导数容易错题

怎样避免犯导数学习中的常见错误

南京市溧水县第二高级中学（211200） 王俊胜 张忠

一、误认为导数为零的点一定是极值点

例1．函数()223a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，求a ,b 的值．

错解()b ax x x f --='232由题意得()01='f ，且()101=f ，即??

?=+--=--1010232a b a b a ，解得???-==33b a 或???=-=11

4b a ．

分析：()00='x f 是可导函数()x f y =在0x x =处有极值的必要条件而非充分条件．只有加之0x 附近导数的符号相反，才能判定在0x x =处取得极值，因此上述解法在解出a ,b 的值后，还应检验()93323++-=x x x x f 和()1611423+-+=x x x x f 分别在1=x 附近导数符号的变化情况．经检验只有4-=a ,11=b 符合条件．

二、误认为极值只能在导数为零的点处取得

例2．求函数()62--=x x x f 的极值．

错解：由于()?????<<-++-≥-≤--=32,632,622

x x x x x x x x f 或，于是()?????=-=<<-+->-<-='32,32,1232,12x x x x x x x x f 或不存在或 令()0='x f ，得.21=x 当212<<-x 时，()0>'x f ；当32

1<

25． 分析：在确定极值时，只讨论满足()0='x f 的点0x 附近导数的符号变化情况是不全面的，在导数不存在的点处也可能存在极值．在上述解法中，显然忽视了讨论2-=x 和3=x 处左右两侧导数的符号变化情况，从而产生了丢根现象．正确的结果还应包括在2-=x 和3=x 处函数取到极小值0．

三、判断单调性时忽视特殊情况

例3．已知函数()12

3--+-=x ax x x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围． 错解：()1232

-+-='ax x x f 因为()x f 在R 上是减函数，所以()0<'x f 在R 上恒成立，即△01242<-=a 解得33<<-a ，所以a 的取值范围为33<<-a ． 分析：()0<'x f 恒成立的充要条件并不是()x f 在R 上是减函数．事实上， 当3=a 时，()()2

13--='x x f ，则： 当???? ??∞-∈33,x 时，()0<'x f ； 当???

? ??+∞∈,33x 时，()0<'x f ． 而函数()x f 在3

3=

x 处连续，因此()x f 在R 上是减函数．同理可知当3-=a 时，()x f 在R 上是减函数，所以a 的取值范围为33≤≤-a ． 四、误用求导法则

例4．x y ln =的导数是_______．

错解：x

y 1='． 分析：应分情况求导．

（i ）当0>x 时，x y 1='；（ii ）当0

x y 1ln ='-='．故x y 1=' 例5．求??? ?

?-=32sin 2πx y 的导数． 错解：设u y 2sin =，32π-=x u ，则()

??? ??-='?=''='32sin 4sin 2sin 2πx u u u u y 正解：设2u y =，v u sin =，32π

-=x v ，则

()()??? ??-??? ??-=='??

? ??-''='32cos 32sin 4cos 432sin 2πππx x v u x v u y x v u 五、求曲线的切线方程时审题不细 例6．求曲线()x x x x f 2323+-=过原点的切线方程．

错解：()2632+-='x x x f ，设切线的斜率为k ，则()20='=f k ，所以所求曲线切线方

程为x y 2=．

分析：“过某点”与“在某点处”是不同的，在某点处的切线表明此点是切点,而过某点的切线，此点并不一定是切点．

正解：()2632+-='x x x f ，设切线的斜率为k ．

（i ）当切点是原点时，()20='=f k ，所以所求曲线的切线方程为x y 2=．

（ii ）当切点不是原点时，设切点是()00,y x ，则有02030023x x x y +-=，

2302000+-==

x x x y k ①，又()2630200+-='=x x x f k ②，由①、②得230=x ，4

100-==x y k ，故所求曲线的切线方程为x y 41-=． 例7．考察32x y =在点()0,0处的切线．

错解：()331323232x x x y =='=

'-，显然在0=x 处的导数不存在，所以曲线在该点处没有切线．

分析：0=x 处的导数不存在，这说明曲线在点()0,0处的切线斜率趋于无穷大，倾斜角为2

π，所以32x y =在点()0,0处的切线方程为0=x ．

Email ：wangjunsheng17@https://www.wendangku.net/doc/0016776233.html, Tel:135********

详细地址：南京市溧水县第二高级中学 邮编：211200