正方点阵的对称性高于长方点阵。 P9 问题 晶向族与晶面族概念中，都有一个“族”字。请举一个与族有关的其他例子，看看其与晶向族、晶面族有无相似性？ 答：“上班族”、“追星族”… 它们与晶向族、晶面族的相似性在于同一族的事物都有某一相同的性质。 问题 几年前一个同学问了这样的问题：() 2πe 晶面该怎么画？你如何看待他的问题？应该指出，这位同学一定是动了脑筋的！结论是注重概念 答：晶面无意义、不存在。晶向是晶面的法向量，相同指数的晶面与晶向是一一对应的。在晶体中原子排布规则中，各阵点是以点阵常数为单位长度构成的离散空间，阵点坐标值均为整数，晶向指数也应为整数，因此晶面指数应为整数时晶面才有意义。（晶体学的面与数学意义下的面有区别，只有指数为整数的低指数面才有意义。） 问题 说明面心立方中(111)面间距最大，而体心立方中(110)面间距最大。隐含了方法 答：①面心立方中有晶面族{100}、{110}、{111}，它们的面间距分别为 因此面心立方中{111}面间距最大。 ②体心立方中有晶面族{100}、{110}、{111}，其面间距分别为 因此体心立方中{110}面间距最大。 (密排面的晶面间距最大)
金属的晶体结构习题答案
第一章 金属的晶体结构 (一)填空题 3．金属晶体中常见的点缺陷是 空位、间隙原子和置换原子 ，最主要的面缺陷是 。 4．位错密度是指 单位体积中所包含的位错线的总长度 ，其数学表达式为V L =ρ。 5．表示晶体中原子排列形式的空间格子叫做 晶格 ，而晶胞是指 从晶格中选取一个能够完全反应晶格特征的最小几何单元 。 6．在常见金属晶格中，原子排列最密的晶向，体心立方晶格是 [111] ，而面心立方晶格是 [110] 。 7 晶体在不同晶向上的性能是 不同的 ，这就是单晶体的 各向异性现象。一般结构用金属为 多 晶体，在各个方向上性能 相同 ，这就是实际金属的 伪等向性 现象。 8 实际金属存在有 点缺陷 、 线缺陷 和 面缺陷 三种缺陷。位错是 线 缺陷。 9．常温下使用的金属材料以 细 晶粒为好。而高温下使用的金属材料在一定范围内以粗 晶粒为好。 10．金属常见的晶格类型是 面心立方、 体心立方 、 密排六方 。 11．在立方晶格中，各点坐标为：A (1，0，1)，B (0，1，1)，C (1，1，1/2)，D(1/2，1，1/2)，那么AB 晶向指数为10]1[- ，OC 晶向指数为[221] ，OD 晶向指数为 [121] 。 12．铜是 面心 结构的金属，它的最密排面是 ｛111｝ ，若铜的晶格常数a=,那么 最密排面上原子间距为 。 13 α-Fe 、γ-Fe 、Al 、Cu 、Ni 、Cr 、V 、Mg 、Zn 中属于体心立方晶格的有 α-Fe 、Cr 、V ， 属于面心立方晶格的有 γ-Fe 、Al 、Cu 、Ni 、 ，属于密排六方晶格的有 Mg 、 Zn 。 14．已知Cu 的原子直径为0．256nm ，那么铜的晶格常数为 。1mm 3Cu 中的原子数 为 。 15．晶面通过(0，0，0)、(1/2、1/4、0)和(1/2，0，1/2)三点，这个晶面的晶面指数为 . 16．在立方晶系中，某晶面在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为1/2；与z 轴平行，则 该晶面指数为 （140） . 17．金属具有良好的导电性、导热性、塑性和金属光泽主要是因为金属原子具有 金属键 的 结合方式。 18．同素异构转变是指 当外部条件（如温度和压强）改变时，金属内部由一种金属内部由 一种晶体结构向另一种晶体结构的转变 。纯铁在 温度发生 和 多晶型转变。 19．在常温下铁的原子直径为0．256nm ，那么铁的晶格常数为 。 20．金属原子结构的特点是 。 21．物质的原子间结合键主要包括 离子键 、 共价键 和 金属键 三种。 (二)判断题 1．因为单晶体具有各向异性的特征，所以实际应用的金属晶体在各个方向上的性能也是不相同的。 (N) 2．金属多晶体是由许多结晶位向相同的单晶体所构成。 ( N) 3．因为面心立方晶体与密排六方晶体的配位数相同，所以它们的原子排列密集程度也相同 4．体心立方晶格中最密原子面是｛111｝。 Y 5．金属理想晶体的强度比实际晶体的强度高得多。N 6．金属面心立方晶格的致密度比体心立方晶格的致密度高。 7．实际金属在不同方向上的性能是不一样的。N 8．纯铁加热到912℃时将发生α-Fe 向γ-Fe 的转变。 ( Y ) 9．面心立方晶格中最密的原子面是111}，原子排列最密的方向也是<111>。 ( N ) 10．在室温下，金属的晶粒越细，则其强度愈高和塑性愈低。 ( Y ) 11．纯铁只可能是体心立方结构，而铜只可能是面心立方结构。 ( N ) 12．实际金属中存在着点、线和面缺陷，从而使得金属的强度和硬度均下降。 ( Y ) 13．金属具有美丽的金属光泽，而非金属则无此光泽，这是金属与非金属的根本区别。N
第一章 晶体结构
第一章晶体结构
第一章晶体结构 本章首先从晶体结构的周期性出发，来阐述完整晶体中离子、原子或分子的排列规律。然后，简略的阐述一下晶体的对称性与晶面指数的特征，介绍一下倒格子的概念。 §1.1晶体的周期性 一、晶体结构的周期性 1．周期性的定义 从X射线研究的结果，我们知道晶体是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的。晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。 周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为 晶体结构的周期性。 晶体结构的周期性可由X-Ray衍射直接证实，这种性质是晶体最基本或最本质的特征。（非晶态固体不具备结构的周期性。非晶态的定义等略），在其后的学习中可发现，这种基本 2
3 a a 2 a 图1.1 晶格 性质对固体物理的学习具有重要的意义或是后续学习的重要基础。 2．晶格 格点和点阵 晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格。 微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。 格点的总体称为点阵。 整个晶体的结构，可看成是由格点沿空间三个不同方向， 各自按一定距离周期性平移而构成。每个平移的距离称为周期。 在某一特定方向上有一定周期，在不同方向上周期不一定相同。 晶体通常被认为具有周期性和对称性，其中周期性最为本质。对称性其实质是来源于周期性。故周期性是最为基本的对称性，即“平移对称性”（当然，有更为复杂或多样的对称性，但周期性或平移对称性是共同的）。
4 3．平移矢量和晶胞 据上所述，基本晶体的周期性，我们可以在晶体中选取一定的单元，只要将其不断地重复平移，其每次的位移为a 1，a 2，a 3，就可以得到整个晶格。则→ 1a ，→ 2a ，→ 3 a 就代表重复单元的三 个棱边之长及其取向的矢量，称为平移矢量，这种重复单元称为晶胞，其基本特性为：⑴晶胞平行堆积在一起，可以充满整个晶体 ⑵任何两个晶胞的对应点上，晶体的物理性质相同，即： ()? ? ? ??+++=→ →→332211a n a n a n r Q r Q 其中→ r 为晶胞中任一点的位置矢量。Q 代表晶体中某一种物理性质，n 1、n 2、n 3为整数。 二、晶胞的选取 可采用不同的选取方法选取晶胞和平移矢量，其结果都可以得到完全一样的晶格。不同选取方法着眼点有所不同。 固体物理学：①．选取体积最小的晶胞，称为元胞 ②．格点只在顶角上，内部和面
第一章__金属的晶体结构习题答案
第一章 金属得晶体结构 (一)填空题 3．金属晶体中常见得点缺陷就是 空位、间隙原子与置换原子 ，最主要得面缺陷就是 。 4．位错密度就是指 单位体积中所包含得位错线得总长度 ，其数学表达式为V L =ρ。 5．表示晶体中原子排列形式得空间格子叫做 晶格 ，而晶胞就是指 从晶格中选取一个能够完全反应晶格特征得最小几何单元 。 6．在常见金属晶格中，原子排列最密得晶向，体心立方晶格就是 [111] ，而面心立方晶格就是 [110] 。 7 晶体在不同晶向上得性能就是 不同得 ，这就就是单晶体得 各向 异性现象。一般结构用金属为 多 晶体，在各个方向上性能 相同 ，这就就是实际金属得 伪等向性 现象。 8 实际金属存在有 点缺陷 、 线缺陷 与 面缺陷 三种缺陷。 位错就是 线 缺陷。 9．常温下使用得金属材料以 细 晶粒为好。而高温下使用得金属 材料在一定范围内以粗 晶粒为好。 10．金属常见得晶格类型就是 面心立方、 体心立方 、 密排六方 。 11．在立方晶格中，各点坐标为：A (1，0，1)，B (0，1，1)，C (1， 1，1/2)，D(1/2，1，1/2)，那么AB 晶向指数为10]1[- ，OC 晶向指数为[221] ，OD 晶向指数为 [121] 。 12．铜就是 面心 结构得金属，它得最密排面就是 ｛111｝ ， 若铜得晶格常数a=0、36nm,那么最密排面上原子间距为 0、509nm 。 13 α-Fe 、γ-Fe 、Al 、Cu 、Ni 、Cr 、V 、Mg 、Zn 中属于体心立方 晶格得有 α-Fe 、Cr 、V ，属于面心立方晶格得有 γ-Fe 、Al 、Cu 、Ni 、 ，属于密排六方晶格得有 Mg 、Zn 。 14．已知Cu 得原子直径为0．256nm ，那么铜得晶格常数为 。 1mm 3Cu 中得原子数为 。 15．晶面通过(0，0，0)、(1/2、1/4、0)与(1/2，0，1/2)三点，这个晶 面得晶面指数为 、 16．在立方晶系中，某晶面在x 轴上得截距为2，在y 轴上得截距为 1/2；与z 轴平行，则该晶面指数为 （140） 、 17．金属具有良好得导电性、导热性、塑性与金属光泽主要就是因为 金属原子具有 金属键 得结合方式。 18．同素异构转变就是指 当外部条件（如温度与压强）改变时，金
第一章 晶体结构缺陷习题及解答
第一章 晶体结构缺陷习题与解答 1.1 名词解释（a ）弗伦克尔缺陷与肖特基缺陷；（b ）刃型位错和螺型位错 解：（a ）当晶体热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置而挤到晶格点的 间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。如果正常格点上原子，热起伏后获得能量离开平衡位置，跃迁到晶体的表面，在原正常格点上留下空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。（b ）滑移方向与位错线垂直的位错称为刃型位错。位错线与滑移方向相互平行的位错称为螺型位错。 1.2试述晶体结构中点缺陷的类型。以通用的表示法写出晶体中各种点缺陷的表示符号。试举例写出CaCl 2中Ca 2+置换KCl 中K +或进入到KCl 间隙中去的两种点缺陷反应表示式。 解：晶体结构中的点缺陷类型共分：间隙原子、空位和杂质原子等三种。在MX 晶体中，间隙原子的表示符号为M I 或X I ；空位缺陷的表示符号为：V M 或V X 。如果进入MX 晶体的杂质原子是A ，则其表示符号可写成：A M 或A X （取代式）以及A i （间隙式）。 当CaCl 2中Ca 2+置换KCl 中K +而出现点缺陷，其缺陷反应式如下： CaCl 2?→?KCl ?K Ca +' k V +2Cl Cl CaCl 2中Ca 2+进入到KCl 间隙中而形成点缺陷的反应式为： CaCl 2?→?KCl ??i Ca +2'k V +2Cl Cl 1.3在缺陷反应方程式中，所谓位置平衡、电中性、质量平衡是指什么？ 解：位置平衡是指在化合物M a X b 中，M 格点数与X 格点数保持正确的比例 关系，即M ：X=a ：b 。电中性是指在方程式两边应具有相同的有效电荷。质量平衡是指方程式两边应保持物质质量的守恒。 1.4（a ）在MgO 晶体中，肖特基缺陷的生成能为6ev ，计算在25℃和1600℃时热缺陷的浓度。 （b ）如果MgO 晶体中，含有百万分之一mol 的Al 2O 3杂质，则在1600℃时，MgO 晶体中是热缺陷占优势还是杂质缺陷占优势？说明原因。 解：（a ）根据热缺陷浓度公式： =N n exp （－ kT 2G ?） 由题意 △G=6ev=6×1.602×10-19=9.612×10-19J K=1.38×10-23 J/K T 1=25+273=298K T 2=1600+273=1873K 298K ： =N n exp ??? ? ??????---2981038.1210612.92319=1.92×10-51
第一章 金属的晶体结构
第一章金属的晶体结构 1-1. 作图表示立方晶系中的(123),(012),(421)晶面和[102],[211],[346]晶向。 附图1-1 有关晶面及晶向 1-2、立方晶系的{111}晶面构成一个八面体，试作图画出该八面体，并注明各晶面的晶面指数。 {111}=（111）+（111）+（111）+（111） （111）与（111）两个晶面指数的数字与顺序完全相同而符号相反，这两个晶面相互平行，相当于用-1乘某一晶面指数中的各个数字。 1-3 （题目见教材） 解：x方向截距为5a，y方向截距为2a，z方向截距为3c=3 2a/3=2a。 取截距的倒数，分别为 1/5a，1/2a，1/2a
化为最小简单整数分别为2，5，5 故该晶面的晶面指数为（2 5 5） 1-4 （题目见课件） 解：（100）面间距为a/2；（110）面间距为2a/2；（111）面间距为3a/3。 三个晶面中面间距最大的晶面为（110）。 1-5 （题目见课件） 解：方法同1-4题 1-7 证明理想密排六方晶胞中的轴比c/a=1.633。 证明：理想密排六方晶格配位数为12，即晶胞上底面中心原子与其下面的3个位于晶胞内 的原子相切，构成正四面体，如图所示。 则OD= 2 c ，AB=BC=CA=AD=BD=CD=a 因?ABC 是等边三角形，所以有OC=3 2CE 因(BC)2 =(CE)2 +(BE) 2 则CE=23a ，OC=32×23a =3 3 a 又(CD)2 =(OC)2 +( 21c )2，即(CD)2=(3 3a )2+(21c )2=(a )2 因此， a c =3 8≈1.633 1-8 解：面心立方八面体间隙半径 r=a/2-2a/4=0.146a ， 面心立方原子半径R=2a/4，则a=4R/2，代入上试有
晶体结构习题
第一章晶体结构 1、三维空间有多少种布拉菲格子？画图说明这些布拉菲格子。 解：三维空间有14种布拉菲格子，分别如下图所示： 2、石墨层中的碳原子排列成如图所示的六角网状结构，试问一个原胞含有几个原子？为什 么？
解：石墨层中一个原胞包含两个原子。图中A 和B 原子是不等价的，它们的几何处境不相同，因此一个原胞中至少有两个碳原子；如图所示，石墨单层可通过图中虚线框所围，包含A 、B 两个原子的单元周期性平移得到，它能构成石墨单层的一个原胞，因此石墨层中一个原胞包含两个原子。 3、 利用刚球密堆模型,求证球可能占据的最大体积与总体积之比为： (1) 简单立方 6 π ；（2 ）体心立方 ；（3 ）面心立方6；（4 ）六角密积6 ； (5) 。 解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为： 6) 2(34134133 33π ππα=?=?=R R a R （2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为： 83) 3/4(34 23423 3 33πππα=?=?=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为： 6 2)22(34 23443 3 33π ππα= ?=?=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，
R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为： 6 2)3/64(4 )2(3634643634623 23π ππα=??=??=R R R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为： 163)3/8(34 83483 33 33πππα=?=?=R R a R 4、设有一简单格子，它的基矢分别为1233,3, 1.5()a i a j a i j k ===++。试求： (1) 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ (2) 该晶体的倒格子基矢； (3) 密勒指数为(121)晶面族的面间距； (4) 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ (5) [1,1,1]晶列与[1,1,1]晶列之间的夹角余弦为多少？ 解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。 （2）由倒格子基矢的定义可知： ??? ? ? ? ???=?=???=-=-?=???= -=-?=???=k k a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321 πππππππππ （3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（ 3 211 121122122b b b K -+?= = π πd 10 3030352(3 22== -+= k j i π π （4）由于面密度d ρβ=，其中d 是面间距，ρ是体密度。对布喇菲格子，ρ等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为)(321h h h ，则该晶面族的面间距3 21h h h d
晶体学基础与晶体结构习题与答案
晶体学基础与晶体结构习题与答案 1. 由标准的(001)极射赤面投影图指出在立方晶体中属于[110]晶带轴的晶带，除了已在图2-1中标出晶面外，在下列晶面中哪些属于[110]晶带？(1-12)，(0-12)，(-113)，(1-32)，(-221)。 图2-1 2. 试证明四方晶系中只有简单立方和体心立方两种点阵类型。 3. 为什么密排六方结构不能称作为一种空间点阵？ 4. 标出面心立方晶胞中（111）面上各点的坐标。 5. 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a)立方晶系(421)，(-123)，(130)，[2-1-1]，[311]； b)六方晶系(2-1-11)，(1-101)，(3-2-12)，[2-1-11]，[1-213]。 6. 在体心立方晶系中画出{111}晶面族的所有晶面。 7. 在立方晶系中画出以[001]为晶带轴的所有晶面。 8. 已知纯钛有两种同素异构体，密排六方结构的低温稳定的α-Ti和体心立方结构的高温稳定的β-Ti，其同素异构转变温度为882.5℃，使计算纯钛在室温(20℃)和900℃时晶体中(112)和(001)的晶面间距(已知aα20℃=0.29506nm，cα20℃=0.46788nm，aα900℃=0.33065nm)。 9. 试计算面心立方晶体的(100)，(110)，(111)，等晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。 10.平面A在极射赤平面投影图中为通过NS及核电0°N，20°E的大圆，平面B的极点在30°N，50°W处，a)求极射投影图上两极点A、B间的夹角；b)求出A绕B顺时针转过40°的位置。 11. a)说明在fcc的(001)标准极射赤面投影图的外圆上，赤道线上和0°经线上的极点的指数各有何特点，b)在上述极图上标出(-110)，(011)，(112)极点。 12. 图2-2为α-Fe的x射线衍射谱，所用x光波长λ=0.1542nm，试计算每个峰线所对应晶面间距，并确定其晶格常数。 图2-2 13. 采用Cu kα(λ=0.15418nm)测得Cr的x射线衍射谱为首的三条2θ=44.4°，64.6°和81.8°，若(bcc)Cr的晶格常数a=0.28845nm，试求对应这些谱线的密勒指数。
XRD,以及晶体结构的相关基础知识
XRD,以及晶体结构的相关基础知识(ZZ) Theory 2009-10-25 17:55:42 阅读355 评论0 字号：大中小 做XRD有什么用途啊，能看出其纯度?还是能看出其中含有某种官能团？ X射线照射到物质上将产生散射。晶态物质对X射线产生的相干散射表现为衍射现象，即入射光束出射时光束没有被发散但方向被改变了而其波长保持不变的现象，这是晶态物质特有的现象。 绝大多数固态物质都是晶态或微晶态或准晶态物质，都能产生X射线衍射。晶体微观结构的特征是具有周期性的长程的有序结构。晶体的X射线衍射图是晶体微观结构立体场景的一种物理变换，包含了晶体结构的全部信息。用少量固体粉末或小块样品便可得到其X射线衍射图。 XRD（X射线衍射）是目前研究晶体结构(如原子或离子及其基团的种类和位置分布，晶胞形状和大 小等)最有力的方法。 XRD 特别适用于晶态物质的物相分析。晶态物质组成元素或基团如不相同或其结构有差异，它们的衍射谱图在衍射峰数目、角度位置、相对强度次序以至衍射峰的形状上就显现出差异。因此，通过样品的X射线衍射图与已知的晶态物质的X射线衍射谱图的对比分析便可以完成样品物相组成和结构的定性鉴定；通过对样品衍射强度数据的分析计算，可以完成样品物相组成的定量分析； XRD还可以测定材料中晶粒的大小或其排布取向（材料的织构）...等等，应用面十分普遍、广泛。 目前XRD主要适用于无机物，对于有机物应用较少。 关于XRD的应用，在[技术资料]栏目下有介绍更详细的文章，不妨再深入看看。 如何由XRD图谱确定所做的样品是准晶结构？XRD图谱中非晶、准晶和晶体的结构怎么严格区分？ 三者并无严格明晰的分界。 在衍射仪获得的XRD图谱上，如果样品是较好的"晶态"物质，图谱的特征是有若干或许多个一般是彼此独立的很窄的"尖峰"（其半高度处的2θ宽度在0.1°~0.2°左右，这一宽度可以视为由实验条件决定的晶体衍射峰的"最小宽度"）。如果这些"峰"明显地变宽，则可以判定样品中的晶体的颗粒尺寸将小于300nm，可以称之为"微晶"。晶体的X射线衍射理论中有一个Scherrer公式，可以根据谱线变宽的量估算晶粒在 该衍射方向上的厚度。 非晶质衍射图的特征是：在整个扫描角度范围内（从2θ 1°~2°开始到几十度）只观察到被散射的X 射线强度的平缓的变化，其间可能有一到几个最大值；开始处因为接近直射光束强度较大，随着角度的增加强度迅速下降，到高角度强度慢慢地趋向仪器的本底值。从Scherrer公式的观点看，这个现象可以视为由于晶粒极限地细小下去而导致晶体的衍射峰极大地宽化、相互重叠而模糊化的结果。晶粒细碎化的极限就是只剩下原子或离子这些粒子间的"近程有序"了，这就是我们所设想的"非晶质"微观结构的场景。非晶质衍射图上的一个最大值相对应的是该非晶质中一种常发生的粒子间距离。
晶体结构 习题
第一章晶体结构 1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为： 晶格点阵＋基元＝实际晶体结构 3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？ 解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。 解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。 从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （b）“边心”立方不是布喇菲格子。 从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。
材基 1-5习题(印)DOC
第一章原子排列与晶体结构 1.fcc结构的密排方向是，密排面是，密排面的堆垛顺序是，致密度 为，配位数是,晶胞中原子数为，把原子视为刚性球时，原子的半径r与点阵常数a的关系是；bcc结构的密排方向是，密排面是,致密度为,配位数是,晶胞中原子数为，原子的半径r与点阵常数a的关系 是；hcp结构的密排方向是，密排面是，密排面的堆垛顺序是，致密度为，配位数是,，晶胞中原子数为，原子的半径r与点阵常数a 的关系是。 2.Al的点阵常数为0.4049nm，其结构原子体积是，每个晶胞中八面体间隙数 为，四面体间隙数为。 3.纯铁冷却时在912e发生同素异晶转变是从结构转变为结构，配位数， 致密度降低，晶体体积，原子半径发生。 4.在面心立方晶胞中画出晶面和晶向，指出﹤110﹥中位于（111）平面上的 方向。在hcp晶胞的（0001）面上标出晶面和晶向。 5.求和两晶向所决定的晶面。 6 在铅的（100）平面上，1mm2有多少原子？已知铅为fcc面心立方结构，其原子半径R=0.175×10-6mm。
第二章合金相结构 一、填空 1）随着溶质浓度的增大，单相固溶体合金的强度，塑性，导电性，形成间隙固溶体时，固溶体的点阵常数。 2）影响置换固溶体溶解度大小的主要因素是（1）；（2）；（3）；（4）和环境因素。 3）置换式固溶体的不均匀性主要表现为和。 4）按照溶质原子进入溶剂点阵的位置区分，固溶体可分为和。5）无序固溶体转变为有序固溶体时，合金性能变化的一般规律是强度和硬度，塑性，导电性。 6）间隙固溶体是，间隙化合物是。 二、问答 1、分析氢，氮，碳，硼在α-Fe 和γ-Fe 中形成固溶体的类型，进入点阵中的位置和固溶度大小。已知元素的原子半径如下：氢：0.046nm，氮：0.071nm，碳：0.077nm，硼：0.091nm，α-Fe：0.124nm，γ-Fe ：0.126nm。 2、简述形成有序固溶体的必要条件。
晶体结构解析基本步骤
晶体结构解析基本步骤 Steps to Crystallographic Solution (基于SHELXL97结构解析程序的SHELXTL软件，尚需WINGX和DIAMOND程序配合) 注意：每一个晶体数据必须在数据所在的目录(E:\STRUCT)下建立一子目录(如E:\STRUCT\AAA)，并将最初的数据备份一份于AAA目录下的子目录ORIG，形成如右图所示的树形结构。 一. 准备 1. 对IP收录的数据, 检查是否有inf、dat和f2(设为sss.f2, 并更名为sss.hkl)文件; 对CCD 收录的数据, 检查是否有同名的p4p和hkl(设为sss.hkl)文件 2. 对IP收录的数据, 用EDIT或记事本打开dat或inf文件, 并于记录本上记录下相关数据(下面所说的记录均指记录于记录本上)： ⊕从% crystal data项中，记下晶胞参数及标准偏差(cell)；晶体大小(crystal size)；颜色(crystal color)；形状(crystal habit)；测量温度(experiment temperature)； ⊕从total reflections项中，记下总点数；从R merge项中，记下Rint＝?.???? % (IP收录者常将衍射数据转化为独立衍射点后传给我们); ⊕从unique reflections项中，记下独立点数 对CCD收录的数据, 用EDIT或记事本打开P4P文件, 并于记录下相关数据： ⊕从CELL和CELLSD项中，记下晶胞参数及标准偏差; ⊕从CCOLOR项中，记下晶体颜色; 总点数；从CSIZE项中，记下晶体大小; ⊕从BRA V AIS和SYMM项中，记下BRA V AIS点阵型式和LAUE群 3. 双击桌面的SHELXTL图标(打开程序), 呈 4. 单击Project New, 先在“查找范围”选择数据所在的文件夹(如E:\STRUCT\AAA), 并选择衍射点数据文件(如sss.hkl), 最后在“project name”中给一个易于记忆和区分的任务名称(如050925-znbpy). 下次要处理同一结构时, 则只需Project Open, 在任务项中选择050925-znbpy便可 5. 单击XPREP , 屏幕将显示DOS式的选择菜单: ⊕对IP收录的数据, 输入晶胞参数后回车(下记为
晶体学复习题及答案
第一章习题 1.晶体与非晶体最本质的区别是什么? 答：晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。而非晶体不具有格子构造。 2 晶体具有远程 规律和近程规律，非晶体只有近程规律。 2.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。 答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。现分别叙述： a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。晶面、晶棱与 角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。从而导致了晶体在适当的条件下往往自 发地形成几何多面体外形的性质。 b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体 结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。 c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。因此，晶体的性 质也随方向的不同有所差异。 d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现 在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。 e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到 平衡的结果。无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说， 晶体的内能更小。 f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。 第二章习题 1.说明层生长模型与阶梯生长模型有什么联系和区别。 4.论述晶面的生长速度与其面网密度之间的关系。 答：根据布拉维法则图示可知，垂直于面网密度小的方向是晶体生长速度快的方向，垂直于 面网密度大的方向是晶体生长速度慢的方向。这样生长速度快的方向的晶面尖灭，生长速度 慢的晶面保留，从而导致了实际晶面往往与面网密度大的