等差数列及其前n项和专题训练
等差数列及其前n 项和专题训练
A 组 考点能力演练
1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n ＝336，则n 的值为
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( )
A ．20
B ．30
C ．40
D ．60
5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16
＝( )
A.345B ．5C.314 D.315
6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________.
B 组 高考题型专练
1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.172
B.192C ．10 D ．12
3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )
A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0
B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0
C ．若0a 1a 3
D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0
4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12
(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 5．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92
. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .
《等差数列及其前n项和》(解析版)
§6.2 等差数列及其前n 项和 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编 2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B 解析 由已知可得??? ?? a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30， 解得??? a 1 ＝26 3， d ＝－4 3， ∴S 8＝8a 1＋8×7 2 d ＝32. 3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180
解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠 4．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范 围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875
等差数列基础习题精选附详细答案
等差数列基础习题精选 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．
第2讲等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.
等差数列和前n项和习题与答案
第六章 第二节 1．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400 D ．20 解析：选C S 20－2S 10＝20a 1＋a 202－2×10a 1＋a 102 ＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d . ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.故选C. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2 2 ＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C 因为S n ＝ n a 1＋a n 2 ，所以 S n n ＝a 1＋a n 2.由S 33－S 22＝1，得a 32－a 2 2 ＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.故选C. 3．(2014·临川一中质检)已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为 a 1， b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设 c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于( ) A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 解析：选C 由题知a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9，a b 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9＝4＋5＋6＋…＋13＝85，选C. 4．(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{a n }通项为a n ＝an ，则“数列{a n }为递增数列”的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥0 B ．a ＞1 C ．a ＞0 D ．a ＜0 解析：选B 数列{a n }为递增数列，则a ＞0，反之a ＞0，则数列{a n }为递增数列，a ＞0
等差数列及其前n项和
第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 课下练兵场 一、选择题 1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 解析：∵S 3＝ 13() 2 a a +＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝ 31() 2 a a +＝2. 答案：C 2.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a 3＋a 5)－(a 2＋a 4)＝2d ＝6，∴d ＝3，a 1＝－4， ∴S 10＝10a 1＋10(101)2 d ?-＝95. 答案：C 3.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋ c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b ≠2. 答案：B
4.数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{ 1 1 n a +}是等差数列，则a 4＝ ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：设数列{ 11n a +}的公差为d ，由4d ＝611a +－211a +得d ＝16，∴411 a +＝1 2＋1＋ 2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：C 6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最 大的是 ( ) A . 1 1S a B .88S a C .99 S a D .1515S a 解析：由于S 15＝ 11515() 2 a a +＝15a 8＞0， S 16＝ 11615() 2 a a +＝8(a 8＋a 9)＜0， 所以可得a 8＞0，a 9＜0. 这样 11S a ＞0，2 2S a ＞0，…，88S a ＞0，99S a ＜0，1010S a ＜0，…，1515S a ＜0， 而S 1＜S 2＜…＜S 8，a 1＞a 2＞…＞a 8， 所以在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最大的是88S a . 答案：B 二、填空题 7.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝ . 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1 a n ，
等差数列前n项求和
2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等
等差数列的前n项和练习 含答案
等差数列的前n项和练习-含答案． 项和等差数列的前n课时作业8分满分：100时间：45分钟
课堂训练) (2，S＝0，则n等于a1．已知{}为等差数列，a＝35，d＝－nn1B．34 A．3336 ． DC．35 D 【答案】 ＋naS＝n【解析】本题考查等差数列的前项和公式．由1n?1n－n?n －1??n36. ，可以求出n＝0d＝35n＋×(－2)＝22，则数列前24＝＋3(aa)＋2(a＋a＋a)．等差数列2{a}中，133710n5) 13项的和是( 26 ．A．13 B156 ．D52 C．
B 【答案】＋＋)2()＋a＋a＋a＝24?6a6a＝24?aa3(【解析】a ＋41013375410?＋a13?a?13?a＋a413×10131426. ＝＝＝＝?a＝4S1310222________. 50.＝则SS＝S．3等差数列的前n项和为，S20，＝30n201090 【答案】 等差数列的片断数列和依次成等差数列．【解析】 S∴，S也成等差数列．－，－SSS2020101030S∴2(90. ()S－＝SS＋)S－S，解得＝301020301020． . S＝460，求S，4．等差数列{a}的前n项和为S，若S＝8428n20n12a 应用基本量法列出关于a和的方程组，解出d【分析】(1)11；d，进而求得S和28的一元二次函数且常n因为数列不是常数列，因此S 是关于(2)n
2，、b数项为零．设S＝anS＋bn，代入条件S＝84，＝460，可得a20n12 S；则可求28SdSddd??nn2是一个等差)，故(a－S(3)由＝n＋＋n(a－得??1n1nn2222??SSS282012. ＝＋2812＋，∴2×，可求得列，又2×20＝28281220 a}的公差为d，方法一：设【解析】{n?n?n －1S则. d＝na＋1n21112×?，84＋d＝a1212?由已知条件得： 19 ×20?，＝460＋20ad12??，＝－d11＝14，15a2a＋11解得整理得????4.＝d＋19d＝46，a21?－1?nn所以S－17n，2n15n ＋×4＝2＝－n2所以S－17×28＝1 092.
等差数列及其前n项和(普通高中)
课时跟踪检测（二十九） 等差数列及其前n 项和 (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144 D ．288 解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32 ＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2 ＝72. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( ) A ．20 B ．36 C ．24 D ．72 解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12， 得????? 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得????? a 1＝0， d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24. 3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1－a n ＝－23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－23 n .∵a k ·a k ＋1<0， ∴????473－23k ????453－23k <0，∴452 1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( ) A ．360 B ．370 C ．380 D ．390 答案：C 2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( ) A ．25 B ．26 C ．27 D ．28 答案：D 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 解析：由已知????? a 1＋5d ＝123a 1＋3d ＝12?????? a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n . 答案：2n 4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5. 解：d ＝a 7－a 57－5 ＝20－142＝3， a 1＝a 5－4d ＝14－12＝2， 所以S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?2＋14?2 ＝40. 一、选择题 1．(2011年杭州质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 解析：选C.d ＝a 3－a 2＝2，a 1＝－1， S 4＝4a 1＋4×32 ×2＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．24 B ．27 C ．29 D ．48 解析：选C.由已知????? 2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40. 解得????? a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29. 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 第1讲 等差数列及其前n 项和 一、填空题 1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N * )，且? ?????????a n ＋λ2n 为等差数列， 则λ的值是________． 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题 11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值； (2)设b n ＝S n n ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值． 2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31 解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A. 《等差数列的前n项和公式》教学设计 职业技术学校刘老师 大纲分析： 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。 教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。 学生分析： 数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。 教学目标： 知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 过程与方法目标： 培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标： 体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 教学用具：ppt 整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段 探究发现阶段 公式应用阶段 问题呈现1： 首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道 这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100) 紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时， 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。 问题呈现2： 图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 等差数列前n 项和练习题 一、 填空题 1. 等差数列{a n }中，若a 6=a 3 +a 8 ，则S 9= 。 2. 等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d 。 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 。 4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 5. 已知{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a = 。 6. 已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________。 7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d = 。 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d = 。 9. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246,30,S S ==则6S = 。 10. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知57684,2a a a a +=+=-，则当n S 取最大值时n 的值是 。 11. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则 111213a a a ++= 。 12. 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 的值为 。 13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求=n a 。 14. 设等差数列的前项和为，若则 。 15. 设等差数列的前项和为，若,则= 。 二、 计算题 1． 已知等差数列{a n }中， a 1 ＝１，d=1，求该数列前10项和S 10 。 2． 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝ －12，a 4+a 6=－4，求S 20 。 3． 等差数列{a n }中，S 10 = 100，求a 1+ a 10 的值。 4． 已知等差数列{a n }中，a 3··+a 6+a 8··+a 11= 60 ，求S 13 。 {}n a n n S 535a a =9 5 S S ={}n a n n S 972S =249a a a ++ 等差数列及其前n 项和-复习讲义 一、知识梳理 1．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N * )，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 2．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋a n 2或S n ＝na 1＋nn －1 2 d . 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 4．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 5．等差数列的判断方法 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. (3)通项公式法：n a pn q =+ (4)前n 项和法：2n S An Bn =+ 6．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (2)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (3)S 2n －1＝(2n －1)a n . (4)若n 为偶数，则2 n S S d -=偶奇 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 7．等差数列与函数 在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d 2，且常数项为0. 二、巩固训练 1．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 答案 15解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22，∴a 5＝22－a 6＝22－7＝15. 2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B 解析 因为S 10＝S 11，所以a 11＝0.又因为a 11＝a 1＋10d ，所以a 1＝20. 3．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ， 再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而 直接去求，所列方程组化简后可得 ＋ ＋ 相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为 精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质： 已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥?? （2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得． （II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量． 【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ． （62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（） 等差数列及其前n项和 突破点一等差数列的基本运算 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系 [基本知识] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1) 2d＝ n(a1＋a n) 2. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.() (3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．() (4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．() 答案：(1)×(2)√(3)√(4)√ 二、填空题 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________． 答案：3 2．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________． 答案：14 3．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：4 4．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10 000，则S n＝________. 答案：n2 [典例感悟] 1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10 n n m n k k +m k +2m 等差数列及其前 n 项和（讲义） 知识点睛 一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法 （1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法 ①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质 （1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列 二、 等差数列 1. 等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示． （1） 等差中项 （2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ． 2. 等差数列的性质 （1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N * ) ． （2） 若{a }是等差数列，且k + l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ． （3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列． （4） 若{a n }是等差数列，则{λ a n + c }也是等差数列． 1 n n n （5） 若{a }，{b }是等差数列，则{ p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n n n n 差数列． 三、 等差数列的前 n 项和 1 . 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示， 即 S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ． 等差数列{a n }的前 n 项和公式 （1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ． 1 n n 2 （2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2 . 等差数列各项和的性质 = na 1 + n (n -1) d ． 2 （1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列． （2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S 2n -1 ． T 2n -1 （3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件． （4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值： 当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值； 当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值． 2 等差数列的前n项和（第一课时）教学设计 【教学目标】 一、知识与技能 1 ?掌握等差数列前n项和公式； 2?体会等差数列前n项和公式的推导过程； 3?会简单运用等差数列前n项和公式。 二、过程与方法 1?通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法； 2.通过公式的运用体会方程的思想。 三、情感态度与价值观 结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 【教学重点】 等差数列前n项和公式的推导和应用。 【教学难点】 在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。 【重点、难点解决策略】 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。 【教学用具】 多媒体软件，电脑 【教学过程】 一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务： 前n 和呢，于数列{a n } :ai, a 2, as, a n ,…我 称ai+且2+23+…+a n 数列{a n } 的前n 和，用Sn 表不，Sn=ai+a2+a3+…+a 如 , Si =ax S 7 =ai+a 24-a 3+ +a 7,下面我们来共同探究如何求等差数列的前 n 项 和。 二、问题牵引，探究发现 问题1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人 与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 即:Sioo=l+2+3+ ? +100=? 著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同 学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。 同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为 相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办 呢？ — ...... .... 探索与发现1：假如让你计算从第一人到第21人的钱数，高斯 的首尾配对法行吗？ 即计算S2F1+2+3+?+21的值，在这个过程中让学生发现当 项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助 学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。 特点： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: 1+ 100 = 101, 2 + 99 =101, 3+98 =101, 50+ 51 = 101, 101 X 50 = 5050。 5050 第50项与倒数第50项的和: 于是所求的和是： 1 + 2+3+ ? +100 二 101X50等差数列的前n项和练习题及答案解析
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