第3讲:简单的数列问题
同学们,你们一定听说过德国数学家高斯小时候巧算1~100的和的故事。那么,怎样才能用巧算的方法求出某一列数的和呢?关键是找出这一列数的规律。下面我们就来讨论一些简单的数列问题。
公式:
求等差数列的和:等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
求末项:末项=首项+(项数-1)×公差
求项数:项数=(末项-首项)÷公差+1
求首项:首项=末项-(项数-1)×公差
学习例题
例1.求首项是3,公差是5的等差数列的前19项的和。
例2.计算:11+15+19+…+99
例3.计算:(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)
例4.计算:1991-1988+1985-1982+…+11-8+5-2
例5.计算:(2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011)÷2008
例6.计算:123+234+345+456+567+678+789
例7.求所有被2除余数是1的两位数的和。
例8.用3根等长的火柴棒可以摆放成一个小的等边三角形。用火柴棒按下图所示摆放成一个大的等边三角形,已知大的等边三角形的底边有10根火柴棒,那么,一共要用多少根火柴棒?
例9.盒子里放有1只球,一位魔术师第一次从盒子里将这只球拿出,变成4只后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出2只球,将每只球各变成4只球后放回到盒子里……第十次从盒子里拿出10只球,将每只球各变成4只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只球?
例10.24个连续偶数的和是1992,其中最大的一个偶数是几?最小的一个偶数是几?
思考与练习:
1.求首项是5,末项是95,公差是3的等差数列的和。
2.计算:
(1)4000-1-2-3-…-76-77-78-79-80
(2)204-198+192-186+…+24-18+12-6
3.计算:
(1)(1+3+5+...+1999)-(2+4+6+ (1998)
(2)1+2+3-4+5+6+7-8+9+10+11-12+…+25+26+27-28
4.计算:(2007+2008+2009+2010+2011+2012+2013+2014+2015)÷2011
5.计算:1234+2345+3456+4567+5678+6789+7900
6.求所有的除以4后余1的两位数的和。
7.31个连续奇数的和是1891,其中最大的奇数是多少?最小的奇数是多少?
8.在1~60这60个数中,所有不能被9整除的奇数的和是多少?
9.用相同的小立方体摆成如下图的形状,如果共摆成10层,那么最下面一层有多少个小
立方体?
10.如下图,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,这个为第一层,第二层每边两个点,
第三层每边三个点……这个六边形点阵共100层,求第100层有多少个点?
11.平面上共有10个点,没有3个点在一条直线上。求过这些点最多可以画出多少条直线?
寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手: 一、仔细观察数据的特征(对于一些特殊数要有一定的积累,如平方数、立方数),根据数据特征极其相互之间的关系找规律。 二、对数列中相邻两个数作差或相除,根据差和商的情况找规律。 三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数,根据它们之间的关系找规律。《奥赛天天练》第1讲,模仿训练,练习2 【题目】: 按规律在“?”处填数。 【解析】: 第(1)小题,仔细观察前三幅图,通过计算可找到规律:上格的数字与左下格数字之差的2倍就是右下格数字,如第一幅图中:(8-6)×2=4。 所以第四幅图中“?”处的数字为:(13-6)×2=14;第五幅图中“?”处的数字为:32-(24÷2)=20。 第(2)小题,仔细观察前两幅图,通过计算可找到规律:中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积,如第一幅图中:1×4×5=2 0。 所以第三幅图中“?”处的数字为:3×5×2=30;第四幅图中“?”处的数字为:56÷(7×8)=1。 《奥赛天天练》第1讲,巩固训练,习题2 【题目】: 将8个数从左到右排成一行,从第三个数开始,每个数恰好等于它前面两个数的和。如果第7个数和第8个数分别是81,131,那么第一个数是多少?
【解析】: 根据题意列出数列(未知数字用方框代替): □、□、□、□、□、□、81、131…… “从第三个数开始,每个数恰好等于它前面两个数的和”,倒过来可以推出,这个数列中每个数等于这个数后面两个数的差。如:第8个数等于第7个数与第6个数的和,则第6个数就等于第8个数与第7个数的差,可求出第6个数为:131-81=50。依次倒推,可求出前面5个数。 第5个数为:81-50=31; 第4个数为:50-31=19; 第3个数为:31-19=11; 第2个数为:19-11=8; 第1个数为:11-8=3。 四年级奥数解析(二)找规律巧填数(下) 《奥赛天天练》第1讲,拓展提高,习题1 【题目】: 从下边表格中各数列的规律可以看出:(1)“☆”代表_,“△”代表_;(2)81排在第_行第_列。 【解析】: 观察表格寻找规律,一般包括三个观察方向:横着看、竖着看、斜着看。 不难看出这个表格中的数字都是奇数,从左上角开始,沿着右上到左下的方向从小到大依次斜向排列。 解法一:简单枚举。
数列与数表 一、知识与方法归纳 1、等差数列的有关知识. (1)通项公式:末项=首项+(项数-1) ×公差 (2)项数=(末项-首项)÷公差+1 (3)求和公式:和=(首项+末项) ×项数÷2 2、本讲主要包括两部分内容:规律较复杂的数列以及简单的数表 二、经典例题 例1.1,100,2,98,3,96,2 ,94,1,92,2 ,90,3 ,88,2,86,1, 84,…,0。请观察数列的规律并回答一下问题: (1)这个数列中有多少项是2? (2)这个数列所有项的总和是多少? 解: 例2. 1,2,3,4, 4, 5, 6, 7,7, 8,9 ,10,…,97, 98, 99, 100.请观察数列的规律并回答一下问题: (1)这个数列一共有多少个数? (2)50在数列中是第几个数? 解: 体验训练1 1, 2, 2, 4, 3, 6, 1, 8, 2, 10, 3, 12,…,100.观察数列的规律,请问:(1)数列中有多少个2? (2)数列中所有数的总和是多少? 解:
例3.有一列数,第一个数是3,第二个数是4,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的和的个位数。从这列数中取出连续的50个数,它们的和最大是多少? 解: 例4. 如图所示,将从5开始的连续自然数按规律填入下面的数阵中,请问: (1)123应该排在第几列? 第1列 第2列 第3列 … (2)第2行、第20列的数是多少? 5 10 15 … 6 11 16 … 7 12 17 … 8 13 18 … 9 14 19 … 解: 体验训练2 将从1开始的自然数按某种规律填入方格表中,请问: (1)66在第几行、第几列? (2)第33行、第4列的数是多少? 解: *例5.如图所示,将自然数有规律地填入方格表中,请问:
目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小(游戏与对策) (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积(一) (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇(相遇问题) (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方(第一课时) 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中,填入一些连续的数字,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等,这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。(n是几就表示为几阶幻
方)。本讲,我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内,填入1-9九个数,(不能重复,不能遗漏),使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填?【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方,在填写时有一定的规律和口诀: 二、四为肩,六、八为足, 左七右三,戴九履一,五为中央。【注:戴指头,履指脚。】 试试填一填吧! 幻方(第二课时) 知识概述: 上一讲中,我们讲述了如何填写3×3的幻方,其实在幻方的知识世界里,像3×3、5×5、7×7……像这样幻方,称之为奇数
幻方,这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题:在一个5×5的方格中,填入1-25这25个数字,使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看! 看样子,要想顺利填写好这么多的表格,还真的不容易,没有口诀真的不行,下面这个口诀要记牢: 一居首行正中央,依次斜向右上方,右出框时左边写,上出框时下边放,双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗?试试看吧! 幻方(第三课时) 根据上讲中的方法,把口诀运用到所有的奇数幻方中,可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……,本讲,我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧!
*数学故事: 一位教师布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到 100的所有整数加起来,教师刚叙述完题 目,一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。 1+2+3+4+......+98+99+100= 老师起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案属于那 个男孩时,才大吃一惊。 而更使人吃惊的是男孩的算法...... 老师发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101,……共有50 对这样的数,用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法,高斯的才华 使老师——彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。 此男孩叫高斯,是德国数学家、天文学家和物理学家,被誉为历史上伟大的数学家之一,和阿基 米德、牛顿并列,同享盛名。 *数列的基本知识: (1)1、2、3、4、5、6……公差:(2)2、4、6、8、10、12……公差: (3)5、10、15、20、25、30……公差: 像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列,数列中的每一个数称为一项; 第1项称为首项;最后1项称为末项;在第几个位置上的数就叫第几项;有多少项称为项 数;通过观察,我们可以发现上面的每一个数列中,从第一项开始,后项与前项的差都是 相等的,具有这样特征的数列称为等差数列,这个差称为这个数列的公差。 通项公式:某一项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差 + 1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 例题1:已知数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少它的第98项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是2,公差是3,项数是10.要求第10项,可根据, 某一项=首项+(项数-1)×公差进行计算。第10项:2+3×(10-1)=29 第98项: 2+3 ×(98-1)=293 练习1:某一项=首项+(项数-1)×公差 (1)求等差数列:1、3、5、7、9……它的第21项是多少 (2)求等差数列:2、6、10、14、18……它的第60项是多少 (3)求等差数列:7、12、17、22……它的第100项是多少 例题2:已知数列2、5、8、11、14……35,这个数列共有多少项
四年级(第二讲) 简单列举 有些题目,因其所求的答案有多种,用算式不容易表示,需要采用一一列举的方法解决。这种根据题目的要求,通过一一列举各种情况,最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。 用列举法解题时需要掌握以下三点: 1.列举时应注意有条理地列举,不能杂乱无章地罗列; 2.根据题意,按范围和各种情况分类考虑,做到既不重复又不遗漏。 3.排除不符合条件的情况,不断缩小列举的范围。 例1:有1张5元、4张两元和8张1元的汽车票,从中取出9元的汽车票,共有多少种不同的取法? 随堂练习: 1.有足够的2角、5角两种邮票,要拿出5元钱的邮票,有多少种不同的拿法? 2.有2张5元、4张2元和8张1元的汽车票,从中拿出12元的汽车票,有几 种拿法? 3.用红、黄、绿三种颜色去涂下面的圆,每个圆涂1种颜色,共有多少种不同 的涂法? 例2: 有1,2,3,4四张数字卡片,每次取3张组成一个三位数,可以组成多少个奇数?随堂练习: 1.用0,1,2,3,四个数字,能组成多少个三位数? 2.用3,4, 5, 6四张数字卡片,每次取两张组成两位数,可以组成多少个偶数?
3.甲、乙、丙、丁四位同学和王老师站一排照相,共有多少种不同的站法? 例3:明明过生日,买回一个大蛋糕,爸爸问:“竖直切两刀最多能切几块?竖直切三刀最多能切几块?竖直切10刀呢?” 随堂练习 1.在下面的长方形纸中画出5条直线最多能把它分成多少块?请你动手画一画 2.一个大饼,切20刀最多能切多少块? 3.在一个圆形纸片上画三条横着的平行线和三条竖着的平行线,最多能把此圆分成多少块? 例四 甲乙丙三个自然数的和是100,甲数除以乙数,或丙数除以甲数,得数都是商5余1,问甲数是多少? 随堂练习: 1.甲乙丙三个数的和是57,甲数是乙数的3倍多1,乙数又是丙数的3倍多1,求丙数。 2.ABCD四哥数的和是38,A是B的2倍少2,B是C的2倍少2,C是D的2倍少2,求数B 3.一个三位数,它的十位上的数字比个位上的数字多3,百位上的数字又是个位上的数字的平方。又知这个三位数比十位与个位上的数字乘积的25倍还多202,这个三位数是多少? 例5: 从1到400的自然数中,数字“2”出现了多少次? 1.从1到100的自然数中,数字“1”出现了多少次 2.从1到100的自然数中,完全不含数字1的数共有多少个 3.1×2×3×……×100,这100个数乘积的末尾有几个连续的零?
巧妙求和(一) 专题简析:若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。 从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 需要记住三个非常重要的公式:“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。 通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 例1:有一个数列:4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项? 练习: 1,等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项? 2,有一个等差数列:2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项? 3,已知等差数列11,16,21,26,…,1001,这个等差数列共有多少项? 例2:有一等差数列:3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少?练习: 1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少? 2,求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。 3,求等差数列2,6,10,14……的第100项。 例3:有这样一个数列:1,2,3,4,…,99,100。请求出这个数列所有项的和。 练习: 计算下面各题。 (1)1+2+3+…+49+50 (2)6+7+8+…+74+75 (3)100+99+98+…+61+60 例4:求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
练习: 计算下面各题。 (1)2+6+10+14+18+22 (2)5+10+15+20+…+195+200 (3)9+18+27+36+…+261+270 例5:计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 练习: 用简便方法计算下面各题。 (1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994) (2)(2+4+6+...+2000)-(1+3+5+ (1999) (3)(1+3+5+...+1999)-(2+4+6+ (1998) 例6:如果一个等差数列第4项为21,第6项为33,求他的第8项。(1)一个等差数列的第5项是19,第8项是61,求他的第11项。。(2)如果一个等差数列的第3项是10,第7项是26,求他的第12项。(3)如果一个等差数列的第2项是10,第6项是18,求他的第110项。
等差数列巩固练习 求项数、末项练习题 1、在等差数列 2、4、6、8中,48是第几项?168是第几项? 24;84 2、已知等差数列5,8,11…,求出它的第15项和第20项。 47;62 3、按照1、 4、7、10、13…,排列的一列数中,第51个数是多少? 151 4、数列3、12、21、30、39、48、57、66…… 1)第12个数是多少?102 2)912是第几个数?102 5、已知数列2、5、8、11、14……,53应该是其中的第几项? 18 6、在等差数列5、10、15、20中,155是第几项?350是第几项? 31;70 7、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项?第60项是多少? 101;237 8、在等差数列6、13、20、27……中,第几个数是1994? 285
求和练习题 9、6+7+8+9+……+74+75+76=() 2911 10、2+6+10+14+……+122+126+128=() 4160 11、1+2+3+4+……+2016+2017=() 2035153 12、有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少? 20400 13、3+7+11+ (99) 1683 14、有从小到大排列的一列数,共有100项,末项为2003,公差为3,求这个 数列的和。 185450 15、求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。 1127 16、(2+4+6+……+2000)-(1+3+5+……+1999)=() 1000 17、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60= 570
选讲1 等差数列求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。 从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式:“通项公式”和“项数公式”。 通项公式:第n项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 二、精讲精练 【例题1】有一个数列:4,10,16,22…,52.这个数列共有多少项? 练习1: 1.等差数列中,首项=1.末项=39,公差= 2.这个等差数列共有多少项?
2.有一个等差数列:2, 5,8,11…,101.这个等差数列共有多少项? 3.已知等差数列11, 16,21, 26,…,1001.这个等差数列共有多少项? 【例题2】有一等差数列:3, 7,11, 15,……,这个等差数列的第100项是多少? 练习2: 1.一等差数列,首项=3.公差= 2.项数=10,它的末项是多少?
2.求1.4,7,10……这个等差数列的第30项。 3.求等差数列2.6,10,14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列:1, 2, 3, 4,…,99,100。请求出这个数列所有项的和。 练习3: 计算下面各题。 (1)1+2+3+…+49+50 (2)6+7+8+…+74+75
(3)100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。 练习4:计算下面各题。 (1)2+6+10+14+18+22 (2)5+10+15+20+…+195+200 (3)9+18+27+36+…+261+270
列举法 解应用题时,为了解题的方便,把问题分为不重复、不遗漏的有限情况,一一列举出来加以分析、解决,最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。 用列举法解应用题时,往往把题中的条件以列表的形式排列起来,有时也要画图。 例1 一本书共100页,在排页码时要用多少个数字是6的铅字?(适于三年级程度) 解:把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来,数一数。 个位是6的数字有:6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10个。 十位是6的数字有:60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10个。 10+10=20(个) 答:在排页码时要用20个数字是6的铅字。 *例2从A市到B市有3条路,从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法?(适于三年级程度) 解:作图3-1,然后把每一种走法一一列举出来。 第一种走法:A ① B ④ C 第二种走法:A ① B ⑤ C 第三种走法:A ② B ④ C 第四种走法:A ② B ⑤ C 第五种走法:A ③ B ④ C 第六种走法:A ③ B ⑤ C 答:从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100 14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中(每种运算符号只能用一次), 并在长方形中填上适当的整数,使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几?(适于四年级程度) 解:把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里,有许多不同的填法,要是逐一讨 论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理,排除不可能的填法,就能使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子:9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上“÷”号,等式右端就要出现小于100的分数;如果在两个圆 圈内仅填“+”、“-”号,等式右端得出的数也小于100,所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号,也不能同时填“+”、“-”号。 要是在等式的一个圆圈中填入“×”号,另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式 右端得出100。9×13-7=117-7=110,未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号,就会凑出100了。 9+13×7=100 再看第二个式子:14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个,只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号,14÷2得到整数,所以: 14÷2-5=2 即长方形中的数是2。 *例4印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码,这本书有多少页?(适于四年级程度) 解:(1)数码一共有10个:0、1、2……8、9。0不能用于表示页码,所以页码是一位数的页有9页,用数码9个。 (2)页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90,所以,页码是两位数的页有90页,用数码: 2×90=180(个) (3)还剩下的数码: 1890-9-180=1701(个)
简单数列求和 当一列数的规律是相邻两项的差是一个固定的数,这样的数列就称为等差数列。其中固定的差用d 表示,和用S 表示,项数用n 表示,其中第n 项用n a 表示。 等差数列有以下几个通项公式: S=(n a a +1)× n ÷ 2 n=(1a a n -)÷d+1(当 1a < n a ),
)1(1-+=n a a n ×d 例1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 例2 (1)1 + 5 + 9 + 13 +…+ 2001 = (2)4000 -( 50 + 48 + 46 +…+ 2)=
例3 在1949、1950、1951…1997、1998这五十个正整数中,所有双数之和比所有单数之和大多少? 例4 在1 ~ 200这二百个数中能被9整除的数的和是多少? 例5 39个连续单数的和是1989,其中最大的一个单数是多少? 例6 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,从第一个到第1993个数这些数的和是多少? 1、25个连续的正整数之和是750,则第13个数是,第一个数是。 2、一串钥匙30把,对应30把锁,若不小心搞乱了,那么至多需要试次。 3、若在第二题中只要找出8把锁对应的钥匙,那么至多需要试次。
4、1 + 4 + 5 + 8 + 9 + 12 + ··· + 48 + 49 + 52 = 。 5、321 + 320 + 319 +···+ 124 + 123 + 124 +···+ 319 + 320 + 321 = 6、所有三位数中被26除余5的数之和是多少? 7、学习礼堂共有30排座位,已知第一排是15个座位,以后每排比前一排多2个座位,那么共有多少个座位? 8、1 + 3 + 7 + 13 + 15 + 19 + 25 + 27 + 31 +···+ 121 + 123 + 127 = 9、小华看一本书,第一天看了3页,以后每一天比前一天多看的页数相同。第20天看了79页,刚好看完,问这本书共多少页?每天比前一天多看多少页?
五年级奥数举一反三第37周 简单列举 专题简析; 有些题目,因其所求的答案有多种,用算式不容易表示,需要采用一一列举的方法解决。这种根据题目的要求,通过一一列举各种情况,最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。 用列举法解题时需要掌握以下三点; 1,列举时应注意有条理的列举,不能杂乱无章地罗列; 2,根据题意,按范围和各种情况分类考虑,做到既不重复又不遗漏; 3,排除不符合条件的情况,不断缩小列举的范围。
例1 有一张5元、4张2元和8张1元的人民币,从中取出9元钱,共有多少种不同的取法? 分析;如果不按一定的顺序去思考,就可能出现遗漏或重复的取法。因此,我们可以按照从大到小、从少到多的顺序,先排5元的,再排2元的,最后排1元的,把可以组成9元的情况一一列举出来。 从上面的列举中可以看出;取9元钱共有7种不同的取法。 练习一 1,有足够的2角和5角两种人民币,要拿出5元钱,有多少种不同的拿法? 2,有2张5元、4张2元、8张1元的人民币,从中拿出12元,有几种拿法?
3,用红、黄、绿三种颜色去涂下面的圆,每个圆涂一种颜色,共有多少种不同的涂法? ○○○ 例2 有1、2、3、4四张数字卡片,每次取3张组成一个三位数,可以组成多少个奇数? 分析要组成的数是奇数,它的个位上应该是1或者3。当个位是1时,把能组成的三位数一一列举出来;321,421,231,431,241,341共6个;同样,个位是3的三位数也是6个,一共能组成6×2=12个。 练习二 1,用0、1、2、3四个数字,能组成多少个三位数?2,用3、4、5、6四张数字卡片,每次取两张组成两位数,可以组成多少个偶数? 3,甲、乙、丙、丁四位同学和王老师站成一排照相,共有多少种不同的站法?
五年级奥数专题解小 例题】 例1 用简便方法计算下面各题. (1)××÷×× 解:(1)解法一: ××÷×× =(48×75×81)÷(24×25×27) =(12×4×25×3×81)÷(6×4×25×3×9) =(12×100×3×81)÷(6×100×3×9) =(12×81)÷(6×9) =(2×6×9×9)÷(6×9) =2×9=18 解法二: ××÷×× =÷×÷×÷ =2×3×3=18 (2)×××64 解法一: ×××64 =×××(2×4×8) =×8)××4)××2) =1×1×1=1 解法二: ×××64 =×××(8×8) =×8)××8) 数四则混合运算简算=1×1=1 解法三: ×××64 =(64××× =32××××× =(32××××× =(16×××× =(8××× =(4×× =2×=1 通过第(2)题三种算法,你认为哪一种最简便?你还有没有其它的简便解法? (3)×+× 解法一: ×+× = ×+× =+× =100×=48 解法二: ×+× =×+× =+× =10×=48 (4)×-× =-× =1× = 例2 看一看下面的算式有什么特点?运用什么运算定律可以使计算简便? (1)×+×- (2)--+ 解:(1)×+×-
=×+- =×2- =- = (2)--+ =-- =-- =9- = 例3 计算:++++…++ 分析:从到,前后两个数相差,从到前后两个数相差. 解:++++…++ =+++++++… ++++…++…+ ++…+ =+×5++×5++… +×5+ =+++…+×5+×9 =++= 【练习】 1、用简便方法计算下面各题. (1)×+×(2)××8 (3)++(4)××40 (5)×3×3×8 (6)50×× (7)101×7. (8)×54 (9)--(10)-×(11)+++(12)-- (13)(250+×4 (14)4×7××3×5 (15)(125+×8 (16)775+++225 (17)--7. (18)7×+3× (19)÷15+÷15 (20)×+× (21)×+×+(22)÷38-÷38 (23)++÷(24)÷54+2. 65÷54 (25)×(26)× (27)25××40 (28)×32×25 (29)×+×+× (30)+++ (31)×78×80 (32)×-× (33)×32×25×58
第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。这本书共有多少页? 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11.因此可以很快得解: (30+60)×11÷2=495(页) 想一想:如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答? 练习1: 1.刘师傅做一批零件,第一天做了30个,以的每天都比前一天多做2个,第15天做了48个,正好做完。这批零件共有多少个? 2.胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页? 3.丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词? 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次? 【思路导航】开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。所以,至多需试29+28+27+…+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。 练习2: 1.有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次? 2.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 3.有10只盒子,44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
知识要点 数 列 1、按照一定次序排列的一列数叫数列。 2、数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、……、第n 项、…… 3、项数有限的数列叫做有穷数列,有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。 项数无穷的数列叫做无穷数列。 4、(1) 123(1)2 n n n n ?++++ +-+= (n 为正整数) ()()22221 1231216 n n n n +++ +=?+?+(n 为正整数) 5、如果一个数列,从第2项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d 表示。 等差数列求和公式:和=(首项+末项)?项数2÷。 6、如果一个数列,从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用q 表示()0q ≠。 (或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的,这个数列就叫做等比数列。) 一般地,等比数列求和采用“错位相减法”。(公比不为1)
传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴,他决定要重赏西塔,西塔说:“我不要你的重赏 ,陛下,只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒,在第2个格子里放2粒,在第3个格子里放4粒,在第4个格子里放8粒,依此类推,以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到放满第64个格子就行了”。区区小数,几粒麦子,这有何难,“来人”,国王令人如数付给西塔。 计数麦粒的工作开始了,第一格内放1粒,第二格内放2粒第三格内放2粒, 还没有 到第二十格,一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是,麦粒数一格接一格飞快增长着,国王很快就看出,即便拿出全国的粮食,也兑现不了他对西塔的诺言。 原来,所需麦粒总数为:642118446744073709551615-= 这些麦子究竟有多少?打个比方,如果造一个仓库来放这些麦子,仓库高4公尺,宽10公尺,那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。而要生产这么多的麦子,全世界要两千年。尽管国家非常富有,但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来,国王就欠了西塔好大一笔债。 等差数列 【例 1】 判断下面的数列中,哪些是等差数列?哪些是等比数列?如果是等差数列,请指 明公差;如果不是,请说明理由。如果是等比数列,请指明公比;如果不是,请说明理由。 数列一:7、11、15、19、23、……; 数列二:1、2、1、2、3、4、5、……、99、100; 数列三:1、2、4、8、16、32、64; 数列四:2、6、18、54、162; 数列五:2009、2009、2009、2009、2009、2009、2009; 数列六:1、0、1、0、1、0、1、0、1; 数列七:0、0、0、……
第3讲等差数列 一、知识点: 1、数列:按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 2、等差数列与公差:一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差。 3、常用公式 等差数列的总和=(首项+末项)?项数÷2 项数=(末项-首项)÷公差+1 末项=首项+公差?(项数-1) 首项=末项-公差?(项数-1) 公差=(末项-首项)÷(项数-1) 等差数列(奇数个数)的总和=中间项?项数 二、典例剖析: 例(1)在数列3、6、9……,201中,共有多少数?如果继续写下去,第201个数是多少? 答案:共有67个数,第201个数是603 练一练:在等差数列中4、10、16、22、……中,第48项是多少?508是这个数列的第几项? 答案: 第48项是286,508是第85项例(2 )全部三位数的和是多少? 答案:全部三位数的和是494550 练一练:求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差。 答案: 1000 例(3)求自然数中被10除余1的所有两位数的和。 答案:和是459 练一练:求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
答案: 11385 例(4)求下列方阵中所有各数的和: 1、2、3、4、……49、50; 2、3、4、5、……50、51; 3、4、5、6、……51、52; …… 49、50、51、52、……97、98; 50、51、52、53、……98、99。 答案:这个方阵的和是125000 练一练: 求下列方阵中100个数的和。 0、1、2、3、……8、9; 1、2、3、4、……9、10; 2、3、4、5、……10、11; …… 9、10、11、12、……17、18。 答案: 900 例(5)班级男生进行扳手腕比赛,每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。若一共扳了105次,那么共有多少男生参加了这项比赛? 答案:有15个男生参加了比赛 练一练:从1到50这50个连续自然数中,取两数相加,使其和大于50,有多少种不同的取法? 答案: 625种 例(6)若干人围成16圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少6人,如果共有912人,问最外圈有多少人?最内圈有多少人? 答案:最外圈有102人,最内圈有12人 练一练:若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人,如果共有304人,最外圈有几人? 答案: 52人 巩固练习三: 一、填空题(每小题5分) 1、有一串数,已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003
五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现,而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利,毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时,同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和,才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,第二天起他每天读的页数都比前一天多3页,第11天读60页,正好读完。这本书共有多少页? 解: 答: 想一想:如果把“第11天读60页,正好读完”,改成最后一天读60页,正好读完。该怎样解答? 解:
习题:丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天多学会1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词?解: 答: 例2 把30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至少要试多少次? 解: 答: 习题:有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,都能使每把锁都配上自己的钥匙,问一共有几把锁的钥匙搞乱了? 解: 答: 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈(一圈套一圈)做游戏。已知内圈24人,最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等,那么相邻两圈相差多少人? 解:(1)
(2) 答: 习题:小明练习写毛笔字。第一天写4个大字,以后每天比前一天多写相同数量的大字,最后一天写34个,共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字? 解:(1) (2) 答:
课后跟踪习题 一、填空: 1、若干个数排成一列,称为。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为,最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1)求等差数列的和= 2)项数= 3)末项= 二、解答题 1、等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2。求这个等差数列有多少项? 解: 答: 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项? 解:
五年级奥数专题解小例题】 例1 用简便方法计算下面各题. (1)××÷×× 解:(1)解法一: ××÷×× =(48×75×81)÷(24×25×27) =(12×4×25×3×81)÷(6×4×25×3×9) =(12×100×3×81)÷(6×100×3×9) =(12×81)÷(6×9) =(2×6×9×9)÷(6×9) =2×9=18 解法二: ××÷×× =÷×÷×÷ =2×3×3=18 (2)×××64 解法一: ×××64 =×××(2×4×8) =×8)××4)××2) =1×1×1=1 解法二: ×××64 =×××(8×8) =×8)××8) 数四则混合运算简算 =1×1=1 解法三: ×××64 =(64××× =32××××× =(32××××× =(16×××× =(8××× =(4×× =2×=1 通过第(2)题三种算法,你认为哪一种最简便你还有没有其它的简便解法 (3)×+× 解法一: ×+× = ×+× =+× =100×=48 解法二: ×+×=×+× =+× =10×=48 (4)×-× =-× =1× = 例2 看一看下面的算式有什么特点运用什么运算定律可以使计算简便 (1)×+×- (2)--+ 解:(1)×+×- =×+- =×2- =- = (2)--+ =-- =-- =9- = 例3 计算:++++…++ 分析:从到,前后两个数相差,从到前后两个数相差. 解:++++…++ =+++++++… ++++…++…+ ++…+ =+×5++×5++… +×5+ =+++…+×5+×9 =++= 【练习】 1、用简便方法计算下面各题. (1)×+× (2)××8 (3)++ (4)××40 (5)×3×3×8 (6)50××(7)101×7.(8)×54 (9)-- (10)-× (11)+++ (12)-- (13)(250+×4 (14)4×7××3×5 (15)(125+×8 (16)775+++225 (17)--7. (18)7×+3× (19)÷15+÷15 (20)×+× (21)×+×+ (22)÷38-÷38 (23)++÷ (24)÷54+2. 65÷54 (25)× (26)× (27)25××40 (28)×32×25
等差数列与高斯求和 1、计算下列各题: (1)11+14+17+ (101) (2)2+6+10+ (90) (3)297+293+289+ (209) (4)193+187+181+ (103) (5)1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70; (6)2+4+8+10+14+16+20+…+92+94+98+100; (7)1000+999-998+997+996-995+…+103+102-101。 2、在19和91之间插入5个数,使这7个数构成一个等差数列。写出插入的5个数。 3、在1000到2000之间,所有个位数字是7的自然数之和是多少? 4、左下图是一个堆放铅笔的V形架,如果V形架上一共放有210支铅笔,那么最上层有多少支铅笔? 5、有一堆粗细均匀的圆木,堆成右上图的形状,最上面一层有6根,每向下一层增加一根,共堆了25层。问:这堆圆木共有多少根? 6、在上题中,如果最下面一层有98根,这堆圆木共有2706根,那么共堆了多少层? 7、用相同的立方体摆成右图的形式,如果共摆了10层,那么最下面一层有多少个立方体? 8、某剧院有25排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有70个座位。问:这个剧院一共有多少个座位? 9、小明从1月1日开始写大字,第1天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写了589个大字。问:小明每天比前一天多写几个大字? 10、一个七层书架放了777本书,每一层比它的下一层少7本书。问:最上面一层放了几本
书? 11、学校进行乒乓球选拨赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了78场比赛。问:有多少人参加了选拨赛? 12、跳棋棋盘(如左下图)上一共有多少个棋孔? 13、右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔? 14、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形,已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴,那么一共要用多少根火柴? 15、有一个六边形点阵(右上图),它的中心是一个点,看做第1层,第2层每边2个点,第3层每边3个点……这个六边形点阵共100层。问:这个点阵共有多少个点? 16、求前100个既能被2整除又能被3整除的数之和。 17、在1~100这100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少? 18、在1~100这100个自然数中,所有不能被9整除的奇数的和是多少? 19、在1~200这200个自然数中,所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少? 20、求所有加6以后能被11整除的三位数的和。 21、在所有的两位数中,十位数字比个位数字小的两位数有多少个? 22、一个数列有11个数,中间一个数最大。从中间的数往前数,一个数比一个数小2;从中间的数往后数,一个数比一个数小3。这11个数的总和是200,那么中间的数是几?
修改整理加入目录,方便查用,五年级奥数举一反三 目录 平均数(一) (2) 练习一 (2) 练习二 (3) 平均数(二) (6) 第3周长方形、正方形的周长 (10) 第4周长方形、正方形的面积 (17) 第5周分类数图形 (22) 第6周尾数和余数 (28) 第7周一般应用题(一) (33) 第8周一般应用题(二) (37) 第9周一般应用题(三) (42) 第10周数阵 (46) 第11周周期问题 (54) 第12周盈亏问题 (59) 第13周长方体和正方体(一) (65) 第十四周长方体和正方体(二) (71) 第十五周长方体和正方体(三) (76) 第16周倍数问题(一) (81) 第17周倍数问题(二) (87) 第18周组合图形面积(一) (91) 第十九周组合图形的面积 (98) 第二十周数字趣题 (106) 第二十一讲假设法解题 (111) 第二十二周作图法解题 (116) 第二十三周分解质因数 (122) 第二十四周分解质因数(二) (127) 第25周最大公约数 (131) 第二十六周最小公倍数(一) (136) 第二十七周最小公倍数(二) (141) 第28周行程问题(一) (146) 第二十九周行程问题(二) (152) 第三十周行程问题(三) (157) 第三十一周行程问题(四) (163) 第三十二周算式谜 (169) 第33周包含与排除(容斥原理) (174) 第34周置换问题 (179) 第35周估值问题 (184) 第36周火车行程问题 (190) 第37周简单列举 (194) 第三十八周最大最小问题 (199) 第三十九周推理问题 (205)